Чельцов Иван Анатольевич БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ЖЕСТКОСТЬ

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Â.À.ÑÒÅÊËÎÂÀ
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÀÊÀÄÅÌÈÈ ÍÀÓÊ
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
×åëüöîâ Èâàí Àíàòîëüåâè÷
ÓÄÊ: 512.76
ÁÈÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÆÅÑÒÊÎÑÒÜ, ÔÀÊÒÎÐÈÀËÜÍÎÑÒÜ
È ÐÀÑÑËÎÅÍÈß ÍÀ ÝËËÈÏÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÊÐÈÂÛÅ
01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë
Àâòîðåôåðàò
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
äîêòîðà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ìîñêâà 2005
Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàáîòû.
Àêòóàëüíîñòü òåìû èññëåäîâàíèé.
Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ñëåäóþùèì òåñíî ñâÿçàííûì ìåæäó ñîáîé òåìàì:
• áèðàöèîíàëüíàÿ æåñòêîñòü ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñòåïåíè 5, 6, 7 è 8;
• íîâûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà Q-ôàêòîðèàëüíîñòè òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé;
• áèðàöèîíàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ âçâåøåííûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé.
Áèðàöèîíàëüíàÿ æåñòêîñòü.
Ïðîáëåìà ðàöèîíàëüíîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç íàèáîëåå ãëóáîêèõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ãëîáàëüíûå ãîëîìîðôíûå äèôôåðåíöèàëüíûå ôîðìû ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè áèðàöèîíàëüíûìè
èíâàðèàíòàìè íåîñîáîãî ìíîãîîáðàçèÿ, êîòîðûå ïîëíîñòüþ ðåøàþò ïðîáëåìó ðàöèîíàëüíîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ êðèâûõ è ïîâåðõíîñòåé.  òðåõìåðíîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò
íåðàöèîíàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ, êîòîðûå î÷åíü áëèçêè ê ðàöèîíàëüíûì, è äèñêðåòíûõ èíâàðèàíòîâ íå õâàòàåò äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàöèîíàëüíîñòè. Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ïîëó÷åí Â.À. Èñêîâñêèõ è Þ.È. Ìàíèíûì1.
Òåîðåìà 1.
Ïóñòü V íåîñîáàÿ òðåõìåðíàÿ êâàðòèêà. Òîãäà Bir(V ) = Aut(V ).
Çíà÷èò, íåîñîáûå êâàðòèêè â P4 íåðàöèîíàëüíû, îòêóäà ñëåäóåò îòðèöàòåëüíîå
ðåøåíèå ïðîáëåìû Ëþðîòà â ðàçìåðíîñòè 3, ïîñêîëüêó êâàðòèêà
x4 + xw3 + y 4 − 6y 2 z 2 + z 4 + t4 + t3 w = 0 ⊂ Proj C[x, y, z, t, w] ∼
= P4
óíèðàöèîíàëüíà è íåîñîáà. Ìåòîä, èñïîëüçîâàííûé Â.À. Èñêîâñêèõ è Þ.È. Ìàíèíûì
äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1, íàçûâàåòñÿ
.
Èçâåñòíî ÷åòûðå ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà íåðàöèîíàëüíîñòè ðàöèîíàëüíî ñâÿçíûõ
ìíîãîîáðàçèé, íî òîëüêî ìåòîä ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé ïðèìåíèì äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàöèîíàëüíîñòè îòäåëüíî âçÿòîãî ðàöèîíàëüíî ñâÿçíîãî ìíîãîîáðàçèÿ
ðàçìåðíîñòè áîëüøå òðåõ. Ìåòîä ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé ïîëó÷èë ñâîå äàëüíåéøåå ðàçâèòèå â ðàáîòàõ Â.À. Èñêîâñêèõ, Â.Ã. Ñàðêèñîâà è À.Â. Ïóõëèêîâà, ÷òî
2
.
ïðèâåëî ê âîçíèêíîâåíèþ ïîíÿòèÿ
ìåòîäîì ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé
áèðàöèîíàëüíî æåñòêîãî ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî
Ïóñòü X ìíîãîîáðàçèå Ôàíî ñ òåðìèíàëüíûìè è Q-ôàêòîðèàëüíûìè îñîáåííîñòÿìè, òàêîå ÷òî rk Pic(X) = 1. Òîãäà ìíîãîîáðàçèå X íàçûâàåòñÿ
áèðàöèîíàëüíî æåñòêèì, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
• ìíîãîîáðàçèå X íå ìîæåò áûòü áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîåíî â òàêîå ìíîãîîáðàçèå Y , ÷òî ñóùåñòâóåò ðàññëîåíèå τ : Y → Z , ãäå dim(Y ) > dim(Z) 6= 0, à
îáùèé ñëîé ðàññëîåíèÿ τ èìååò ðàçìåðíîñòü Êîäàèðû ðàâíóþ −∞;
• ìíîãîîáðàçèå X íå áèðàöèîíàëüíî ýêâèâàëåíòíî íèêàêîìó ìíîãîîáðàçèþ Ôàíî, êîòîðîå íåèçîìîðôíî ìíîãîîáðàçèþ X , íî òàêæå èìååò Q-ôàêòîðèàëüíûå
è òåðìèíàëüíûå îñîáåííîñòè è ãðóïïó Ïèêàðà ðàíãà 1.
Îïðåäåëåíèå 2.
 ÷àñòîíîñòè, áèðàöèîíàëüíî æåñòêîå ìíîãîîáðàçèå Ôàíî íå ìîæåò áûòü áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîåíî â ðàññëîåíèå íà ðàöèîíàëüíûå êðèâûå èëè ïîâåðõíîñòè. Áèðàöèîíàëüíî æåñòêèå ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî íåðàöèîíàëüíû.
Áèðàöèîíàëüíî æåñòêîå ìíîãîîáðàçèå Ôàíî X , èìåþùåå òåðìèíàëüíûå è Q-ôàêòîðèàëüíûå îñîáåííîñòÿìè, òàêîå ÷òî rk Pic(X) = 1, íàçûâàåòñÿ
áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêèì, åñëè Bir(X) = Aut(X)
Îïðåäåëåíèå 3.
1Â. À. Èñêîâñêèõ, Þ. È. Ìàíèí,
Òðåõìåðíûå êâàðòèêè è êîíòðïðèìåðû ê ïðîáëåìå Ëþðîòà //Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 86 1 (1971), 140166.
2È. À. ×åëüöîâ, Áèðàöèîíàëüíî æåñòêèå ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî // ÓÌÍ 60  5 (2005), 71160.
1
Íåîñîáàÿ òðåõìåðíàÿ êâàðòèêà áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêîå ìíîãîîáðàçèå Ôàíî. Áîëåå òîãî, îêàçàëîñü, ÷òî ìåòîä ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé ìîæåò áûòü ïðèìåíåí äëÿ äîêàçàòåëüñòâà áèðàöèîíàëüíîé æåñòêîñòè èëè áèðàöèîíàëüíîé ñâåðõæåñòêîñòè ìíîãîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî, èìåþùèõ íåáîëüøóþ ñòåïåíü, íî äàæå ïðè
íåáîëüøîì óâåëè÷åíèè ñòåïåíè ñëîæíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî äîêàçàòåëüñòâà äèñïðîïîðöèîíàëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ.
Âñå èçâåñòíûå ñïîñîáû äîêàçàòåëüñòâà áèðàöèîíàëüíîé æåñòêîñòè èëè áèðàöèîíàëüíîé ñâåðõæåñòêîñòè ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ÿâëÿþòñÿ êîìáèíàöèÿìè ïðèìåíåíèÿ
îïðåäåëåííûõ ëîêàëüíûõ íåðàâåíñòâ è ïðîåêòèâíîé òåõíèêè. Ïðè÷åì, ÷åì
ëîêàëüíîå íåðàâåíñòâî, òåì
äîëæíà áûòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîåêòèâíàÿ òåõíèêà. Íàïðèìåð, íåäàâíî Ì. Ìåëëà èñïîëüçîâàë ñèëüíûå ëîêàëüíûå íåðàâåíñòâà,
ñâÿçûâàþùåå êàíîíè÷åñêèå ïîðîãè òðåõìåðíûõ ëîã-ïàð è êðàòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ëèíåéíûõ ñèñòåì, äëÿ îáîáùåíèÿ òåîðåìû 1 ñëåäóþùèì îáðàçîì3.
ñëàáåå
ñèëüíåå
Ïóñòü X íîäàëüíàÿ òðåõìåðíàÿ êâàðòèêà â P4, òàêàÿ ÷òî îñîáåííîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè X ÿâëÿþòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûìè. Òîãäà X ÿâëÿåòñÿ
áèðàöèîíàëüíî æåñòêèì ìíîãîîáðàçèåì Ôàíî.
Òåîðåìà 4.
