РЯДЫ - Камышинский технологический институт

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Методические указания
Волгоград
2009
УДК 517.5(07)
Р98
РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ: методические указания / Сост. И. Э. Симонова,
В. Ф. Казак, Б. В. Симонов; Волгоград. гос. техн. ун-т. – Волгоград, 2009. – 26 с.
Содержат 27 вариантов заданий к семестровой работе по теме «Ряды и их
приложения».
Приведены образцы решения основных типов задач, и даны указания по их
выполнению. Показана возможность использования общематематического пакета «Mathcad» при решении этих задач.
Предназначены для студентов ВПО 1–2 курсов технических и экономических специальностей.
Рецензент: С. В. Мягкова
Ил. 6. Табл. 3. Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета.

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2009
ВВЕДЕНИЕ
Теория рядов имеет большое теоретическое и практическое значение. Она
дает возможность представления широких классов функций в виде сумм рядов,
составленных из степенных, тригонометрических и ряда других специальных
функций. С 18 века регулярное применение рядов Тейлора стало мощным аппаратом исследования функций, приближенного вычисления значений функций
и интегралов, приближенного решения дифференциальных уравнений.
Аппарат рядов Фурье наиболее широкое применение находит в задачах
функционального анализа и в задачах математической физики.
3
1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сходимость и сумма ряда. Свойства сходящихся рядов.
2. Необходимый признак сходимости, его недостаточность.
3. Сравнение рядов с положительными членами.
4. Признаки сходимости Даламбера и Коши (радикальный).
5. Интегральный признак сходимости Коши.
6. Теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
7. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Ряды с комплексными членами.
8. Функциональный ряд, его область сходимости.
9. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости.
10. Свойства степенных рядов (непрерывность, дифференцирование, интегрирование).
11. Ряд Тейлора. Условие разложимости функции в ряд Тейлора.
12. Разложение в ряд Тейлора функций еz, sin z, cos z, ln (1+x), (1+x)m, arctg x.
13. Ряд Фурье функции с периодом 2l. Теорема о виде его коэффициентов.
14. Теорема Дирихле.
15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Разложение в ряд по
синусам и ряд по косинусам функций, заданных на отрезке [0, l].
2. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача № 1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд с
комплексными членами
1.10.
2  3i
 n(n  1)
1.11.
( 1) n  i

6n 2

1.1.
(1  i ) n
 n
n 1 3

1.2.

n 1
1
n i
1.19.
1.3.
1.12.
1.4.
(1  i ) n
 2
n
1.13.
1.5.
(2  i ) n
 n!
1.6.
n i
n3
(1) n  i

n 1 n  1
1.20.
1.21.
1.14.
1.15.
4
(2  i ) n
 3
n 1 n

1.23.

n!
1 i
n 1
1 i
2
n 1 n  1


1.22.

(1  i ) 2 n
 n
5
n 1
(1  2i) n
 n
4
n 1


(1) n  i

n3
n 1
(1  i ) n  n

2n
n 1


in
 2n  1


(1  i ) n
 n!
n 1

1.24.

n 1
n  2i
n2
1.7.
1  in
 2
n
1.8.
2i n
 n
1.9.
n(1  i )
 n!

1.16.

2n  i
 3
n 1 n
i n
2
n 1 n  1

1.25.

1.17.

2

1 i
n
n 1 2  n

1.27.
3n
n 1
3i
 2 

n 1
1.26.
(3  i ) n

1.18.

in
 n
n 1 2  1
Задача № 2. Найти область сходимости функционального ряда.


2n
 n
n 1 x
2.10.
1

n
n 1 ( n  1)  x
2.11.
2.1.

2.2.
sin x
3
n 1 ( n  1)

2.4.

2.14.
 (n  1)  x
2.15.
 (sin x)
n 1


2.16.
n
n
2.17.
n 1
2.23.
 ( x  1)  n

2.24.
 (cos x) n
n 1

 e  n
2.25.

 x

2.18.
 (cos2 x)
x
n 1
x
n 1 n  1

2.26.
n 1

2.9.

n 1
n

n
n 1 ( x  1)
n x
 n
n 1 2
n2

n 1 x
n

 (ln x) n
 (sin 2 x)
n 1
n 1


x
 sin 2 n
2.22.
n 1
n 1
2.8.
cos nx
2
n 1 n  1


n x
2.13.
x 1
2n

2.21.

xn
 n 1
n 1 2
2.7.

n 1
 x
 tg 2  n 
 
n 1

2.6.

2.20.

2.12.

