Лабораторная работа № 6 ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЩОННОЙ

Лабораторная работа № 6
ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЩОННОЙ РЕШЕТКИ
Дифракцией света называется явление, состоящее в отклонении направления
распространения световых волн от направлений, определяемых геометрической оптикой. В частности, дифракция света возникает при прохождении световых волн
вблизи непрозрачных преград, через отверстия в них и т.д.
В результате дифракции возникает перераспределение интенсивности световых волн, приводящее к появлению светлых и темных участков – дифракционной
картине. Образование дифракционной картины может быть объяснено с помощью
использования принципа Гюйгенса-Френеля, согласно которому каждая точка волнового фронта световой волны является источником когерентных вторичных волн,
интерферирующих друг с другом.
Рис.1. К исследованию дифракции при освещении дифракционной решетки
пучком параллельных лучей. ДР – дифракционная решетка, Л – линза, в фокальной
плоскости которой наблюдается дифракционная картина.
Дифракционная решетка представляет собой систему большого числа периодически повторяющихся параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками. Простейшая дифракционная решетка представляет собой стеклянную
или зеркальную металлическую пластинку, на которой нанесено много (до сотен
тысяч) равноотстоящих параллельных штрихов. Штрихи рассеивают свет и являются практически непрозрачными не отражающими промежутками между неповрежденными частями пластинки – щелями. На стеклянных решетках наблюдения обычно проводятся в проходящем через решетку свете, на металлических – только в отраженном. Сумму ширины прозрачного промежутка b и непрозрачного a называет
постоянной дифракционной решетки или ее периодом d = a+b (рис.1).
Если дифракционная решетка освещается параллельным пучком света (плоский фронт волны), то вспомогательные источники света, интерференция лучей которых, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, описывает дифракционную картину,
можно разместить на любой поверхности, расположенной за источником света.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Удобно выбрать в качестве такой поверхности плоскость, проходящую через N щелей (N – общее число штрихов дифракционной решетки). В этом случае вспомогательными источниками будут являться все точки этой плоскости, расположенные в
каждой из щелей. Эти вторичные источники являются когерентными и лучи, идущие от них, интерферируют между собой, создавая максимумы и минимумы интенсивности (дифракционную картину) в плоскости наблюдения.
Дифракционная картина может наблюдаться в параллельных лучах, и тогда
она носит название дифракции Фраунгофера. При дифракции Фраунгофера дифракционная картина расположена в бесконечно удаленной плоскости. Для наблюдения картины в плоскости, расположенной на конечном расстоянии от дифракционной решетки, необходима линза, поставленная на пути дифрагировшего света.
Дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости этой линзы (рис.1).
Выясним характер дифракционной картины, получающейся в фокальной
плоскости линзы при перпендикулярном падении на решетку плоской световой
волны. При дифракции на каждой отдельно взятой щели получается дифракционное
изображение щели, представляющее собой центральный максимум интенсивности
света, к которому примыкает система минимумов и максимумов (рис.2а). Максимум интенсивности света соответствует центральному участку спектра. Расположен
центральный максимум на пересечении главной оптической оси с фокальной плоскостью линзы, независимо от положения щели. Положение минимумов интенсив
ности дифракционной картины тоже не зависит от положения щели, а определяется
лишь углом дифракции
sin ϕ min = ±
kλ
b
(1)
Рис.2. а) вид дифракционной картины, б) распределение интенсивности света при
дифракции на одной щели.
