Задачи 1 тура 2013/2014 года Задача 1. − 7 + 10 =

Задачи 1 тура 2013/2014 года
− 7 + 10 =
Задача 1. Решите уравнение
и найдите сумму его корней. (2 балла)
Решение
7
7
⇔ ( − 2)( − 5) =
( − 4)( − 7)
− 11 + 28
( − 2)( − 7)( − 4)( − 5) = 7,
( − 9 + 14)( − 9 + 20) = 7,
⇔
⇔
≠ 4, ≠ 7.
≠ 4, ≠ 7.
− 7 + 10 =
− 9 + 17, получим уравнение: ( − 3)( + 3) = 7 ⇔ = 16. Отсюда
− 9 + 17 = 4,
− 9 + 13 = 0,
= 4 или = −4. Возвращаясь к замене получаем:
⇔
− 9 + 17 = −4.
− 9 + 21 = 0.
Произведем замену: =
Второе уравнение действительных корней не имеет, как нетрудно заметить, числа 4 и 7 не
являются корнями первого уравнения, поэтому по теореме Виета сумма корней равна 9.
Ответ: 9.
Задача 2. Сумма первых 80 членов арифметической прогрессии равна 80, а сумма первых 160 её
членов равна 320. Чему равна сумма первых 40 членов этой прогрессии? (4 балла)
Решение
I способ
По условию задачи составим систему:
2
= 80,
⇔
= 320
2
=
Тогда искомая величина равна
+ 79
⋅ 80 = 80,
2
⇔
+ 159
⋅ 160 = 320
2
2
,
80
1
=
.
80
=
⋅ 40 = 20.
II способ
Обозначим, через ( , ) — сумму членов арифметической прогрессии с номера
включительно. Данные суммы образуют арифметическую прогрессию, то есть (
+ 2 и так далее. Имеем:
( ,
) =
+
+
+
+
12
4
+ = 80,
+2 +
+3
+ 6 = 480
⇒8
+ 6 = 320
= 320
⇔
2
4
= 160 ⇔
,
по номер
+ ,
) =
+ = 80
⇔
+ 6 = 320
= 20.
Ответ: 20.
Задача 3.
— прямоугольник. Точки
и
— середины сторон
и
,
— точка
пересечения отрезков
и
. Если площадь прямоугольника равна 60, то площадь
четырехугольника
равна… (6 баллов)
Решение
Способ 1
Введем систему координат: (0; 0), (0; 2 ), (2 ; 2 ), (2 ; 0), (2 ; ), ( ; 0).
Уравнение прямой
: +
Уравнение прямой
:
= 1.
=
⇔
− = 0.
=
=
1
⋅
2
⋅
=
1
⋅
2
∩
⋅
⇒
1
⋅
2
4 2
;
.
5 5
1
= ⋅
⋅
4
=
1
⋅ 60 = 15;
4
1
⋅
2
1
= ⋅
2
=
1
⋅2 ⋅ =
= 15;
2
1
2
= ⋅ ⋅
=
= 3;
2
5
5
⋅
=
⋅
=
−
= 15 − 3 = 12.
Ответ: 12.
Способ 2 (Сакун Андрей)
Пусть
и
– середины сторон
и
||
=
Очевидно
||
,
=
По теореме Фалеса
=
и
=
⋅
1
2
=
⋅
⋅
=
1
2
=
, то
⋅
=
⋅
=
1
2
−
=
1
4
=
1
2
= ,
∙
=
=
=
=
1 1
∙
2 2
−
1
2
∙
= , тогда
=
1
4
=
;
;
MK – средняя линия трапеции NDCB.
=
1
2
2
+
=
3
;
4
=
⋅
⋅ 60 = 3.
=
= 15 − 3 = 12.
Способ 3 (Жуковский Андрей)
=
.
, следовательно,
⋅
Ответ: 12.
Пусть
и
.
=
и
⋅
=
соответственно. Проведем
=
1
∙ 60 = 15.
4
= 60.
1
⋅ 60 = 15.
4
=
В
и
Треугольники
углы
и
секущей
=
). Значит,
=
Тогда
=
и
подобны по двум углам (углы
и
равны как вертикальные, а
равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых
и
и
=
1 1 1
∙
∙
2 2 5
=
;
=
+
1
20
= 3;
=
=
;
=
;
=
;
∙ =
;
= 15 − 3 = 12.
Ответ: 12.