Àíàëîãè÷íûå ïðèìåðû êîìáèíàöèè ëîêàëüíûõ è ãëîáàëüíûõ ìåòîäîâ äëÿ äîêàçàòåëüñòâà áèðàöèîíàëüíîé æåñòêîñòè ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ìîæíî ïðèâåñòè â ëþáîé
ðàçìåðíîñòè, îäíàêî, ïðè ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè è èñïîëüçîâàíèè
ëîêàëüíûõ íåðàâåíñòâ îò ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî ÷àñòî òðåáóåòñÿ óäîâëåòâîðåíèÿ îïðåäåëåííûõ óñëîâèé îáùíîñòè äëÿ óñïåøíîãî ïðèìåíåíèÿ ãëîáàëüíûõ ïðîåêòèâíûõ ìåòîäîâ, ÷òî íå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü êîíêðåòíûå ïðèìåðû íåðàöèîíàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî.
ñëàáûõ
Ôàêòîðèàëüíîñòü.
Êàê âèäíî, íàïðèìåð, èç óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 4, òðåõìåðíûå íîäàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ âîçíèêàþò åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçëè÷íûõ âîïðîñîâ
àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Áåç óñëîâèÿ Q-ôàêòîðèàëüíîñòè óòâåðæäåíèå òåîðåìû 4
óæå íå âåðíî, ïîñêîëüêó îáùàÿ äåòåðìèíàíòàëüíàÿ òðåõìåðíàÿ êâàðòèêà íîäàëüíà
è ðàöèîíàëüíà. Åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü âîïðîñ î òîì, êàê êîëè÷åñòâî îñîáûõ òî÷åê
òðåõìåðíîé íîäàëüíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè âëèÿåò íà óñëîâèå Q-ôàêòîðèàëüíîcòè.
Ïóñòü V íîäàëüíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â P4 ñòåïåíè n. Òîãäà V èìååò Q-ôàêòîðèàëüíûå îñîáåííîñòè åñëè è òîëüêî åñëè ãðóïïà Cl(V ) ïîðîæäåíà êëàññîì
ãèïåð
ïëîñêîãî ñå÷åíèÿ. Ïîñëåäíåå óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó rk H4 V, Z = 1, êîòîðîå
ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî îñîáûå òî÷êè ìíîæåñòâà Sing(V ) íàêëàäûâàþò íåçàâèñèìûå
ëèíåéíûå óñëîâèÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè â P4 ñòåïåíè 2n − 5.
Ïóñòü ãèïåðïîâåðõíîñòü V çàäàíà óðàâíåíèåì
xg(x, y, z, t, w) + yf (x, y, z, t, w) = 0 ⊂ P4 ∼
= Proj C[x, y, z, t, w] ,
Ïðèìåð 5.
ãäå g è f îáùèå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè n−1. Òîãäà | Sing(V )| = (n−1)2 , a îñîáåííîñòè
ãèïåðïîâåðõíîñòè V íå ÿâëÿþòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûìè.
Èçâåñòíî, ÷òî êàæäàÿ íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü, ñîäåðæàùàÿñÿ â íîäàëüíîé ãèïåðïîâåðõíîñòè V , îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ äèâèçîðîì Êàðòüå íà V ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà |Sing(V )| < (n − 1)2 . Ìîæíî âûñêàçàòü ñëåäóþùåå ïðåäïîëîæåíèå.
Îñîáåííîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè V ÿâëÿþòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûìè ïðè
âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà | Sing(V )| < (n − 1)2.
Ãèïîòåçà 6.
3M. Mella,
Birational geometry of quartic 3-folds II: the importance of being Q-factorial // Mathematische Annalen 330 (2004), 107126.
2
Ïóñòü π : X → P3 äâîéíîå íàêðûòèå, êîòîðîå ðàçâåòâëåíî íàä íîäàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ S ⊂ P3 ñòåïåíè 2r. Òîãäà Q-ôàêòîðèàëüíîñòü ìíîãîîáðàçèÿ X ýêâèâàëåíòíà ÷èñòî òîïîëîãè÷åñêîìó óñëîâèþ rk H4 (X, Z) = 1, êîòîðîå ýêâèâàëåíòíî òîìó,
÷òî îñîáûå òî÷êè ïîâåðõíîñòè S íàêëàäûâàþò íåçàâèñèìûå ëèíåéíûå óñëîâèÿ íà
ïîâåðõíîñòè â P3 ñòåïåíè 3r − 4. Èçâåñòíî, ÷òî îñîáåííîñòè ìíîãîîáðàçèÿ X ÿâëÿþòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûìè â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðóïïà Cl(X) ïîðîæäåíà
êëàññîì π ∗ (H), ãäå H ãèïåðïëîñêîñòü â P3 .
Ïðèìåð 7.
4 τ 2 x2 − y
2
Ïóñòü r = 3, à S ñåêñòèêà Áàðòà, êîòîðàÿ çàäàíà óðàâíåíèåì
2
τ 2 y 2 − z 2 τ 2 z 2 − x2 = t2 1 + 2τ x2 + y 2 + z 2 − t2 ⊂ Proj C[x, y, z, t] ,
√
ãäå τ = 1+2 5 . Òîãäà S íîäàëüíà è |Sing(S)| = 65. Ïðè÷åì, ñóùåñòâóåò äåòåðìèíàíòàëüíàÿ íîäàëüíàÿ êâàðòèêà Y ⊂ P3 , èìåþùàÿ 42 îñîáûå òî÷êè, òàêàÿ ÷òî äèàãðàììà
Y
ρ

X
π
/ P4
γ
/ P3
êîììóòàòèâíà, ãäå γ ïðîåêöèÿ èç îñîáîé òî÷êè êâàðòèêè Y , à ρ áèðàöèîíàëüíîå
îòîáðàæåíèå. Ìíîãîîáðàçèå X ðàöèîíàëüíî è íå ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì.
Âñå ìàëûå ðàçðåøåíèÿ îñîáåííîñòåé ìíîãîîáðàçèÿ X íå ÿâëÿþòñÿ ïðîåêòèâíûìè,
åñëè X ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì. Ïðè÷åì, èçâåñòíî, ÷òî ìíîãîîáðàçèå X íåðàöèîíàëüíî ïðè r = 3, åñëè rk H4 (X, Z) = 1. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå Q-ôàêòîðèàëüíîñòè
íàêëàäûâàåò î÷åíü ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà áèðàöèîíàëüíóþ ãåîìåòðèþ íîäàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ X . Åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü âîïðîñ î òîì, êàê êîëè÷åñòâî îñîáûõ
òî÷åê âëèÿåò íà âûïîëíåíèå ÷èñòî òîïîëîãè÷åñêîãî óñëîâèÿ Q-ôàêòîðèàëüíîcòè.
Ïðèìåð 8.
(9)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî S çàäàíà óðàâíåíèåì
gr2 (x, y, z, t)
= h1 (x, y, z, t)f2r−1 (x, y, z, t) ⊂ P3 ∼
= Proj C[x, y, z, t] ,
ãäå gi , hi è fi îáùèå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè i. Òîãäà S íîäàëüíàÿ ïîâåðõíîñòüþ
ñòåïåíè 2r, ìíîãîîáðàçèå X íå ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì, íî |Sing(X)| = (2r − 1)r.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ íåîñîáàÿ ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîäåðæèòñÿ â íîäàëüíîì ìíîãîîáðàçèè X , ÿâëÿåòñÿ äèâèçîðîì Êàðòüå íà ìíîãîîáðàçèè X ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà |Sing(X)| < (2r − 1)r. Òàêèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ ãèïîòåçîé 6
ìîæíî âûñêàçàòü ñëåäóþùåå î÷åíü åñòåñòâåííîå ïðåäïîëîæåíèå.
Ãèïîòåçà 10.
Ïóñòü |Sing(X)| < (2r − 1)r. Òîãäà X ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì.
Ñóùåñòâóþò íå äî êîíöà îñîçíàííûå ñâÿçè ìåæäó âîïðîñîì Q-ôàêòîðèàëüíîñòè
òðåõìåðíûõ íîäàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé è òàêèì êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì ïðîåêòèâíîé ãåîìåòðèè êàê òåîðåìà ÊýëèÁàõàðàøà. À èìåííî, èçâåñòíî ñëåäóþùåå:
• ïðèìåðû 5 è 8 ìîãóò áûòü îáüÿñíåíû ñ ïîìîùüþ òåîðåìû ÊýëèÁàõàðàøà;
• äëÿ äîêàçàòåëüñòâà Q-ôàêòîðèàëüíîñòè òðåõìåðíûõ íîäàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé â äèññåðòàöèè äîêàçûâàåòñÿ âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò (ñì. ëåììó 20),
êîòîðûé òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îáîáùåíèÿ òåîðåìû ÊýëèÁàõàðàøà äëÿ
ãîðåíøòåéíåâûõ íóëüìåðíûõ ïîäñõåì ïðîåêòèâíûõ ïðîñòðàíñòâ;
• óòâåðæäåíèÿ ãèïîòåç 6 è 10 âûòåêàþò èç õîðîøî èçâåñòíîãî ãèïîòåòè÷åñêîãî
ìíîãîìåðíîãî îáîáùåíèÿ òåîðåìû ÊýëèÁàõàðàøà4, êîòîðîå äîêàçàíî òîëüêî
â íåñêîëüêèõ î÷åíü ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ.