Распределение интенсивности света в зависимости от угла дифракции ϕ при
дифракции на одной щели представлено на рис. 26. Выясним характер дифракционной картины, получающейся при падении на решетку плоской световой волны
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
(волновые поверхности параллельны плоскости решетки). Каждая из щелей даст в
фокальной плоскости линзы картину, описываемую графиком, изображенным на
рис. 26. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место фокальной плоскости линзы. Если бы колебания, приходящие в точку наблюдения Р от различных
щелей, были некогерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы
от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли
бы в N раз. Однако колебания от различных щелей являются когерентными. Результирующая интенсивность при наложении когерентных колебаний зависит от фазовых соотношениймежду ними, и распределение интенсивности при дифракции света на решетке резко отличается от распределения интенсивности при дифракции на
одной щели. Интенсивность света Iϕ, распространяющегося под утлом дифракции ϕ
к нормали после дифракции на решетке, имеющей N щелей, описывается выражением
2
 sin u   sin Nδ 
Iϕ = I 0 
 

 u   sin δ 
2
(2)
2
πb
πd
 sin u 
sin ϕ . Множитель 
где u = sin ϕ , δ =
 характеризует распределение интенλ
λ
 u 
сивности в результате дифракции плоской волны на каждой отдельной щели, а
2
sin Nδ 
множитель 
 учитывает интерференцию между пучками, исходящими из
 sin δ 
всех щелей. Множитель I0 определяет величину потока энергии, излучаемого в направлении ϕ = 0, т.е. потока энергии недифрагировавшего света. Из рисунка 1 следует, что в случае перпендикулярного падения монохроматического света на прозрачную дифракционную решетку под углами дифракции ϕ, определяемыми равенством
d sin ϕ = mλ
(3)
где λ – длина падающей световой волны; m – любое целое число, будут наблюдаться максимумы, интенсивность которых зависит от числа щелей:
I max = N 2 I ϕ
где Iϕ – интенсивность, создаваемая в направлении ϕ одной щелью. Общее число
щелей для решеток N ≈ 105 , поэтому Imax очень велика. Эти максимумы называются
главными, а число m называется порядком главного максимума или порядком спектра. Максимум нулевого порядка (m = 0) только один, максимумов первого, второго
и т.д. порядков по два (m = ±1, ±2 и т.д.). Расположены они слева и справа от максимума нулевого порядка.
Кроме минимумов, получающихся при дифракции света на каждой щели
( b sin ϕ min = ± kλ ), в промежутках между соседними главными максимумами имеется
по (N-1) добавочному минимуму. Эти минимумы возникают в тех направлениях,
для которых колебания от отдельных щелей взаимно гасят друг друга. Направления
на добавочные минимумы, примыкающие к m-ному максимуму определяются условием
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Рис.3. Распределение интенсивности света при дифракции на решетке (N=4, d/b =3).
P

d sin ϕ =  m ± λ
N

(4)
где Р = 1, 2, ….., (N-1) .Между этими минимумами находятся побочные, или дополнительные, максимумы; их интенсивность при достаточно большом N пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов. График распределения интенсивности по углам дифракции ϕ при дифракции света на решетке представлен на рис.3. Из условия d sin ϕ = mλ видно, что положения максимумов зависят
от длин волн, поэтому при падении на решетку света сложного спектрального состава, он разлагается в спектр. Для угла дифракции ϕ = 0 условие максимума удовлетворяется для всех длин волн, т.е. в направлении падающего света наблюдается
не разложенная в спектр светлая полоса или максимум нулевого порядка. Два знака
(±) для всех остальных значений m соответствуют двум системам спектров, расположенных симметрично справа и слева от максимума нулевого порядка. Цветные
линии, из которых состоят спектры т-ных порядков, соответствуют максимумам
интенсивности тех длин волн, которые содержатся в спектре источника света. Предельное число спектров, которое можно получить при нормальном падении света на
дифракционную решетку, вычислим, положив в выражении (3) sinϕ = 1: mmax = d λ .
Основными характеристиками дифракционной решетки как спектрального
прибора являются ее разрешающая способность R и дисперсия D.
Разрешающая способность R – безразмерная величина, равная отношению длины
волны λ, вблизи которой определяется разрешение, к спектральному разрешаемому
расстоянию ∆λ: R = λ / ∆λ . Спектральное разрешаемое расстояние определяет наименьшую разность длин волн двух спектральных линий ∆λ, при которой любой
спектральный аппарат разрешает эти линии. Если λ2 − λ1 < ∆λ , то обе линии воспринимаются как одна, если же λ2 − λ1 ≥ ∆λ , то линии видны раздельно.
