Вариант 8 с решениями

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Э. БАУМАНА
ОСЕННЯЯ ФИЗИКОМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ 2014  2015 г.г.
I ТУР
ФИЗИКА
ВАРИАНТ № 8
З А Д А Ч А 1.
После выстрела из пушки снаряд массы m = 10 кг , упал на землю через 10 секунд. Определите модуль
изменения импульса снаряда за седьмую секунду полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.
З А Д А Ч А 2.
Однородный тонкий стержень ОВ лежит на двух опорах D и C,
расстояние
между которыми a=0,1 м. Коэффициент трения стержня об опоры
D
B
C
равен  = 0,5. Угол наклона стержня к горизонту  = 30o, длина участка СВ
O

= b=0,2м. Найдите длину стержня L , при которой он будет находиться в
равновесии.
З А Д А Ч А 3.
g
Два груза, массы которых 5m и 3m, связаны невесомой нерастяжимой нитью,
переброшенной через неподвижный блок. В начальный момент груз массы 3m
удерживают, прижимая его к столу. Затем груз отпускают. На какую максимальную
высоту поднимется этот груз над столом, если при ударе груза 5m о стол выделяется
количество теплоты, равное Q ? Удар абсолютно неупругий. Массой блока и силами
5m
трения в блоке пренебречь.
3m
З А Д А Ч А 4.
Тонкий однородный стержень массы m и длины L лежит на дне сосуда с водой. За
нить, привязанную к одному концу стержня, его медленно поднимают в вертикальное
положение, в котором стержень, опираясь на дно сосуда, выступает над поверхностью воды на половину
своей длины. Найдите работу, которую необходимо совершить при таком подъеме стержня. Плотность
материала стержня в семь раз больше плотности воды. Силами сопротивления и массой нити пренебречь.
З А Д А Ч А 5.
Точка подвеса математического маятника, длина нити которого равна L , движется горизонтально с
постоянным ускорением а = g /4 где g – ускорение свободного падения.. Определите период малых
колебаний маятника.
З А Д А Ч А 6.
Внутренняя энергия U некоторой массы аргона при температуре t = 27 оС равна 5,0 Дж. Сколько
атомов N содержит эта масса газа?
З А Д А Ч А 7.
В длинной трубе между двумя поршнями массы М каждый находится моль
2u 6u
идеального одноатомного газа при температуре То . Масса газа много меньше массы
поршней. В остальном пространстве трубы - вакуум. В начальный момент левый
поршень имеет скорость 2u, а правый - 6u. Определите максимальную температуру газа
при дальнейшем движении поршней. Система теплоизолирована, теплоёмкостями поршней и трубы, а также
трением пренебречь.
З А Д А Ч А 8.
q
2R
Две концентрические металлические сферы радиусами R и 2R жестко закреплены.
R
Внутренняя сфера соединена с землей, а внешняя сфера заряжена отрицательным зарядом
q. Какую минимальную скорость должен иметь точечный отрицательный заряд q массы
m на бесконечно большом расстоянии от сфер, чтобы двигаясь к их центру, достигнуть точки
А, находящейся на расстоянии 3R от центра сфер. Перераспределением зарядов на сферах
под действием точечного заряда пренебречь .
3Е
Е
З А Д А Ч А 9.
В схеме, приведенной на рисунке, найдите энергию конденсатора. Параметры
элементов схемы, изображенных на рисунке, считать известными. Внутренним
сопротивлением источников тока пренебречь.
A
2R
С
3R
B
2Е
2Е
З А Д А Ч А 10.
Проводник АОК, согнутый под углом 60о , расположен в плоскости xy, как показано на рисунке, в
M
постоянном однородном магнитном поле индукции В, перпендикулярной плоскости xy.
A
y
По проводнику из начала координат О перемещают поступательно вдоль оси x с
B
постоянной скоростью v перемычку MN, параллельную оси y. Cопротивление
единицы длины перемычки равно . Пренебрегая сопротивлением проводника и
V
скользящих контактов, а также индуктивностью контура, найдите полное количество
60o
O
С
K
N
x
теплоты Q, выделившейся в перемычке, за время её движения до точки С. Длина отрезка ОС равна L .
81
ОСЕННЯЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА 2014-2015 г.г.
I ТУР
РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА № 8
З А Д А Ч А 1. (8 баллов)
Ответ: p  mgt  10  9,8  1  98
кг  м
с
.
З А Д А Ч А 2. (8 баллов)
Ответ:
 tg
L  2b  a 1 