4D. Eisenbud, M. Green, J. Harris,
CayleyBacharach theorems and conjectures // Bulletin of the American Mathematical Society 33 (1996), 295324.
3
Âçâåøåííûå ãèïåðïîâåðõíîñòè.
Ñ áèðàöèîíàëüíîé æåñòêîñòüþ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñâÿçàíî ìíîãî èíòåðåñíûõ çàäà÷, îäíà èç êîòîðûõ êëàññèôèêàöèÿ áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê â ðàññëîåíèÿ
íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå. Íàïðèìåð, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âñå áèðàöèîíàëüíûå ïåðåñòðîéêè íåîñîáîé òðåõìåðíîé êâàðòèêè â ðàññëîåíèÿ íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå
èíäóöèðîâàíû ïðîåêöèÿìè èç ïðÿìûõ, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â òðåõìåðíîé êâàðòèêå.
P
Ïóñòü X êâàçèãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â P(1, a1 , a2 , a3 , a4 ) ñòåïåíè d = 4i=1 ai ,
ãäå a1 6 a2 6 a3 6 a4 , à îñîáåííîñòè X òåðìèíàëüíû. Òîãäà X ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì ìíîãîîáðàçèåì Ôàíî è rk Pic(X) = 1, à äëÿ ïÿòåðêè (d, a1 , a2 , a3 , a4 ) èìååòñÿ
ðîâíî 95 âîçìîæíîñòåé, êîòîðûå áûëè íàéäåíû À. Èàíî-Ôëåò÷åðîì5.
Íàéäåííûå À. Èàíî-Ôëåò÷åðîì ãèïåðïîâåðõíîñòè ïðèíÿòî òåïåðü íàçûâàòü ìíîãîîáðàçèÿìè ÐèäàÔëåò÷åðà, ïîñêîëüêó ïîëó÷åííûé À. Èàíî-Ôëåò÷åðîì ñïèñîê
âîçìîæíûõ çíà÷åíèé äëÿ ïÿòåðêè (d, a1 , a2 , a3 , a4 ) â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò õîðîøî èçâåñòíîìó ñïèñêó ïîâåðõíîñòåé òèïà K3, êîòîðûé áûë íàéäåí ðàíåå, íî íå
îïóáëèêîâàí Ì. Ðèäîì. Ìíîãîîáðàçèÿ ÐèäàÔëåò÷åðà èìåþò öèêëè÷åñêèå ôàêòîðîñîáåííîñòè è ÿâëÿþòñÿ îðáèôîëäàìè. Ìíîãîîáðàçèÿ ÐèäàÔëåò÷åðà ñâÿçàíû ñî
ìíîãèìè âîïðîñàìè àëãåáðàè÷åñêîé è äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îáùåé.  ýòîì ñëó÷àå ãåîìåòðèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòè X áûëà äåòàëüíî èçó÷åíà À. Êîðòè, À.Â. Ïóõëèêîâûì è Ì. Ðèäîì,
êîòîðûå ïîëó÷èëè ñëåäóþùèé òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíûé ðåçóëüòàò6.
Òåîðåìà 11.
Ãèïåðïîâåðõíîñòü X áèðàöèîíàëüíî æåñòêà.
Ìíîãîîáðàçèÿ ÐèäàÔëåò÷åðà è çíà÷åíèÿ ïÿòåðêè (d, a1 , a2 , a3 , a4 ) ïðèíÿòî íóìåðîâàòü â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ àíòèêàíîíè÷åñêîé ñòåïåíè. Ïóñòü n ïîðÿäêîâûé íîìåð
ãèïåðïîâåðõíîñòè X ïðè òàêîé íóìåðàöèè. Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå:
3
= 4;
• ïðè n = 1 ãèïåðïîâåðõíîñòü X ÿâëÿåòñÿ íåîñîáîé êâàðòèêîé â P4 è −KX
• ïðè n = 2 ãèïåðïîâåðõíîñòü X ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ â P(1, 1, 1, 1, 5)
3
ñòåïåíè 5, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî −KX
= 5/2, à îñîáåííîñòè X ñîñòîÿò èç
1
åäèíñòâåííîé îñîáîé òî÷êè òèïà 2 (1, 1, 1);
• ïðè n = 3 ãèïåðïîâåðõíîñòü X ÿâëÿåòñÿ äâîéíûì íàêðûòèåì P3 ñ âåòâëåíè3
åì â íåîñîáîé ïîâåðõíîñòè ñòåïåíè 6 è −KX
= 2;
• ïðè n = 95 ãèïåðïîâåðõíîñòü X ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ â P(1, 5, 6, 22, 33)
3
= 1/330, à îñîáåííîñòè X ñîñòîÿò èç 5 îñîáûõ òî÷åê, êîòîñòåïåíè 66 è −KX
1
1
ðûå èìåþò òèï 5 (1, 2, 3), 12 (1, 1, 1), 31 (1, 1, 2) è 11
(1, 5, 6) ñîîòâåòñòâåííî;
• âî âñåõ ñëó÷àÿõ êðîìå n = 1 è n = 3 ãèïåðïîâåðõíîñòü X îáÿçàòåëüíî îñîáà.
Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ n, ñóùåñòâóþò áèðàöèîíàëüíûå èíâîëþöèè τ1 , . . . , τkn ãèïåðïîâåðõíîñòè X , ÿâíî ïîñòðîåííûå À. Êîðòè, À.Â. Ïóõëèêîâûì è Ì. Ðèäîì, òàêèå
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðóïï
1 → Γ → Bir(X) → Aut(X) → 1
òî÷íà, ãäå Γ ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ èíâîëþöèÿìè τ1 , . . . , τkn .
 ïðèíÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ âûïîëíåíî ñëåäóþùåå:
•
•
•
•
•
kn
kn
kn
kn
kn
= 5 ïðè n = 7;
= 3 ïðè n ∈ {4, 9, 17, 20, 27};
= 2 ïðè n ∈ {5, 6, 12, 13, 15, 23, 25, 30, 31, 33, 36, 38, 40, 41, 42, 44, 58, 61, 68, 76};
= 1 ïðè n ∈ {2, 8, 16, 18, 24, 26, 32, 43, 45, 46, 47, 48, 54, 56, 60, 65, 69, 74, 79};
= 0 â îñòàâøèõñÿ áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêèõ ñëó÷àÿõ.
5A. Iano-Fletcher, Working with weighted complete intersections // L.M.S. LNS 281 (2000), 101173.
6A. Corti, A. Pukhlikov, M. Reid, Fano 3-fold hypersurfaces // L.M.S. LNS 281 (2000), 175258.
4
Çàìå÷àíèå .
12 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî kn > 0 è n 6∈ {2, 7, 20, 36, 60}. Òîãäà a2 < a3 è äëÿ
êàæäîãî àâòîìîðôèçìà σ ∈ Bir(X) ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà
σ
X _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ X
ψ
ψ
P(1, a1 , a2 ) _ _ _ χ_ _ _/ P(1, a1 , a2 ),
ãäå χ áèðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå, à ψ åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ. Ïðè÷åì, íîðìàëèçàöèÿ îáùåãî ñëîÿ îòîáðàæåíèÿ ψ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, íà êîòîðîé
áèðàöèîíàëüíûå èíâîëþöèè τ1 , . . . , τkn äåéñòâóþò
.
îòðàæåíèÿìè
Áèðàöèîíàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è àðèôìåòèêà àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé.  ÷àñòíîñòè, êëàññèôèêàöèÿ âñåõ âîçìîæíûõ áèðàöèîíàëüíûõ
ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ðàññëîåíèÿ íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå ñâÿçàíà ñ
âîïðîñîì ïîòåíöèàëüíîé ïëîòíîcòè ðàöèîíàëüíûõ òî÷åê â ñëó÷àå êîãäà ãèïåðïîâåðõíîñòü X îïðåäåëåíà íàä ÷èñëîâûì ïîëåì (ñì. ñëåäñòâèå 27).  ñëó÷àå êîãäà
ãèïåðïîâåðõíîñòü X íåâîçìîæíî áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîèòü â ðàññëîåíèå íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå (ñì. òåîðåìó 22) ãåîìåòðèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòè X îïðåäåëÿåòñÿ
áèðàöèîíàëüíûìè ïåðåñòðîéêàìè â ðàññëîåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè òèïà K3, êîòîðûå
âñåãäà ñóùåñòâóþò. Òàêèì îáðàçîì, î÷åíü âàæíî ðàññìîòðåòü âîïðîñ êëàññèôèêàöèè
âñåõ âîçìîæíûõ áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ðàññëîåíèÿ íà
ïîâåðõíîñòè òèïà K3. Îäíàêî ðåøåíèå ïîñëåäíåé çàäà÷è òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíî
è ïðàêòè÷åñêè âîçìîæíî òîëüêî ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ïîëíîé êëàññèôèêàöèè áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ðàññëîåíèÿ íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå.
Öåëü ðàáîòû.