Задача 4. Из города в город выезжает велосипедист, а через 3 часа после его выезда из
города
выезжает навстречу мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше скорости
велосипедиста. К моменту встречи велосипедист проехал половину пути до . Если бы
мотоциклист выехал не через 3, а через 2 часа после велосипедиста, то встреча произошла бы на
15 км ближе к . Найдите расстояние между и . (6 баллов)
Решение
Пусть длина пути от
до
равна ,
— скорость велосипедиста, тогда 3
мотоциклиста, 3 — путь проделанный велосипедистом до выезда мотоциклиста,
встречи велосипедиста и мотоциклиста. Получаем уравнение:
−3
⋅
+3
3 +
— скорость
— время
= .
2
По аналогии для случая «если бы…» получаем: 2 +
⋅
= − 15.
Объединяем эти уравнения в систему и приводим подобные:
9
9
− = 0,
− = 0,
9 = ,
4
4
4
4
⇔
⇔
⇒ S = 180.
6
9
3
3 = 60.
− = −15.
− −
= −15.
4
4
4
4 4
Ответ: 180.
Комментарии. Если рассматривать движение мотоциклиста, то получаем следующую систему:
−3
⋅3 = ,
+3
2
−2
⋅ 3 = + 15.
+3
2
Ответ: 180.
Задача 5. Найдите значение выражения
°
°
°
. (8 баллов)
Решение
sin 26° + sin 146° + sin 94° = sin 26° + sin (180° − 34°) + sin (90° + 4°) =
применим формулы приведения
= sin 26° + sin 34° + cos 4° =
понизим степени слагаемых
1 − cos 52°
1 − cos 68°
1 + cos 8°
3 − (cos 52° + cos 68°) + cos 8°
+
+
=
=
2
2
2
2
заменим сумму косинусов произведением
=
3 − 2 cos 60° cos 8° + cos 8°
3 − cos 8° + cos 8°
3
=
= .
2
2
2
30
30 10
=
=
= 20.
3
1
sin 26° + sin 146° + sin 94°
2
2
=
Ответ: 20.
Задача 6. На реке расположены пункты и , причем ниже по течению на расстоянии 20 км от
. Катер направляется из в , затем сразу возвращается в и снова следует в . Одновременно
с катером из отправился плот. При возращении из катер встретил плот в 4 км от . На каком
расстоянии от катер нагонит плот, следуя вторично в ? (10 баллов)
Решение (арифметическое).
Заметим, что катер удаляется от плота или приближается к нему с одной и той же скоростью —
своей скоростью относительно воды. Следовательно, время, которое катер плыл от пункта до ,
удаляясь от плота, равно времени, которое катер плыл от пункта до встречи с плотом. Значит,
отношение путей, пройденных катером от пункта до и от до плота, равно отношению его
скоростей по и против течения, то есть отношение скоростей равно = . Таким же, и по тем же
соображениям, будет отношение путей, пройденных катером от пункта до второй встречи с
плотом и от первой встречи до пункта . Таким образом, катер нагонит плот в 5 км от пункта .
Ответ: 5.
Решение (алгебраическое).
Способ 1
Пусть скорость катера к , скорость плота равна скорости течения реки и равна п , – время в пути
катера, а соответственно и плота. Так как расстояние между и равно 20 км, то до встречи с
плотом катер проплыл к.ср. = 20 + 16, а плот проплыл п = 4. Значит, к.ср. = 9 п .
Пусть км проплыл плот до следующей встречи с катером. Тогда катер проплывает 36 км за то же
время, что плот 4 км. Значит, катер проплывет (4 + 4 + ) км за то же время, что плот км.
Отсюда, =
, 36 = 4(8 + ), 32 = 32, = 1 (км). Значит, катер догонит плот на расстоянии
4+1 =5 км от пункта .
Ответ: 5 км.
Способ 2
Пусть — скорость катера,
следует уравнение:
+
(*) получаем, что
— скорость течения, z — искомое расстояние. Из первой встречи
= (*). Из второй встречи следует, что
+
+
= (**). Из
= 9 . Подставляя найденное соотношение в (**), получим, что = 5.
Ответ: 5.
Способ 3
Пусть
— скорость катера,
путь от
до ;
— скорость течения. Тогда
— расстояние, пройденное плотом за тоже время; (
встретится плот и катер, плывущий впервые из
20
20 − +
( − )+
+
Аналогично составляем искомое выражение.
−
− ,
— время, за которое катер пройдет
+
)
— время, за которое
. Из условия задачи получаем уравнение:
20
+
+
= 4.
(1)
—время, за которое пройдет катер путь
— расстояние, которое пройдет плот за это время.
(
)
— время, за
которое катер догонит плот, следуя вторично из .
(
)
+
+
—время, прошедшее от
начала движения до второй встречи. Тогда искомое выражение:
20
20
+ + −
( + )−
Из (1) следует, что
Ответ: 5.
=1⇔
+
20
20
+
+
−
.
= 9 . Подставляя найденное соотношение в (2), получаем 5.
(2)