НПК Обратные тригонометрические фукции

АННОТАЦИЯ
В данной работе содержится теоретический и практический материал по одному из
разделов тригонометрии «Обратные тригонометрические функции».
Теоретический материал представлен в виде текстовой информации, графиков,
формул и опорных таблиц по разделам темы.
Практический материал подразделяется на примеры с подробными решениями по
всем разделам, на подборку примеров для самостоятельного решения с последующими
комментариями и решениями ( алгебраический тренажер) и в заключении дается пробный
тест, состоящий из 17 заданий уровня А,В и С. Данная работа помогает решить проблему
в преподавании, обучении и качественном усвоении знаний по наиболее сложной теме
раздела «Тригонометрия».
Целью данной исследовательской работы является разработка обучающего модуля.
Обучающий модуль предназначен как для самостоятельного изучения данной темы
учащимися, так и для оказания методической помощи учителю при проведении уроков,
обобщающем повторении
и подготовке к экзаменам в форме ЕГЭ, а также к
вступительным экзаменам в вузы.
Выводы исследования следующие:
- только в результате самостоятельной и упорной работы можно действительно чему-то
научиться, а тем более такому сложному умению - решению математических задач;
- нет непреодолимых трудностей в обучении, нужно постараться посмотреть на проблему
глазами ученика и наметить пути ее решения;
- математика – логика ума, и когда ты создаешь какой-либо объект с целью оказания
помощи не только себе, но и другим, твой творческий потенциал заметно возрастает, а
если впоследствии твоя работа действительно окажется полезной, обязательно захочется
сделать что-либо еще.
1
ТЕЗИСЫ
Значение темы «Обратные тригонометрические функции», их свойства и графики,
преобразование выражений, содержащих
обратные тригонометрические функции в
школьном курсе математики трудно переоценить. Любое тригонометрическое уравнение
решается на основе обратных тригонометрических функций . Существует много заданий
на вычисление значений тригонометрических функций от обратных тригонометрических
выражений и наоборот, на упрощение выражений, на доказательство тождеств с
обратными тригонометрическими функциями. Но эта тема по-прежнему наиболее
трудная для усвоения учащимися.
Основная идея этой работы – создать такой обучающий модуль, чтобы в нем были
собраны все теоретические сведения и практические задания с решениями по данной теме,
необходимый набор примеров для закрепления каждого раздела. Хотелось бы, чтобы
участие учителя в изучении темы было минимальным (в большей мере консультативным,
чем обучающим), т.к. содержание подобрано учеником, адаптировано под его понимание
целесообразности того или иного примера или приема решения, в соответствии с его
пониманием выстроена логическая цепочка подачи теоретического и практического
материала. Исследовательская работа строилась таким образом, чтобы в ней были
полностью охвачены все аспекты этой темы и преподнесены таким образом, чтобы и
одноклассники и учителя могли успешно применять данный обучающий модуль не только
при изучении новой темы, но и при подготовке к ЕГЭ, к экзаменам в ВУЗы и т.д.
Данный обучающий модуль решает сразу несколько проблем:
- во-первых, уменьшает потери времени на поиск и систематизацию теоретических знаний;
- во-вторых,
в своем арсенале модуль имеет
необходимый
наглядный материал и
опорные схемы по изучаемым разделам;
- в-третьих,
подробно рассмотрены все шаги
решений как простых, так и сложных
заданий наиболее часто встречающихся типов;
2
- в-четвертых, нет необходимости долго искать и подбирать материал для закрепления
каждого раздела - он предоставлен в необходимом количестве, с ответами и пояснениями
к решениям, а при необходимости его пополнить указаны литературные источники, откуда
взяты многие примеры и задачи;
- в-пятых, есть возможность проверить свои знания по трем уровням сложности и
своевременно устранить пробелы в знаниях.
Рекомендации к этой теме будут полезны учителям и учащимся. Изучать их можно не
только на уроке, но и на дополнительных занятиях, на факультативах, на спецкурсе по
предмету. В данной разработке отражен в полном объеме теоретический материал по теме,
собраны разнообразные задания с подробными решениями и комментариями. Приведен в
пример тест, состоящий из заданий группы А,В и С на обратные тригонометрические
функции с решениями и ответами.
3
Введение.
Глазами ученика раздел тригонометрии кажется наиболее трудным из всех тем
алгебры и начал анализа как в изучении таких понятий, как обратная функция, так и самой
темы «Тригонометрия». Но в любой экзаменационной работе ей отводится немало места,
и научиться решать уравнения и неравенства, распозновать графики тригонометрических
функций, а главное - хорошо разбираться в теме «Обратные тригонометрические