Îñíîâíàÿ öåëü äèññåðòàöèè ñîñòîèò â èññëåäîâàíèè áèðàöèîíàëüíîé ãåîìåòðèè
ñëåäóþùèõ ìíîãîîáðàçèé:
• ìíîãîìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñòåïåíè 5, 6, 7 è 8;
• òðåõìåðíûõ íîäàëüíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé â P4 ;
• äâîéíûõ íàêðûòèé P3 ñ âåòâëåíèåì â íîäàëüíûõ ïîâåðõíîñòÿõ;
• òðåõìåðíûõ âçâåøåííûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé Ôàíî.
 äèññåðòàöèè íàéäåíû íîâûå ëîêàëüíûå íåðàâåíñòâà, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû c ïîìîùüþ ìåòîäà ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé ê äîêàçàòåëüñòâó áèðàöèîíàëüíîé ñâåðõæåñòêîñòè ìíîãîîáðàçèé Ôàíî, ÷üÿ ñòåïåíü íå ïðåâûøàåò 8. Ïîñëåäíåå ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿåò ïðàêòè÷åñêóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé è ïîçâîëÿåò ñòðîèòü íîâûå ïðèìåðû íåðàöèîíàëüíûõ ðàöèîíàëüíî
ñâÿçíûõ ìíîãîîáðàçèé ëþáîé ðàçìåðíîñòè.
 äèññåðòàöèè òùàòåëüíî èññëåäîâàí âîïðîñ Q-ôàêòîðèàëüíîñòè òðåõìåðíûõ íîäàëüíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé, äâîéíûõ ïðîñòðàíñòâ è ïîëíûõ ïåðåñå÷åíèé â P5 .
 äèññåðòàöèè óñèëèâàåòñÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé äëÿ èçó÷åíèÿ áèðàöèîíàëüíîé ãåîìåòðèè îáùåé êâàçèãëàäêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè X ⊂ P(1, a1 , a2 , a3 , a4 ),
P
èìåþùåé ñòåïåíü 4i=1 ai . Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò ãëóáæå ïîíÿòü àðèôìåòèêó ìíîãèõ
ìíîãîîáðàçèé ÐèäàÔëåò÷åðà, êîòîðûå îïðåäåëåíû íàä ÷èñëîâûìè ïîëÿìè.
Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ.
 äèññåðòàöèè èñïîëüçóþòñÿ êàê îáùèå àëãåáðî-ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû òåîðèÿ
äèâèçîðîâ è ëèíåéíûõ ñèñòåì íà ìíîãîîáðàçèÿõ, òåîðèÿ ïåðåñå÷åíèé, òåîðèÿ êðàòíîñòåé, ñâîéñòâà îáùèõ ëèíåéíûõ ïðîåêöèé, òàê è ñïåöèôè÷åñêèå áèðàöèîíàëüíûå
ìåòîäû ìåòîä ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé, ïðîãðàììà Ñàðêèñîâà, ëîã-ïðîãðàììà
ìèíèìàëüíûõ ìîäåëåé, òåîðåìû Øîêóðîâà î ñâÿçíîñòè è îá îáðàùåíèè â íóëü.
5
Íàó÷íàÿ íîâèçíà.
Âñå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè ÿâëÿþòñÿ íîâûìè.
Ïîëó÷åí ïðèíöèïèàëüíî íîâûé îáùèé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà íåðàöèîíàëüíîñòè è
áèðàöèîíàëüíîé ñâåðõæåñòêîñòè ìíîãèõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñòåïåíè 5, 6, 7 è 8, îïèðàþùèéñÿ íà òåîðåìó Øîêóðîâà î ñâÿçíîñòè è ëîêàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîðòè.
Íàéäåí íîâûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà Q-ôàêòîðèàëüíîñòè òðåõìåðíûõ íîäàëüíûõ
ìíîãîîáðàçèé, îïèðàþùèéñÿ íà òåîðåìó Øîêóðîâà îá îáðàùåíèè â íóëü è ïðîåêòèâíûå ñâîéñòâà îáùèõ ëèíåéíûõ ïðîåêöèé, ÷òî òàêæå âûÿâèëî ñâÿçü ìåæäó òîïîëîãèåé
îñîáûõ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé è ñâîéñòâàìè ëîã-êàíîíè÷åñêèõ ïîðîãîâ.
Äåòàëüíî èññëåäîâàíà áèðàöèîíàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ òðåõìåðíûõ âçâåøåííûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé Ôàíî, ÷òî ïîçâîëèëî íàéòè âñå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îáðàçóþùèìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðóïï áèðàöèîíàëüíûõ àâòîìîðôèçìîâ, êëàññèôèöèðîâàòü âñå âîçìîæíûå áèðàöèîíàëüíûå ïåðåñòðîéêè ìíîãîîáðàçèé ÐèäàÔëåò÷åðà â ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå, à òàêæå óêàçàòü íà ãëóáîêóþ ñâÿçü ìåæäó áèðàöèîíàëüíîé ãåîìåòðèåé
òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî è ñâîéñòâàìè ýëëèïòè÷åñêèõ êðèâûõ.
Íàó÷íàÿ çíà÷èìîñòü ðàáîòû.
Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè, ïðîëèâàþò íîâûé ñâåò íà áèðàöèîíàëüíóþ ãåîìåòðèþ ìíîãîìåðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèé. Áîëåå òîãî, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿþò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà
ìàêñèìàëüíûõ îñîáåííîñòåé. Ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû óæå àêòèâíî
èñïîëüçóþòñÿ ìíîãèìè ìàòåìàòèêàìè âî âñåì ìèðå. Â ïðîöåññå ðàáîòû íàä äèññåðòàöèåé áûë îòêðûò íîâûé ïëàñò èíòåðåñíûõ çàäà÷, íàä êîòîðûìè óñïåøíî ðàáîòàþò
ìàòåìàòèêè Ðîññèè, Âåëèêîáðèòàíèè, Ãåðìàíèè, Èòàëèè, ÑØÀ è Þæíîé Êîðåè.
Àïðîáàöèÿ ðàáîòû.
Ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü íà ñåìèíàðå ïî àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè
â Ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, íà ñåìèíàðå ïî áèðàöèîíàëüíîé ãåîìåòðèè íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ èì. Â.À. Ëîìîíîñîâà,
íà ñåìèíàðàõ ïî àëãåáðàè÷åñêîé ãåîìåòðèè â Ëèâåðïóëüñêîì óíèâåðñèòåòå, Ýäèíáóðãñêîì óíèâåðñèòåòå, Ìàí÷åñòåðñêîì óíèâåðñèòåòå, Âàðâèêñêîì óíèâåðñèòåòå,
óíèâåðñèòåòå Ëàôáîðî, èíñòèòóòå Èñààêà Íüþòîíà â Êåìáðèäæå, Áåðëèíñêîì óíèâåðñèòåòå, Áàéðîéòñêîì óíèâåðñèòåòå, óíèâåðñèòåòå Äæîíà Õîïêèíñà, óíèâåðñèòåòà øòàòà Äæîðäæèè, ×èêàãñêîì óíèâåðñèòåòå, Õüþñòîíñêîì óíèâåðñèòåòå, óíèâåðñèòåòå øòàòà Âèñêîíñèí, Øàíõàéñêîì óíèâåðñèòåòå, Êîðåéñêîì èíñòèòóòå âûñøèõ
èññëåäîâàíèé, Ïîõàíãñêîì óíèâåðñèòåòå, Ôåððàðñêîì óíèâåðñèòåòå, Òóðèíñêîì óíèâåðñèòåòå, Ðèìñêîì óíèâåðñèòåòå, à òàêæå íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ (êîíôåðåíöèè ïî àëãåáðå â ÌÃÓ èì. Â.À. Ëîìîíîñîâà, êîíôåðåíöèè ïî àëãåáðàè÷åñêîé
ãåîìåòðèè â Ìàòåìàòè÷åñêîì Èíñòèòóòå èì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ, êîíôåðåíöèè ïî
ãåîìåòðè÷åñêèì ìåòîäàì â àëãåáðå â óíèâåðñèòåòå øòàòà Ìàéàìè, è äðóãèõ).
Ñòðóêòóðà è îáúåì ðàáîòû.
Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ, îäíà èç êîòîðûõ ñîäåðæèò âñïîìîãàòåëüíûé ìàòåðèàë, è ñïèñêà ëèòåðàòóðû èç 159 íàèìåíîâàíèé.
Îáúåì äèññåðòàöèè ñîñòàâëÿåò 187 ñòðàíèö.
Ïóáëèêàöèè.
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíû â 11 ðàáîòàõ, ñïèñîê êîòîðûõ
ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.
6
Ñîäåðæàíèå ðàáîòû.
Áèðàöèîíàëüíàÿ æåñòêîñòü.
