Методы вычислений. Модуль 2. Вычисление значений функции

Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
Модуль 2. Вычисление значений функции с заданной степенью точности.
Методы одномерной оптимизации.
1. Вычисление значений функции с заданной степенью точности.
1.1. Понятие ряда Тейлора.
1.1.1. Разложение функции в ряд Тейлора.
1.1.2. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
1.2. Применение разложения функции в ряд Тейлора.
1.2.1. Замечание о точности вычислений.
1.2.2. Вычисление числа
1.2.3. Вычисление
n
.
a.
1.3. Практикум.
2. Методы одномерной оптимизации.
2.1. Понятие оптимизации.
2.2. Метод сканирования.
2.3. Метод локализации.
2.4. Метод золотого сечения.
2.5. Метод поиска с использованием чисел Фибоначчи.
2.6. Практикум.
1
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
1. Вычисление значений функции с заданной степенью точности.
1.1. Понятие ряда Тейлора.
1.1.1. Разложение функции в ряд Тейлора.
Рассмотрим произвольную функцию f(x). Предположим, что для нее в точке
существуют производные всех порядков до n-го включительно.
Замечание: в школьном курсе математического анализа изучается понятие производной первого порядка. Например, если f(x) = sinx, тогда f ( x)  cos x . Производная функции так же является
функцией, значит, от нее можно найти производную. Таким образом, получим производную второго
порядка. Итак, вторая производная функции (или производная второго порядка) – это производная от
ее первой производной:

f ( x)   f ( x)  . Для рассматриваемой функции f(x) = sinx имеем


f ( x)   f ( x)   cos x    sin x .
Рассуждая аналогично, получаем, что производная третьего порядка – это производная от
второй производной и т.д. Так как производные высших порядков неудобно обозначать черточкам, то
f ( 4) ( x) - производная четвертого порядка.

( n)
( n 1)
В общем случае справедлива формула: f ( x)  f
( x) , т. е. n-ая производная функции
принято следующее обозначение:


находится как первая производная от ее (n-1)-ой производной.
Производной нулевого порядка считается сама функция f(x).
Тогда для функции f(x) можно записать ряд Тейлора:
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
( x  x0 ) 3  ... 
( x  x0 ) n  ...
(1)
1!
2!
3!
n!
Заметим, что здесь мы имеем бесконечную сумму.
Если ограничиться несколькими первыми слагаемыми, то получим приближенную формулу Тейлора:
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
3
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n , (2)
1!
2!
3!
n!
правая часть которой называется многочленом Тейлора функции f(x).
Эта приближенная формула позволяет заменять в различных математических
расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. Из формулы Тейлора видно, что чем точка x ближе к точке x0, тем выше точность такой замены и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой
окрестности точки x0, тем выше точность, с которой многочлен Тейлора приближает
(заменяет) функцию в этой окрестности.
1.1.2. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
Пусть функция f(x) имеет производные всех порядков в нуле. Тогда, полагая в
(1) x0 = 0, сопоставим этой функции ряд Тейлора:
f (0)
f (0) 2 f (0) 3
f ( n ) (0) n
f (0) 
x
x 
x  ... 
x  ... .
(3)
1!
2!
3!
n!
2
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
Рассмотрим функцию f ( x)  e x . Запишем для нее разложение в ряд Тейлора.
Для этого вычислим производные до n-го порядка включительно.

f ( x)  e x   e x


f ( x)   f ( x)   e x   e x
...........................................


f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)   e x   e x
...........................................
(n)
x
( n)
Имеем, f ( x)  e , f (0)  e 0  1 при n = 0, 1, 2, ….
Для
функции
формула
(3)
примет
вид
f ( x)  e x
1
1
1
1
1  x  x 2  x 3  ...  x n  ... .
1!
2!
3!
n!
Доказано, что для любого действительного числа x
1
1
1
1
e x  1  x  x 2  x 3  ...  x n  ... .
1!
2!
3!
n!
Действуя аналогичным образом, получаем разложения в ряд Тейлора других
элементарных функций (см. таблицу 1).
Таблица 1.
Ограничения на х
Разложение функции в ряд Тейлора
1
1
1
1
e x  1  x  x 2  x 3  ...  x n  ...
x   ;
1!
2!
3!
n!
x x3 x5 x7
(1) n1 x 2 n1
sin x  