2.5.
 x 2n  cosn
n 1
cos nx
 3
n 1 n

n

2
n 1 ( x  1)
2.19.


2.3.

x

n
n 11  3
n
2

2.27.
n 1
1
n
n 1 n  ( x  1)

Задача № 3. Найти интервал и область сходимости степенного ряда.

3.1.
xn
 2
n 1 n  1

3.10.
( x  1) n
 n
n 1

3.2.
( x  1) n
 n
n 1 3



xn

n 1 n  1
3.11.
5
xn

n 1 ln n
3.19.
3.20.
 ( x  2) n 1
n 1

3.3.
3.4.

 3n 1  x n
3.12.
n 1
n 1


n
 n  1  xn
n 1
3.13.
xn
 2 n
n 1 n  2

 n  (2 x  1)
n 1

3.7.
3.8.

nx
n 1

2
n
3.14.
 ( x  1)
n
n
n 1
 ( x  1) n
3.15.
 n  (2 x  1) n
n 1

3.22.
 cosn  x


n
3.24.
3.25.

x
 cosn
n 1

3.18.
3
n
n  1  x n 1

n 1

n
3.26.
 ( x  1)
 21 n  x n
n 1
n 1
n
(2 x  1) n

n2
n 1

1
 n!  x n 1
n 1
 ( x  5) n 
 ln n  x n
n 1

3.17.
 (n  1)( x  1) 2
3.23.
n 1

3.16.
 2n 1  x n
n 1
n 1

n 1
3.9.
 (1)
n

3.21.
n 1


3.5.
3.6.
 (1  x) n  3 n
n

3.27.
n 1
( x  1) n
 n!
n 1
Задача № 4. Вычислить приближенное значение величины с точностью до 0,01.
4.1.
sin 10º
4.10.
4
18
4.19.
arctg 0.3
4.2.
ln 1.2
4.11.
e-0.15
4.20.
10
4.3.
arctg 0.1
4.12.
3
84
4.21.
ln 1.9
10
4.13.
ln 1.3
4.22.
3
4.5.
sin 18º
4.14.
arctg 0.4
4.23.
e-0.3
4.6.
e-0,3
4.15.
e-0.2
4.24.
ln 1.3
4.7.
5
4.16.
arctg 0.2
4.25.
cos 18º
3
4.4.
30
4.8.
ln 1.1
4.17.
sin 18º
4.26.
ln 1.8
4.9.
cos 10º
4.18.
ln 1.4
4.27.
e-0.4
Задача № 5. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с
точностью до 0.001.
0.5

5.1.
0 .1
3
e  x dx
5.10.
0
0.5
5.2.

0
arctgx
dx
x
2
 ln(1  x )dx
0.2
5.19.
0
1  x 2 dx
0
2
5.11.

sin x
 2 x dx
0
6
0.5
5.20.

0
2
x 2 e  x dx
0 .5
5.3.
1

x sin x dx
5.12.
0
2
5.4.
0 .1

0
5.21.
0
2
0
0.1

0
4
1 x

e
1
5.15.
3
0
0.5
5.16.
1
x
0
1  e x
dx
5x
3
5.8.
5.14.

0.2
dx
0.1 3 x
ln(1  x )
dx
x

5.7.
5.9.
0
2
0.1

5.13.
ex 1
 x 2 dx
0
1
5.6.
dx
0
0 .5
ex
 2 dx
0 x
ln(1  2 x)
dx
x
0.1
0
1
5.5.
 arctgx
2
4
5.22.
 sin( 5 x
0 .5
dx
5.23.
 cos(3x
5.17.
8  x3