По критерию Релея две длины волны одинаковой интенсивности видны раздельно, если интенсивность в минимуме между ними составляет 0,8 от интенсивности в максимуме. Так как спектральные линии с различными длинами волн не когерентны, то результирующая интенсивность найдется простым сложением интенсивностей обеих линий. Для дифракционной решетки критерий Релея выполняется,
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
если максимум интенсивности длины волны λ+∆λ совпадает по своему положению
с первым минимумом интенсивности в том же порядке спектра для длины волны λ,
т.е. ϕ max (λ + ∆λ ) = ϕ min (λ ) или
m (λ + ∆λ )
λ
= (m + 1)λ , откуда R =
= mN .
d
∆λ
(5)
Разрешающая способность увеличивается при переходе к спектрам более высокого
порядка (при данном N). Максимальная разрешающая способность дифракционной
решетки
J (λ )
1
Nd
,(6)
λ
т.е. определяется общей шириной решетки Nd.
Как правило, большая разрешающая способность достигается за счет большого количества
штрихов.
0,8
0,6
0,4
0,2
λ
Rmax = mmax N =
λ΄=λ+δλ
Рис.4. Критерий Рэлея разрешения спектральных линий
Угловая дисперсия D определяет угловое расстояние между двумя спектральными
линиями, отличающимися по длинам волн на единицу:
D=
dϕ
dλ
Из условия наблюдения главных максимумов, дифференцируя левую и правую
часть (3), получаем, что для дифракционной решетки угловая дисперсия
D=
m
d cosϕ
(7)
Дифракционная решетка является спектральным прибором, предназначенным для
разложения света в спектр и измерения длин волн. Для определения длины световой
волны нужно знать период решетки и измерить угол дифракции данной волны.
Методика эксперимента. Описание установки
Принципиальная оптическая схема установки для наблюдения спектрального
разложения световых волн с помощью прозрачной дифракционной решетки показана на рис. 5. S – щель, освещаемая источником света А; О1 – коллиматорный объектив, ДР – дифракционная решетка, О2 – объектив зрительной трубы, в фокальной
плоскости ФП которого наблюдается дифракционная картина.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
Измерения производятся на гониометре – приборе, предназначенном для точных измерений углов. Он состоит из массивного штатива, на котором вокруг общей
вертикальной оси вращаются зрительная труба и разделенный на градусы отсчетный круг (лимб). На том же штативе укреплена неподвижно другая труба – коллиматор, служащий для получения параллельного пучка световых лучей. Ширина
входной щели коллиматора регулируется с помощью винта. Над лимбом находится
столик, который может вращаться около общей оси прибора. В данной работе на
столике устанавливается дифракционная решетка. Лучи от источника света А
(рис.5) попадают на щель коллиматора, собираются объективом О1 и вы ходят из
него в виде параллельного пучка, на пути которого поставлена дифракционная решетка. Дифракционная картина образуется в фокальной плоскости объектива О2 и
рассматривается через окуляр. Вблизи фокальной плоскости окуляра помещается
прозрачная пластинка с меткой в виде креста, которая при измерениях наводится на
ту или иную спектральную линию. Резкого изображения креста добиваются перемещением окуляра.
Зрительная труба жестко соединена с двумя диаметрально расположенными
круговыми нониусами, которые при повороте зрительной тру бы перемещаются
вдоль делений лимба. В данной работе отсчеты производятся по одному из нониусов (любому). Точность отсчета углов по круговому нониусу одна угловая минута.
Требования безопасности труда полностью соответствуют «Инструкции Ф-36 на
безопасное выполнение работ в оптической лаборатории общего физического практикума».
Порядок выполнения работы.
Подготовка установки к измерениям.
1. Перед щелью коллиматора установите и включите спектральную лампу, например, ртутную.
2. Ось коллиматора должна быть перпендикулярна оси вращения столика гониометра. Проверьте и, если нужно, исправьте установку коллиматора. Затем установите щель в фокальной плоскости объектива коллиматора. Для этого необходимо направить на коллиматор зрительную трубу и получить в фокальной плоскости объектива зрительной трубы изображение щели. Вдвигая и выдвигая патрубок со щелью,
получите резкое изображение щели.