  0,62 м

.
На стержень ОВ действуют:

N1
mg - cила тяжести;
N1 и N2 –
силы нормальной реакции опор D

и C ; F ТР 1 и F ТР 2 - силы трения .
y

F TP 2
Силы трения направлены вдоль
F TP 1
x
B
стержня вверх, так как стержень
D
C
стремится соскользнуть вниз.
Стержень
будет
находиться
в
равновесии, если будут выполняться


два условия: Равенства нулю всех
0

N2
сил,
действующих
на
mg
стержень  Fi  0
и равенства
нулю
моментов
всех
сил,
действующих на стержень, относительно оси проходящей, например, через опору С,  M C ( Fi )  0 .
Напишем для стержня первое условие равновесия:
mg  N 1  FТР 1  FТР 2  N 2  0
(1)
Направим ось х вдоль стержня, ось y перпендикулярно ей, и спроецируем на них уравнение (1).
FТР1  FТР 2  mg sin   0
(2)
N 1  N 2  mg cos   0
(3)
Принимая во внимание, что FТР  N , перепишем уравнения (2) и (3) в виде
N 1  N 2  mg sin   0
(4)
N 1  N 2  mg cos   0
(5)
Напишем для стержня второе условие равновесия относительно оси, проходящей через точку С:
M1  M 2  0
(6) , где M 1  mg  1 , M 2  N 1 2 - моменты сил mg и N 1
относительно выбранной оси, где  1  ( L / 2  b ) cos  и  2  a - плечи сил mg и N. Подставим
выражения для M 1 и M 2 в (6) , получим
mg ( L / 2  b) cos   N 1a  0 (7).
Из уравнение (5) и (7) найдём
mg cos  ( L / 2  b)
mg cos  ( L / 2  b  a )
N1 
N2 
, а затем из уравнения (4) выразим длину
a
a
 tg  
 .
стержня: L  2b  a 1 



Подставим a = 0,1; b = 0,2;
o
  0,5 ;   30 o ; tg 30 
 0,578 
L  2  0,2  0,11 
  0,4  0,1  (1  1,156)  0,62 м
0,5 

1
3
 0,578 , найдём
8-2
З А Д А Ч А 3. (10 баллов)
Q
.
mg
H  h1  h2 (1), где h1  высота груза m1 над столом до начала движения; h2  высота подъема
Ответ: H 
1)
груза m2 над столом после удара груза m1 о стол.
2)
Используя закон сохранения
энергии
равнопеременного движения, получим
Q  W К1 
m1v 2
(2) ,
2
откуда
V2 
и
2Q
m1
V2
Q
V2
Q


(3); 4) h2 
(4)
2a m1a
2 g m1 g
5) Подставляя (3) и (4) в (1) , получим
m  m2
Q 1 1
   (5), где a  1
g (6)
H
m1  m 2
m1  a g 
Подставляя (6) в (5), найдем

Q  g a
Q g
Q  m1  m2
2Q



 
H 
 1 
  1 
m1  ag  m1 g  a
 m1 g  m1  m 2
 (m1  m2 ) g
m2=3m m1=5m
=m
3) h1 
Подставим значения m1 = 5 m
2Q
Q
H