0
0.2
dx
27  x 3
2

5.24.
5.18.
) dx
arctg 2 x
dx
x
 arctgx
2
3
e  x dx
0
0 .2

5.25.
0
0.5
arctg 3 x
dx
5x
2
0
 sin( 3x )dx
0.2
)dx
0
0
dx
2
dx
3
1  x3
1
5.26.
2 x
x e
2/4
dx
0
0 .5
dx
 cos
5.27.
0
x dx
0
Задача № 6. Найти три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд
частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным
начальным условиям.
6.16.
y  y 2  2 x ; y (1)  2
y  xy  cos x ; y (0)  1
6.17.
y  e y  x ; y (1)  0
6.18.
y  x  ln( y  x) ; y( 0 )  e
y  e y  2 xy ; y (0)  1
y  x  ln( x  y ) ; y (1)  0
6.19.
y  x 2 y ; y( 1 )  2
6.21.
6.8.
y  x  xy 2 ; y (0)  1
y  cos y ; y(0)  0 , y(0)  1
y  xy  e  x ; y( 1 )  0
y  x  cos y ; y(0)  0 ;
6.22.
y  e y ; y(0)  0
6.9.
y  x 2  xy ;
6.23.
6.10.
y   xy ; y(1)  1 ; y (1)  0
6.24.
y  x 3 y ; y(2)  1 ; y(2)  0
y  y cos x ;
y(0)  1 ; y(0)  0
6.11.
y  x e y ; y(0)  0
6.25.
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
y  2 x  y 2 ; y (1)  0
y  ln( x  y ) ; y(0)  e
1
y  x  ; y(1)  1
y
y  x 2  xy ; y (0)  1
6.15.
6.20.
y(1)  1
7
y  x 2 y 1 ;
y(2)  1
6.12.
y  x sin y ; y(0) 

2
; y(0)  0
x
; y (1)  2
y
6.14. y   y cos x ; y(0)  0 ; y (0)  1
6.13.
y 
6.26.
y  xy ; y(0)  y(0)  1
6.27.
y  y  esin x ; y(0)  y(0)  1
Задача № 7. Разложить функцию в ряд Фурье в указанном промежутке. В задачах 14–20 разложить f(x) по синусам кратных дуг, в задачах 21–27 – по косинусам. Построить график данной функции и суммы ряда.
7.1.
f ( x )  x  1 , x  (1;1)
7.15.
1

0
,
x

[
0
,
]

2
f (x)  
1
 1, x  [ ,1]

2
7.2.
f ( x )  x 2  1 , x  (2;2]
7.16.
f ( x)  0.5x , x  (1,0]
7.3.
f (x) 
x 
, x  ( ;  ]
2
7.17.
x, x  [0,1]
f (x)  
1, x  [1,2]
 1, x  [0,  )
f (x)  
2, x  [ ,2 )
7.4.
f ( x )  x  1, x  (1;1)
7.18.
7.5.
0,  x  0
f (x)  
 x,0  x  
7.19.
7.6.
f ( x )  1  x 2 , x  (1,1)
7.20.
7.7.
f ( x )  1  x , x  ( ;  )
7.21.
7.8.
f ( x )  x 2 , x  (0;2 )
7.22.
0, x  [0,1)
f (x)  
1, x  [1,2)
7.9.
2, x  ( ,0)
,
f (x)  

1
,
x

[
0
;

)

7.23.
f ( x )  x   , x  [0,  )
7.10.
 1, x  ( ,0)
f (x)  
1  x, x  [0,  )
7.24.
1, x  [0,1)
f (x)  
x, x  [1,2)
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
x,  x  0
f (x)  
 1,0  x  
f (x)  x  1 , 0  x  2
2x, x  [0,  )
,x
f (x)  
0, x  ( ,0)
f ( x )  x  1 , x  (1,0)
7.25.
7.26.
7.27.
8
f ( x )    x , x  [0,2 )
  x, x  [0,  )
f (x)  
 0, x  [ ,2 )
f ( x )  1  x 2 , x [0,1]
1, x  [0,1)
f (x)  
2, x  [1,2)
f ( x )  x   , x  [0,2 )
 0, x  [0,1)
f (x)  
x  1, x  [1,2)
3. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
3.1. Числовые ряды
Ряды широко используются в прикладных задачах. Но сначала для числового ряда надо выяснить, сходится ли он, а для функционального – при каких значениях аргумента он сходится.
Признаки сходимости числовых рядов приведены в таблице 1. Признаки 25 относятся к знакоположительным рядам. Для произвольного ряда ∑ un их
можно применить к ряду из модулей ∑ | un|.
В примерах 1-3 требуется исследовать ряды на сходимость.
 2n  3 



n 1  n  1 

Пример 1.
2n
К этому ряду удобно применить радикальный признак Коши.
lim
n 
n
 2n  3 


 n 1 
Пример 2.
2n
 2n  3 
2
 lim 
  2  4 1.
n   n  1 

2
1
 n ln n .
Значит, ряд расходится.
Для исследования применим интегральный признак
n 2
Коши. Заменим в выражении общего члена a n 
т.е. запишем функцию f ( x ) 
x [2, )
Вычислим

1
индекс n на аргумент x,
n ln n
1
, которая убывает и непрерывна для
x ln x


dx
d (ln x )

 ln(ln x ) 2   ,
2
2 x ln x
2 ln x
т.е. интеграл расходится. Следовательно, и ряд расходится.
Проведем исследование этого ряда в ППП Mathcad. Определим ряд и попробуем найти его сумму. В меню Simbolic предусмотрено символьное вычисление суммы ряда (знак символьного равенства  ), пределов и т. д.

