1, 0. о, о, о

МПС
СССР
М О С КО ВС КИ Й О РД ЕН А Л Е Н И Н А
И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСН О ГО ЗН АМ ЕН И
ИНСТИТУТ ИНЖ ЕНЕРОВ
Ж ЕЛЕЗНОДОРОЖ НОГО ТРАНСПОРТА
К аф е д р а строительной механики
Г. Л. М А Н У Й Л О В
СОСТАВЛЕНИЕ
И ПРИМ ЕНЕНИЕ МАТРИЦ ВЛИЯНИЯ
М О М Е Н Т О В В СТАТИЧЕСКИ О П Р Е Д Е Л И М Ы Х
Б А Л КА Х И РАМАХ
Методические указания к заданию 1
по ди сц ип ли не
«СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА»
М о сква - 1 9 73
1. П О С Т Р О Е Н И Е М А Т Р И Ц Ы В Л И Я Н И Я М О М Е Н Т О В
В Ш А Р Н И Р Н О - С О Ч Л Е Н Е Н Н О Й Б А Л К Е ОТ СИСТЕМЫ
С О С Р Е Д О Т О Ч Е Н Н Ы Х СИЛ
М атр и ц ей в л и я н и я и зги б аю щ и х м ом ентов Ш н азы в а е т с я
т а б л и ц а , с о с т а в л е н н а я из коэф ф и ц и ен то в M i k линейного п р е­
образования
s -мерного в екто ра внеш них н а г р у зо к
Р = [Л ,
Pfr...,Ps ] в п-мерны й вектор в нутренних и зги б аю щ и х м о м е н ­
тов Мт = [Мь М 2,..., М п], т. е.
М j = М п Р [ + ltt\2P2 + . . . - \ - M lsP s
■= М 2[Р 1 + ~МцР2 + ■■■"Ь M 2SP S
М п = М п1Р 2 + М п2Р 2-\-... + М пхР 5
К а ж д ы й к оэф ф и ц и ен т матрицы влияни я M ik, i = 1,2, ,.;п\
к = 1, 2 ,.., s есть зн ач ен и е и згиб аю щ его момента в г-м сече­
нии, вы зван н ого действием к -й внешней силы P k = 1. К а ж д ы й
/с-й столбец матрицы в л ияни я есть векто рн ая запись эпю ры
моментов, возни каю щ и х в выделенны х сечениях б ал к и от д е й ­
ствия /с-й внешней силы Р к = 1. Н акон ец , коэффициенты i -Й
строки матрицы вл и ян и я моментов п оказы ваю т, к а к меняется
зн ачение и згибаю щ его момента в
г-м сечении в зависимости
от того, в какой из 5 точек п рил ож ена единичная сила Р. С л е ­
довательно, столбцы м атр иц ы в л и я н и я св яза н ы с расчетом си­
стемы на постоянную нагрузку, тогда как ее строки играю т
в аж н у ю роль в расчетах на подвижную нагрузку. В соответст­
вии с этим д ля составления матрицы влияния достаточно по­
следовательно п р и к л а д ы в ать в к а ж д о м сечении единичную
силу и «собрать» соответствующ ие векторы -столбцы (эпюры)
моментов в таблицу в порядке выбранной нумерации н агрузок
М = [Мл Mj,
MJ.
а
При этом следует иметь в виду, что сечения балки, в кото­
рых необходимо Определить значения изгибающих моментов,
вообще говоря, могут не совпадать с точками приложения
внешних сосредоточенных сил. Однако для простоты р ас с у ж д е ­
ний рассмотрим процесс получения матрицы влияния моментов
в сечениях 1 ,2,.., 8 двухпролетной шарнирно-сочлененной б а л ­
ки (рис. 1), вызванных действием системы сосредоточенных
сил, Р ь Pz,.., Р&, приложенных в тех ж е точках на расстоянии d
(длина панели) друг от друга. С этой целью будем п р и к л а д ы ­
вать единичную вертикальную силу Р = 1 в каж д о й из в ы д е­
ленных точек и строить соответствующие эпюры моментов. О р ­
динаты эпюр откл ад ы ваем со стороны растянутых волокон и
считаем их положительными, если эти волокна нижние (рис. 2 ).
Р асс м а тр и в а е м а я б ал ка является статически определимой
шарнирно-сочленецной системой, соединенной с «землей»
пятью связями. Поэтому для определения пяти реакций (три
в заделке 1 и по одной в опорах 4 и 8) необходимо составить
помимо трех уравнений равновесия всей балки еще два д о ­
полнительных уравнения. Д л я шарнирно-сочлененных систем
последние составляю тся из условия равенства нулю суммы мо­
ментов относительно промежуточных ш арниров всех сил, д ей ­
ствующих левее или правее этих шарниров. Кроме того, о тм е­
тим, что поскольку ось балки горизонтальна, а действующие
на нее силы направлены по вертикали, то из условия суммы
проекций всех сил на горизонталь следует, что горизонтальная
реакция в зад ел к е / равна нулю.
С учетом этих особенностей подробно рассмотрим построе­
ние трех эпюр моментов.
1.
Груз Р •= I приложен в точке 3. В этом случае обе под­
весные балки 3 — 4 — 5 и 5—6— 7— 8 не работают, и, сл ед о в а­
тельно, эпюра изгибаю щ их моментов имеет ненулевые о рд и н а­
ты только в сечениях консоли 1—2-—3. Действительно, проведя
разрез I— I (рис. 3) и составив сумму моментов относительно
ш арнира 5 правых сил
4
Л й
ii
1
)
**—
^ t>
II
|У
2
! ] ^
?
