Ряды Тейлора

Ряды Тейлора
Разложение функции в ряд Тейлора – представление функции в виде степенного ряда. Ряд
Тейлора сходится во всех точках непрерывности функции
Разложение в ряд Тейлора можно производить двумя способами.
1 способ.
Разложение в ряд Тейлора по формуле. Все производные от функции и факториалы
подставляем формулу Тейлора:
𝑓 (𝑛) (𝑎)
𝑓 ′′ (𝑎)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 2! (𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ + 𝑛! (𝑥 − 𝑎)𝑛
Иногда проще разложить функцию в ряд Маклорена. (да, собственно, в него почти всегда
и раскладывают… если не стоит задание «разложить по степеням (х-3)» или в таком роде)
Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора, если сделать а=0. Соответственно, выглядит
он так:
𝑓 ′′ (0)
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓 ′ (0) ∗ 𝑥 + 2! 𝑥 2 + ⋯ +
Пример:
Разложим в ряд Тейлора функцию ех:
𝑓(0) = 1
𝑓 ′ (0) = 1
…
𝑓 (𝑛) (0) = 1
𝑥
𝑒 𝑥 = 1 + 1! +
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
𝑓 (𝑛) (0)
𝑛!
𝑥𝑛
+⋯
2 способ
Разложение в ряд Тейлора с использованием известных разложений. Вместо х в данном
случае подставляют аргумент функции в том виде, в котором он требуется по условию
задачи.
Принято использовать следующие разложения:
𝑥
𝑒 𝑥 = 1 + 1! +
sin 𝑥 = 𝑥 −
cos 𝑥 = 1 −
𝑥2
𝑥3
3!
𝑥2
2!
2!
+⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
+⋯ , 𝑥 ∈𝑅
𝑥 2𝑛+1
+ ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛+1)! + ⋯ , 𝑥 ∈ 𝑅
𝑥 2𝑛
+ ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛)! + ⋯ , 𝑥 ∈ 𝑅
ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
2
+ ⋯ + (−1)𝑛−1
𝑚(𝑚−1)
𝑥𝑛
𝑛
+ ⋯ , 𝑥 ∈ (−1,1]
(1 + 𝑥)𝑚 = 1 + 𝑚𝑥 + 2 𝑥 2 + ⋯ +
Пример:
sin 𝑥
Разложим в ряд Тейлора функцию 𝑥
sin 𝑥
𝑥
=1−
𝑥2
3!
𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑛+1)
𝑛!
𝑥 𝑛 + ⋯ , 𝑥 ∈ (−1,1)
𝑥 2𝑛
+ ⋯ + (−1)𝑛 (2𝑛+1)! + ⋯
В приближённых расчётах с помощью ряда Тейлора нам понадобится информация о
точности вычислений. Точность мы оцениваем при помощи остаточного члена.
Погрешность не превышает
𝑓 (𝑛+1) (𝜀)
(𝑥
(𝑛+1)!
− 𝑎)𝑛+1
Для вычислений с помощью ряда Тейлора надо вместо x подставлять то значение,
которое стоит в примере. Например, для вычисления 𝑒
1⁄
3
вместо х подставляем 1/3.
Ряды Фурье
Разложение в ряд Фурье – разложение функции в гармонический ряд (сумму
гармонических функций). Гармонические функции – функции синуса и косинуса.
Общий вид ряда Фурье:
Коэффициенты ряда Фурье находятся следующим образом:
Вообще, в ряд Фурье можно раскладывать периодические функции с периодом 2π.
Соответственно, для всех остальных (непериодических или периодических, но с другим
периодом) существуют другие всякие ухищрения.
Давай разберёмся с непериодическими функциями. Их нужно сначала делать
периодическими, а потом уже и работать.
Сначала кушай алгоритм сего действия:
1. Начертить график функции
2. Проверить выпонение условий теоремы Дирихле
a. В промежутке (-π;π) должно быть конечное число точек разрыва или не
быть их совсем
b. Должно быть конечное число экстремумов (или тоже не быть совсем)
3. Начертить график суммы ряда Фурье (или же в лекциях сие действо называлось
достроением периодического прожолжения – лучше называй так, так оно даже
правильней. )
4. Вычислить коэффициенты суммы ряда Фурье
5. Найти сумму ряда Фурье в точках разрыва и на конце промежутка
6. Записать ответ
Пример:
Разложим в ряд Фурье функцию 𝑦 = 𝑥 2 в интервале [-π; π ].
(не забывай, если интервал обозначен не квадратными скобками, а круглыми – ставить
стрелочки!!! И убирать их только в самом конце, когда докажешь, что в пи, 3пи и т.д. ряд
сходится!!)
2) На промежутке нет точек разрыва и один экстремум. Условия Дирихле выполняются.
1
𝜋
2
𝜋
2 𝑥3
2𝜋 2
4) 𝑎0 = 𝜋 ∫−𝜋 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫0 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋 3 | 𝜋0 = 3
bn=0




2








x
2
1
2
2
   x   cos nx   1  cos nxdx 
an   x 2 cos nxdx  
sin
nx
 n  n
 0
  n
n0





0
0





2
22
  4 (1) n
  2  * cos n 
sin
nx
 n2
 n
n3

0

5) вычислим сумму на концах промежутка:
f (  0)  f (  0)  2   2
S1 

2
2
2
2
f (  0)  f (  0)    2
S2 

2
2
2
Ряд Фурье сходится на концах промежутка и сумма совпадает со значением функции =>
график суммы ряда Фурье неразрывен.
6) записываем ответ:

2
(1) n cos nx
2
x 
 4
3
n2
n 1
[-π; π ]