ПЕРВЫЙ ЭТАП ЗАДАНИЕ. Найти производную функции, правильный ответ заменить соответствующей буквой и получить фамилию известного математика (таблицу с кодами ответов можно показать на экране с помощью медиапроектора или сделать на ватмане и повесить на видном месте) Ш 16х𝟑 Ь Ф −х𝟐 +4 Р 1- Т 𝟏 х𝟐 Ю 𝟑 𝟏𝟔 -8(𝟏 − 𝟐х)𝟑 𝟐 𝟓√х − 𝟓 х 𝟑 ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА К 2 Е М -6(𝟓 − 𝟑х)𝟑 𝟏 Н И 𝟏 𝟑 √𝟐х − 𝟒 𝟐√ х у′ =2 у′ =2х – 3 у′ = 16х3 4) у = 3√х у′ = 2 К О Ш И √х ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА 2) у = ОТВЕТЫ: 3 1 √х 2 ОТВЕТЫ: у′ = - х2 +4 Ф 1 Е у′ = 1 4√х 1 3) у = х + х у′ =1 - 4) у = (5 − 3х)2 5) у = х3 + √2 у′ = -6(5 − 3х)3 у′ = 3 х2 4 2) у = Р х2 КРАСНАЯ ДОРОЖКА 1) у = √2х − 4 М А ОТВЕТЫ: у′ = 1 Н √2х−4 16 у′ = − х3 х4 3 у′ = 3) у = √х5 4 А 3х𝟐 𝟒√ х 1) у = 2х – 3 2) у = х2 - 3х + 4 3) у = 4х4 1) у = − 3 х3 +4х - 3 О 2х-3 Ь 3 5 √х2 Ю 3 ′ 4) у = (1 − 2х) 5) у = х2 - 3х + 4 у = -8(1 − 2х) у′ =2х – 3 6) у = √2х − 4 у′ = 1 √2х−4 3 Т О Н Комментарий учителя. После завершения первого этапа на экране появляется информация о математиках, имена которых ученики получили: Огюстен Луи Коши, Пьер Ферма, Исаак Ньютон. ВТОРОЙ ЭТАП ЗАДАНИЕ. Найти производную функции в заданной точке, сложить целые части ответов и сообщить жюри. ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА ОТВЕТЫ: 1) f(x) =х3 + √2 ; 𝑓 ′ (−1) 2) f(x) =(х − 3)7 ; 𝑓 ′ (4) 3х−2 𝑓 ′ (х) = 3х2 , 𝑓 ′ (−1)= 3 𝑓 ′ (х) = 7(х − 3)6, 𝑓 ′ (4)=7 1 34 𝑓 ′ (5) 3) f(x) = 5х+8; 1 𝑓 ′ (х) = (5х+8)2 ; 34 𝑓 ′ (5) = 81 Ответ: 3+7+0 =10 ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА 1 ОТВЕТЫ: 4 1) f(x) = 6 х6 - х ; 𝑓 ′ (−1) 2х+3 4 𝑓 ′ (х) = х5 + 1 х2 𝑓 ′ (−1)=3 ; −5 𝑓 ′ (3) 1 5 𝑓 ′ (х) = (3х+2)2 ; 𝑓 ′ (3) =− 9 3) f(x) =2х(1–х ); 𝑓 ′ (1) 𝑓 ′ (х) =2-4х ; 𝑓 ′ (1) = -2 4) f(x) =√1 + √х ; 𝑓 ′ (4) 𝑓 ′ (х) = 2) f(x) = 3х+2; 1 1 4√х(1+√х) ; 𝑓 ′ (4) = 8√3 Ответ: 3+0-2+0=1 КРАСНАЯ ДОРОЖКА 2 √х ОТВЕТЫ: 𝑓 ′ (1) 1) f(x) = 2−х; 𝑓 ′ (х) = 𝜋 2) f(x) =√х 𝑠𝑖𝑛х; 𝑓 ′ ( 2 ) 𝑓 ′ (х) = 2+х 2√𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 или 1 3) f(x) =(2х + 1)5 6 2 𝜋 ; 𝑓 ′ ( 2 )= 𝜋 1 2√ 𝜋 2 √2𝜋 𝑓 ′ ( 2 )= 2𝜋 1 𝑓 ′ (− 2) 4) f(x) =− х2 + х − х 𝑓 ′ (1) =3 ; √х((2−х)2 ) 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑓 ′ (х) =10(2х + 1)4 ; 𝑓 ′ (− 2)=0 6 𝑓 ′ (1) 2 𝑓 ′ (х) = =− х3 + 1 + х2 ; 𝑓 ′ (1)=-3 Ответ: 3+0+0-3=0 ТРЕТИЙ ЭТАП ЗАДАНИЕ. Решить уравнение 𝑓 ′ (х) =0 ЗЕЛЕНАЯ ДОРОЖКА f(х) = sin 3x Найти х при n=0. ОТВЕТ: 𝜋 𝜋 𝑓 ′ (х) =3cos 3x, 3cos 3x=0, х= 6 +3 n, n ∈ Z 𝜋 при n=0, х= 6 𝜋 Ответ: 6 ЖЕЛТАЯ ДОРОЖКА ОТВЕТ: f(х) = cos (5x - 𝜋 3 𝑓 ′ (х)=-5sin (5x - ) 𝜋 Найти х при n=1. 𝜋 3 ), -5sin (5x - 𝜋 3 )=0, 𝜋 х= 15 +5 n, n ∈ Z 4𝜋 при n = 1, х= 15 4𝜋 Ответ: 15 КРАСНАЯ ДОРОЖКА ОТВЕТ: 1 𝑓 ′ (х)= cos x +cos 3x, cos x +cos 3x=0 f(х) = sin x + 3 sin3x 𝜋 𝜋 х1 = 4 +2 n, n ∈ Z ; 𝜋 х2 = 2 + 𝜋n, n ∈ Z; Найти сумму корней, принадлежащих промежутку [0;𝜋] 𝜋 𝜋 𝜋 х1 = 4 +2 n, n ∈ Z ; при n =0, х= 4 ; при n =1, х = 𝜋 𝜋 3𝜋 4 𝜋 +2= 4 𝜋 при n =0, х= 2 ; х2 = 2 + 𝜋n, n ∈ Z; Ответ: 4 + 3𝜋 3𝜋 2 ЧЕТВЕРТЫЙ ЭТАП Задание 1. При каких значениях переменной верно равенство 𝑓 ′ (х) = 𝑔′ (1), если 1 𝜋 3 f(x) = 6sin(3 + 2х), g(х) = √ √х Решение. 1 𝜋 1 𝜋 f(x) = 6 sin ( 3 + 2х), тогда 𝑓 ′ (х)= 3 cos ( 3 + 2х) 1 3 g(х) = √ √х , тогда 𝑔′ (х)= Решим уравнение 1 3 6 6 1 √х5 , 𝑔′ (1)=6 𝜋 1 3 6 cos ( + 2х) = 𝜋 cos ( 3 + 2х) = 𝜋 3 𝜋 3 1 2 1 + 2х = + −𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2+2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍 + 2х = х= +𝜋 −12 +𝜋 −6 +2𝜋𝑛, n ∈ 𝑍 𝜋 + 6 +𝜋𝑛, n ∈ 𝑍 Ответ: +𝜋 𝜋 + 6 +𝜋𝑛, n ∈ 𝑍 −12 1+𝑠𝑖𝑛2 х Задание 2. Решить уравнение 𝑓 ′ (х)=0, если f(x) =√ 6 Решение. 1+𝑠𝑖𝑛2 х Если f(x) =√ 6 Решим уравнение , то 𝑓 ′ (х)= 𝑠𝑖𝑛2х 2√6 √1+𝑠𝑖𝑛2 х 𝑠𝑖𝑛2х 2√6 √1+𝑠𝑖𝑛2 х = 0 ⟺ sin2х =0 и 1 + 𝑠𝑖𝑛2 х >0 sin2х =0 1 + 𝑠𝑖𝑛2 х >0 2х =𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍 𝑠𝑖𝑛2 х >-1 верно для любого х ∈ 𝑅, 𝜋 х = 2 n, 𝑛 ∈ 𝑍 Ответ: 𝜋 2 т.к. 𝑠𝑖𝑛2 х ≥ 0 ∀х∈ 𝑅 n, 𝑛 ∈ 𝑍 Итоги урока Учитель сообщает итоги восхождения, выставляет оценки в журнал. Вы сегодня взошли на Пик знаний, но это еще не пик всех знаний. Если вы будете также упорно идти к поставленной цели, как на сегодняшнем уроке, будете трудолюбивыми, настойчивыми и не будете бояться трудностей, то и другие высокие вершины Пика знаний вам покорятся. Я желаю вам успехов! Спасибо всем за урок. До свидания.