VV
о
^
J
v *
? ТЯ ?7
.'№ п > < - ^
1 Р ш<
ji
^
2
ш
~5
5
tw . ^
,
к
'У
*
2
Сд-
■ Ay
^
' 3
7
0L
\б
)
77& 7Г
h ^
^
*
7^ > Г
Jy
►
х
"
Л ~
'7
£
L
\Р7*4
и
Т
^ —
* г
т т Ргг
-СП,-------- t
5
S
Рис. 2
р ,'<
Рис. 3
находим, что V8 = 0. Д ру гое уравнение равновесия (сумма
проекций на вертикаль сил, действующих на бал ку 5—6—7—8)
Е Г „ р = М -< ? .= 0,
позволяет считать, что поперечная сила <38= 0 . Значит, со
стороны балки 5— 6— 7— 8 на бал ку 3 —4 — 5 через шарнир 5
никаких поперечных уси ли й не передается. Д ал ее, проведя р а з ­
рез I I — II (рис. 3) и составляя уравнения суммы моментов для
правой отсеченной части
S /и, пр= V e- d = 0 - d = 0 ,
заметим, что когда сила Р = 1 прилож ена в точке 3, в любом
сечении балки 5 —6— 7— 8 изгибаю щ ие моменты равны нулю.
Т ак как Q 5= 0 , то, проведя разрез I I I — III через шарнир 3
(рис. 3) и составляя сумму моментов сил, действующих на
обведенную отсеченную часть относительно точки 3
2 m anp= Q sd + V i d = 0,
находим, что V 4 = 0, а следовательно, и Q3 = 0 (из условия
2 У = 0 всех сил, действующих на б ал ку 3—4 —5).
Д а л е е убедимся в том, что в любом сечении балки 3 —4 — 5
изгибающие моменты и поперечные силы равны нулю (при по­
мощи разр е за IV— IV (рис. 3). Наконец, так ка к Q 3 = 0, то
это означает, что через шарнир 3. со стороны балки 3— 4— 5
никакого давлен ия на консоль 1—2 — 3 не передается, и при
построении эпюры моментов в этой консоли можно «отбро­
сить» балки 3—4 — 5 и 5— 6— 7— 8.
В связи с этим в сечениях 1 я 2 изгибающ ие моменты вы ­
числяются ка к суммы моментов внешних сил, расположенны х
на у ч а с т к а между концом консоли и рассм атриваем ы м сечени­
ем. Поскольку эти силы сводятся к одной силе Р 3 = 1, то
М\ = —1 - 2 d = — 2d;
б
М2 = —1 -d=* — d.
О тк л а д ы в ая отрицательны е моменты со стороны р астян у­
тых верхних волокон консоли, построим эпюру, показанную
на рис. 3.
2.
Груз Р == 1 прилож ен в точке 5. В этом случае реакция
V8 т а к ж е равн а нулю, в чем мож но убедиться^ проведя разрез
I— I (рис. 4) и составив сумму моментов правых сил относи­
тельно ш арнира 5. Единичная сила в это уравнение не войдет,
если ее отнести к б ал ке 3 —4 —5, или ж е войдет с нулевым пле­
чом, если считать, что она прилож ена к балке 5—6 — 7— 8. Но
если реакция Vs = 0, то и в любом сечении балки 5— 6— 7— 8
поперечные силы и изгибаю щ ие моменты равны нулю. Т а к как
при этом поперечная сила Q b в ш арнире 5 т а к ж е равна нулю,
то при построении эпюры моментов в консоли 1—2— 3 и в б а л ­
ке 3 — 4— 5 можно «отбросить» балку 5— 6— 7—8. С учетом это­
го величина изгибаю щ его момента в сечении 4 запишется так:
М 4 = — 1 •</ = —<*.
Однако д ля определения моментов в сечениях, располож ен ­
ных левее точки 4, необходимо предварительно вычислить
опорную реакцию F 4. Составив уравнение моментов правых
сил относительно точки 3 (рис. 4)
S /nanp— 1 -2d—УА-с1=0,
находим, что У4 = 2. П ол ож и тел ьная величина этой реакции
показы вает, что выбранное при составлении уравнения момен­
тов направление ее действия (вверх) совпадает с действитель­
ным. 1
З а т е м находим величины изгибающ их моментов в сечениях
1 и 2 ка к суммы моментов правых .сил:
M t = V t •2 d — 1 •3 d = 4 d - 3 d = d ;
Al, = Vt •3 d -1 •4 d = 6 d - 4d=2d.
T
О тк лады вая эти ординаты в соответствии с выбранным
правилом знаков и учитывая, что момент М 3 в ш арнире ,3 р а ­
вен нулю, построим эпюру, показанную на рис. 4. При этом
отметим, что ординаты
и Af2 мож но вычислить несколько
иначе, используя д авление <?3балки 3— 4 — 5 на балку 1—2— 3
M 1= Q „ 2d; M t = Q 3-d.
Это давление предварительно находим, например, из у р а в ­
нения для балки 3—4 — 5
E m 4= b d - Q 3' d = 0 ; Q a= l .
3.
Груз Р = 1 приложен в точке 7. При таком загруж ении
работаю т на изгиб обе балки 3—4 — 5 и 5— 6 — 7— 8, а т а к ж е
консоль 1— 2 — 3.
Построение эпюры моментов начнем с определения реакции
VY Д л я этого, проведя разрез I— I через шарнир 5 (рис. 5), со­
ставим сумму моментов правых сил вокруг этой точки. П о л а ­
гая, что реакция V'e н ап рав л ен а вверх, получим
Em|np= l - 2 d - V e-3rf = 0; V e = ^ - .
П осле этого, проведя р азр ез I I — II через шарнир 3 (рис. 5),
составим относительно этого ш арнира сумму моментов правых
сил, полагая, что и реакция V4 н ап р авл ен а вверх. Будем иметь
L m „ ,= l - 4 d - V t b d - V t d=0; Vt = — .