функции» мы должны уже в 10 классе, тем более, что нам приходится решать каждый
месяц краевые контрольные работы по алгебре Хотя учащиеся и начинают с нею
знакомится в рамках изучения геометрии 8-9 класса, а затем первое полугодие 10 класса
полностью посвящено более детальному изучению всех аспектов данной темы, тем не
менее, даже заканчивая обучении в школе, учащиеся все равно испытывают трудности
при решении, а порою, даже страх при виде тригонометрических заданий. А если задания
содержат еще и обратные функции, то дети испытываю зачастую чувство полной
беспомощности при решении такого вида задач.
Умение решать различные задачи является одним из основных показателей
уровня математического развития, глубины усвоения изучаемого учебного материала.
Поэтому любой экзамен по математике , любая проверка знаний содержит в качестве
основной и, пожалуй, наиболее трудной его части – решение разнообразных задач. И вот
тут обнаруживается, что многие из нас не могут показать достаточные умения в решении
задач. На всех экзаменах, как в школе, так и на приемных в вузы и колледжи часто
встречаются случаи, когда ученик или абитуриент показывает, казалось бы, хорошие
знания в области теории, знает все требуемые определения и теоремы, их доказательство, а
вот практическое задание решить не может.
За время обучения в школе каждый из нас
решил огромное число задач. При этом мы все решали одни и те же задачи, а в итоге одни
ученики овладели общими умениями решать задачи и могут решить любую элементарную
задачу незнакомого вида, а другие, встретившись с такой задачей, теряются, не знают, как
4
к ней подступиться, и заявляют печально известные слова: «А мы такие не решали». Как
будто можно перерешать все возможные задачи.
Поэтому мы должны приобрести не только умения решать задачи
определенных видов, но и общие умения решать любые математические задачи, решаемые
элементарными методами. Многие ученики приобретают такие общие умения, т.к. они
вникают в процесс решаемых задач, стараются понять, в чем состоят общие приемы и
методы их решения, внимательно изучают сами задачи. А другие же, к сожалению, не
задумываются над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные им задания,
а то и списать у кого-либо готовые решения. Они не анализируют решаемые задачи, не
выделяют из решения общие приемы и способы решения. Задания зачастую решаются
лишь для получения ответа. Как можно решить сложную задачу, если не представлять , из
каких этапов состоит процесс решения, как надо анализировать задачу, как построить ее
модель, как произвести проверку решения и т.д.? Как решить задачу на доказательство,
если вы не знаете, в чем смысл доказательства какого-то утверждения, или как решить
задачу с неопределенными неизвестными, если мы не умеем выделить эти неизвестные и
установит степень неопределенности такой задачи.
Значит, всему этому можно научиться. Для того, чтобы научиться решать
элементарные задачи, особых математических способностей не требуется. Ведь речь не
идет о математической творческой деятельности. Для того, чтобы научиться решать
элементарные математические задачи надо, конечно, много поработать. Но эта работа не
сводится к решению большого числа задач. Дело не в их количестве, а в другом: надо
научиться такому подходу к задаче, когда она выступает как объект тщательного и
подробного изучения, а ее решение – как объект конструирования и
изобретательства.
Задачи решаются, в основном, общими математическими методами или
эвристическими. В этой работе предлагаются методы решения некоторых наиболее часто
5
встречающихся видов задач по теме: «Обратные тригонометрические функции». Задания
для самостоятельной работы снабжены ответами, указаниями или решениями. Главное,
чтобы хватило терпения и упорства проработать предложенный материал до конца, и
тогда можно быть уверенными в том, что вы приобретете нужные умения, ощутите
радость от той легкости, с которой вы будете решать задачи, преодолевая трудности, с
которыми будет связана работа с этим обучающим модулем.
Ведь решение задач – это творчество. Желаю успеха всем, кому поможет моя работа в
изучении этой темы, и вы после этого сожжете сказать своим одноклассникам, учителям:
«Тригонометрия – это просто!».
Именно желание ученика помочь в преодолении
перечисленных трудностей и своим одноклассникам, и учителям стало основным мотивом
в написании данной исследовательской работы.
Объектом моего исследования является тема
«Обратные тригонометрические функции».
Целью создания обучающего модуля является оказание учебно-методической помощи
учителям и одноклассникам в изучении этой темы.
Основными задачами являются:
- поиск, изучение и систематизация теоретического материала;
- разработка комплекса обучающих заданий практической части;
- создание алгебраического тренажера основных типов задач для закрепления изучаемой