Ïóñòü X ìíîãîîáðàçèå, òàêîå ÷òî X èìååò òåðìèíàëüíûå è Q-ôàêòîðèàëüíûå
îñîáåííîñòè, à O òî÷êà ìíîãîîáðàçèÿ X , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííîé îáûêíîâåííîé îñîáîé òî÷êîé ìíîãîîáðàçèÿ X , M ëèíåéíàÿ ñèñòåìà íà X , íå èìåþùàÿ
íåïîäâèæíûõ êîìïîíåíò, à λ ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, òàêîå ÷òî O ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì
êàíîíè÷åñêèõ îñîáåííîñòåé ïîäâèæíîé ëîã-ïàðû (X, λM), à îñîáåííîñòè ïîäâèæíîé
ëîã-ïàðû (X, λM) ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè âíå O. Ïóñòü α : V → X ðàçäóòèå
òî÷êè O, E èñêëþ÷èòåëüíûé äèâèçîð ìîðôèçìà α, à B ñîáñòâåííûé ïðîîáðàç
ëèíåéíîé ñèñòåìû M íà ìíîãîîáðàçèè V . Òîãäà âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå
B ∼Q α∗ (M) − mE,
ãäå m ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êðàòíîñòüþ ëèíåéíîé
ñèñòåìû M â òî÷êå O. Èçâåñòíî, ÷òî m > 1/λ, åñëè òî÷êà O íåîñîáà íà X .
 äèññåðòàöèè äîêàçàí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò, èìåþùèé ëîêàëüíóþ ïðèðîäó.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî dim(X) > 4, à òî÷êà O
ÿâëÿåòñÿ íåîñîáîé íà ìíîãîîáðàçèè X . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂ E , èìåþùåå êîðàçìåðíîñòü 2, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
Òåîðåìà 13.
(14)
multO S1 · S2 · H > 8/λ2 ,
ãäå S1 è S2 äîñòàòî÷íî îáùèå äèâèçîðû â ëèíåéíîé ñèñòåìå M, à H ýôôåêòèâíûé äèâèçîð íà ìíîãîîáðàçèè X , òàêîé ÷òî ìíîãîîáðàçèå L ñîäåðæèòñÿ â
ñîáñòâåííîì ïðîîáðàçå äèâèçîðà H íà ìíîãîîáðàçèè V , äèâèçîð H ÿâëÿåòñÿ íåîñîáûì â òî÷êå O è íå ñîäåðæèò ïîäìíîãîîáðàçèé ìíîãîîáðàçèé X êîðàçìåðíîñòè 2,
êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ â áàçèñíîì ìíîæåñòâå ëèíåéíîé ñèñòåìû M.
Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 13 â äèññåðòàöèè ïîëó÷åí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäóþùèå ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêè:
• íåîñîáàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â Pn ñòåïåíè n ∈ {6, 7, 8};
• îáùåå ïîëíîå ïåðåñå÷åíèå â P6 êâàäðèêè è êâàðòèêè;
• äâîéíîå íàêðûòèå íåîñîáîé êóáè÷åñêîé ãèïåðïîâåðõíîñòè â Pn ñ âåòâëåíèåì
â íåîñîáîì äèâèçîðå ñòåïåíè 6n − 18, ãäå n > 8;
• äâîéíîå íàêðûòèå íåîñîáîé ãèïåðïîâåðõíîñòè ñòåïåíè 4 â Pn ñ âåòâëåíèåì
â íåîñîáîì äèâèçîðå ñòåïåíè 8n − 32, ãäå n > 8;
• ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì òðîéíûì íàêðûòèåì íåîñîáîé
êâàäðèêè â Pn ñ âåòâëåíèåì â íåîñîáîì äèâèçîðå ñòåïåíè 3n
− 6, ãäå n > 8;
• äâîéíîå íàêðûòèå íåîñîáîãî ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êâàäðèê â Pn ñ âåòâëåíèåì â
íåîñîáîì äèâèçîðå ñòåïåíè 8n − 32, ãäå n > 9.
Òåîðåìà 15.
Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 15 ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïîñòðîåíèþ êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ
ìíîãîìåðíûõ íåðàöèîíàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé.
Ïðèìåð 16.
Ïóñòü Q íåîñîáàÿ êâàäðèêà
8
X
x2i = 0 ⊂ P8 ∼
= Proj C[x0 , . . . , x8 ] ,
i=0
à ψ : X → Q öèêëè÷åñêîå òðîéíîå íàêðûòèå ñ âåòâëåíèåì â äèâèçîðå
8
X
x2i = x50 x41 + x52 x43 + x54 x45 + x56 x47 = 0 ⊂ P8 ∼
= Proj C[x0 , . . . , x8 ]
i=0
íà êâàäðèêå Q. Òîãäà X íåîñîáî è áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêî ïî òåîðåìå 15.
7
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî O èçîëèðîâàííàÿ îáûêíîâåííàÿ äâîéíàÿ òî÷êà ìíîãîîáðàçèÿ X , íî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî dim(X) > 5. Èçâåñòíî, ÷òî âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî m > 1/λ. Ïóñòü S1 è S2 îáùèå äèâèçîðû â M. Ïîëîæèì òàêæå
X
m0 = 2m2 +
multP S̄1 · S̄2 ,
P ∈∆
ãäå S̄1 è S̄2 ñîáñòâåííûå ïðîîáðàçû äèâèçîðîâ S1 è S2 íà ìíîãîîáðàçèè V ñîîòâåòñòâåííî, à ∆ êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ Supp(S̄1 · S̄2 ),
äèâèçîðà E è ñîáñòâåííîãî ïðîîáðàçà íà ìíîãîîáðàçèè V ïåðåñå÷åíèÿ dim(X) − 2
îáùèõ ãèïåðïëîñêèõ ñå÷åíèé ìíîãîîáðàçèÿ X , ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó O.
 äèññåðòàöèè ïîëó÷åíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 17.
Âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî m0 > 6/λ2.
C ïîìîùüþ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 17 â äèññåðòàöèè äîêàçàí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäóþùèå îñîáûå ìíîãîîáðàçèÿ Ôàíî áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêè:
• ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ äâîéíûì íàêðûòèåì íåîñîáîé êóáè÷åñêîé
ãèïåðïîâåðõíîñòè â Pn ñ âåòâëåíèåì â äèâèçîðå ñòåïåíè 6n−18, îñîáåííîñòè
êîòîðîãî ñîñòîÿò èç èçîëèðîâàííûõ îáûêíîâåííûõ äâîéíûõ òî÷åê, ãäå n > 9;
• ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêèì òðîéíûì íàêðûòèåì íåîñîáîé
êâàäðèêè â Pn ñ âåòâëåíèåì â äèâèçîðå ñòåïåíè 3n−6, îñîáåííîñòè êîòîðîãî
ñîñòîÿò èç èçîëèðîâàííûõ îáûêíîâåííûõ äâîéíûõ òî÷åê, ãäå n > 9;
• ãèïåðïîâåðõíîñòü â P6 ñòåïåíè 6, îñîáåííîñòè êîòîðîé ñîñòîÿò èç èçîëèðîâàííûõ îáûêíîâåííûõ äâîéíûõ òî÷åê.
Òåîðåìà 18.
Óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 18 ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïîñòðîåíèþ êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ
ìíîãîìåðíûõ íåðàöèîíàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñ îñîáåííîñòÿìè.
Ïðèìåð 19.
Ïóñòü ãèïåðïîâåðõíîñòü X çàäàíà óðàâíåíèåì
2
X
ai (x0 , . . . , x6 )bi (x0 , . . . , x6 ) = 0 ⊂ P6 ∼
= Proj C[x0 , . . . , x6 ] ,
i=0
ãäå ai è bi îáùèå îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè 3. Òîãäà X èìååò 729 èçîëèðîâàííûõ îáûêíîâåííûõ äâîéíûõ òî÷åê, à X íåðàöèîíàëüíà ïî òåîðåìå 18.
Ïóñòü X íåîñîáàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â P8 ñòåïåíè 8. Ïîêàæåì îáùóþ ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà íåðàöèîíàëüíîñòè ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 13 íà ïðèìåðå
íàáðîñêà äîêàçàòåëüñòâà áèðàöèîíàëüíîé ñâåðõæåñòêîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè X .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî X íå ÿâëÿåòñÿ áèðàöèîíàëüíî ñâåðõæåñòêîé. Òîãäà èç íåðàâåíñòâà ÍåòåðàÔàíîÈñêîâñêèõ ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ ñèñòåìà M íà
ãèïåðïîâåðõíîñòè X , êîòîðàÿ íå èìååò íåïîäâèæíûõ êîìïîíåíò, à îñîáåííîñòè ïîäâèæíîé ëîã-ïàðû (X, n1 M) íå ÿâëÿþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè â íåêîòîðîì ïîäìíîãîîáðàçèè P ⊂ X , ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî äèâèçîðû èç M âûñåêàþòñÿ
ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè ñòåïåíè n. Èçâåñòíî, ÷òî P òî÷êà.
Ïóñòü π : V → X ðàçäóòèå òî÷êè P , E èñêëþ÷èòåëüíûé äèâèçîð ìîðôèçìà π ,
à S1 è S2 îáùèå äèâèçîðû â M. Òîãäà èç òåîðåìû 13 è òåîðåìû Ëåôøåöà ñëåäóåò
ñóùåñòâîâàíèå ãèïåðïëîñêîãî ñå÷åíèÿ H ãèïåðïîâåðõíîñòè X , òàêîãî ÷òî
multP S1 · S2 · H > 8n2 ,
à äèâèçîð H íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ìíîãîîáðàçèé ðàçìåðíîñòè 5, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ
â áàçèñíîì ìíîæåñòâå ëèíåéíîé ñèñòåìû M, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîòèâîðå÷èåì, ïîñêîëüêó
ýôôåêòèâíûé öèêë S1 · S2 · H èìååò ñòåïåíü 8n2 ïî ïîñòðîåíèþ.