8
З н а я величины и направления реакций V4 и V8, вычислим
значения изгибаю щ их моментов в сечениях 1, 2,.., 8
Mg = М 5 — М 3 = 0 ;
M ^ V t d = ^d-,
М , = Vs -2d — \- d = — ■2d — 1 •d =
3
3
M t = V s - 4 d - l - 3 d = — -4d - 3 d = - - ^ ;
*
3
3
Af1= V „ - 6 d + V 4.2 rf— 1-5</ = — -6rf + — -2 d — 5d = — ;
3
3
3
M ^ V b - l d + V t - Z d - y - b d ^ — -7rf + — -3d 3
3
1 •6d =
3
d.
Построив эпюры моментов от к аж д о й единичной силы и
рас п о л ага я их ка к столбцы в порядке принятой 'нумерации се­
чений, составим матрицу влияния моментов М. После вынесеd
ния общего м н о ж и т е л я — за скобки эта матрица запиш ется так:
О
1" 0
0
—3
0
—6
0
6
4
2
0
-3
0
3
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d
0
0
0
0
—3
—2
—1
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
И м ея матрицу влияния моментов, построим эпюру момен­
тов в рассматриваемой б алке от нагрузки, заданной в виде со9
средоточенных сил (рис. б). Считая положительными силы, н а ­
правленные вниз, запиш ем эту нагрузку в виде вектора-строки
Р т= [ 0 , 2, - 3 , 0 , 1 ,0 , 0,0].
Умножив матрицу М на вектор-столбец Р , получим вектор
изгибающих моментов Мр, т. е.
Мр = М Р
или
~мГ
" о —3 — 6
0
6
4
2
0
0
18
0
3
2
1
0
2
12
0
0
0
0
0
0
—3
0
0
0
1
1
0
0
м2
0
0 ~3
Мг
0
0
0
_ d
—3
М4
_
d
0
0
0
М5
~ 3
0
0
0
0 —3 —2 — 1
0
0
0
0
м6
0
0
0
0
0
.2
м 7
0
0
0
0
ч0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
_ 0_
_0 _
м а
0
0
0
0
~
3
0
0
Если положить, что d = 9 м, Р ь = 1 т, Р 3 = — 3 т, Р 2 -=* 2 т,
то эпюра моментов, построенная по координатам вектора Мр,
примет вид, показанны й на рис. 6.
Проверим характер н ы е ординаты этой эпюры ( М и М 2 и М 4)
непосредственным подсчетом при помощи уравнений равнове10
сия. Т ак к а к V8 = 0, а ^ = 2 т (из уравнений 2 / я 6Пр = 0 и
^ з п р = 0 ), то получим
М 4 = — 1 • 9 = — 9 тм;
М5
0;
М 2 = Р 3 • 9 + У4• 18 — Р 5- 27 = 3 • 9 + 2 • 18 — 1 • 27 = 36 тм;
Afj = I V 27 + Р з - 18 — Р 5-36 — Р 2 -9 =
= 2 • 27 + 3 • 18 — 1 • 36 — 2 • 9 = 54 тм.
Точно т а к ж е с помощью матрицы влияния нетрудно вычис­
лить ординаты эпюры моментов в балке от действия, например,
такой системы сил (рис. 7)
Р.т = [ 1 , 0 ,2 , 1, 1, - 2, 1,0].
Умножение
матрицы
М на вектор Р*
д ает
следующий
вектор эпюры моментов Мр#, записанный в виде строки
Мр# = —- • [— 12, — 6, 0, 0, 0, —3, 0, 0 ] .
о
Если теперь положить, что d — 3 м, a Pi = 1 т, Рз = 2 т,
Р 4 = 1 т, Р б = 1 т, Р 6= — 2 т и Pi = 1 т, то эпю ра моментов в
-*•
бал ке от нагрузки Р* будет иметь ординаты, показанны е на
рис. 7.
Отметим, что когда необходимо получить эпюры моментов
в б ал ке от действия нескольких нагрузок Р, Р*, Р**
то,
имея матрицу влияния, можно вычислять ординаты $тих эпюр
одновременно, путем умножения матрицы М на матрицу н а ­
грузок
Рае. 7
U
2. ПОСТРОЕНИЕ Л И Н И И ВЛИЯНИЯ МОМЕНТОВ
В ШАРНИРНО -С ОЧ ЛЕ НЕ НН ОЙ БАЛКЕ
Линией влияния изгибающ его момента в i -м сечении б а л ­
ки назы вается линия, ординаты которой в ы р а ж аю т зав и си ­
мость величины изгибаю щ его момента в этом сечении от поло­
жения единичной подвижной силы постоянного направления.
И наче говоря, ординаты линии влияния показывают, к а к м е­
няется величина момента в i -м сечении по мере того, к а к еди­
ничная сила Р к = 1 последовательно п риклады вается в точ­
ках 1, 2,..., s рассм атриваем ой балки.
Чтобы построить линию влияния момента в каком-либо се­
чении балки, мож но воспользоваться двум я способами. Первый
из них основан на предварительном получении матрицы в л и я ­
ния моментов М . К а ж д а я i -я строка этой матрицы есть л и ­
ния влияния соответствующего изгибающего момента, пред­
ставленная в табличной форме. Согласно второму способу л и ­
нию влияния момента можно построить при помощи ее у р а в ­
нения, которое составляется из условий равновесия всей балки
или какой-либо из ее частей. При этом в уравнения типа «сум­
мы моментов» подвижную силу необходимо вводить с перемен­
ным плечом.
