12x - eSSUIR

УДК 539.3
ЭФФЕКТ ВЛИЯНИЯ ГРАНИЦЫ НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИН ДЛЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
И ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ В
R3
Л.А.Фильштинский, проф.; Ю.Д.Ковалев, ст.преп.; В.М.Олейник, ст.преп.
Для выявления эффекта влияния границы на распределение коэффициентов интенсивности напряжений
(КИН) в вершинах трещины для задач теории упругости и электроупругости, рассмотрим
кососимметричную задачу теории упругости для полуслоя с трещиной и симметричную задачу
электроупругости для полуслоя с трещиной.
Указанные краевые задачи были рассмотрены на базе единого подхода, основанного на использовании
для описания механических и электрических величин, однородных решений А.И. Лурье [2, 3, 4].
Постановку краевой задачи для полуслоя с трещиной рассмотрим на примере симметричной задачи
электроупругости. (Постановка краевой задачи теории упругости для полуслоя с трещиной осуществляется
аналогично).
Рассмотрим пьезокерамический полуслой, h  x 3  h,    x 1  , 0  x 2  , содержащий
внутреннюю сквозную трещину. Будем предполагать, что на берегах трещины действует поверхностная


нагрузка X  X    X   X  ,   1, 2, 3 . Допустим, что кривизны дуг и функции X  , удовлетворяют
условию Гельдера на L [5] и, кроме того, X  разлагается в ряд Фурье по координате x 3 на   h , h  . На
основаниях полуслоя выполняются следующие условия:
13   23   33  0,
 2  V0  const ,
x 3  1
(1.1)
где  i j - механические напряжения, а  2 - электрический потенциал.
На границе полуслоя зададим граничные условия в виде:
u2  12   23  0,
D2  0,
x2  0
(1.2)
где D2 - составляющая электрической индукции.
Краевые условия на берегах разреза зададим в виде:
      e2i      2i     2ei   X  i X  
22
22
11
12
1
2
 11


i

Re e  13  i  23    X 3

E s  E s , Dn  Dn



(1.3)
где E s - касательная составляющая вектора электрической напряженности, Dn - нормальная составляющая
вектора электрической индукции.
Интегральные представления входящих в однородные решения разрешающих функций, должны
обеспечивать существование скачков перемещений, непрерывность вектора механических напряжений, а
также непрерывность касательной составляющей вектора напряженности электрического поля и


нормальной составляющей вектора электрической индукции. при переходе через разрез L j j  1,n . Эти
представления должны удовлетворять граничным условиям (1.2) и затуханию перемещений, напряжений,
электрической напряженности и индукции на бесконечности.
Запишем представления искомых функций в виде:
 x 1 , x 2    ( 1) x 1 , x 2    ( 2) x 1 , x 2 
n x 1 , x 2   n( 1) x 1 , x 2   n( 2) x 1 , x 2 
( 1)
m x 1 , x 2   m
x 1 , x 2   m( 2) x 1 , x 2 
(1.4)
F x 1 , x 2   F ( 1)  x 1 , x 2   F ( 2) x 1 , x 2 
Величины с индексом “1” соответствуют основному источнику [1, 6], а эти же величины с индексом “2” отраженному.
Структуры представлений, содержащие отраженный источник, имеют вид [7].
Удовлетворяя граничным условиям (1.3) с учетом (1.4), и раскладывая найденные выражения в ряды
Фурье, приходим к бесконечной системе сингулярных интегродифференциальных уравнений, по структуре
совпадающих с аналогичными уравнениями для слоя [1, 6].
Коэффициенты интенсивности напряжений находятся по формулам:
K I  lim 2   n ,
 0
K I I I  lim 2   n 3 ,
 0
K I I  lim 2   ns
 0
(1.5)
K Dn  lim 2  Dn
 0
Здесь  n ,  ns ,  n 3 , Dn - нормальные и касательные составляющие напряжений, а также нормальная
составляющая вектора электрической индукции на продолжении за вершину трещины.
В качестве примера рассмотрим:
а) пьезокерамический полуслой (материал PZT-4), ослабленный сквозным криволинейным разрезом под
действием внутреннего давления P .
б) изотропный полуслой   1 3 , ослабленный сквозным криволинейным разрезом под действием
нагрузки X 1  Px 3 cos , X 2  Px 3 sin  , X 3  0, P  const . Параметризацию контура в обоих случаях
зададим в виде:
1  p1 ,
 1    1
2  p2  2  p0
(1.6)
На рис.1 приведены эпюры распределения относительного КИН
1.00
1.00
x3
<KI >
1 2
3
2
0.50
0.95
0.50
1
0.00
0.00
0.90
0.00
0.50

KI  KI
h l  0,5
Рисунок 1

<K1I.00
>
0.00
0.50
x1.00
3
Рисунок 2
 l P по “толщинной” координате в зависимости от расстояния до границы полуслоя при
 p1  1, p2  0.
Кривые 1, 2, 3 построены для p0 l  1, 2, 8 соответственно.
На рис.2 приведены эпюры распределения относительного КИН K I
вдоль “толщинной” координаты.
Кривые 1, 2 построены для прямой трещины  p1  1, p2  0 при h l  1, p0  l и 2l соответственно ( 2l
- длина трещины). 2Штрихами приведена кривая при p0  8l .
Численная реализация построенных алгоритмов позволяет сделать вывод, что влияние границы полуслоя
не сказывается на КИН при p0 l  8l .
SUMMARY
The boundary-value problems of the electroelasticity and the theory of elasticity for a half-layer, weakened with the through-the-thickness
tunnel cracks, are considered. Corresponding boundary-value problems are reduced to the infinite systems of one-dimensional singular integrodifferential equations, numerically solved. The results of the calculations of the stress intensity factors (SIF) at the crack tip are deduced. The
effect of the influence of a half-layer boundary on SIF propagation is obtained.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григолюк Э.И., Ковалев Ю.Д., Фильштинский Л.А. Изгиб слоя, ослабленного сквозными туннельными разрезами // Докл. АН СССР.
- 1991. - 317, №1. - С. 31-53.
2. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты // Прикл. математика и механика. - 1977. - 41, №6. - С. 1114-1121.
3. Жиров В.Е.., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плит из электроупругого материала // Тепловые напряжения в элементах
конструкций. - 1977. Вып. 17. - С. 62-67.
4. Лурье А.И. К теории толстых плит // Прикл. математика и механика. - 1942. - 6, №213. - С. 151-169.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Гос. из-во физ.-мат. литературы, 1954. - 599с.
6. Фильштинский Л.А., Олейник В.М. Краевая задача электроупругости для слоя с туннельными сквозными разрезами // Прикл.
механика. - 1991. - 27, №12. - С. 21-26.
7. Фильштинский Л.А., Хворост В.А., Ковалев Ю.Д. Пространственная кососимметричная задача теории упругости для полуслоя,
ослабленного сквозными туннельными разрезами / СГУ. - Сумы, 1995. - 9с. - Деп. в ГНТБ Украины 25.01.95, №208. - Ук95.
Поступила в редколлегию 15 декабря 1997 г.