8
Ôàêòîðèàëüíîñòü.
 äèññåðòàöèè äîêàçàíî óòâåðæäåíèå ãèïîòåçû 10, äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùèé âñïîìîãàòåëüíûé ðåçóëüòàò, òàêæå ïîëó÷åííûé â äèññåðòàöèè.
Ïóñòü Σ êîíå÷íîå ïîäìíîæåñòâî
â
Pn , à M ëèíåéíàÿ ñèñòåìà,
ñîñòîÿùàÿ èç ãèïåðïîâåðõíîñòåé â Pn ñòåïåíè k, êîòîðûå ïðîõîäÿò ÷åðåç ìíîæåñòâî Σ. Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî áàçèñíîå ìíîæåñòâî ëèíåéíîé ñèñòåìû M íóëüìåðíî. Òîãäà òî÷êè ìíîæåñòâà
Σ íàêëàäûâàþò íåçàâèñèìûå ëèíåéíûå
óñëîâèÿ íà ãèïåðïîâåðõíîñòè â Pn ñòåïåíè n(k − 1).
Ëåììà 20.
Èç ìíîãîìåðíîãî àíàëîãà òåîðåìû ÊýëèÁàõàðàøà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî óòâåðæäåíèå
ëåììû 20 íå ìîæåò áûòü óñèëåíî. Â äèññåðòàöèè äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ïóñòü V ãèïåðïîâåðõíîñòü â P4 ñòåïåíè n, òàêàÿ ÷òî îñîáûå
òî÷êè ãèïåðïîâåðõíîñòè V ÿâëÿþòñÿ
èçîëèðîâàííûìè îáûêíîâåííûìè äâîéíûìè
òî÷êàìè, íî | Sing(V )| 6 2(n − 1)2/3. Òîãäà V ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíîé.
Òåîðåìà 21.
Ïðîèëëþñòðèðóåì èñïîëüçóåìóþ òåõíèêó íà ïðèìåðå äîêàçàòåëüñòâà îäíîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ãèïîòåçû 10. Ïóñòü π : X → P3 äâîéíîå íàêðûòèå ðàçâåòâëåííîå íàä
íîäàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ S ⊂ P3 ñòåïåíè 8, òàêîé ÷òî |Sing(S)| 6 27. Òîãäà X åñòü
íîäàëüíîå ìíîãîîáðàçèå Êàëàáèßî. Ïîêàæåì, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ Q-ôàêòîðèàëüíûì.
Ïóñòü Σ = Sing(S). Çàôèêñèðóåì òî÷êó P ∈ Σ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåáóåìîãî
óòâåðæäåíèÿ íóæíî íàéòè ïîâåðõíîñòü â P3 ñòåïåíè 8, êîòîðàÿ ñîäåðæèò âñå òî÷êè
ìíîæåñòâî Σ \ P , íî íå ñîäåðæèò ïðè ýòîì âûáðàííóþ íàìè òî÷êó P ∈ Σ.
Ìíîæåñòâî Σ ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì êîíå÷íîãî ïîäìíîæåñòâà â P3 , êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé ñòåïåíè 7. Òàêèì îáðàçîì, íå áîëåå ÷åì 7 òî÷êè
ìíîæåñòâà Σ ëåæàò íà ïðÿìîé, íå áîëåå ÷åì 14 òî÷åê ìíîæåñòâà Σ ëåæàò íà êîíèêå,
è íå áîëåå ÷åì 21 òî÷åê ìíîæåñòâà Σ ëåæàò íà êóáè÷åñêîé êðèâîé.
Âîçüìåì äîñòàòî÷íî îáùèå ïëîñêîñòü Π è òî÷êó O â P3 . Ðàññìîòðèì ïðîåêöèþ
ψ : P3 99K Π ∼
= P2
èç òî÷êè O. Ïîëîæèì Σ0 = ψ(Σ) è P 0 = ψ(P ). Òîãäà ψ|Σ : Σ → Σ0 ÿâëÿåòñÿ áèåêöèåé.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå áîëåå 7 òî÷åê ìíîæåñòâà Σ0 \P 0 ëåæàò íà ïðÿìîé, íå áîëåå 14
òî÷åê ìíîæåñòâà Σ0 \P 0 ëåæàò íà êîíèêå, è íå áîëåå 21 òî÷êà ìíîæåñòâà Σ0 \P 0 ëåæàò
íà êóáè÷åñêîé êðèâîé.  ýòîì ñëó÷àå èç ñâîéñòâ ëèíåéíûõ ñèñòåì íà ðàçäóòèÿõ
ïðîåêòèâíîé ïëîñêîñòè ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êðèâàÿ C ⊂ Π ñòåïåíè 8, êîòîðàÿ
ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Σ0 \P 0 , íî íå ñîäåðæèò òî÷êó P 0 . Êîíóñ íàä êðèâîé C ñ âåðøèíîé
â òî÷êå O ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ïîâåðõíîñòüþ ñòåïåíè 8, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç âñå
òî÷êè ìíîæåñòâà Σ \ P , íî íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P ∈ Σ.
Èòàê, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî Λ ⊆ Σ \ P , òàêîå ÷òî
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî |Λ| > 7k + 1, íî ìíîæåñòâî ψ(Λ) ñîäåðæèòñÿ â íåïðèâîäèìîé
êðèâîé ñòåïåíè k 6 3.
Ïóñòü M ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ïîâåðõíîñòåé ñòåïåíè k , êîòîðûå ñîäåðæàò âñå òî÷êè
ìíîæåñòâà Λ. Òîãäà âñå òî÷êè ïîäìíîæåñòâà
ψ(Λ) ⊂ Σ0 ⊂ Π ∼
= P2
ëåæàò íà íåïðèâîäèìîé êðèâîé C ⊂ Π ñòåïåíè k . Ïóñòü Y ⊂ P3 êîíóñ íàä íåïðèâîäèìîé êðèâîé C ñ âåðøèíîé â òî÷êå O. Òîãäà Y ïîâåðõíîñòü ñòåïåíè k , êîòîðàÿ
ñîäåðæèò âñå òî÷êè ìíîæåñòâà Λ.  ÷àñòíîñòè, ïîâåðõíîñòü Y ñîäåðæèòñÿ â ëèíåéíîé ñèñòåìå M. Äîïóñòèì, ÷òî áàçèñíîå ìíîæåñòâî ëèíåéíîé ñèñòåìû M ñîäåðæèò
íåïðèâîäèìóþ êðèâóþ Z ⊂ P3 . Òîãäà Z ⊂ Y è ψ(Z) = C , à òàêæå Λ ⊂ Z , òàê êàê
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ψ(Λ) 6⊂ C . Èç îáùíîñòè ïðîåêöèè ψ ñëåäóåò, ÷òî ψ|Z ÿâëÿåòñÿ
9
áèðàöèîíàëüíûì ìîðôèçìîì. Çíà÷èò, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî deg(Z) = k , íî Z ñîäåðæèò íå ìåíåå ÷åì |Λ| > 7k + 1 òî÷åê èç Σ. Ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, áàçèñíîå ìíîæåñòâî
ëèíåéíîé ñèñòåìû M íóëüìåðíî.
Ïóñòü Ξ áàçèñíîå ìíîæåñòâî ëèíåéíîé ñèñòåìû M. Ïîêàçàíî, ÷òî Ξ êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî, êîòîðîå ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Λ ïî ïîñòðîåíèþ. Ðàññìàòðèâàÿ ïåðåñå÷åíèå òðåõ äîñòàòî÷íî îáùèõ ïîâåðõíîñòåé èç ëèíåéíîé ñèñòåìå M ìû ñðàçó ïîëó÷àåì
ïðîòèâîðå÷èå â ñëó÷àå k 6 2. Èòàê, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî k = 3. Áîëåå òîãî, ìîæíî
ñ÷èòàòü, ÷òî P ∈ Σ ∩ Ξ. Ïóñòü G îáùàÿ ïîâåðõíîñòü â M.
Òî÷êè ìíîæåñòâà Σ ∩ Ξ íàêëàäûâàþò íåçàâèñèìûå ëèíåéíûå óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè ñòåïåíè 6 ïî ëåììå 20. Ñóùåñòâóåò ïîâåðõíîñòü F ⊂ P3 ñòåïåíè 8, êîòîðàÿ
ñîäåðæèò ìíîæåñòâî (Σ ∩ Ξ) \ P , íî íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó P . Ïîëîæèì
Φ = Σ \ Ξ ∩ Σ = Q1 , . . . , Qγ ,
ãäå Qi òî÷êà ìíîæåñòâà Σ. Òîãäà γ 6 4.  ÷àñòíîñòè, äëÿ êàæäîé òî÷êè Qi ñóùåñòâóåò ïîâåðõíîñòü Bi ⊂ P3 ñòåïåíè 5, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Φ \ Qi è íå
ñîäåðæèò òî÷êó Qi . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ó íàñ óæå èìååòñÿ ïîâåðõíîñòü G ñòåïåíè 3,
êîòîðàÿ ñîäåðæèò ìíîæåñòâî Ξ ∩ Σ è íå ñîäåðæèò íè îäíîé òî÷êè ìíîæåñòâà Φ.
