1.8. Импульс материальной точки и системы

Задачник школьника. Fizportal.ru
1.8. Импульс материальной точки и системы материальных точек. Движение переменной массы.
Импульс p материальной точки определен как


p  mv ,
импульс системы материальных точек с массами mi и скоростями vi равен




p  m1v1  m2v2  m3v3  ...;
приращение импульса системы за время t равно 
 

p  p (t  t )  p (t )  Fвнеш t ,

где Fвнеш – векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телам системы (закон
изменения импульса системы).
Механическую систему называют замкнутой, если ни одно из входящих в нее
тел не взаимодействует с внешними телами (т.е. телами, не входящими в состав исследуемой механической системы). Импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени (закон сохранения импульса).
Радиус-вектор центра масс системы материальных точек с массами mi и ради
ус-векторами соответственно ri определен выражением



m r  m2 r2  m3r3  ...
.
R 11
m1  m2  m3  ...
Скорость центра масс системы материальных точек равна



m v  m2v2  m3v3  ...
.
V 11
m1  m2  m3  ...
Уравнение движения центра масс системы материальных точек имеет вид:
 
(m1  m2  m3  ...) A  Fвнеш .
1.2021. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из автомата, если
масса пули m = 10 г, а скорость пули при вылете из ствола v = 300 м/с? Автомат
производит n = 50 выстрелов в секунду.
1.2031. Падающий вертикально шарик массы m = 0,2 кг ударился об пол со скоростью v = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h = 0,46 м. Найдите изменение импульса
шарика p при ударе.
1.2041. Из орудия массы М = 3000 кг, не имеющего противооткатного устройства (ствол жестко скреплен с лафетом) вылетает в горизонтальном направлении снаряд массы m = 15 кг со скоростью v = 650 м/с. Какую скорость и получит орудие при
отдаче?
1.2051. Снаряд массы m = 20 кг, летевший горизонтально со скоростью v = 50
м/с, попадает в платформу с песком и застревает в песке. С какой скоростью и начнет двигаться платформа, если ее масса М = 10000 кг?
1.2061. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, стреляет под
углом  = 30° к горизонту. Масса снаряда m = 20 кг, его начальная скорость v = 200
м/с. Какую скорость и приобретает пушка при выстреле, если ее масса M = 500 кг?
1
1.2071. Снаряд массы т = 50 кг, летящий со скоростью v = 800 м/с под углом  =
30° к вертикали, попадает в платформу с песком и застревает в нем. Найдите скорость и платформы после попадания снаряда, если ее масса М = 16 т.
1.2082. Два человека с массами m1 = 70 кг и m2 = 80 кг стоят на роликовых коньках друг против друга. Первый бросает второму груз массы m = 10 кг со скоростью,
горизонтальная составляющая которой равна v = 5 м/с относительно земли. Найдите
скорость v1 первого человека после броска и скорость v2 второго после того, как он
поймает груз. Трением пренебречь.
1.2092. Тело массы M = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массы m = 10 г и застревает в нем. Скорость пули составляет v = 700 м/с
и направлена горизонтально. Какой путь s пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью  = 0,050?
1.2102. Три лодки массы М каждая движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями v. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают
два груза массы m каждый со скоростью и относительно средней лодки. Какие скорости v1, v2, v3 будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Трением пренебречь.
1.2112. Человек массы m = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние s переместится лодка длины L = 3 м, если ее масса M = 120 кг, и первоначально лодка с человеком покоилась относительно воды? Трением пренебречь.
1.2123. Лягушка массы m1 сидит на конце доски массы m2 и длины L. Доска находится на поверхности пруда. Лягушка совершает прыжок вдоль доски так, что ее
начальная скорость vo (относительно воды) составляет с горизонтом угол  и оказывается на другом конце доски. Определите vo. Сопротивлением воды пренебречь.
1.2133. Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней точке траектории на
два одинаковых осколка. Первый осколок падает вертикально вниз, второй – на расстоянии s по горизонтали от места разрыва. Найдите скорость снаряда v перед разрывом, если известно, что разрыв произошел на высоте h и время падения первого
осколка равно . Трением пренебречь.
1.2143. Космонавт находится на некотором расстоянии от космического корабля, имея с собой два одинаковых однозарядных пистолета. Космонавт может стрелять одновременно из двух пистолетов или использовать их по очереди. Как должен
он поступить, чтобы быстрее вернуться на корабль?
1.2153. Тележка с песком движется по горизонтальным гладким рельсам под
действием постоянной силы F, совпадающей по направлению с ее скоростью. При
этом песок высыпается через отверстие в дне с постоянной скоростью  (кг/с). Найдите ускорение тележки в момент времени t, если в момент времени t = 0 тележка
имела массу mo и ее скорость была равна нулю.
1.2164. Один конец каната удерживают на высоте h от земли. Второй его конец
касается земли. В момент времени t = 0 канат отпускают (без толчка). Он начинает
свободно падать на землю. Получите аналитическую зависимость силы F, с которой
канат будет давить на землю, от времени. Масса единицы длины каната равна .
1.2174. Платформа массы mo в момент времени t = 0 начинает двигаться по горизонтальным гладким рельсам под действием постоянной силы тяги F, направленной горизонтально. Из неподвижного бункера в момент времени t = 0 сверху на нее
начинает высыпаться песок. Скорость погрузки постоянна и равна  (кг/с). Получи-
Задачник школьника. Fizportal.ru
Ответы:
1.202. F  mnv  150 Н.
1.203. p  m(v  2 gh )  1,6 кгм/с.
m
1.204. u   v  3,25 м/с.
M
m
v  0,1 м/с.
1.205. u 
mM
mv cos 
 7 м/с.
1.206. u  
M
mv sin 
 1,25 м/с.
1.207. u 
mM
mv
mv
1.208. v1  
 0,71 м/с; v2 
 0,55 м/с.
m1
m  m1
те зависимость от времени скорости v и ускорения a платформы в процессе погрузки. Начальная скорость платформы равна нулю.
1.2184. Ракета движется в отсутствие внешних сил, выпуская непрерывную
струю газа со скоростью u, постоянной относительно ракеты. Найдите скорость v
ракеты в момент, когда ее масса равна m, если в начальный момент времени она
имела массу mo и ее скорость была равна нулю.
m 2v 2
 50 м.
2 g (m  M ) 2
Mv  m(v  u )
Mv  m(v  u )
v1 
; v2  v; v3 
.
mM
mM
m
s
L  1,0 м.
mM
gL
.
vo 
(1  m1 / m2 )sin 2
sg
v
.
4h
Выстрелить из первого пистолета, выбросить его и выстрелить из второ-
1.209. s 
1.210.
1.211.
1.212.
1.213.
1.214.
го.
1.215. a (t ) 
F
.
mo  t
3 22
2h
1
 g t при 0  t   , где  
; F (t )   gh   g 2 2 при t   .
g
2
2
Ft
F
; a (t ) 
.
1.217. v(t ) 
mo (1  t / mo )
mo (1  t / mo ) 2
m
1.218. v  u ln o .
m
1.216. F (t ) 
3