1
 n ln n  
n 1
Вывод: ряд расходится. Об этом же свидетельствует поведение частичных
сумм ряда S(n ) . Эти суммы неограниченно возрастают, что подтверждает и
график.(рис.1)
n 1
S(n )  
S(n ) : 
k
k 1
 f ( x )dx  
9
Рис.1. Поведение частичных сумм S(n)
Числовые ряды
Таблица 1
Название признака
Необходимый признак
Признак сравнения

 a n (1)
n 1

b
n 1
n
(2)
0  an  bn
Метод исследования
lim an  0 (вопрос о сходимо-
Примечание
Если lim an  0 , то ряд расхо-
сти не решен)
дится.
Ряды, обычно используемые для
сравнения:
I. Геометрический ряд
x 
x 

Возможные варианты:
a  q n1 а) сходится при
1. Ряд (1) сходится  ?
n 1
2. Ряд (2) сходится  ряд (1)
0<q<1
сходится.
б) расходится при
3. Ряд (2) сходится  ?
4. Ряд (1) расходится  ряд (2) q  1
II. Ряд Дирихле
расходится.


1
n
n 1
 a (a
n 1
n
n
 0)
an1
p
x  a
n
lim
Радикальный признак
Коши
an

lim n an  p
x 
а) сходится при p>1
б) расходится при p  1
Признак применяется, в основном, если an имеет:
1).показательный вид:
Признак Даламбера

p
n
а) p<1 – ряд сходится.
1


n
б) p>1 – ряд расходится
содержит 2 , 
 ,…
в) p=1 – вопрос о сходимости не
 3
решен.
2) в формуле общего члена присутствует факториал.
3.в записи формулы общего члена содержится n множителей.
Признак применяется, если an
а) p<1 – ряд сходится
имеет вид:
б) 0 <p<1 – ряд расходится
n
n
в) p=1 – вопрос о сходимости
 n   n 1 2
не решен.

 ,
 ,…
 n 1
10
 3n  2 
Окончание табл. 1
Название признака
Метод исследования
Примечание

Интегральный признак Ко
ши
 a (a
n 1
n
n
 0)
1.
 f ( x)dx сходится  ряд
1

расходится.
Применяется, если

f (n)  an f ( x)  0 убывает 2.  f ( x)dx расходится 
1
на (1; )
 f ( x)dx
1
известен
ряд расходится.
Признак Лейбница

 (1)
n 1
n 1
an an  0
Исследовать на сходимость
ряд
an (1)

a
n
(2)
Если I) a1  a2  a3 …
lim an  0 ,
2)
x 
то ряд сходится
Если ряд (2) сходится, то ряд
(1) называется абсолютно
сходящимся.
Если ряд (2) расходится, а (1)
– сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся.
Оценка остатка знакочередующегося ряда: R n  an1
Пример 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд Лейбница

 (1)
1
n
1
1 1 1
 1     ...
n
2 3 4
(1)
Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница. Проверим два
условия:
1 1
1) 1    ... ¸т. е. члены ряда убывают по модулю
2 3
1
2) lim an  lim  0
n
n n
Оба условия выполнены, и ряд сходится. Ряд, составленный из его модулей,
является гармоническим рядом
 1
(2)
n
1
и расходятся. Поэтому ряд Лейбница сходится условно.
ППП Mathcad дает возможность символьного вычисления суммы ряда.
Кроме того, мы можем изобразить графически частичные суммы S1(n) и S2(n)
рядов (1) и (2) и увидеть, что частичные чумы первого ряда сходятся к своему
пределу ln(2), а второго – стремятся к бесконечности при n   . Приведем
фрагмент рабочего документа Mathcad:
11
(1) n 1
 n  ln( 2) , т. е. ряд Лейбница сходится и имеет сумму ln(2),
n 1
 1
 n   , т. е. гармонический ряд расходится. Поведение частичных сумм
n 1
представлено на графике:

Рис. 2. Графики частичных сумм S1(n) и S2(n)
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
i n
 n
2
(3)
Т. к. для комплексного числа z  x  iy его модуль z  x 2  y 2 , то ряд из
модулей имеет вид
член ряда an 

n 1
1 n
2n
. Применим к нему признак Даламбера. Общий
 a n 1 
n2
Найдем предел отношения
a n 1
:
an
2 n 1
a n 1
n  2 2n
1
n2 1
1
1
lim a  lim n  1  2 n 1  2 lim n  1  2 lim 1  n  1  2  1 .
n 
n 
n 
n 
n
Итак, ряд из модулей сходится, а ряд (3) сходится абсолютно.
Приведем фрагмент рабочего документа Mathcad, в котором проведено исследование на сходимость ряда (3).
Зададим члены ряда an : (i  n )  2  n
Составим ряд из модулей:
b(n ) : a n
2n
Применим к нему признак Даламбера, используя возможность символьного
b(n  1) 1
lim b(n)  2
вычисления пределов: n 
.
12
Предел существует и меньше единицы. Значит, ряд из модулей сходится по
признаку Даламбера, а ряд (3) сходится абсолютно.
3.2. Функциональные и степенные ряды
В прикладных исследованиях можно использовать разложение функции в
ряд. В простейших ситуациях этот ряд является степенным. В более сложных
случаях ряд составляется из тригонометрических или специальных функций.
Оперировать с рядами можно внутри их области сходимости.
Определение. Областью сходимости функционального ряда

 f n ( x)
f1 ( x)  f 2 ( x)  ... 
(4)
n 1
называется множество тех значений x, при которых ряд сходится.
Частным случаем функционального ряда является степенной ряд вида

 ( x  x 0 ) n (5) или при x0 = 0 ряд
n 1

 xn
n 1
Интервал сходимости – это такой интервал вида ( x 0  R , x 0  R ) , что внутри него ряд сходится, а при x  x 0  R расходится. Число R называется радиусом сходимости. Для нахождения интервала сходимость функционального ряда
обычно использовуют признаки Даламбера или Коши (радикальный), применяя
их к ряду, составленному из модулей членов ряда.
Концы интервала могут входить или не входить в область сходимости, поэтому ряд в концах интервала надо исследовать отдельно, применяя признаки
сходимости из таблицы 1.
Пример 5. Найти области сходимости функциональных рядов
а)

n
( x  1)
n
б)

cosnx
2n
Решение
а) Зная общий член ряда a n ( x ) 
a n 1 ( x ) 
(n  1)
( x  1) n 1
n
( x  1) n
и последующий член
, находим предел отношения их модулей:
a n 1
(n  1)( x  1) n
 lim
lim
a n n   n  (x  1) n 1
n 
13

1
n 1
1
 lim

.
x  1 n  n
x 1
1
 1 , т. е. x  1  1,
x 1
x  1  1 или x  1  1  x  (,0)  (2, ) .
Ряд сходится по признаку Лейбница, если
Границы интервалов исследуем особо. При x=0 числовой ряд
ходится, т. к. модуль его общего члена не стремится к нулю:


n
n 1( 1)
n
рас-
lim n   . Это же
n 

справедливо при x = 2 для ряда
n 1
интервалов (,0)  (2, ) .
б) Т. к. cosnx  1 , то ряд
ской прогрессией
 n . Итак, область сходимости состоит из двух