 ... 
 ...
x   ;
1! 3! 5! 7!
(2n  1)!
cos x  1 
x2 x4 x6
(1) n x 2 n


 ... 
 ...
2! 4! 6!
(2n)!
ln( 1  x)  x 
1  x  p
x2 x3 x4
(1) n1 x n


 ... 
 ...
2
3
4
n
1
 1  x 2  x 4  x 6  ...  (1) n x 2 n  ...
1 x2
x3 x5 x7
(1) n 1 x 2 n1
arctgx  x 


 ... 
 ...
3
5
7
2n  1
p
p( p  1) 2
p( p  1)( p  2)...( p  n  1) n
 1 x 
x  ... 
x  ...
1!
2!
n
x   ;
x   1;1
x   1;1
x   1;1
x   1;1
1.2. Применение разложения функции в ряд Тейлора.
1.2.1. Замечание о точности вычислений.
При некоторых ограничениях на x функция f(x) совпадает с бесконечной суммой – рядом Тейлора. На практике мы не можем производить суммирование до бесконечности. Да и чаще всего требуется найти приближенное значение функции с
определенной степенью точности.
Итак, если требуется вычислить значение функции с точностью  , то используем разложение данной функции в ряд Тейлора. Добавление нового слагаемого к
сумме продолжается до тех пор, пока его абсолютная величина не станет меньше  .
3
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
1.2.2. Вычисление числа
.
Воспользуемся разложение функции f ( x)  arctgx в ряд Тейлора
arctgx  x 

x3 x5 x7
(1) n 1 x 2 n1


 ... 
 ...
3
5
7
2n  1
. Тогда   4  arctg1 . Заметим, что x = 1 является допу4
стимым значением для замены функции в этой точке на ряд Тейлора. Получаем
13 15 17
(1) n112 n1
  4  (1     ... 
 ...) или
3 5 7
2n  1
1 1 1 1 1 1 1
  4  (1         ...) .
3 5 7 9 11 13 15
Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда
будет задействовано.



n
(точность)
(только
верные
значащие
цифры)
2
2,6666…
-10 3,0418…
-20 3,0916…
0,1
3,1
200 3,1365…
0,01
3,14
2000 3,14109…
0,001
3,141
и тем фактом, что arctg1 
Аналогичным образом можно вычислить значение числа e, Значения тригонометрических функций.
1.2.3. Вычисление
Задача: вычислить
Решение.
3
n
a.
30 с точностью 0,001.
1
27  30
30
10
1
1
 1 3
Преобразуем 30  3
 3 3
 3 3
 3  3 1  3  3 1   3  1   .
27
27
9
9
9
 9
Теперь можно применить следующее разложение функции в ряд Тейлора:
1  x  p  1  p x  p( p  1) x 2  ...  p( p  1)( p  2)...( p  n  1) x n  ... ,
1!
2!
n
1
1
при этом x    1;1 , p  .
9
3


1 1 
1 1  1

1

   1
   1    2 

1 3 3  1 3 3  3
1


3
3
 2 
 3  ... 
Получаем, 30  3  1   
 1! 9

2!
3!
9
9




 3  0.1111  0.0041  0.0002  ...  3.1072...  3.107
>0.001
<0.001
3
Ответ:
3
30 =3,107 с точностью 0,001.
4
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
1.3. Практикум.
1. Вычислить производные второго и третьего порядка для следующих функций:
 f ( x)  cos x ;
 f ( x)  (1  x) 4 ;
 f ( x)  ln( 1  x) .
2. Вычислить приближенное значение числа e при n = 2, 3, 10, 30.
3. Вычислить 5 , ln2 с точностью 0,001.
Ответы.
1.
f (x)
- cos x
12(1  x) 2
1