3. На столик гониометра установите дифракционную решетку так, чтобы штрихи ее
были вертикальны, т.е. параллельны щели коллиматора и вертикальной оси вращения столика, а ее плоскость перпендикулярна к оси коллиматора.
Задание 1. Определение постоянной d дифракционной решетки.
1. Установите крест нитей зрительной трубы гониометра на неотклоненный луч
(при перпендикулярном падении света на решетку положение максимума нулевого
порядка совпадает с местом, где не отклоненный луч пересекает фокальную плоскость объектива зрительной трубы) и произведите отсчет положения зрительной
трубы по нониусу α0.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
2. Вращая зрительную трубу влево, пока в ней не появится желтая линия спектра
первого порядка (λ = 578 нм), наведите на нее крест нитей и производят отсчет по
нониусу α1.
3. Продолжая вращать трубу, найдите желтую линию в спектре второго порядка,
наведите на нее крест и произведите отсчет α2. Такие же отсчеты положения желтой
линии α1/ , α 2/ произведите по другую сторону неотклоненного луча (т.е. при вращении зрительной трубы вправо от максимума нулевого порядка). Результаты измерений запишите в таблицу. Каждый отсчет нужно делать не менее 3 раз.
4. По формуле (1) вычислите постоянную дифракционной решетки d.
5. Оцените систематическую и случайную погрешности измерений.
Задание 2. Определение разрешающей способности решетки
Миллиметровой линейкой измерьте длину решетки h. Зная постоянную решетки d,
по формуле N = h / d найдите число штрихов решетки. Порядок дифракционного
спектра m, входящий в выражение для разрешающей способности, надо взять из
опыта, определив, какой из наивысших порядков дифракционных спектров имеет
еще достаточную для наблюдения интенсивность. По формуле R = Nm рассчитайте
разрешающую способность дифракционной решетки. Данный метод расчета разрешающей способности решетки является приближенным, так как он предполагает,
что освещены и работают все щели решетки.
Задание 3. Определение длин волн спектра паров ртути и угловой дисперсии дифракционной решетки.
1. Осветите щель коллиматора ртутной лампой. Установите дифракционную решетку на столик гониометра, наведите крест нитей и зрительной трубе гониометра на
неотклоненный луч и производят отсчет по нониусу α0.
2. Аналогично измерениям, описанным в упражнении 1, производится отсчёт положения зеленой линии спектров первого и второго порядков по обе стороны неотклоненного луча. Результаты отсчетов заносят таблицу.
3. По формуле λ =
d sin ϕ
вычислите длину волны зеленой линии спектра ртути и
m
вычисленное значение длины волны сравните с табличным.
4. Угловую дисперсию дифракционной решетки для спектров первого и второго порядков вычислите по формуле
D=
ϕ желтой − ϕ зеленой
λ жетлой − λ зеленой
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com
α0= 1)
2)
<α0>
3)
Отсчеты положения отклоненных лучей
C=mλ/sinϕ
<α> ϕ=α0-<α>
Отсчеты положения
неотклоненного луча
<C>
Поα
рядок
спектра
1
α1 1)
2)
3)
/
α1 1)
2)
3)
2
α2 1)
2)
3)
/
α 2 1)
2)
3)
Контрольные вопросы
1. Нарисуйте ход лучей для случая перпендикулярного падения света на прозрачную дифракционную решетку. Где наблюдается дифракционная картина? Покажите
на рисунке место, где наблюдается максимум нулевого и любого m-ного порядка.
2. Запишите формулу для определения длины световой волны с помощью дифракционной решетки.
3. Что называется разрешающей способностью спектрального прибора? От чего зависит разрешающая способность дифракционной решетки?
4. Опишите вид дифракционной картины, получающейся при освещении дифракционной решетки монохроматическим и белым светом.
5. Для чего применяется дифракционная решетка?
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version www.pdffactory.com