О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ

В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
215
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
В. В. К о з л о в
1. Рассмотрим каноническую систему уравнений
с бесконечно дифференцируемым гамильтонианом Н = К(х, у) + Щх), где К =
= (А(х)у, у>/2 — положительно определенная квадратичная форма (( , ) —обычное
скалярное произведение в R n ). Пусть х = О — критическая точка функции Щх) (П(0) =
= 0). Система (1) имеет тогда очевидное решение (х, у) = (0, 0), которое называется
состоянием равновесия (точка х = 0 — положение равновесия). Если в положении рав­
новесия потенциальная энергия П имеет строгий локальный минимум, то состояние рав­
новесия устойчиво (теорема Лагранжа).
2. С помощью подходящего линейного канонического преобразования можно добить­
ся того, чтобы в новых переменных (которые снова будем обозначать х, у) кинетическая
энергия К = (у, у)12 + (В(х)у, у}/2, 5(0) = 0.
Л е м м а 1 (ср. с [1], [2]). Пусть точка х = 0 не является локальным минимумом
функции Щх). Предположим, что в области U~ = {х: Щх) < 0, | х | < 8} существует
гладкое векторное поле v(x), такое, что:
1) (У, П') ^ 0 в области U~^;
2) <17'|, I) > сЦ, I) для всех I 6 R n и х <Е ЦЦс > 0),
3) | v(x) \>а(\
х\), а - > 0 при \ х | -> 0.
Тогда существует 80 > 0 такое, что если (x(t), y(t)) — решение гамильтоновой
системы (1) с отрицательной полной энергией H(x(t), y(t)) и х(0) £ £/~ , то \ x(t) \ >. 80
при некотором t >> 0.
Для доказательства рассмотрим новое векторное поле w(x) = v(x) — о~П'. При малых
а > 0, очевидно, (ы/£, | ) > a ^ g , ^(о^ > 0). Согласно 1) (ш, П') < —а(П', П'>. Посколь­
ку П'(0) = 0, то векторное поле w удовлетворяет условию 3). Положим f(t) —
= (w{z(t)), y(t)). Тогда
(2)
/ =
{w'y, у) -
(w, П'> + (w'By, у) -
{w, <£'*/, у»/2.
Поскольку В(0) = 0 и | w(x) | -»- 0 при | х \ ->• 0, то при | х | < 80 (е 0 мало) из равенства
(2) будем иметь оценку / > ах | г/ | 2 /2 + а | П' | 2 > ft > 0. Если при всех t > 0 справед­
ливо неравенство | x(t) | ^ s 0 , то, очевидно, f(t) ограничена. Однако это противоречит
оценке / > Ф > 0.
З а м е ч а н и е . Пусть x(t), y(t) — решение гамильтоновой системы (1) с нулевой
полной энергией. Если положение равновесия х = 0 изолировано, то (в предположениях
леммы 1) каждое движение x(t) либо покидает некоторую область | х \ •< 80 за конечный
промежуток времени, либо стремится к нулю при t ->• оо (ср. с [1]).
3. С помощью леммы 1 доказывается
Т е о р е м а . Пусть х = 0 — критическая точка аналитической функции Щх),
которая не является ее локальным минимумом. Состояние равновесия (х, у) = (0, 0) не­
устойчиво, если выполнено одно из следующих условий:
А) Щх) — квазиоднородная функция;
Б) Щх) — полуквазиоднородная функция.
4. Многочлен Щхг . . . хп) называется квазиоднородной функцией степени s £ N
с показателями аъ • . •, a n ^ N , если при любом X £ R имеем Щ^а1х± . . . %апхп) =
= Х8Щх1 . . . хп). Положим v(x) = Ах, А = diag(a b . . ., a n ) . Поле v(x) удовлетворяет
условиям 2) и 3) леммы о неустойчивости. Условие 1) вытекает из следующей «формулы
Эйлера»: (П', Ах) = sll.
5. Аналитическая функция Щх) называется полуквазиоднородной, если П =
= П 0 + n l f где П 0 —. невырожденная квазиоднородная функция (х = 0 — ее изолиро-
216
В МОСКОВСКОМ МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОБЩЕСТВЕ
ванная критическая точка) степени s, а любой моном ряда Маклорена функции П1? рас­
сматриваемый как квазиоднородная функция с теми же показателями, имеет степень
строго больше s. He всякая квазиоднородная функция полуквазиоднородна.
Введем в R71 «квазиоднородную» норму | х |* = | хг | 1 / 0 C l + . . . + | хп 11/°Ьп. Оче­
видно, 1 1 ! = о{\ х\%). Поскольку П'(0) = 0, то s > аг- (1 < i < п). Для любого т £ N
при малых значениях | х |# справедливо неравенство
п
v-i / № \ 2m/(s-a.)
(3)
c
l^l*m<2(^7J
*<с\х\¥"
2=1
с положительными постоянными с и С. Положим v(x) = Ах — oV(x)/\ x | 2 ^ - s , где
2т
Г(ж) = { . . . ,
(-^г)5
а
'
» •••},
m = ( s — а х ) . . . (s — а л ) .
При малых значениях а и 8 выполнены условия 2) и 3) леммы 1. Так как
/ дИ \2m/(e-a_.) /
s
S (esr)
/i^ir- -
то при достаточно малых | # |# с учетом неравенства (3) будем иметь (У, П'} <. Л1 —
— ст2 | x\i<
0 (а 2 - са/2).
6. Из теоремы п. 3 можно вывести некоторые известные результаты, касающиеся
неустойчивости положений равновесия в потенциальном поле (см., например, работы
Н. Г. Четаева [2], В. П. Паламодова [3] (теорема 2), В. Койтера [4]).J
ЛИТЕРАТУРА
[1] В. В . К о з л о в . Неустойчивость равновесия в потенциальном поле.— УМН, 1981,
36:1, с. 209—210.
[2] Н. Г. Ч е т а е в. О неустойчивости равновесия в некоторых случаях, когда функция
сил не есть максимум.— ПММ, 1952, 16:1, с. 89—93.
[3] В. П. П а л а м о д о в . Об устойчивости равновесия в потенциальном поле.— Функц#
анализ, 1977, 11:4, с. 42—55.
[4] W. Т. К о i t e r. On the instability of equilibrium in the absence of a minimum of the
potential energy.— Nederl. Acad. Wetensch. P r o c , ser. B, 1965, 68:3, p. 107—113.
Московский государственный
университет
Поступило в Правление общества
10 ноября 1980 г.