Ïóñòü f (x, y, z, t) = 0 è gi (x, y, z, t) = 0 óðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòåé F è G ∪ Bi
ñîîòâåòñòâåííî, ãäå (x : y : z : t) îäíîðîäíûå êîîðäèíàòû íà P3 . Òîãäà äëÿ êàæäîãî
âîçìîæíîãî i ∈ {1,
Pγ. . . , γ} ñóùåñòâóåò µi ∈ C, òàêîå ÷òî f (Qi ) + µi gi (Qi ) = 0, îòêóäà
ñëåäóåò, ÷òî f + i=1 µi gi = 0 ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé ïîâåðõíîñòüþ ñòåïåíè 8.
Âçâåøåííûå ãèïåðïîâåðõíîñòè.
Ïóñòü X îáùàÿ êâàçèãëàäêàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü â P(1, a1 , a2 , a3 , a4 ) ñòåïåíè d,
ÿâëÿþùàÿñÿ ìíîãîîáðàçèåì Ðèäà-Ôëåò÷åðà, à n íîìåð ãèïåðïîâåðõíîñòè X ïðè
íóìåðàöèè, ñîîòâåòñòâóþùåé óáûâàíèþ àíòèêàíîíè÷åñêîé ñòåïåíè.
Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïðîåêöèþ ψ : X 99K P(1, a1 , a2 ). Ïóñòü C äîñòàòî÷íî
îáùèé ñëîé ïðîåêöèè ψ . Êðèâàÿ C íå ìîæåò áûòü ðàöèîíàëüíîé êðèâîé ïî òåîðåìå 11, íî êðèâàÿ C ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïîâåðõíîñòüþ ñòåïåíè d â P(1, a3 , a4 ). Ïðè÷åì, â
ñëó÷àå êîãäà n 6∈ {1, 2, 3, 7, 11, 18, 19, 32, 43, 45, 60, 69, 75, 84, 87, 93} êðèâàÿ C ÿâëÿåòñÿ
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, ïîñêîëüêó ëèáî d ad3 e 6 3, ëèáî d ad3 e 6 4 è d = 2a4 .
Ïðè n ∈ {18, 32, 43, 45, 69} íîðìàëèçàöèÿ êðèâîé C òàêæå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé
êðèâîé, îäíàêî â ñëó÷àå n ∈ {7, 11, 19} íîðìàëèçàöèÿ êðèâîé C óæå íå ÿâëÿåòñÿ
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé, à ïðîåêöèÿ X 99K P(1, a1 , a2 ) íå îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî, ïîñêîëüêó a2 = a3 , íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðîåêöèÿ X 99K P(1, a1 , a2 ),
íîðìàëèçàöèÿ îáùåãî ñëîÿ êîòîðîé åñòü ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ.
Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïðè n = 1 èëè n = 2 ãèïåðïîâåðõíîñòü X òàêæå ìîæåò áûòü
áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîåíà â ðàññëîåíèå íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå.
Ïóñòü Σ = {3, 60, 75, 84, 87, 93}. Òîãäà X áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðàèâàåòñÿ â ýëëèïòè÷åñêîå ðàññëîåíèå ïðè n 6∈ Σ.  äèññåðòàöèè äîêàçàí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ãèïåðïîâåðõíîñòü X ìîæåò áûòü áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîåíà â ðàññëîåíèå íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå êîãäà n 6∈ Σ.
Òåîðåìà 22.
Ïóñòü Ω = {1, 2, 7, 9, 11, 17, 19, 20, 26, 30, 36, 44, 49, 51, 64}. Òîãäà X ìîæåò áûòü áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîåíà â ðàññëîåíèå íà ýëëèïòè÷åñêèå êðèâûå íå åäèíñòâåííûì
ñïîñîáîì ïðè n ∈ Ω. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â äèññåðòàöèè äîêàçàí ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
10
Ïóñòü n 6∈ Ω ∪ Σ, à ρ : X 99K P2 ðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå,
òàêîå ÷òî íîðìàëèçàöèÿ äîñòàòî÷íî îáùåãî ñëîÿ ðàññëîåíèÿ ρ ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé. Òîãäà ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà
Ïðåäëîæåíèå 23.
XA
m m
m
A ρ
A
m m
m
A
vm
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
/ P2 ,
P(1, a1 , a2 )
ψ
φ
ãäå ψ åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ, à φ íåêîòîðîå áèðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå.
Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå n 6∈ Ω∪Σ ãèïåðïîâåðõíîñòü X ìîæåò áûòü áèðàöèîíàëüíî
ïåðåñòðîåíà â ýëëèïòè÷åñêîå ðàññëîåíèå åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì.  äèññåðòàöèè òàêæå êëàññèôèöèðîâàíû áèðàöèîíàëüíûå ïåðåñòðîéêè X â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ
ïðè n ∈ Ω, íî, ê ñîæàëåíèþ, â ñëó÷àå n ∈ Ω ïîëó÷åííàÿ êëàññèôèêàöèÿ áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ íåñêîëüêî
ñïîðàäè÷íà è íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îäíîãî îáùåãî óòâåðæäåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 24.  äèññåðòàöèè ïîêàçàíî, ÷òî âî âñåõ ñëó÷àÿõ êðîìå n = 1 ñóùåñòâóåò
êîíå÷íîå ÷èñëî ñïîñîáîâ áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîèòü ãèïåðïîâåðõíîñòü X â ýëëèïòè÷åñêîå ðàññëîåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî äåéñòâèÿ ãðóïïû Bir(X).
Ïîêàæåì íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå êàê âûãëÿäèò êëàññèôèêàöèÿ áèðàöèîíàëüíûõ
ïåðåñòðîåê â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ. Ïóñòü n = 17. Òîãäà X îáùàÿ ãèïåðïî3
= 1/4, à îñîáåííîñòè
âåðõíîñòü â P(1, 1, 3, 4, 4) ñòåïåíè 12, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî −KX
ãèïåðïîâåðõíîñòè X ñîñòîÿò èç îñîáûõ òî÷åê P1 , P2 è P3 , êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ôàêòîð-îñîáåííîñòüþ òèïà 14 (1, 1, 3). Ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà
Z II
II

IIω


II
II


$

X _ _ _ _ ψ_ _ _/ P(1, 1, 3),
π
ãäå ψ åñòåñòâåííàÿ ïðîåêöèÿ, ìîðôèçì π êîìïîçèöèÿ âçâåøåííûõ ðàçäóòèé
îñîáûõ òî÷åê P1 , P2 è P3 ñ âåñàìè (1, 1, 3), à ω ýëëèïòè÷åñêîå ðàññëîåíèå.
Ãèïåðïîâåðõíîñòü X ìîæåò áûòü çàäàíà êâàçèîäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ñòåïåíè 12
wf (t, w) + xa(x, y, z, t, w) + yb(x, y, z, t, w) + zc(x, y, z, t, w) = 0 ⊂ Proj C[x, y, z, t, w] ,
ãäå wt(x) = wt(y) = 1, wt(z) = 3 è wt(t) = wt(w) = 4, à f , a, b è c îáùèå êâàçèîäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíåé. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî P1 çàäàåòñÿ
óðàâíåíèÿìè x = y = z = w = 0. Ïóñòü ξ1 : X 99K P5 ðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå,
çàäàííîå ëèíåéíîé ïîäñèñòåìîé ëèíåéíîé ñèñòåìû | − 4KX |, ñîñòîÿùåé èç äèâèçîðîâ
λ0 w + λ1 x4 + λ2 x3 y + λ3 x2 y 2 + λ4 xy 3 + λ5 y 4 = 0,
ãäå (λ0 , λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ) ∈ P5 . Òîãäà ξ1 íå îïðåäåëåíî òîëüêî â òî÷êå P1 , çàìûêàíèå
îáðàçà ðàöèîíàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ξ1 ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ P(1, 1, 4), à íîðìàëèçàöèÿ îáùåãî ñëîÿ îòîáðàæåíèÿ ξ1 åñòü ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ. Àíàëîãè÷íî ìîæíî
ïîñòðîèòü îòîáðàæåíèÿ ξ2 : X 99K P(1, 1, 4) è ξ3 : X 99K P(1, 1, 4), òàêèå ÷òî ξi íå
îïðåäåëåíî òîëüêî â òî÷êå Pi , à íîðìàëèçàöèÿ îáùåãî ñëîÿ îòîáðàæåíèÿ ξi åñòü ýëëèïòè÷åñêàÿ êðèâàÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå ρ : X 99K P2 , òàêîå
÷òî ÷òî íîðìàëèçàöèÿ äîñòàòî÷íî îáùåãî ñëîÿ ðàññëîåíèÿ ρ ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé
ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.  äèññåðòàöèè ïîêàçàíî, ÷òî ëèáî ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ
11
äèàãðàììà
ψ
u
u
u
uX A
A
ρ
A
A
_
_
_
_
_
_
_
/ P2 ,
P(1, 1, 3)
zu
φ
ëèáî ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà
σ
X _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _/ X @
ξi
@
ρ
@
@
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
/ P2
P(1, 1, 4)
υ
äëÿ íåêîòîðîãî èíäåêñà i ∈ {1, 2, 3}, ãäå φ, σ è υ áèðàöèîíàëüíûå îòîáðàæåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 25. Ïóñòü n 6∈ Σ, à ρ : X 99K P2 ðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå, òàêîå ÷òî
÷òî íîðìàëèçàöèÿ äîñòàòî÷íî îáùåãî ñëîÿ ðàññëîåíèÿ ρ ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìîé ýëëèïòè÷åñêîé êðèâîé.  äèññåðòàöèè ïîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóþò σ ∈ Bir(X) è ëèíåéíàÿ
ïðîåêöèÿ ξ : X 99K P(1, a1 , b), òàêèå ÷òî ñóùåñòâóåò êîììóòàòèâíàÿ äèàãðàììà
σ
X _ _ _ _ _ _ _ _/ X A
ξ
A
ρ
A
A
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
/ P2 ,
P(1, a1 , b)
ζ
ãäå b = a2 èëè b = a3 , à ζ áèðàöèîíàëüíîå îòîáðàæåíèå.