cos nx
n 1
2n

мажорируется сходящейся геометриче-

 2  n . Поэтому он сходится (абсолютно) при всех
x. Заме-
n 1
тим, что по теореме Вейерштрасса эта сходимость является и равномерной.
Значит, область сходимости x  (, ) .
3.4. Ряд Тейлора и его применение в приближенных вычислениях
В приближенных вычислениях удобно представлять функцию в виде суммы
степенного ряда, а затем вместо функции брать частичную сумму этого ряда
(являющуюся многочленом). В 1712 г. английский математик и механик Тейлор
показал, как найти коэффициенты этого ряда, названного в его честь рядом
Тейлора:
(6)
Многочленом Тейлора порядка n называется частичная сумма этого ряда:
Функция
равна сумме своего ряда Тейлора (что записано в (6)) только
для тех значений х, при которых остаточный ч
лен формулы Тейлора стремится к нулю:
(
)
Для приближенного вычисления
полагают
, подбирая
значение n так, что погрешность
не превосходит заданной точности .
Для оценки погрешности
существуют два основных способа:
1. Можно воспользоваться формулой Лагранжа
,
14
(7)
где
– некоторая точка, лежащая между и .
2. Если в точке функция
разлагается в ряд Тейлора, который
является знакочередующимся, то его остаток по теореме Лейбница не превосходит первого отброшенного члена:
Ряды Тейлора основных функций при
№
1
+…+
…
…
3
…
…
…
…
4
6
Область сходимости
Разложение
2
5
= 0 представлены в таблице 2.
Таблица 2
…
…
…
…
.
Многие другие функции различными преобразованиями сводятся к основным, затем к ним применяются разложения из таблицы 2.
Пример 6. Разложить в ряд Тейлора в точке х=0 функцию
.
Решение. В разложении функции
заменим х на , а затем умножим полученное равенство на х:
…)
Разложение верно при
, т. е.
(хотя разложение № 5 из
таблицы 2 верно только при
-1,1]).
Используя ряд Тейлора, можно вычислять значения функций с большой
точностью.
Пример 7. Вычислить ln2 с точностью до 10-5.
Решение. Ряд № 5 из табл. 2 при
cходится достаточно быстро (быстрее, чем геометрическая прогрессия со знаменателем
). Но чем
ближе
к 1, тем сходимость медленнее. При х=1 имеем знакочередующийся ряд:
…
(8)
По следствию из теоремы Лейбница остаток этого ряда не превосходит первого отброшенного члена:
15
Для вычисления по формуле (8) надо было бы взять 100 тыс. слагаемых. Используем метод убыстрения сходимости. Заменим в (8) аргумент х на –х:
(9)
Вычитая (9) из (8), имеем:
Ряд используется при практическом вычислении логарифмов натуральных
чисел. Например, при х=1/3
(10)
Ряд сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия с
нить остаток при
:
1/9. Легко оце-
Для вычисления ln 2 с точностью достаточно взять 5 слагаемых ряда (10),
что даёт значение ln 2 0,693146.
Пример 8. Вычислить значение интеграла
при t=1 c точностью до 0,01.
Первообразная Ф(t) от
не является элементарной функцией, для
её вычисления разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении для
x на
:
…
…,
Степенной ряд можно интегрировать почленно внутри интервала сходимости:
…
…
Последний ряд – знакочередующийся, его остаток не превосходит первого
отброшенного члена:
При t=1 выберем n так, что
.
Иначе говоря, выписываем члены ряда до тех пор, пока не дойдём до члена,
по модулю не превышающего 0,01:
Итак, уже
Отбрасывая этот и последующие члены, полу-
чаем, что с точностью до 0,01
.
16
ППП Mathcad предоставляет большие возможности по разложению функций как в ряды Тейлора, так и в ряды Фурье. В меню Symbolics содержится
оператор Series. Для его использования надо ввести выражение функции f(x),
щёлкнуть по ключевому слову series, ввести в помеченных позициях точку , в
окрестности которой проводится разложение, и порядок остаточного члена. Затем нажать знак символьного равенства
Пример 9. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки
функцию
. Исследовать графически поведение функции и частичных
сумм ряда Тейлора
порядка n = 1, 3, 4.
Решение. Разложим функцию в ряд Тейлора:
series, x, 6
…
Возьмём сумму первых двух, трёх и четырёх членов ряда:
Построим графики:
Рис. 3. Аппроксимация функции отрезком ряда Тейлора
По графику видно, что приближение функции рядом Тейлора имеет локальный характер: функция хорошо аппроксимируется многочленом Тейлора в
окрестности точки . Аппроксимация тем лучше, чем больше членов ряда
Тейлора мы берем.
Замечание 1. При разложении функции f(x) в ряд Тейлора в точке , отличной от нуля, оператор series два первых члена ряда даёт в виде
, затем их надо привести к виду
, где =
.
Например, для точки
Т. к.
и функции
, то приводим разложение к виду
, 1/x series x = 2, 2
.
.