темы;
- подбор дополнительных заданий для каждого раздела темы;
- изучение заданий и способов их решения предлагаемых на ЕГЭ;
- проверка усвоения знаний по данной теме при решении заданий пробного теста
(уровень А,В,С) с последующими комментариями и подробными решениями .
6
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
Предмет тригонометрии. Основной задачей тригонометрии является нахождение
неизвестных величин треугольника ( сторон или углов) по заданным значениям остальных
сторон или углов. Первые методы нахождения неизвестных величин данного треугольника
были придуманы учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Поэтому
слово «тригонометрия» состоит из двух греческих слов «тригоном» - треугольник и
«метрезис»- измерение. Древние греки не знали понятия синусов, косинусов, тангенсов и
котангенсов. Эти понятия появились много позже. Чтобы отложить угол в треугольнике
греки описывали окружность около треугольника и находили дугу, на которую этот угол
опирается. Дуги измерялись в градусах и минутах. Один градус составлял шестидесятую
часть радиуса. Это шестидесятичное подразделение греки позаимствовали у вавилонян.
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в IX – XIV в трудах арабских авторов. В
X веке багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль Вада,
дал определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которыми мы пользуемся по сей
день. И лишь в середине XVIII века, благодаря работам выдающегося русского ученого
Эйлера (1707-1783), тригонометрия приобрела современный вид. Наряду с градусной
мерой стала использоваться радианная мера угла.
История. Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «архаджива» («полутетива»), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали
называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским
словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и
стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не
обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й»,
арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает
«впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские
переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.
Современное обозначение синуса sin и косинуса cos введено Леонардом Эйлером в XVIII в
Термины «тангенс» (от лат. «tangens» — касающийся) и «секанс» (лат. «secans» —
секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге
«Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).
7
Раздел I. Теоретическая часть.
Обратные тригонометрические функции.
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции, являющиеся обратными к
тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть
функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)
аркко́синус (обозначение: arccos)
аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)
арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)
арксе́канс (обозначение: arcsec)
арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)
Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей
тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга). Это связано с
тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной
дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному
отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и
т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1
8
Функция у= arcsin х.
График функции y = arcsin x.
Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого
Функция y = arcsinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция
y = arcsinx является строго возрастающей.
при
при
(область определения),
(область значений).
Свойства функции у= arcsin х
(функция является нечётной).
при
при x = 0.
при
9
Получение функции у= arcsin х
Дана функция y = sinx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и,
значит, обратное соответствие y = arcsinx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим
отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений —
. Так как для функции y = sinx на интервале
каждому значению аргумента
соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная
функция y = arcsinx, график которой симметричен графику функции y = sinx на отрезке
относительно прямой у = х .
Функция у= arccos х.
График функции y = arccos x.
Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого
Функция y = arccos x непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
Функция y = arccosx является строго убывающей.
10
cos(arccosx) = x при
arccos(cosy) = y при
D(arccosx) = [ − 1;1],
E(arccosx) = [0;π].
(область определения),
(область значений).
Свойства функции у = arccos х
arccos( − x) = π – arccos x .
Функция центрально-симметрична относительно точки
arccosx > 0 при
arccosx = 0
при x = 1.
Получение функции у= arccos х
Дана функция y = cosx. На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и,