Èç óòâåðæäåíèÿ ïðåäëîæåíèÿ 23 è êëàññèôèêàöèè áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ âèäíî, ÷òî ãåîìåòðèÿ ãèïåðïîâåðõíîñòè X äîëæíà ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò ñâîéñòâ ýëëèïòè÷åñêèõ ðàññëîåíèé
â êîòîðûå ìîæíî áèðàöèîíàëüíî ïåðåñòðîèòü ãèïåðïîâåðõíîñòü X . Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Íàïðèìåð, ñòðóêòóðà ãðóïïû Bir(X) îïðåäåëÿåòñÿ áèðàöèîíàëüíûìè ïåðåñòðîéêàìè â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ. Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé âîïðîñ ïîäðîáíåå.
Êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå, ñóùåñòâóþò áèðàöèîíàëüíûå èíâîëþöèè τ1 , . . . , τkn ãèïåðïîâåðõíîñòè X , ÿâíî ïîñòðîåííûå À. Êîðòè, À.Â. Ïóõëèêîâûì è Ì. Ðèäîì, òàêèå
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãðóïï
1 → Γ → Bir X → Aut X → 1
òî÷íà, ãäå Γ ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ èíâîëþöèÿìè τ1 , . . . , τkn . Ñâîéñòâà áèðàöèîíàëüíûõ ïåðåñòðîåê ãèïåðïîâåðõíîñòè X â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ èñïîëüçîâàíû
â äèññåðòàöèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà.
Ãðóïïà Γ ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì ïðîèçâåäåíèåì èíâîëþöèé τ1, . . . , τk â
ñëó÷àå, êîãäà kn 6= 3 èëè n = 20, à â îñòàâøèõñÿ ñëó÷àÿõ Γ ÿâëÿåòñÿ ôàêòîð-ãðóïïîé
ñâîáîäíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èíâîëþöèé τ1, τ2, τ3 ïî ñîîòíîøåíèþ τ1 ◦ τ2 ◦ τ3 = τ3 ◦ τ2 ◦ τ1.
Òåîðåìà 26.
n
Îòìåòèì, ÷òî óòâåðæäåíèå òåîðåìû 26 ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì
àíàëîãè÷íîãî ðåçóëüòàòà î ñòðóêòóðå ãðóïïû áèðàöèîíàëüíûõ àâòîìîðôèçìîâ êóáè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè7. Èç óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû 26 ñëåäóåò ñëåäóþùåå ñëåäñòâèå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãèïåðïîâåðõíîñòü X îïðåäåëåíà íàä íåêîòîðûì ÷èñëîâûì ïîëåì. Òîãäà ðàöèîíàëüíûå òî÷êè ãèïåðïîâåðõíîñòè X ïîòåíöèàëüíî ïëîòíû ïðè kn > 2.
Ñëåäñòâèå 27.
7Þ. È. Ìàíèí,
Êóáè÷åñêèå ôîðìû // Íàóêà, Ìîñêâà (1972).
12
Êðîìå îñíîâíûõ, â äèññåðòàöèè äîêàçàí ðÿä äîïîëíèòåëüíûõ äîñòàòî÷íî âàæíûõ
ðåçóëüòàòîâ. Ïîëó÷åíà òî÷íàÿ îöåíêà ñíèçó äëÿ ëîã-êàíîíè÷åñêèõ ïîðîãîâ ëîã-ïàð
íà íåîñîáûõ ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ, äîêàçàíà áèðàöèîíàëüíàÿ ñâåðõæåñòêîñòü Q-ôàêòîðèàëüíîãî äâîéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ âåòâëåíèåì â íîäàëüíîé ñåêñòèêå, êëàññèôèöèðîâàíû âñå áèðàöèîíàëüíûå ïåðåñòðîéêè â ýëëèïòè÷åñêèå ðàññëîåíèÿ Q-ôàêòîðèàëüíîãî äâîéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñ âåòâëåíèåì â íîäàëüíîé ñåêñòèêå, íàéäåíî íîâîå
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåòèêî-ãðóïïîâîãî ðåçóëüòàòà Ä.C. Êàíåâñêîãî8, êîòîðûé îòâå÷àåò íà âîïðîñ Þ.È. Ìàíèíà î õàðàêòåðèçàöèè êîíå÷íûõ ïîäãðóïï ãðóïïû áèðàöèîíàëüíûõ àâòîìîðôèçìîâ êóáè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.  äèññåðòàöèè òàêæå äîêàçàíà
áèðàöèîíàëüíàÿ ñâåðõæåñòêîñòü íîäàëüíûõ òðîéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ìíîãîîáðàçèÿìè Ôàíî èíäåêñà îäèí, è èññëåäîâàí âîïðîñ ðàöèîíàëüíîñòè íåîñîáûõ òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé, ðàññëîåííûõ íà êóáè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] È. À. ×åëüöîâ, Î ãëàäêîé ÷åòûðåõìåðíîé êâèíòèêå
Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 191  9 (2000), 139162
[2] È. À. ×åëüöîâ, Ìíîãîîáðàçèå Ôàíî ñ åäèíñòâåííîé ýëëèïòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé
Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 192  5 (2001), 145156
[3] È. À. ×åëüöîâ, Ëîã-êàíîíè÷åñêèå ïîðîãè íà ãèïåðïîâåðõíîñòÿõ
Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 192  8 (2001), 155172
[4] È. À. ×åëüöîâ, Àíòèêàíîíè÷åñêèå ìîäåëè òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé Ôàíî ñòåïåíè ÷åòûðå
Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 194  4 (2003), 147172
[5] È. À. ×åëüöîâ, Íåðàöèîíàëüíîñòü ÷åòûðåõìåðíîãî ãëàäêîãî ïîëíîãî ïåðåñå÷åíèÿ
êâàäðèêè è êâàðòèêè, íå ñîäåðæàùåãî ïëîñêîñòè
Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 194  11 (2003), 95116
[6] È. À. ×åëüöîâ, Áèðàöèîíàëüíî æåñòêèå öèêëè÷åñêèå òðîéíûå ïðîñòðàíñòâà
Èçâåñòèÿ ÐÀÍ, Ñåðèÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ 68  6 (2004), 157208
[7] È. À. ×åëüöîâ, Ìåòîä âûðîæäåíèÿ è íåðàöèîíàëüíîñòü òðåõìåðíûõ ìíîãîîáðàçèé
ñ ïó÷êîì ïîâåðõíîñòåé äåëü Ïåööî
Óñïåõè Ìàòåìåòè÷åñêèõ Íàóê 59  4 (2004), 203204
[8] È. À. ×åëüöîâ, Ðåãóëÿðèçàöèÿ áèðàöèîíàëüíûõ àâòîìîðôèçìîâ
Ìàòåìåòè÷åñêèå Çàìåòêè 76  2 (2004), 286299
[9] I. Cheltsov, Log pairs on birationally rigid varieties
Journal of Mathematical Sciences 102 (2000), 38433875
[10] I. Cheltsov, On factoriality of nodal threefolds
Journal of Algebraic Geometry 14 (2005), 663690
[11] I. Cheltsov, Elliptic structures on weighted three-dimensional Fano hypersurfaces
Max Plank Institute f
ur Mathematik (Bonn), preprint MPIM2005-84 (2005)
arXiv:math.AG/0509324 (2005)
ÌÈÐÀÍ èì. Â. À. Ñòåêëîâà
óë. Ãóáêèíà ä. 8, Ìîñêâà 117966
Ðîññèÿ
[email protected]
8Ä.C. Êàíåâñêèé,
Ñòðóêòóðà ãðóïï, ñâÿçàííûõ ñ àâòîìîðôèçìàìè êóáè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé // Ìàòåìàòè÷åñêèé Ñáîðíèê 103  2 (1977), 293308.
13