(1  x ) 2
f (x )
cos x
(1  x) 4
ln( 1  x)
f (x)
sin x
24(1  x)
1
(1  x ) 3
2.
n
e
2
2,5
3
2,6666…
10
2,71828…
5
30
2,718281828…
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
2. Методы одномерной оптимизации.
2.1. Понятие оптимизации.
Оптимизация – это целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. В математике оптимизация связана с нахождением оптимума (т.е. максимума или минимума) некоторой функции.
Если рассматриваемая функция является функцией одной переменной, в этом
случае говорят об одномерной оптимизации.
Если на значения аргументов налагаются ограничения в виде равенств или
неравенств, то такие задачи называют условными задачами оптимизации или задачами с ограничениями. В противном случае имеем задачу безусловной оптимизации.
Несмотря на то, что безусловная оптимизация функции одной переменной
наиболее простой тип оптимизационных задач, она занимает центральное место в
теории оптимизации как с теоретической, так и с практической точек зрения. Это
связано с тем, что задачи однопараметрической оптимизации достаточно часто
встречаются в инженерной практике и, кроме того, находят свое применение при реализации более сложных итерактивных процедур многопараметрической оптимизации.
Для определенности будем считать, что решаем задачу отыскания минимума
функции y = f(x) на интервале (a; b).
2.2. Метод сканирования.
Интервал поиска (a; b) разбивается на несколько равных участков, каждый из
которых равен шагу поиска h (рис. 1).
y
h
O
a
b
x
Рис. 1. Метод локализации.
Далее последовательно определяются значения функции f(x) во всех точках
разбиения аргумента и в точках a и b и запоминается наименьшее значение. Таким
образом, минимум может быть найден с точностью до h.
Достоинства метода: простота, возможность нахождения глобального минимума.
Недостаток метода: большой объем вычислений.
Пример. Найти минимум функции f ( x)  x 2  2 x с точностью ε = 0,3 на интервале (-2; 1)
6
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
Решение. Точность ε = 0,3 - шаг поиска. Количество частей разбиения интервала
b  a 
n
 1 , где […] обозначают целую часть выражения, записанного в
  
скобках.
n = 10.
n
Xn
f(xn)
0
1
2
3
4
5
-2
-1,7
-1,4
-1,1
-0,8
-0,5
0
-0,51 -0,84 -0,99 -0,96 -0,75
Наименьшее значение функции: -0,99.
Точка минимума: -1,1.
6
-0,2
-0,36
7
0,1
0,21
8
0,4
0,96
9
0,7
1,89
10
1
3
2.3. Метод локализации.
Алгоритм метода:
1.
Интервал поиска минимума (a; b) разбивается на четыре равные части
точками x1, x2, x3.
2.
Вычисляются значения функции y = f(x) во всех точках разбиения и в точках x = a, x = b.
3.
Полученные значения f(x) сравниваются между собой, и из них выбирается наименьшее.
4.
Локализуется минимум, причем новый интервал поиска равен двум старым подынтервалам с наименьшим значением f(x) на их общей границе
(на рис. 2 это соответствует интервалу (a, x2)).
5.
Интервал, в котором локализован минимум, опять делится на четыре
равных подынтервала ( на рис. 2 точками x4, x5) и снова вычисляются
значения функции y = f(x) в точках деления. Они сравниваются между собой, находится наименьшее, локализуется минимум в меньшем интервале ( на рис. 2 в интервале (x4, x5)) и так далее до тех пор, пока минимум
не будет локализован в интервале, размер которого соответствует заданной точности поиска.
Замечание. Интервал, поиска разбивается именно на четыре, подынтервала с
целью уменьшения объема вычислений: при этом каждый последующий подынтервал делится пополам, и вычислять значение функции нужно только в двух новых
точках, так как её значения на концах нового интервала и в его середине известны из
предыдущих расчетов.
2.4. Метод золотого сечения.
При построении процесса оптимизации стараются сократить объем вычислений и время поиска. Этого достигают обычно путем сокращения количества вычислений значений функции y = f(x). Одним из наиболее эффективных методов, в которых при ограниченном количестве вычислений f(x) достигается наилучшая точность,
является метод золотого сечения.
Если известно, что функция f(x) имеет только один минимум на отрезке [a; b],
то положение точки минимума можно уточнить, вычислив f(x) в двух внутренних точках отрезка. При этом возможны две ситуации:
1. f ( x1 )  f ( x2 ) . Минимум реализуется на отрезке [a; x2].
7
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
y
O
a
x1 x2
b
x
2. f ( x1 )  f ( x2 ) . Минимум реализуется на отрезке [x1; b].
y
O
a
x1 x2
b
x
В методе золотого сечения каждая из точек x1 и x2 делит исходный интервал
на две части так, что отношение целого к большей части равно отношению большей
части к меньшей, т.е. равно так называемому «золотому отношению». Это соответствует следующему геометрическому представлению:
y1
y2
y
Здесь
y
y
y  y1
1
1 z
y
y