значит, обратное соответствие y = arccosx функцией не является. Поэтому мы рассмотрим
отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0;π]. На этом
отрезке y = cosx строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а
значит, на отрезке [0;π] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен
графику y = cosx на отрезке [0;π] относительно прямой y = x.
Функция у= arctg х.
График функции
.
11
Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого
Функций
непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция
является строго возрастающей.
при
при
Свойства функции у= arctg х
(функция нечётная).
при x > 0.
при x = 0.
при x < 0.
.
Получение функции у= arctg х
Дана функция
На всей своей области определения она является кусочно-
монотонной, и, значит, обратное соответствие
функцией не является. Поэтому
рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только
12
один раз —
На этом отрезке
строго монотонно возрастает и принимает
все свои значения только один раз, следовательно, на интервале
функция
, график которой симметричен графику
существует обратная
на отрезке
относительно прямой y = x.
Функция у= arcctg х.
Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого
Функция
непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция
является строго убывающей.
при
при 0 < y < π.
Свойства функции у = arcctg х
(график функции центрально-симметричен относительно точки
при любых x.
Получение функции у = arcctg х
13
Дана функция
. На всей своей области определения она является кусочно-
монотонной, и, значит, обратное соответствие
функцией не является. Поэтому
рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только
один раз — (0;π). На этом отрезке
строго возрастает и принимает все свои значения
только один раз, следовательно, на интервале (0;π) существует обратная функция
, график которой симметричен графику
относительно прямой
на отрезке (0;π)
y = x.
Производные от обратных тригонометрических функций.
14
РАЗДЕЛ II.
Практическая часть.
Задания, содержащие обратные тригонометрические функции.
1. Найти область определения следующих функций:
1) y = arcsin (x-2).
2) y = arccos
1 2 х
4 .
3) y = arcsin
х 3
2 .
Решение.
1) D (arcsin) =  1;1, поэтому
-1  х-2  1  1  х  3.
D (y) = 1;3.
2) D (arccos) =  1;1 и значит
1 2 х
4  1  -4  1-2х  4  -5  -2х  3 
-1 
-1,5  х  2,5.
D (y) =  1,5;2,5.
3) Аналогично
-1 
х 3
1
2
 -2  х-3  2, 1  х  5.
D (y) = 1;5 .
Ответ :
1) D (y) = 1;3;
2) D (y) =  1,5;2,5 ;
3) D (y) = 1;5 .
15
Обратные тригонометрические функции .
( область определения и множество значений)
№1.
Какие значения могут принимать х и у в равенствах:
а) у = arcsin x; б) у = arcos x; в) у = arctg x; г) у = arcctg x
Ответы: (неупорядоченные):
х
х
R, y (0;
[-1;1], у [0; ];
x
[-1;1], y
; ];
x
R, y
; ).
№ 2. Какие из данных равенств верные и какие неверные? Ответ обоснуйте.
1. a) arcsin1 = - ; б) arccos
2. a) arcsin =
= ; в) arctg (-1) =
; б) arcos
3. a) arcsin 0 = ; б) arcos
)=-
; г) arcctg (-
; в) arcctg (-
= ; в) arctg(-1) =
)=г) arcctg
-
; г) arcctg 1 =
д) arcsin (
)
д)arcos( 0) =
=
; д) arcos (
Ответы: Верными равенствами являются: 1. б); д). 2. в); д). 3. г); д).
№ 3.
Имеют ли смысл следующие выражения:
1. arcsin 3,1; arctg 3,1; arcos (-
; arcctg (-
; arcos
).
2. arcctg 5,4 ; arcos 5,4 ; arctg (-5); arcsin ; arcsin .
3. arcsin (-2); arctg (-2); arcos ; arcctg
; arcsin
.
Ответы: 1. Нет; да; нет; да; нет. 2. Да; нет; да; нет; да. 3. Нет; да; да; да; нет.
№ 4. Вычислите:
а) arccos - arcsin
arctg
– arcctg
; в) arcsin + arcsin
; г) arctg
; д) arcsin
- arcctg
0 + arcctg 0; е) arcsin (-1) + arccos 1; ж) arccos 1 + arctg 0; з) arccos 0 + arcsin 1; и) arcsin + arccos
) ; к)arcsin (н) arcctg (-
+ arccos
+ arcctg
Ответы: а) ; б) ; в)
; л) arctg
) + arcctg (-1) ; м) arctg
+ arcctg (-
; о) arcsin 1 – arctg 1.
; и)
; л)
; м)
; н)
.
16
№ 5. Найдите область определения функции:
1. а) у = arcsin ; б) y = arcctg
; в) y = arccos
; е) y =
.
2. а)y = arctg 2x; б)y = arccos
y=
; г) y = arcsin (2x – 3); д) y = arctg
в)y = arcsin
; г) y = arccos (
; д) y =
; е)
.
Ответы: 1. а) [-2;2]; б) [0;
2. а) R;
б)[-1;1];
д) [-5;2]; е) [-1;1].
;
в)[-12;5];
г)[0;4];
д)[-
е) [0;1].
№ 6. Найдите область значений функции:
1. а) у = 0,5 arcctg x; б) y =
е) y = (arcsin
+ arccos x; в) y = 0,5 - arctg x; г) y = arcsin
; д) y = 4 +
arcctg x;
).
2. a) y = 2arcsin x; б) y =
+ arcctg x; в) y = 0,5 - arccos x; г) y = arctg
; д) y = 6 +
arcsin x; е)
y = (arctg x .
Ответы (неупорядоченные):
1. [0; ]; [0; ]; [0; ]; [0;
(
]; [
]; [-
);
-
№ 7. В каком промежутке расположен угол?
1. а) arcsin ; б) arctg (-8); в) arcctg 2; г) arcsin
ж) arcctg (-5); з) arccos (
Ответы: а) (0; ); б)
д) arctg 8; е) arccos 0,69;
).
в) (0; ); г)
д) (0; ); е) (0; ); ж) (
з) (
2. Найти значения функций (подробные решения) :
1).
А.
Найдите
9
5
.