Замечание 2. Оператор series позволяет получать разложение в ряд Тейлора
функции двух переменных
в окрестности точки
. Например, в
окрестности нуля
series x, y, 3
.
17
Пример 10. Вычислить в Mathcad приближенное значение cos (18º) с точностью до 0,001, используя ряд Тейлора.
Решение. Перейдём от градусной меры угла к радианной: 18º = π/10. Разложим функцию
cos (x) в ряд Тейлора:
cos (x) series, x, 7
.
Этот ряд знакочередующийся. По теореме Лейбница допускаемая погрешность (отбрасываемый остаток ряда) не превосходит первого отброшенного
члена, то есть
.
Подсчитаем значения второго и третьего членов ряда для х = π/10.
Фрагмент рабочего документа имеет вид:
,
,
,
.
Значит, достаточно взять два первых члена ряда, отбросив третий и последующие:
,
.
Вычислим погрешность:
.
Итак, с точностью до 0,001
.
Замечание 3. При вычислении значения определённого интеграла с заданной точностью можно использовать оператор series для приближения подынтегральной функции многочленом Тейлора
, а затем находить интеграл от
и оценивать погрешность
.
3.5. Применение ряда Тейлора к приближенному решению дифференциальных уравнений
В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение не
удаётся, можно использовать приближенные методы решения. При нахождении
частного решения y(x) дифференциального уравнения с начальными условиями,
заданными в точке , в качестве приближенного решения можно взять конечное число членов разложения y(x) в ряд Тейлора:
…
(11)
Для определения коэффициентов разложения (11) используют метод последовательного дифференцирования. Значения
определяются по
начальным условиям. Последующие значения
,…
находим при последовательном дифференцировании исходного уравнения (если они не заданы в начальных условиях).
18
Пример 11. Найти три первых члена разложения в ряд Тейлора решение
дифференциального уравнения
(12)
с начальным условием
.
Решение будем искать в виде ряда
…
Подставляя начальное условие
Чтобы найти
подставим в него
(13)
) = 0,5 в уравнение (12), имеем:
, продифференцируем исходное уравнение (12). Затем
:
Подставляя найденные значения в (13), получаем приближенное решение
как сумму трёх первых члена ряда Тейлора:
…
3.6. Разложение функций в ряд Фурье
Ряд Фурье используется для разложения его периодических функций с периодом 2l в ряд, составленный из гармоник
…
В зависимости от вида функции и интервала разложения меняются формулы
и вид ряда Фурье (см. табл. 3). В первой строке таблицы представлен ряд Фурье
общего вида, в остальных – ряд Фурье для более простых частных случаев.
Для разложения функции в ряд Фурье руководствуйтесь планом:
1) Проверьте условия теоремы Дирихле разложимости функции в ряд
Фурье, продолжите функцию по периоду и постройте её график.
2) Выберите нужную строку из таблицы 3.
3) Вычислите коэффициенты ряда Фурье.
4) Запишите ряд Фурье.
5) Найдите сумму ряда в точках разрыва и на концах интервала:
Изобразите сумму ряда на том же графике, что и f(x). (Чем они отличаются?)
Пример 11. Разложить в ряд Фурье функцию периода , если
.
Построить график f(x) и суммы S(x) её ряда Фурье.
Решение. 1) Продолжим f(x) по периоду и построим график:
19
Рис. 4. График функций f(x) и S(x)
Эта функция кусочно-монотонна (и кусочно-непрерывна), т. е. удовлетворяет условиям Дирихле. Значит, она разлагается в ряд Фурье.
2) Эта функция общего вида: она не является ни чётной, ни нечётной. Поэтому выбираем п. 1 из табл. 3.
3) Вычислим коэффициенты разложения по формулам
(14)
Подставим свою функцию f(x) и вычислим интегралы:
an =((-1)n+1+1)/ πn,
bn =(-1)n/n.
4) Запишем несколько первых членов разложения функции в ряд Фурье:
f(x)=0.75 π + 2cosx – sinx + 0 5sin(2x) + 2cos(2x)/3 + …
По теореме Дирихле сумма S(x) ряда Фурье совпадает с функцией f(x) в точках, где f(x) непрерывна, т. е. при х
. Функция разрывна при х =
.
В силу периодичности
. График S(x) совпадает
с графиком f(x) в точках непрерывности и изображён на рис. 4. Значения S(x) в
точках разрыва отмечены символом “x”.
Возможности MathCad позволяют не только найти коэффициенты ряда, но и
проиллюстрировать характер приближения к f(x) частичных сумм порядка n её
ряда Фурье
На графике, приведенном на рис. 5, видно, что с ростом n частичныe суммы
ряда Фурье быстро приближаются к f(x) в точках, достаточно удалённых
от точек разрыва.
20
Таблица 3
Ряд Фурье
f(x)
интервал
ряд Фурье
f(x) –
1 общего
вида
f(x) –
2 общего
вида
21
f(x) –
чётная
3
f(-x)=+
f(x)
f(x) –
нечётная
4
f(-x)=f(x)
f(x) –
5 общего
ряд по ковида
синусам
ряд
f(x) –
6 общего
по синувида
сам
0
0
Как в п. 3
Как в п.4
0