Д л я иллю страции первого способа построим линию в л и я ­
ния изгибающего момента М 2 в сечении 2 балки, показанной на
рис. 8 . С этой целью выпишем коэффициенты второй строки
матрицы влияния М (учитывая множ итель — ) и отложим их
в некотором м асш табе под соответствующими точками п рило­
жения подвижной силы Р = 1. Условимся положительные з н а ­
чения момента откл ад ы вать вверх.
4­
/
'"гОгп
Л й.М г
Рис^8
12
Рис. 9
Что же означает к а ж д а я ордината этой линии влияния, на­
пример, под сечением 5? Ее величина есть значение изгибаю ­
щего момента в сечении 2, вызванное действием сосредоточен­
ной силы Р = 1, приложений в точке 5. Точно т а к ж е орд ин а­
та линии влияния М 2 под точкой 3 показы вает, что если еди­
ничную силу поставить в этой точке, то в сечении 2 возникает
изгибающий момент, равный
— .
3
Анализируя вид линии влияния момента М 2, можно з а м е ­
тить, что в сечении 2 изгибающий момент равен нулю, если со­
средоточенная сила Р = 1 поставлена над опорными сечения­
ми 4 и 8 или располож ена левее сечения 2. Действительно, ес­
ли в ертикальная сила приложена к бал ке в точках 4 или 8, то
она передается на «землю» непосредственно через соответст­
вующую опору. В то ж е время поскольку сечение 2 п ринадле­
ж ит консоли 1— 2—3, то в этом сечении усилия не возникают,
если сосредоточенная сила приложена на участке меж ду точ­
кой 2 и заделкой.
С другой стороны, так как давление балки 3—4 — 5 пере­
д ается через шарнир 3 на консоль 1—2— 3 все время, пока си­
л а Р = 1 движется на участке 3— 8 (исклю чая точки 4 и 8), то
в сечении 2 в это время долж ны быть ненулевые изгибающие
моменты.
Точно так ж е для сечения 4 линия влияния моментов (чет­
вертая строка матрицы влияния) показы вает, что в этом се­
чении появляются изгибаю щ ие моменты лиш ь тогда, когда си­
л а Р = 1 располож ена правее этого сечения (рис. 9).
Наконец, если выписать ординаты линии влияния момента
в сечении 7 (седьмая строка матрицы №) и изобразить ее г р а ­
фически (рис. 10), то мож но заметить, что в этом сечении воз­
никают изгибаю щ ие моменты только при движении силы по
б алке 5 —6— 7—8. Что ж е касается третьей, пятой и восьмой
13
Рис. 10
строк матрицы влияния, то их нулевые составляю щ ие в ы р а ж а ­
ют тот факт, что в ш ар ни рах 3, 5 и 8 моменты равны нулю
при любом располож ении сосредоточенной силы на участке
1— 8 .
Д а л е е покаж ем, к а к построить линии влияния моментов в
сечениях 2, 4 и 7 при помощи аналитического в ы раж ен и я этих
моментов в виде функций от переменной координаты п о д в и ж ­
ной силы Р ?= 1. Эту координату обозначим через г) и будем о т­
считывать от сечения 2 вправо (рис. 11). В общем случае при
построении линии влияния момента в сечении 2 его величина
рав н а сумме моментов от силы Р * 1 и реакций
и Vs
M t = — l - n + V t ’2 d + V e-6d.
■
Реакци и V4 и VB в свою очередь есть 'некоторые функции от
положения единичной силы, поэтому д л я получения уравнения
линии влияния момента М 2 необходимо предварительно полу ­
чить аналитические в ы р а ж ен и я линий влияния реакций
и
Vs. Л инию влияния Vа получим из уравнения
2/B*nP = VV3rf— 1(71 -3 4) = 0,
V - ■Ч - М
' *
3d
14
= Л
3d
,
’
П б д став л я я в вы раж ен и е для У8 граничные значения т] =
= 2>d и п —
, находим две ординаты V8 ( 3 < / ) = 0 и
V. М ) = \ , чер,ез которые проводим прямую (рис. 11).
А нализируя вид линии влияния реакции V8, заметим,
что эта реакция в озникает только при движении груза в пре­
д е л а х участка 5— 6— 7—8.
При построении линии влияния реакции V4 рассмотрим два
случая:
а) груз Р = 1 дви ж ется по бал ке 3 — 4 — 5 (рис. 12). П о ­
скольку реакция Vs = 0, то из уравнения
2 / я , пр = 1f i - d - l ( r l- d ) = 0
находим, что
а
а
П одстановка граничных значений ц = d и rj = 3 d в в ы р а ­
жение д л я V4 д ает две ординаты: V4( d ) = О, У4(3d) = 2, через
которые проводим прямую;
б) груз Р = 1 на б ал ке 5 — 6— 7—8. В этом случае реакция
У&ф О , поэтому в уравнение 2дазпр = 0 войдет момент от этой
реакции. Получим
Еда,Пр = Vt d - l(vj —d) + V , - 5 d = 0,
отсюда
d
- W .-i-lQ
13a
3 i< r,< 6 d .
15
П одстановка граничных значений
= 3d и г) = %d в в ы р а ­
жение д ля V4 д ает две ординаты V i ( 3 d ) = 2 и V4(6d)«= 0, че­
рез которые проводим прямую (рис. 12).
Имея уравнения линий влияния реакций У8 и V4, подставим
их в вы раж ен и е линии влияния момента М 2. Поскольку в пре­
делах всего у ч астк а 1— 8 к а ж д а я из линий влияния Vs и F 4
описывается не одной функцией, а двумя, то д ля линии в л и я ­
ния М 2 получим три различны х в ы р аж ен и я (при движении
груза на участках 1—2—3; 3—4—5 и 5— 6— 7— 8 соответствен­
но).
