Численные оценки распределения вероятностей на основе

УДК 004(06) Информатика и процессы управления
А.Г. ФРОЛОВ, Г.А. ФРОЛОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНОГО
ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ИЗВЕСТНОГО
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
В работе предлагается численная процедура оценки распределения
вероятностей на основе и с учетом согласования различных характеристик,
получаемых методами прямого восстановления для относительно малых t,
асимптотики для больших и расчета значений моментов распределения.
Предлагаемые оценки относятся как к получению гарантированных нижней и
верхней границ распределения, так и получению общей оценки распределения на
всей оси.
Для многих задач известны распределения в виде преобразований
Лапласа - F (s ) . В большинстве известных работ решаются отдельные
задачи получения параметров функции оригинала, основанные на
использовании отдельных характеристик преобразования:
1) Прямое восстановление. В работах [2], [3], [4] предложен ряд
методов позволяющих выполнить прямое численное обращение. Общим
ограничением здесь является значительный рост погрешности
получаемого оригинала при росте t.
2) Получение моментов распределения. Например, в [1] предложена
процедура получения любого числа моментов распределения по его
преобразованию Лапласа с использованием операций над рядами.
3) Получение асимптотики «хвоста» распределений [5]. Приемлемая
для практики точность здесь, как правило, обеспечивается далеко за
пределами интересующих на практике значений t.
В настоящей работе ставится задача совместного использования в
единой вычислительной схеме всех подобных характеристик и получение
численного решения, согласованного с каждым из них в отдельности и в
совокупности.
Поставим задачу оценки, например, нижней границы распределения в
виде t
, при ограничениях:
0

0
f (t )dt  min
f
А) Ограничение на основании известных моментов
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
114
УДК 004(06) Информатика и процессы управления

;

 f (t )dt  1  t
0
k
f (t )dt  f ( k ) , k  1,.., n ; f (t )  0t
0
Б) Ограничения на основе численной оценки значений оригинала в
начале оси
f *(t i )-(t i   f ti   f *(t i )  (t i 
где f *(ti ) - численная оценка функции в точке
абсолютной погрешности
ti ,
(t i 
- оценка
f *(t i )
В) Ограничения на основе оценке асимптотического поведения
функции при t  Tmax  k
t
f асс (t )dt   k
Tmax
При представлении искомой функции в виде сплайна и применении к
ней формул численного интегрирования, получаем задачу линейного
программирования (если число определяемых дискретов больше числа
используемых ограничений и целью является получение нижней/верхней
оценок)
или
СЛУ
относительно
оценок
восстанавливаемого
распределения (если, например, положить в ограничении типа Б) Δti   0 и
обеспечить равное число ограничений и искомых дискретов).
Проведенные вычислительные эксперименты для ряда эталонных
функций подтверждают возможность получения предложенным способом
требуемых оценок с точностью, достаточной для практических
применений, как путем определения верхней и нижней границы
распределения, так и путем решения задачи численного обращения.
Наибольшее влияние на точность оказывают: число используемых
моментов (желательно – не менее 10-15) и число дискретов в
распределении (десятки и сотни).
С вычислительной точки зрения данная задача является плохо
обусловленной, поэтому для ее решения при числе используемых
моментов более 6-7 уже необходимо применение арифметики с
задаваемой длиной мантиссы.
Список литературы
1.
Кочегаров В.А., Фролов Г.А. “Проектирование систем распределения
информации. – Марковские и немарковские модели” М.: Радио и связь 1991 ISBN 5-25600875-7
2.
M.Y. Kitaev G.A. Frolov “Impr. of Accuracy in Numerical Methods for Inverting
Laplace Transforms Based on the Post-Widder Formula”. Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 2334, 1998
3.
M.Y. Kitaev G.A. Frolov “A problem of Numerical Inversion of Implicity defined
Laplace Transforms”. Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 35-44, 1998
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
115
УДК 004(06) Информатика и процессы управления
4.
J. Abate, W. Whitt “The Fourier-series method for inverting transforms of probability
distributions” Queueing Systems 10(1992)5-88
5.
Malinovskii V.K. “Approximations and upper bounds on probabilities of large
deviations in the problem of ruin within finite time”. Scand. Actuarial J., 1994, 161-174
ISBN 5-7262-0555-3. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2005. Том 12
116