. Обозначим 1  z , получим
. Ре 2 или

1 z
z
y
y2
y1
y  y1
y1
3 5
 0.382 . Итак, длины отрезков [a, x1] и [x2,
2
b] одинаковы и составляют 0,382 от длины (a, b). По значениям f(x1) и f(x2) определяется новый интервал (a, x2) или (x2, b), в котором локализован минимум. Найденный
интервал снова делится двумя точками в том же отношении, причем одна из новых
точек деления совпадает с уже использованной на предыдущем шаге.
Таким образом, длина интервала неопределенности на каждом шаге сжимается с коэффициентом 0,618. На первом шаге необходимы два вычисления функции,
на каждом последующем – одно.
Алгоритм метода золотого сечения для минимизации функции.
1. Вычисляется значение функции f(x1), где x1 = a + 0,382(b - a).
2. Вычисляется значение функции f(x2), где x2 = b - 0,382(b - a).
3. Определяется новый интервал (a, x2) или (x2, b), в котором локализован
минимум.
4. Внутри полученного интервала находится новая точка (x1 в случае 1) или
(x2 в случае 2), отстоящая от его конца на расстоянии, составляющем 0,382
от его длины. В этой точке рассчитывается значение f(x). Затем вычисления повторяются, начиная с пункта 3, до тех пор, пока величина интервала
неопределенности станет меньше или равна ε, где ε - заданное сколь угодно малое положительное число.
шив данное уравнение, получим z 
8
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
2.5. Метод поиска с использованием чисел Фибоначчи.
Данный материал отводится на самостоятельное изучение.
2.6. Практикум.
1. Укажите метод, который не используется в одномерной оптимизации:
a) метод сканирования;
b) метод золотого сечения;
c) метод сопряженных направлений;
d) метод локализации;
2. Критерием выбора нового отрезка в задаче отыскания максимума в методе “золотого сечения” является:
a) Если f(x1)< f(x2), то новый отрезок: [a; x2],
если f(x 1 )  f(x 2 ), то: [x 1 ; b].
b) Если f(x 1 )< f(x 2 ), то новый отрезок: [x 1 ; b],
если f(x 1 )  f(x 2 ), то: [а; x 2 ].
c) Если f(x 1 )< f(x 2 ), то новый отрезок: [x 1 ; b],
если f(x 1 )  f(x 2 ), то: [а; x 1 ]
d) Если f(x 1 )< f(x 2 ), то новый отрезок: [x 2 ; b],
если f(x 1 )  f(x 2 ), то: [а; x 1 ].
3. В методе “золотого сечения” x 1 и x 2 находятся по формуле:
a) x 1 = а + 0,382*(b-a),
x 2 = b - 0,382*(b-a).
b) x 1 = b + 0,382*(b-a),
x 2 = a - 0,382*(b-a).
c) x 1 = а + 0,382*(b-a),
x 2 = b + 0,382*(b-a).
d) x 1 = а + 0,382 / (b-a),
x 2 = b - 0,382 / (b-a).
4. В каком из методов одномерной оптимизации общее число вычислений необходимо выбирать заранее?
a) В метод золотого сечения.
b) В метод локализации.
c) В метод сканирования.
d) В методе Фибоначчи.
5. Используя метод “золотого сечения”, максимизировать функцию: f(x)=2*x 2 +3*x
на интервале (0;2). Длина конечного интервала неопределенности не должна превосходить 0,5.
a) xmax= 1,236; f(xmax) = 6,7634;
b) xmax = 1,875; f(xmax) = 12,6563;
c) xmax = 1,764; f(xmax) = 11,5154;
d) xmax = 1,657; f(xmax) = 10,4623.
6. В методе локализации найдены значения
a=0
f(a) = 0
x1 = 0,5
f(x1) = -9,16
9
Методы вычислений. Петрова К.В.
Центр информатизации и оценки качества образования.
X2 = 1,0
f(x2) = -11,7
X3 = 1,5
f(x2) = 11,32
b=2
f(b) = 90,0
Определить новый интервал для следующего шага.
a) (0; 1)
b) (-9,16; 11,32)
c) (0,5; 1,5)
d) (-9,16; -11,7)
7. В таблице приведены результаты первых двух шагов минимизации функции
f ( x)  x 2  2 x на интервале (-3; 5) методом золотого сечения.
a
b
x1
x2
f(x1)
f(x2)
№ шага
1
-3,000
5,000
a)
b)
0,115
7,667
2
c)
d)
-1,112
0,056
-0,987
0,115
Вставьте недостающую информацию.
Ответы.
1
c
2
b
3
a
4
d
7. a) 0,056
b) 1,944
c) -3,000
d) 1,944
10
5
b
6
b