arcsin х, если arcсos х = 5 .

Б. 0,3  . В. 0,8  . Г. - = 5 .
17
Решение.


Так как arcsin х + arcсos х = 2 , то arcsin х = 2 - arcсos х,


arcsin х = 2 - 5 = 0,3  .
т.е.
Ответ: Б.
Найдите х, если arcsin х =
2)
А.
13
7
.
6
7
Б.

7
.


Решение: arcсos х = 2 - 7
.
В.
5
= 14 .

7
5
Г. 1 4 .
.
Ответ:
Г.
3) Найдите значение выражения
аrcsin
  - arcсos  
1
2
 2
2
arctg
.
3
3
А. 3,5.
Б. -4,5.
В. – 5,5.
Г.
-3,5.
Решение.
аrcsin
  - arcсos  
arctg
-аrcsin
1
2
 2
2
=
3
3
  -(
2
2
1

 - arcсos 2 ) = 4

6
 3  
=
 1112
= -5,5.

6

6
Ответ: В.
4. Вычислите:
А. -0,36.
сos (аrcsin (-0,6)).
Б. 0,6.
В. -0,8.
Г. 0,8.
Решение.
сos (аrcsin (-0,6)) = сos ( - аrcsin 0,6) = сos (аrcsin 0,6) = 0,8.
Обозначим аrcsin 0,6 = а,
а
2 ; 2  .
Тогда sin  = 0,6,
сos  =
1 sin 2  ,
сos  = 1  0,6 2 = 0,8.
Ответ: Г.
18
5. Вычислите: sin (arcсos (1
А. - 13 .
Б.
Решение.
sin (arcсos (-
12
13
)).
5
13 .
12
13
5
В. - 13 .
)) = sin (  - arcсos
Обозначим sin b = 1  cos 2 b =

1 12
13
2
=
12
13
5
13
1
Г. 13 .
) = sin (arcсos
12
13
).
.
Ответ: Б.
Следующие задания можно применить для самостоятельной работы.
Вычислите значения выражений.
I
Вычислите:
Вариант 1
а) sin arccos
; б) ctg arcctg (-1); в) tg arctg (-1); г) cos arccos (
е) ctg arcctg 1; ж) tg arcsin
; д) sin arcctg
з) sin arcsin a.
Вариант 2
a) сos arccos
е) tg arcsin
Ответы: 1. А)
2. а)
II
; б)
; б) ctg arcctg
;
в) ctg arcsin 1; г) cos arcctg (-1); д) tg arctg
;
ж) sin arcsin ; з) ctg arcctg a.
;
; б)
; в) -1; г)
; в) 0; г)
; д)
; д) ; е) 1; ж) 1; з) а.
; е)
; ж)
; з) а.
Вычислите:
Вариант 1
а) arccos cos ; б) arctg tg ; в) arcctg ctg
е) arcsin sin
; г) arccos cos
; д) arcctg tg
;
; ж) arctg (2sin ); з) arcsin tg .
19
Вариант 2
А) arcctg ctg ; б) arcsin sin ; в) arccos cos
; г) arcctg ctg
; д) arcsin sin
;
е) arcctg ctg ; ж) arcsin (0,5arctg ); з) arctg sin
Ответы:
III
1. А) ; б) ; в)
; г)
; д)
; е)
; ж) ; з) .
2. а) ; б) ; в)
; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
Вычислите:
Вариант 1
А) sin arccos ; б) ctg arctg
; в) sin arctg
е) tg arccos ; ж) cos arcsin
; г) ctg arccos 0,6; д) cos arctg
; з) tg arcctg
;
.
Вариант 2
А) cos arcsin
; б) tg arcctg
; в) sin arcctg
е) cos arcctg
; ж) sin arccos
; г) sin arctg ; д) cos arctg ;
; з) ctg arctg (-2,4).
Ответы:
Вариант 1. а) 0,6; б)
Вариант 2. а)
; б)
; в) 0,96; г) 0,75; д)
; в)
; е) 2,4; ж)
; г) 0,8; д) 0,8; е) 0,28; ж)
; з)
; з)
.
.
20
Упражнения – тренажер
(примеры решаются с помощью формул или вспомогательного треугольника)
1. Вычислите:

 8
 4 
sin  arccos    arctg     .
 17 
 3 

Решение.