а) груз Р — 1 на участке 2 — 3. Т а к ка к V4 = V8 = 0, то
М 2 = — 1 • -л; 0
Подстановка граничных значений vj = О и г ^ ^ д а е т д ва з н а ­
чения: AJ2(0) = 0 и M 2(d) = 1 . Через эти точки проводим п р я ­
мую линию, которая в пределах рассм атриваем ого участка я в ­
ляется изображ ением линии влияния момента М 2 (рис. 13);
б) груз Р = 1 на участке 3 —4 — 5. Здесь К8 = 0, а У4 =
n —d
— ----- . П од ста вл яя вы раж ение V"4 в уравнение для М 2, по
d
ЧИМ
'
М 2 := — 1 *т] + —— — ■2d — -ri — 2d \ d ^ i r ^ S d d
Л
= 6 й --------
Рис. 13
16
Граничные значения ц —d и г| = 3 d дают: M 2(d) = — d,
M 2( 3 d ) = d . Через эти ординаты проводим вторую прямую;
в) груз Р = 1 на участке 5— 6— 7— 8. Здесь:
2 ri
V « = 4 - =-*3d
Подставив эти в ы раж ен и я в уравнение д ля М 2, получим
или
M2 =
—
71 ; 3 d < r (< 6 r f .
3
Таким образом, линия влияния момента М 2 в выбранной
системе координат мож ет быть описана тремя линейными
функциями:
Сравнение ординат этой линии влияния в характерны х се­
чениях 1, 2,..,8 со второй строчкой матрицы влияния моментов
показы вает их совпадение.
По аналогии составим уравнения линий влияния моментов
М 4 и М 7 (рис. 14). П оскольку в сечении 4 изгибаю щ ие момен­
ты возникают только если нагрузка приложена на участке
4 —8, то при построении линии влияния М л координату единич­
ной силы удобно отсчитать вправо от этого сечения. Тогда вы­
р аж ен и я д ля М 4 запиш утся так:
r, < 0
[
°
M , = I — 1 “Я
— l ‘ T) + V V 4 d
d ^yt^id .
О днако теперь нельзя использовать ранее полученное у р а в ­
нение линии влияния V8, так к а к оно было составлено в другой
17
_______ p ? i / a
- ё - м
ъ
*
М -М ц
*
Р : ,
&
v " ^ L
'^ Л ^ т Т Ш Т В п Т т т т г г г г ^ Рис. 14
системе координат. В новой системе отсчета из условия S/wsnp
= 0 (при движении груза Р = 1 на участке 5—6— 7—8) полу­
чим следующее вы раж ен и е д ля Vg:
2 m sno = 1 (tj— (/) — V,-3rf = 0;
Vs = - ^ - \
3d
d < T j< 4 d .
Подстановка этого вы раж ен и я в уравнение д ля М 4 дает
M t = - r i + r^ - - 4 d = ^ da
з
d<rK4d.
Д л я построения линии влияния момента М 4 (рис. 14) д о ­
статочно иметь три ординаты: Af4(rj = 0), M 4(r) = d ) и
Л44(г] = 4 d). Эти ординаты равны:
л = о
7) — d
y) = 4d
M t ( 0) = 0 ;
' M , ( d ) = — d;
Af4(4rf)=0.
Сопоставление х арактерн ы х ординат линии влияния М 4 с
коэффициентами четвертой строки матрицы влияния моментов
п оказы вает, что аналитически получены те ж е ординаты, что
и при помощи м атрицы влияния М.
Наконец, остановимся на построении линии влияния момен­
та в сечении 7, которое прин адлеж и т б ал к е 5—6— 7— 8. Вос­
пользовавш ись предыдущей системой отсчета (рис. 15), запи18
7* * 7Г V
ш
м -
м * 4& 2ё
к
Рис. 15
шем выраж ения д ля линии влияния момента М 7 через правые
силы
'О
;
M i = - V t -d
;
, V s d — 1 (■>) — 3rf);
f]< d ,
d < r,< 3 d ,
3 d ^ -/]^ 4 d .
Подстановка в эти уравнения вы раж ен и я Vg =
Tj—d
3d
дает:
О;
щ—d
УИ,=
8 d — 2r\ .
d <
3d
3d,
^
4d.
Д л я построения линии влияния момента М 7 достаточно оп­
ределить ее ординаты в трех точках, при г] = d , г) = 3 d и
у) = 4 d . Будем иметь
Ti = d
M ,(d ) = 0,
tj« 3 rf
-rj—4 d
M ,( 3 d ) =
N
3
M 7(4d) = 0.
А нализируя вид этой линии влияния (рис. 15), можно з а м е ­
тить, что в сечении 7 возникают изгибающ ие моменты только,
если груз Р = 1 д ви ж ется на участке 5 —6— 7— 8. С другой сто19
роны, так к а к сечение 7 принадлеж ит двухопорной балке, то
линию влияния М 7 м ож но построить иначе, р ассм атри в ая по­
лож ение груза Р = 1 правее и левее этого сечения. Тогда п олу­
чим:
а) груз правее сечения 7; М 7 = Q b-2d,
б) груз левее сечения 7; М 7 = V&-d.
Если вы брать н ач ал о 'ко о р д и н а т г) = 0 в точке 5, то для л и ­
ний влияния К8 и Q 6 нетрудно записать следующие в ы р а ж е ­
ния:
Х т , пр = Q6- 3 d — l ( 3 d — vj) = 0,
Q , = 1-----— ;
3d
d.
Em 6np= V r 3 d — l-ri = 0,
V.Й-= -7 ;
Q < r^3d.