(5m  3m) g mg
m 2 = 3m
g
уравнение
(7)
в (7), найдем
З А Д А Ч А 4. (10 баллов)
Ответ:
A1  0,45mgL .
WKИИ   Ai . По условию WKИИ  0 , следовательно, A1  A2  A3  0 , где A1-работа внешней
силы, A2- работа силы тяжести, A3- работа силы Архимеда.
L
A2   mg .
Искомая работа A1=  A2  A3.
2
m
A3  g 0,5V  0,5L  g  0,5V  0,25L  (0,5  0,5  0,5  0,25) gVL  0,375 gL . При n = 7
n
0,375
mgL
A3 
mgL  0,0535 mgL  0,05 mgL A2  
.
7
2
A1  0,5mgL  0,05mgL  (0,5  0,05)mgL  0,45mgL .
a
L
З А Д А Ч А 5. (10 баллов)
Ответ: T  4
a
L
.
g 17
g ЭФФ
g
L
; T  2
,
4
g ЭФФ
(1)
2
g Эфф
где
g
g
 g a  g   
17
4
4
2
2
2
g
4
Подставляя
g Эфф в (1), получим
T  2
4L
 4
g 17
L
.
g 17
8-3
З А Д А Ч А 6. (10 баллов)
Ответ:
N
2U
20
 8,0 10
3 kT
Аргон – одноатомный газ, следовательно средняя кинетическая энергия одного атома
Искомое число атомов
N

3
kT .
2
U 2U
25


 8,0  10 20 .
 23
 3kT 3  1,38  10  300
З А Д А Ч А 7. (10 баллов)
32 Mu 2
Ответ: T  To 
3 R
.
В системе отсчёта, связанной с центром масс поршней, они движутся навстречу друг другу с равными
скоростями ( так как по условию их массы одинаковые). При этом кинетическая энергия поршней,
переходит во внутреннюю энергию газа.
E кин  U o  U ,
где Uo –начальная внутренняя
энергия газа U o  c v To , , где   1 .
2u 6u
U- внутренняя энергия газа при максимальном его сжатии U  c v T .
x
M  2u  M  6u
 2u
2M
Скорость левого поршня в системе центра масс   2u   С  2u  2u  4u .
Скорость центра масс поршней
С 
Скорость правого поршня в системе центра масс   6u   С  6u  2u  4u .
Используя закон сохранения энергии, запишем
Используя закон сохранения энергии, запишем (при   1 ) :
2
2
32 Mu
M
3
3
2
(4u )  RTo  RT , откуда T  To 
.
2
2
2
3 R
З А Д А Ч А 8. (10 баллов)
Ответ:  
2q A q
1

.
m
2 3m o R
q
2R
На заземлённой сфере наводится заряд q x ,
который находится
из условия равенства нулю
потенциала внутренней сферы. Согласно принципу
суперпозиции , потенциал внутренней сферы равен
qx
q


 0,
4 o R 4 o  2 R
откуда находим искомый заряд q x 
Потенциал в точке А
A 

A
R
q
3R
q
.
2
1
q
q
1
q



2 4 o  3R 4 o  3R
24  o  R
; A  
1
q
.
24  o  R
2
2q A q
m min
1
 q A . Откуда  

По закону сохранения энергии
.
m
2 3m o R
2
8-4
З А Д А Ч А 9. (12 баллов)
Ответ: W 
81
CE
50
2
.
Е
2E
(1)
5R
3R
Закон Ома для правого участка цепи (участок АВ):
( A   B )  3 E  2 E
-I 
(2)
2R
Из (1) и (2) найдем
2E
 5R - 4R 9R
9
 A -  B   E  I(2R)  -E 2R  E
 E
 E .
5R
5R
5R
5
Обозначим  A   B  U , тогда энергия конденсатора
A
3Е
Ток в цепи I 
W 
CU
2
2

C
2
2R
С
B
2Е
2Е
2
81
9 
CE
 E 
50
5 
2
З А Д А Ч А 10. (12 баллов)
2
2
3 B L
.
2

1) ЭДС индукции E  B   ,
где длина перемычки   x  tg
При x = C
 max  L  tg
Ответ: Q 
2) Сопротивление перемычки R    
R max     max    L  tg
3) Тепловая мощность, выделившаяся в перемычке
2 2
2
2 2 2
2 2
B  L  tg
E
B 
B 
Pmax 
P


.

R


y
M
B
L
1
4) Средняя мощность Pcp  Pmax за время t o  .
2

5) Полное количество теплоты, выделившейся в перемычке,
1 B 2 v 2 L  tg L 1 B 2 v  L2  tg
Q  Pcp t o 
 
2

v 2

2
Q  Pcp t o 
2
2
2
Итак, при  = 60о tg60 o  3 . Q 
V
60o
O
2
3 B L
.
2

С
K
N
2
1 B  L  tg L 1 B   L 
 
tg
2

 2

A
x