 8 
 4
Обозначим: α =  arccos    , β= arctg    .
 3
 17  

sin(α+ β)=sin α cos β+ cos α sin β.
8 
 
а) cos α =  ,
17
2
sin α = ?
15
sin α= .
17
.
17
15
α II ч
8
4

  0
, 
2
3
sin β – ?, cos β – ?
3
4
sin β =  , cos β = .
5
5
15 3  8   4  45 32 77
*   *  


sin(α+ β)=
.
17 5  17   5  85 85 85
77
Ответ:
.
85
б) tg β = 
2.
Вычислите сумму
arctg2 + arctg3.
Решение.
Найдем tg (arctg 2 + arctg 3).
Обозначим: α = arctg 2, β = arctg 3.
tg  tg
.
1  tgtg
tg α = 2 , tg β =3
23
 1 .
tg (α+β) =
1 2*3
tg(α+β)=

4

 arctg 2
 arctg 3

2

4
2
__________
    
В этом промежутке есть единственный угол, тангенс которого равен -1.
3
Это угол
.
4
3
Ответ:
.
4
21
Вычислите при x > 1.
2x
2arctg x + arcsin
.
2
1 x
Решение.

2 x 
tg  2arctgx  arcsin
.
2


1

x

Обозначим α = arctg x, β = arcsin 2 x
3.
tg (2α + β) =
1.
tg 2  tg
.
1  tg 2  tg

tg α= x,
tg 2α - ?
tg2α =
2. sinβ=
m
tg β=
 
4

2tg
,
1  tg 2
2x
1 x
2
2
1 х2

.
1 x
2х
m
2
.
2 
2
1 x
2
tg2α = 2 x .
1 22  2x
2x
2
1 x

1  2x 
2
x
4

x
2
1 
x
2
1
.
.
2x

2x
1- x
x 1  0
tg(2α + β)=
2x
2x
1
 2
2
1 x x 1
2    n, n  Z .
tg (2α + β)=0,
2

 
2

4
2

 2  2  ,

0   

2
_________

При n=0
При n=1
При n=0
Итак, 2 α+ β= π.
3
2
2
  3 
2α+ β=0, 0   ; 
2 2 
  3 
2α+ β= π,    ; 
2 2 
  3 
2 α+ β=2 π, 2   ; 
2 2 
Ответ: π.
 2   
22
4. Вычислите:
arctg 1\3 + arctg1\5 + arctg1\7 + arctg1\8.
Решение. Обозначим α = arctg1/3, β = arctg 1/5 , γ = arctg1/7, δ = arctg 1/8,
Α € (0; Π\4 ), β€ (0;Π\4) , γ € (0;Π\4), δ €(0; Π\4).
Можно по-разному решать, но удобнее вычислить так:
tg(α+β)= 1/3+1/5
= 8/15 = 8/15 = 4/7,
1-1/3*1/5
1-1/15
14/15
α+β= arctg 4/7,
0< α+β< π\2;
tg(γ+δ) = 1/7+1/8 = 15/56 = 15 = 3/11,
1-1/7*1/8 55/56 55
γ+δ= arctg 3/11, 0< γ+δ< π\2;
tg(α+β+γ+δ)=tg(arctg 4/17 + arctg 3/11) = 4/7+8/11 = 65 / 77 = 65 / 77 =1.
1-4/7*3/11 1-12 / 77
65 / 77
α+β+γ+δ = π\4, так как , 0< α+β+γ+δ< π.
Ответ:Π\4.
УРАВНЕНИЯ
1. Решите уравнение:
arctg 1/7 + arcsin x =π\4.
Решение.
arcsin x =π\4 - arctg 1/7,
sin(arcsin x) = sin (Π\4 – arctg 1/7).
Обозначим α=arctg 1/7,где 0< α< π\4.
50
Iч
1

