Некоммутативный анализ. М.В. Карасевx

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет прикладной математики и кибернетики
Программа дисциплины
«Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика»
подготовки магистра
Автор программы:
Карасев М.В., д. ф.-м. н., профессор, [email protected]
Одобрена на заседании кафедры прикладной математики « 31 » января 2013 г.
Зав. кафедрой Карасев М.В.
Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г
Председатель [Введите И.О. Фамилия]
Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.
Ученый секретарь [Введите И.О. Фамилия] ________________________ [подпись]
Москва, 2013
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 010400.68 «Прикладная математика и информатики», обучающихся по магистерской программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», изучающих дисциплину «Некоммутативный анализ».
Программа разработана в соответствии с:
 Образовательным стандартом государственного образовательного бюджетного учреждения высшего профессионального образования «Государственный университет –
Высшая школа экономики», в отношении которого установлена категория «Национальный исследовательский университет»;
 Образовательной программой «Математические методы естествознания и компьютерные технологии» для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра;
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра по программе «Математические методы естествознания и компьютерные технологии», утвержденным в 2013г.
2
Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Некоммутативный анализ» является формирование у студентов базисных знаний в области современных методов некоммутативного анализа и их применений в актуальных задачах и моделях естествознания. Студенты обучаются применению
некоммутирующих операторов и алгебраических подходов в исследовании прикладных проблем, изучают фундаментальные связи между алгеброй и механикой, алгеброй и геометрией,
получают примеры анализа базовых физических систем с помощью алгебраических методов.
3
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина является дисциплиной по выбору.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
 Математический анализ;
 Дифференциальные уравнения;
 Физика.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
 Знание основ квантовой и классической механики;
 Навыками решения типовых задач курса «Дифференциальные уравнения».
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:
 Алгебраические методы математической физики;
 Математическая физика наноструктур;
 Моделирование наноустройств.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
4
Тематический план учебной дисциплины
Всего
часов
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
Самостоятельная
работа
№
Название раздела
1
2
3
Функции от некоммутирующих операторов
Некоммутативность как источник механики
Алгебраическое усреднение и некоммутативные алгебры в физических моделях
50
30
82
10
6
16
10
6
16
30
18
50
Всего
162
32
32
98
5
Формы контроля знаний студентов
тип кон- форма контроля
троля
текущий контроль(неделя) ная работа
домашнее
задание
итоговый
1 год
1
параметры **
2
16-ая
неделя
8-9 неделя
экзамен
Х
Домашняя письменная контрольная работа по материалу второго модуля обучения. Контрольная работа содержит от 1 до 2 задач. Задание выдается на 14-ой неделе курса. Выполненное задание в письменном виде
сдается студентами на 16-ой неделе.
Письменное домашнее задание на пройденный материал с устной защитой. Домашнее задание включает
от 1 до 2 задач. Задание выдается на 8-ой неделе курса.
Выполненное задание в письменном виде сдается студентами через неделю после выдачи задания. Устная
защита проходит в течение недели после сдачи письменной работы в часы дополнительных консультаций.
Устный ответ после 60 минутной подготовки. Задание
включает 1 теоретический вопрос и 1задачу по всем
темам курса.
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Оценка за контрольную работу, самостоятельную (домашнюю) работу и экзамен рассчитывается как доля успешно решенных студентом задач от общего числа задач, умноженная на 10.
5.1
6
Содержание дисциплины
Содержание дисциплины разбито на 3 раздела, каждый раздел включает две темы. Аудиторные часы распределены так: по темам первого раздела: 16 часов и 4 часа, по темам второго
раздела: 8 часа и 4 часа, по темам третьего раздела: 24 часов и 8 часа. Аудиторные часы поровну делятся на лекции и семинары.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
Раздел 1. Функции от некоммутирующих операторов
1. Функции от нескольких некоммутирующих операторов. Базовые формулы исчисления
(Ньютона, дифференцирования, коммутации, для сложной функции). Формула КэмпбеллаХаусдорфа. Контрпримеры. (4 недели).
2. Алгебра Гейзенберга и неравенство Вейля. Задача Дирака. Квантовое произведение
функций. Формула Березина. (1 неделя).
Литература по разделу:
1. В.П. Маслов, Операторные методы / М.: Наука, 1973.
2. М.В. Карасев, Задачник по операторным методам / М.: МИЭМ, 1979.
3. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.:
1991.
4. Ф.А. Березин, Метод вторичного квантования / М.: Наука, 1986.
Раздел 2. Некоммутативность как источник механики
1. Тензоры тока и напряжения, выведенные из алгебры Гейзенберга. (2 недели).
2. Хроно-алгебры Фейнмана и алгебраическая динамика. (1 неделя).
Литература по разделу:
1. F.J. Dyson. Feynman’s proof of the Maxwell equations // Am.J.Phys., 1990, v.58, 209-211.
2. M.V. Karasev. Internal geometric current, and the Maxwell equation as a Hamiltonian system on
configuration surfaces. Russ. J. Math. Phys., 2007, 14, 2, 134–141.
3. М.В. Карасев, В.П. Маслов, Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование / М.:
1991.
Раздел 3. Алгебраическое усреднение и некоммутативные алгебры в физических моделях
1. Алгебраическое усреднение для квантовых систем. Резонансные алгебры: ангармонические осцилляторы, гироны в волноводных каналах и квантовых проволоках, ловушки Пеннинга. (6 недель).
2. Спинорная структура и уравнение Дирака на многообразии. Деформация метрики в
спинтронике. Геометрический ток и ток Холла в графене. (2 недели).
Литература по разделу:
1. M.V. Karasev. Resonance gyrons and quantum geometry. In: "From Geometry to Quantum Mechanics: In Honor of H.Omori" (Maeda, Michor, Ochiai, Yoshioka, eds.), Progress in Mathematics,
2006, 252, 253–274.
2. M.V. Karasev (ed.), Quantum algebra and Poisson geometry in mathematical physics / Advances
Math.Sci., 57, AMS, 2005.
3. M.V. Karasev. Graphene as quantum surface with curvature-strain preserving dynamics.
Russ.J.Math.Phys., 2011, v. 18, N 1, 25–32.
4. M.V. Karasev. Hall Quantum Hamiltonians and Electric 2D-Curvature. Russian Journal of Mathematical Physics, 2012. v. 19. № 3. p. 299—306
5. В.П. Шляйх, Квантовая оптика в фазовом пространстве / М.: Физматлит, 2005.
6. Н.Б. Брандт, В.А. Кульбачинский, Квазичастицы в физике конденсированного состояния / М.:
Физматлит, 2007.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Некоммутативный анализ»
для направления 010400.68 «Прикладная математика и информатика» подготовки магистра
7
Порядок формирования оценок по дисциплине
Итоговая оценка К по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма:
K = 0,3R +0,3H+0,4E
10-балльных оценок за контрольную работу R, домашнее задание H и экзамен E с округлением до целого числа баллов. Оценка округляется вверх. Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:
 0 ≤ К ≤ 3 - неудовлетворительно,
 4 ≤ К ≤ 5 - удовлетворительно,
 6 ≤ К ≤ 7 - хорошо,
 8 ≤ К ≤10 -отлично.
При итоговой оценке за экзамен ниже 4 баллов, итоговая оценка за весь курс равняется
оценке за экзамен.