При помощи уравнений для Q t и V8 будем иметь
К ак видно из сравнения с предыдущими вы р аж ен и ям и д ля
линии влияния момента М 7 форма этих уравнений зависит от
выбора н ачала отсчета координаты подвижной силы Р = 1 и
меняется при переходе от одной еистемы к другой, однако с а ­
ми ординаты линии влияния остаются постоянными (рис. 16).
_______ g * 3 й
—
Z— -t p*t
t f v ------ ~5-------- fc---------V
Л- 6 n 7
Рис. 16
20
Чтобы определить с помощью линии влияния значение из­
гибающего момента в *-м сечении от действия одной или не­
скольких сосредоточенных сил, необходимо взять ординаты
линии влияния в точках приложения внешних сил, умножить
их на значения этих сил и полученные результаты сложить
алгебраически. Т а к а я операция назы вается загруж ением л и ­
нии влияния. Ф ормально она может быть описана при помо­
щи умножения соответствующей строки матрицы влияния на
вектор-столбец внешних сил. В качестве примера рассмотрим
случай действия на б ал ку сил Р 2 = 2 т, Рз = — 3 т, Р 5 = 1 т
(рис. 6 ). Д л я определения изгибающего момента в сечении 2
от такой нагрузки умножим ординаты линии влияния М 2 под
точками 2, 3 и 5 (рис. 13) на значения этих сил и полученные
результаты просуммируем:
М 2 = 0 - 2 — d (—3) + d • 1 = 4d.
Если принять d = 9 м, то М 2 = 36 тм, что совпадает со зн а ­
чением, найденным ранее при построении эпюры моментов
(рис. 6 ). Точно т ак же, если на б ал ку действуют силы Р\ =
= 1 т; Р 3 = 2 т, P i = 1 т, Ръ = 1 т, Лз = — 2-г и Pi = 1 г (рис.
7), то величина момента в сечении 2 (рис. 8) окаж ется равной
Л12 = 0• 1 + ( — d) 2 + 0 -1 + — d ( — 2) + - - 1 = 2 d.
.
3
3
П ри d = 3 м, М 2 = — 6 тм, что совпадает с полученным вы ­
ше значением. Н аконец, если р ас см а тр и в ае м ая б ал ка на у ч а ­
стке 1—5 заг р у ж ен а действующей вниз сплошной равномерно
распределенной нагрузкс(й q, то для определения величины мо­
мента М 2 (q) достаточно вычислить п лощ адь (о? линии в л и я ­
ния момента М 2 под участком загр уж ен ия и умножить ее на
значение этой нагрузки (рис. 8). Получим
3. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ВЛИЯНИЯ МОМЕНТОВ
В РАМЕ ОТ СИСТЕМЫ Н Е П О Д В И Ж Н Ы Х НАГРУЗОК
Построим матрицу влияния моментов М в р ам е (рис; 17) от
трех видов постоянных нагрузок: распределенной нагрузки q x
сосредоточенной силы Р 2 и сосредоточенного момента М 3. К а ж 7
дый коэффициент этой матрицы М/А есть значение изгибаю щ е­
го момента в *’-м сечении рамы от к-й нагрузки, равной еди­
нице. К аж д ы й /с-й столбец этой матрицы есть векторная запись
эпюры моментов от соответствующей /с-й единичной нагрузки.
В нашей зад ач е на рам у действуют только три различных ви­
да нагрузок. Поэтому матрица влияния моментов от этих н а ­
гру зо к будет составлена из трех векторов-столбцов.
Чтобы определить количество строк матрицы влияния и со­
ответствующее ему количество сечений, минимально необхо­
димых для характеристики эпюры моментов в раме, заметим,
что на левой и правой стойках рамы элю ра моментов будет
линейнои Функцией от координаты сечения. Следовательно, на
этих участках достаточно иметь два значения момента—в н а ­
чал е и в конце каж д ого из них. С другой стороны, ригель р а ­
мы, согласно схейе загр уж ен ия, подвержен, действию постоян­
ной равномерно распределенной нагрузки q x. Следовательно,
здесь эпю ра моментов будет описываться квадратной п ар аб о ­
лой, д ля проведения которой необходимо иметь значения из­
гибающего момента не менее чем в трех сечениях рамы. Одно
из них удобно вы брать в шарнире, так к а к здесь момент р а ­
вен нулю, а д ва других назцачить в крайних (угловых) сечел и я х ригеля. Кроме-того, в сечении, где прилож ена сосредото­
ченная сила Рг, эпю ра моментов испытывает перелом. Значит,
I t
\
I
*
I
t
I
Н
а
т ар
' Рис. 17
22-
Sfo значение момента т а к ж е необходимо вычислить. В а н а
нец, в левом угловом сечении, где приложен сосредоточенный
момент, ,эпюру необходимо х ар актери зо в ать д ву м я зн ачен ия­
ми: левее и правее точки приложения внешнего сосредоточен­
ного момента. С учетом этого можно наметить следующие се­
чения рамы, в которых будем определять моменты от единич­
ных в оздействий ^н а левой стойке — нижнее сечение 1 й вер х­
нее узловое 2; д а ригеле — левое узловое 3, сечение в ш а р н и ­
ре 4, под силой Р — речение 5 и правое узловое сечение 6; на
правой стойке — верхнее узловое 6 и ниж нее сеч^н'ие 7 в з а д е л ­
ке. Подчеркнем, что в правом у зл е рам ы эпюру моментов дос­
таточно х ар актери зо в ать одной ординатой, общей для ригеля
и д ля стойки, тогда к а к в левом у зл е из-за того, что там п ри ­
л о ж е н сосредаханеннын-момент, необходимо выделить оплинаты эпюр моментов в верхнем сечении стойки и в левом селе­
нии ригеля.