7
х= sin Π\4 cosα - cos Π\4 sin α,
х= √2 7 - 1
2 5√2 5√2
= √2*6 = 3/5.
2*5√2
Ответ: 3/5.
2.
Решите уравнение:
arcsin x = arcsin 2x = Π\3.
Решение. arcsin 2x = Π\3 –arcsin x,
sin(arcsin 2x) = sin(Π\3-arcsin x),
2x = sin Π\3 cos(arcsin x) – cos Π\3 sin( arcsin x),
2x = √3 √(1-x²) – 1/2x,
2
5x = √(3-3x²) ,
2
2
23
5x=√(3-3x²),где x>0,
25x² = 3-3x², 28x²=3, x²=3/28.
X1=1/2√(3/7) , X2=1/2√(3/7).
Ответ: 1/2√(3/7).
3. Решите уравнение :
Решение: { -1≤ x ≤ 1,
{ -1≤ x√2 ≤1;
arcsin x = 2 arcsin (x√2).
общее -1 ≤ x ≤ 1
√2
√2.
sin(arcsin x) = sin (2 arcsin (x√2)).
Обозначим α=arcsin x , β= arcsin (x√2).
X=sin 2β,
sin β=x√2,
sin β=x√2,
сosβ=√(1-2x²);
x=2sin β cos β;
x=2*x√2*√(1-2x²),
x-2x√(2-4x²) =0,
x*(1-2√(2-4x²)) = 0;
х 1 =0 –корень;
√(2-4x²)=1/2, 2-4x²=1/4, 4x²= 1¾,
x² = 7/16, х 2,3 = ±√7.
Ответ: 0.
4
24
Дополнительные задания.
Решить уравнения.
1. arcsin x = arctg х.
2. arcсos (2х – 1) = 3 arcсos х
3. arcsin x + arcsin
4. arcсos
1 х 2
1 х 2
51
2
Ответ:
х
3
=
+ arctg

2
2х
1 х 2
Ответ: 1.
Ответ:
.
=
.
4
3
.
3
2
.
Ответ: решения нет.
Задания на построение графиков обратных функций.
Построить графики функций:
а) y = cos 2 arcsin x; б) y = arccos cos x.
Решение.
а) Заметим, что данная функция определена при -1 ≤ x ≤ 1. Далее, по определению arcsin x: если
обозначить arcsin x = a, то sin a = x, -π/2 ≤ a ≤ π/2. Таким образом, y = cos2α = 1 -2sin² α = 1 – 2x².
Графиком функции будет дуга параболы y = 1 – 2x² при -1 ≤ x ≤ 1.
б) Данная функция является периодической , её значения не меняются при замене x на x + 2π.
Если 0 ≤ x ≤ π, то y = x. Это следует из определения арккосинуса: если
y = arccos cos x, то cos y = cos x и 0 ≤ y ≤ π.
А поскольку на отрезке [0; π] каждое значение косинуса достигается в одной точке, то y =x.
Пусть π ≤ x ≤ 2π. Поскольку cos x = cos (2π – x), а при π ≤ x ≤ 2π будем иметь 0 ≤ 2π –x ≤ π, то
из определения арккосинуса получим при
π ≤ x ≤ 2π
y = 2π –x.
25
Применение обратных тригонометрических функций и их свойств на ЕГЭ.
1. Найдите значения выражения
tg 2 arccos 
1
4
 .
Решение. Введя подстановку
1
cos  = - 4 < 0,
Ответ: 15.
Т.к.
 14  = a,
arccos
получим tg 2  =
1
cos2 
где а 
2 ;  ;
- 1, tg 2  =16-1= 15.
2. Найдите значения выражения
tg 2 5arctg
Решение.

3
3
 0,25 arcsin
3
2
.
tg 2 5arctg
Ответ: 1.

3
3
 0,25 arcsin
3
2
 = tg 56  14  3  = tg
2
2
3
2
4 = (-1) =1.
3. Найдите значения выражения
4
3 tg
  arcsin  53  .
Решение.
  arcsin  53  = 43 tg   arcsin 53  = 43 tg arcsin 53  = 43  34 = 1.
arcsin 53  = а, sin а = 53 >0, значит а I четверти, откуда cos  > 0, tg  > 0.
4
3 tg
Т.к.
cos  =
4
5
3
 tg  = 4 .
3
Ответ: 4 .
4. Найти множество значений функции
3
у =  arcсos
Решение.
0,125 (cos х – sin х).
1). Так как cos х – sin х =

2
2
cos x 
2
2


2 sin (x - 4 ),
а синус принимает все значения от -1 до 1, то множество значений разности равно  2; 2 .
При умножении на
2
sin x =
1
0,125 = 2 2 этот отрезок перейдет в отрезок
 12 ; 12  .


