"продвинутые" младшие

Квадратный трёхчлен
1.
Миша решил уравнение x 2 + bx + c = 0 и сообщил Диме оба
коэффициента и оба корня, но не сказал что из них что. Сможет ли Дима
узнать какое уравнение решал Миша, если все числа различные?
2. Решите уравнение:
( x − b)( x − c)
( x − a)( x − c)
( x − a)( x − b)
a2
+ b2
+ c2
− x2 = 1 − 2x
(a − b)(a − c)
(b − a)(b − c)
(c − a)(c − b)
( a, b, c – различные числа).
3.
Значения квадратного трёхчлена p ( x ) = x 2 + ax + b в двух
последовательных целых точках – соответственно квадраты двух
последовательных натуральных чисел. Докажите, что значения трёхчлена во
всех целых точках – точные квадраты.
4. Сколько квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами
x 2 + bx + c имеет целые корни, если b + c = 30 ?
5.
Пусть ax 2 + 2bx + c , cx 2 + 2ax + b , bx 2 + 2cx + a - квадратные
трёхчлены с положительными коэффициентами, причём каждый из них имеет
корень. Докажите, что a = b = c .
6.
На доске записано уравнение x 2 + 2 x ⋅ ?+ 3 ⋅ (?+ ?) = 0 . Докажите,
что любую тройку попарно различных целых чисел можно так расставить в
уравнении вместо вопросительных знаков, что полученное уравнение будет
иметь, по крайней мере, один корень.
7.
Известно, что хотя бы один из трёхчленов x 2 + ax + b ,
x 2 + a 2 x + b 2 , x 2 + a 3 x + b 3 ,… имеет вещественные корни. Докажите, что из
этого множества трёхчленов можно выбрать бесконечно много трёхчленов,
имеющих вещественные корни.
8.
Найдите все квадратные трёхчлены
P( x ) с целыми
коэффициентами,
удовлетворяющие
при
всех
x
неравенствам:
x 2 + x + 1 ≤ P( x ) ≤ 2 x 2 + 2 x + 2
9.
На доске записан квадратный трёхчлен P( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 .
P( x + 1) + P( x − 1)
Вместо трёхчлена P( x ) записывают трёхчлен
, а исходный
2
трёхчлен стирают. Докажите, что через несколько таких замен получится
трёхчлен, не имеющий корней.
Индукция и процессы
Последовательное конструирование
1. Придумайте три различных натуральных числа, чтобы каждое из них
делило сумму остальных.
2. Придумайте четыре, пять, …, десять различных натуральных чисел,
чтобы каждое из них делило сумму остальных.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
3. Представьте число 1 в виде суммы а) трех б) четырех в) десяти
различных дробей с числителем 1.
4. Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов (не
обязательно одинаковых) для любого n, начиная с 6.
5. Докажите, что любое целое число рублей, большее семи, можно
уплатить только трешками и пятерками.
6. Имеется 2004 бочки с водой. В первой – 1 литр, во второй – 2 литра, в
третьей – 3 литра,…, в 2004-й – 2004 литра. Имеется также два ковша
вместимостью 3 литра и 5 литров. Вылейте ковшами всю воду из бочек с
соблюдением условия: при каждом зачерпывании в бочке ковши должны
наполняться доверху.
7. У входа в пещеру с сокровищами стоит бочка с 4 дырками по кругу в
крышке. В каждой дырке можно нащупать селедку хвостом вверх или вниз.
Али-Баба может просунуть руки в любые две дырки, определить положение
селедок под ними и, если хочет, перевернуть одну или обе по своему
усмотрению. Когда хвосты всех четырех селедок окажутся направленными в
одну сторону, дверь в пещеру откроется. Однако, после того, как Али-Баба
вытаскивает руки, бочка некоторое время с дикой скоростью крутится, так
что Али-Баба не может определить, куда именно он совал руки раньше. Как
Али-Бабе открыть дверь?
8. Верно ли, что среди любых десяти отрезков найдутся три, из которых
можно составить треугольник?
9.
Найдите сумму
1
1+ 2
+
1
2+ 3
+K+
1
99 + 100
.
10. Из квадрата клетчатой бумаги размером 16×16 вырезали одну клетку.
Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на трехклеточные
уголки.
11. Маляр может за один ход перейти на соседнюю по стороне клетку
шахматной доски, после этого он должен перекрасить ее в противоположный
цвет. Маляр ставится на угловую клетку доски, где все клетки белые.
Докажите, что он может покрасить доску в шахматном порядке.
Метод математической индукции
1. (Игра "Ханойская башня") Имеется пирамида с n кольцами
возрастающих размеров и еще два пустых стержня той же высоты.
Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но
при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что
можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней.
n
2. Докажите, что башню можно переложить за 2 –1 ходов.
3. Плоскость поделена на области несколькими прямыми. Докажите,
что эти области можно раскрасить в два цвета так, чтобы любые две соседние
области были раскрашены в различные цвета. (Соседние области – это
области, имеющие общий участок границы.)
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
4. Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на n
правильных треугольников для любого n≥6.
5. Жили-были два любителя головоломок. Один работал королем,
второй сидел в королевской тюрьме. Нехорошо держать в тюрьме коллегу, –
подумал как-то король, – но и освобождать просто так не годится.” На
следующий день узника привели к королю. Король вручил ему два
одинаковых квадратных листа фанеры, каждый из которых был разлинован
на 100 одинаковых квадратных клеток. “Сначала ты вырежешь из одного
листа четыре фигуры общей площадью в 99 клеток, – сказал король. – Потом
я отмечу одну из клеток второго листа, а ты должен будешь наложить
вырезанные фигуры на второй лист так, чтобы они полностью закрывали все
его клетки, кроме отмеченной. Справишься – освобожу, не справишься – не
обессудь.” Есть ли у узника возможность вырезать такие фигуры, чтобы
наверняка (независимо от того, какую клетку укажет король) выйти на
свободу?
6. На плоскости даны N прямых общего положения. Найти число
частей, на которые они делят эту плоскость.
7. В компании из k человек (k>3) у каждого появилась новость,
известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг
другу все известные им новости. Докажите, что за 2k–4 разговора все они
могут узнать все новости.
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com