Таким образом, эпю ра моментов в р ам е от любой ком би н а­
ции числовых значений нагрузок <7i. Рг и М 3 будет описываться
семимерным вектором, а матрица влияния моментов М будет
прямоугольной, имеющей 7 с т о к и 3 столбца.
В отношении п р ав и л а знаков д ля эпюры моментов у сло­
вимся отклад ы вать её ординаты на растянутых волокнах и счи­
тать, что если растянутым и о каж у тся п р авы е волокна стойки
1— 2, левы е волокн а стойки 6 — 7 и нижние волокна ри геля, то
соответствующие изгибаю щ ие моменты считаются полож итель­
ными.
- П о своей с т р у к т у р е з а д а н н а я р а м а состоит из двух частей:
зад ел анн о й в сечении 7 Т-образной консоли 4 —5 —6—7 и Г-образной подвесной б а л к и 1—2 - ^ 3 — 4 (см. рис. 17). Р азли чи е
меж д у этими частями конструкции связано с тем, что консоль
4 —5—6 — 7 мож ет самостоятельно (т. е. без «подвески»
1—2 —3 —4) воспринимать произвольную нагрузку, тогда как
подвесная б ал к а 1—2—3— 4 таким свойством не обладает. Эта
б а л к а в ш арнире 4 опирается на консоль и без этой связи не
м ож ет сохранить равновесие под действием собственного веса,
а т а к ж е под действием почти всех нагрузок. Это обстоятельство
предопределяет особый хар актер работы подвесной балки: изги­
баю щ ие моменты, поперечные и продольные силы в ее сеаенв-:
ях д я я н ы ыулю, если внеш няя н агр узка прилож ена к Т-шиш зной консоли 4 —5—6 — 7.
С д р у го й стороны, т а к к а к р ам а присоединена к «земле» че­
ты рьм я связями ^три связи в зад ел к е и одна с в я зь в опоре / ) ,
>
t o д л я определения усилий в этих связях требуется составить
четыре уравнения. Три из них можно получить из условий р а в ­
новесия всей рамы, а четвертое, дополнительное уравнение, с о ­
ставить из условия равенства нулю момента в ш арнире 4.
Условимся считать, что показанные на рис. 17 нагрузки по­
ложительны , и рассмотрим процесс построения эпюры._момен-хов от действия нагрузки q\— I. О рдинаты этой эпюры н аи бо­
лее просто зап и сы ваю тся д ля сечений б алки 1—2— 3 — 4 при
помощи горизонтальной реакции в опоре 1. О бозначив ее че­
рез Н и предполагая, что она нап равлен а влево, будем иметь
(рис. 18):
лен = 0 ;
М 21 = A f3j = Н ' 3 d
M ll = H - 3 d - \ - 2 d - d = 0 )
M ^ H S d -lS d —
;
М п = Н Ы — l-4rf-3d;
М п = H -d-\-U -3d.
Чтобы найти реакцию Н, используем условие равенства ну­
л ю момента в ш ар н и р е 4. По существу соответствующее у р а в ­
нение у ж е составлено (для левых сил) при записи величины
2
М 4. Из него находим, что Н = — q, и действительно н а п р а в ­
3
Ш
I
Е Е Х Т Т 1
{£ * • % *
- Г
м
лена влево. П од ста вл яя значение Н в остальные вы раж ения
для M t{, i = 1, 2,.., 7, имеем:
М н *= M tt = 0;
M t l = M 3l = - d - 3 d = 2 d t \
3
Af§1 ~ i d . 3 r f - 1 . 3 d . i d = — 2,5rf*;
" 3
2
A f . , = — d - 3 d - l - 4 d - 2 d = - 6 r f a;
“
3
M T1= — r f . i / - l - 4 r f . 2 d = = 3
1
Окончательно вектор эпюры моментов М] от нагрузки
^ = 1 запишется в виде строки следующим образом:
Го, 2, 2, 0, - 2 , 5 , — 6, —7 ~
Соответствую щая эпюра показана на рис. 18.
Заметим, что для проверки изгибающие моменты в сечениях
Г-образной консоли 4 —5— 6— 7 можно было бы определить,
используя поперечную силу Qt в ш арнире 4 и продольную си­
лу N t , "которые зам ен яю т «действие подвесной балки на эту
консоль». С другой стороны, эти моменты мож но вычислить
через правые и нижние относительно сечений силы, если «идти»
от заделки 7. Но для этого необходимо предварительно найти
реакции в зад ел к е Н 7 = Н, V7 и М 7 (см. рис. 18). Из условия
равенства нулю суммы проекций всех' сил на вертикаль нахо­
дим, что сила Vj = 4d и н ап равл ен а вверх. Д л я разы скания М 7
необходимо предварительно вычислить реакцию Н, а затем со­
ставить уравнение 2 /я, = 0 всех сил, действующих на раму.
П осле того, как определены V7, Н и М 7, можно записать, что
М п — Л441 = 0,
Mgi = —М 7 + Н ' 2 d ,
M 5l = — М 7 + H - 2 d - l ‘d - Y ,
М п = М ц = —М 7 + H - 2 d - l - 4 d - 2 d .
2 .-
7JEB
Рис. 19
/ g - g|
Д а л е е приложим в точке 5 единичную силу Р 2 = 1 и постро­
им от нёе эпюру моментов (рис. 19). Эта н агр узка приложена
только к консоли 4 —5 —6 — 7, поэтому в сечениях подвесной
балки 1—2 —3— 4 она не вызывает никаких усилий, и ее можно
исключить из рассмотрения («отбросить»), а эпюру строить
только в консоли 4 —5—6— 7. Д л я сечений 6 и 7 через левые
силы получим
Afgj = УИ72 = — 1 • d.