2) Арккосинус – монотонно убывающая и непрерывная функция. Значит, множество
значений выражения arcos ( 0,125 (cos х – sin х)) – это отрезок

arccos 0,5; arccos( 0,5)
 = 3 ;

2
3
.
3
3) При умножении этого отрезка на 
Ответ:
1;2 .
получим
1;2 .
26
Обратные тригонометрические функции.
1. Свойства функции
y = arcsin x.
Область определения D (y) = [-1; 1].
Область значений E (y) = [-π/2; π/2].
Функция нечетная.
Нуль функции х = 0.
Функция принимает положительные значения на (0; 1 ], отрицательные – на
[1; 0).
6) Функция дифференцируема на D (y).
7) Функция возрастает на D (y).
8) Экстремумов нет.
1)
2)
3)
4)
5)
2. Свойства функции
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
y = arccos x.
Область определения D (y) = [-1; 1 ].
Область значений E (y) = [0; π ].
Функция ни четная ни нечетная.
Нуль функции x = 1.
Функция принимает положительные значения на [-1; 1).
Функция дифференцируема на D (y).
Функция убывает на D (y).
Экстремумов нет.
3. Свойства функции y = arctg x
1) Область определения D (y) = R.
2) Область значений E (y) = (-π/2; π/2 ).
3) Функция нечетная.
4) Нуль функции x = 0.
5) Функция принимает положительные значения на (0; ∞ ), отрицательные - на
(-∞; 0).
6) Функция дифференцируема на D (y).
7) Функция возрастает на D (y).
8) Экстремумов нет.
4. Свойства функции
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
y = arcctg x.
Область определения D (y) = R.
Область значений E (y) = (0; π ).
Функция ни четная ни нечетная.
Нулей нет.
Функция принимает положительные значения на R.
Функция дифференцируема на R.
Функция убывает на R.
Экстремумов нет.
27
Краевая научно – практическая конференция «Эврика»
Малой академии наук учащихся Кубани
Обучающий модуль по теме:
«Обратные тригонометрические функции»
Научно – исследовательский проект
Выполнил:
ученик 10 класса средней школы №65
Игнатенко Владимир
Научный руководитель:
учитель математики
Швец Тамара Александровна
Краснодар 2008
28
Выводы.
Для изучения построенных математических моделей в математике разработаны
многочисленные методы, такие как методы решения уравнений, исследование функций,
измерения длин, площадей, объемов и т.д. Все эти методы и составляют в совокупности модель
аппарата математики. В математике разработаны и особые методики для использования в
практике результатов исследования математических моделей. Примером такой методики
является решение практических задач с помощью предложенных способов.
Мне очень захотелось оказать посильную учебно-методическую помощь и учителю, и
своим одноклассникам после того, как на уроке по теме «Обратные тригонометрические
функции» учитель сказал, что в наших учебниках немного информации о таких функциях.
А тема довольно сложная, и имея в классе всю необходимую мультимедийную технику, всем
хотелось бы все аспекты этой темы не только услышать, но и увидеть, а также в удобной форме
закрепить знания и их проверить.
Работая над исследовательским проектом, я не только сам много узнал, но и с
интересом обнаружил, как увлекательна такая работа, с каким интересом ждут одноклассники
моих сообщений о каждом этапе исследования, о трудностях не только набора такого
необычного текста, но и работы над презентацией, над решением каждого примера, разбора
заданий пробного теста. Я увидел, сколько математической литературы вокруг, сколько
подобных проектов можно разработать в помощь учителям не только нашей школы, но и всем
желающим. В процессе общения с учителями, работая со многими видами научной
информации, начинаешь другими глазами смотреть не только на работу учителя при
подготовке к уроку, но и на свое отношение к учебе, не всегда добросовестное.
Следующим этапом такой работы можно считать разработку подобных учебных
модулей по всем темам алгебры и начала анализа, ориентируясь на подготовку к ЕГЭ.
29
Список используемой литературы.
1. Башмаков М.И. «Алгебра и начала анализа, 10-11 класс», М., Просвещение, 1995.
2. Бродский Н.Л. « решение экзаменационных задач повышенной сложности по
алгебре и началам анализа», М., АРКТИ, 2001.
3. Домогацких Л.А. «Тригонометрия – это просто», М., «Русское слово», 2004.
4. Манвелов С.Г. «Конструирование современного урока математики»,
М., Просвещение, 2005.
5. «Математика в школе», газета :
№ 29/2003г., В. Учаева;
№35/2004 г., Т.Иванова;
№ 17-18/2001г., В.Солодухин.
6. Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа, 10-11 класс»,
М.,Мнемозина, 2005.
7. Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры
и начала анализа», М., Просвещение, 2001.
8 . Лысенко Ф.Ф. «Математика ЕГЭ 2005-2007», Ростов на Дону,
Легион, 2005-2007.
9. Поляк Н.Н., А.Г. Мерзляк «Решение конкурсных задачпо математике»,
М., Инфолайн, 1995.
10. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. « Решение задач», М.,
Просвещение, 1995.
Интернет ресурсы: сайты «Открытый урок», библиотека
30