Пусть функция f(x) интегрируется с квадратом на [-l, l]. Известно, что частичные суммы
дают наилучшее приближение к f(x) среди всех тригонометрических многочленов (x) порядка n, если в качестве меры уклонения
от f(x) взять среднеквадратичное уклонение
Кроме того,
. Чтобы убедиться в этом, вычислим значение
для n = 1,…,10.
Фрагмент документа Mathcad приведён ниже.
Зададим исследуемую функцию, используя в панели Programming кнопку
Add Line:
Вычислим первые 10 пар коэффициентов Фурье, используя формулы из
табл. 3:
Запишем выражение для n-ой частичной суммы ряда:
Изобразим график f(x) и графики частичных сумм для n = 1, 3, 10. Укажем
диапазоны значений x от –π до π с шагом :
n=1
n=3
Рис.5. Приближение функции отрезком ряда Фурье.
Найдём среднеквадратическое отклонение
n:=7,
22
n = 10
3.7. Применение рядов Тейлора к оценке изменения цены облигации
1. Определение текущей цены P облигации с нулевым купоном
Рассмотрим облигацию с выкупной стоимостью С. Пусть рыночная процентная ставка равна а % (т. е. совокупная доходность
), а срок погашения облигации равен n лет. Определим текущую цену облигации Р. При
n=1
.
2. Купонные облигации.
По большинству облигаций выплачиваются купоны: держатель акций имеет
право на серию процентных платежей и выплату основной суммы при погашении. Любой платёж можно рассматривать как новую облигацию, но уже с
меньшим сроком погашения.
Рассмотрим, например, двухгодичную облигацию с выкупной стоимостью C
и выплатой суммы
итоговым платежом за первый год. При совокупной доходности r
Кривая
рис. 6.
называется кривой цены – доходности и изображена на
Рис. 6. Кривая цены – доходности
3. Определение чувствительности цены облигации к изменению совокупной доходности r.
23
Для проведения приближенных расчётов аппроксимируем кривую
в окрестности точки r, разлагая P(r) в ряд Тейлора. Пусть r – текущая доходность, h – её изменение. По формуле Тейлора
.
Линейное приближение задаётся многочленом Тейлора первого порядка:
задаёт заниженные значения цены. На графике (рис.6) изменению
h соответствует движение по касательной. Точность приближения заметно
улучшается, если взять многочлен Тейлора второго порядка:
.
Определение. Первый член ряда Тейлора, делённый на цену облигации, при
h = 1 % называется модифицированной дюрацией (МД), второй – выпуклостью. Члены более высокого порядка обычно незначительны при определении чувствительности цены облигации.
По определению,
.
Выясним смысл модифицированной дюрации. Первая производная
,
делённая на цену P, даёт приближенно процентное изменение цены облигации
в ответ на изменение доходности на h = 1 %.
При сроке погашения n лет зависимость цены купонной облигации от доходности r задаётся формулой:
(14)
Пример. Дана двухлетняя облигация стоимостью 100 у. е., по которой раз в
полгода производятся выплаты по 5 у. е. (
. Положив доходность равной
8 % годовых, вычислить цену облигации
, модифицированную дюрацию
MODDUR и выпуклость W.
Решение. В условиях задачи число периодов (и выплат) n = 4, доходность
за полгода r = 0,04.
вычисляем по формуле (14).
Используем ППП Mathcad. Так как годовому изменению доходности на h =
1 % соответствует изменение на 0,5 % за полгода, то приведём значение
к стандартному виду, умножив его на 0,5: MОDDUR = 0,5MD.
Для нахождения выпуклости W используем отношение второго члена ряда
Тейлора к цене Р:
Так как в год идёт два денежных потока, то W =
24
.
СПИСОК
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. / Н. С. Пискунов
Т.2. - М. : Интеграл – Пресс, 2004. – 416с.
2. Демидович, Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Б.
П. Демидович. Учеб. пособие. - 11 изд. -М. : Высшая школа, 1997. – 142с.
3. Данко, П. Ф. Высшая математика в примерах и задачах. /П. Ф. Данко, А. Г. Попов, Т.
Я. Кожевникова. В 2-х т. Т.2 – 6 изд. -М.: ОНИКС 21 век. 2005.- 416с.
4. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М.:
Наука, 1981. - 287с.
5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / А. П. Рябушко [и др.]. В
3-х ч. Ч.3. – М. : Высшая школа, 1991. – 109с.
6. Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике / Л. А. Кузнецов. -М. :
Высшая школа, 2003. – 163с.
25
Составители:
Ирина Эдуардовна Симонова
Вячеслав Федорович Казак
Борис Витальевич Симонов
РЯДЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Методические указания
Под редакцией авторов
Темплан 2009 г., поз. № 38К.
Подписано в печать 20. 05. 2009 г. Формат 1/8.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 3,25. Усл. авт. л. 2,88.
Тираж 50 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.