Таким образом, вектор моментов М 2 от силы Р% = 1. прило­
женной вертикально в сечении 5, запишется в виде следующей
строки:
Ml = d[0, 0, 0, 0, 0, — 1, — 1].
При построении эпюры М 3 от единичного сосредоточенного
момента (рис. 20) сн ач ал а определим горизонтальную р е а к ­
цию,,
= Н. П р едп ол агая, что она нап равлен а влево, соста­
вим сумму моментов всех сил, действующих на балку 1—2 — 3
— 4 относительно ш арни ра 4. Это д ает
'
2/до о =1+Я-3<* = 0; Я =
26
З н а к «—» перед значением Н показы вает, что эта реакция
направлена вправо. С учетом этого запиш ем вы раж ения для
изгибающих моментов М хз — М 7Ъ:
Afi3 “
= 0;
М 23 = — H ' Z d - — - *3</=—-I;
3d
M 33 = — H - i d + 1 = 0 ;
Мбз = Л^5з = — H • 3d + 1 = 0 ;
M 73 = — H d + l = — -— f I = — •
id
3
Заметим, что поскольку внутренние изгибающие моменты
в сечениях 2 и 3 не равны друг другу, то равновесие в этом у з­
ле можно обеспечить лиш ь с учетом внешнего момента М 3 = 1
(рис. 21). Окончательно транспонированный вектор моментов
от воздействия М 3 = 1 запишется так:
м ; = Jo, - 1 , 0. о, о, о, - J - J .
27
Р асс м атр и в ая полученные векторы эпюры моментов как
столбцы матрицы влияния моментов М от заданной группы н а ­
грузок, запишем ее в следующем виде:
0
2d*
0
0
0
—1
2d3
0
0
0
0
0
—2,5da
- 6 d*
-7-d*
3
■ 0
-d
0
0
2
-d
3
П окаж ем , ка к при помощи полученной матрицы влияния
можно определить вектор изгибающих моментов М р от р а з ­
личных числовых сочетаний нагрузок qt , Рц и М 3. Пусть, н а ­
пример, qt = 2 q , Р 2 = qd, М 3 = 2qd *, что можно записать в ви­
де вектора-строки
Рт = [2?, qd, 2 qd*].
У м нож ав м атрицу М на вектор-столбец Р, получим
""M l ~
M2
0
2d*
M3
2d*
0
M4
_
M5
— 2,5 d a
Me
— 6 d*
M7
♦0
О
0
—1
2
0
0
2q
4
0
0
qd
О
0
-d
0
0
— 7— d 1 - d
3
0
2
3
2q d 1
—5
•qd*.
— 13
-1 4 1
3
О тк л а д ы в ая координаты вектора Мр в соответствии с при­
нятым правилом знаков, получим эпюру моментов, п о к аза н ­
ную на рис. 22.
28 '
Точно так же, умнож ив м а т р и ц у Й на вектор Р »,
ляющий другое сочетание нагрузок
•
п редстав­
Р l [ - q d , 0, - 3 qd'],
получим соответствующий ему новый вектор эпюры моментов
Мр.
0
м2
0
2d*
0
0
—1
м 3
2d l
0
0
-q d
0
0
0
О
м5
0
-2 ,5 d a
м6
— 6da
-d
м7
- 7 -d*
3
- d
0
2
м,
0
0
3
Эта эпюра п редставлена на рис. 23.
1
-3 qd1
—2
О
2,5
6
5­
3
■qd%
Отметим, что таким путем можно использовать полученную
матрицу влияния М многократно, что, несомненно, гораздо про­
ще, чем непосредственное вычисление моментов при помощи
уравнений равновесия. С д р у г о й стороны, эти урав«£ния м о ж ­
но использовать д л я -к о н тр о л я, например, эпю ры .М р . Действи,?ельно, определив1реакцию Н в опоре 1 из уравнения
1/п 1лев = H - 3 d - \ - 2 q d 2— g ' 2 d - d — 0,
составим вы раж ен и е д л я моментов М \ — М 7, используя « л е­
вые» силы:
М \ = М 7\
М 4 = 0;
М , = J i - 3 d = -?Lqd • 3 d = 2 q d \
3.
M 3 =r H - 3d + 2qdt *= -2qd*+ 2qdt =4qd*;
M5 = H - 3 d + 2 q d t - 2 q - 3 d - — d = - b q d \
2
M 6 = H -3 d + 2 q d * —2 q -4 d -2 d —q d - d = — I3qd*;
M 7 = H - d + 2 q d * — 2q ■4d •2 d -
q d ■d = — 1 4 - ^ qd1.
3
П р о в ер к а показы вает, что п р и ^ Ъ м о щ и матрицы влияния и
при помощи уравнений равновесия были получены о д н и и те
ж е ординаты эпюры моментов Мр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Построение матрицы влияния моментов в шарнирно-сочлененной
балке от системы сосредоточенных с и л ............................
.
3
2. Построение линий влияния моментов в шарнирно-сочлененной балке
12
3. Построение матрицы влияния моментов в раме от системы непод­
вижных н а г р у з о к ........................................................................................ 22
Г. А. Мануйлов
СОСТАВЛЕНИЕ И ПРИМ ЕНЕНИЕ МАТРИЦ ВЛИЯНИЯ
В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ И РАМАХ
Редактор 3. И. П а в л о в а
Техн. редактор Н. Н. В а с и л ь е в а
Корректор Н. А. Г а л и ч а я
'Сдано в набор 6/V 1972 г.
Формат 60X90'/ieОбъем 2 п. л.
Подписано в печать 2/Ш 1973 г.
Заказ 840.
Тир. 750.
Бесплатно.
Типография МИИТа, Москва, ул. Образцова, 15