Каледин Решетникова Равковская

УДК 539.5
Алгоритм расчета напряжений в упругой среде с внутренними кинематическими
связями
В.О. Каледин, Е.В. Решетникова, Е.В. Равковская
Новокузнецкий институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный
университет»
Рассматривается задача о статическом деформировании линейно упругой среды с
внутренними кинематическими связями. Предлагается алгоритм решения, основанный на
регуляризации задачи по А.Н.Тихонову и отыскании предела численного решения
регуляризованной задачи.
При упругом деформировании сплошной среды, содержащей внутренние
кинематические связи, отдельные компоненты деформаций остаются нулевыми. Примерами
таких сред являются объемно несжимаемая среда и среда, армированная нерастяжимыми
волокнами. Краевая задача теории упругости для подобных сред некорректна, поскольку
определяющие уравнения не обратимы, а работа напряжений на запрещенных деформациях
равна нулю. Это создает трудно преодолимые вычислительные сложности при её решении.
Так, в случае объемно несжимаемой среды равна нулю работа шаровой составляющей
тензора напряжений на деформации изменения объема. Это равносильно бесконечно
большому модулю объемной деформациии. Аналогично, при армировании нерастяжимыми
волокнами модуль упругости в направлении армирования бесконечно большой, а работа
напряжений на линейной деформации вдоль волокна равна нулю.
Один из возможных подходов к решению такой задачи состоит в использовании
регуляризации по Тихонову, в которой жесткие кинематические связи снимаются, а
определяющие уравнения среды записываются так, чтобы малые деформации,
несовместимые со связями, вызывали большие (но конечные) напряжения. Предельный
переход обеспечивает получение решения исходной задачи. Например, для объемно
несжимаемой среды в качестве параметра регуляризации может быть выбрана величина,
обратная к модулю объемного сжатия; при устремлении к нулю этого параметра получаем
среду с бесконечным объемным модулем упругости, т.е. объемно несжимаемую.
Однако такой предельный переход может оказаться неосуществимым при
использовании численного метода решения. Уменьшение значения параметра регуляризации
приводит к потере обусловленности решаемой системы уравнений, а численное решение,
полученное при конечных значениях параметра, отличается от решения исходной задачи
(объемные деформации оказываются хотя и малыми, но конечными).
Рассмотрим дискретную постановку задачи об упругом деформировании слоистой
среды, содержащей два вида чередующихся слоёв: слои с конечной жесткостью и объемно
несжимаемые слои. Применив регуляризацию, заменим объемно несжимаемые слои слоями
из материала с объемным модулем упругости K 
1

, где  - малый параметр регуляризации.
Примем, что в результате конечно-элементной дискретизации построено некоторое
множество свободных узловых неизвестных (перемещений узлов), для определения которых
необходимо решить систему уравнений:
1
( A  B) x( )  R ,

(1)
где A – составляющая матрицы жесткости, не зависящая от объемного модуля K,
B – матрица коэффициентов при объемном модуле K.
Матрица A может быть вычислена, если в определяющем уравнении материала
несжимаемых слоев положить K=0, оставив неизменными остальные константы закона
упругости. Для вычисления матрицы B следует положить K=1, приняв равными нулю
остальные константы, в том числе – все модули упругости материалов с конечной
жесткостью.
Матрицы A и B симметричны и полуположительно определены. Их линейная
комбинация A  B симметрична и положительно определена при любом положительном
. Поэтому решение системы (1) существует и единственно при любом положительном .
Требуется найти предел, к которому стремится это решение при стремлении  к нулю:
1 

x*  lim x( )  lim  A  B 
 
 0
 0
1
R  lim  A  B 1 R .
(2)
 
В последнем равенстве вместо  введен бесконечно большой параметр , что не
меняет существа задачи.
Для выяснения существования предела (2) приведем обе матрицы A и B к
диагональному виду с помощью перехода к базису из собственных векторов пучка (A, B):
( A  i B) f i  0 ,
(3)
где i - i-е собственное число пары,
f i - соответствующий собственный вектор.
Заметим, что среди собственных чисел имеются как нулевые, так и бесконечные.
Удобнее вместо (3) рассмотреть задачу для пары матриц C  A  B и B, из которых первая
положительно определена. Собственные числа этой пары действительны и не равны нулю, а
собственные векторы совпадают с собственными векторами исходной пары матриц
обладают свойствами A- , B- и С-ортогональности [3]:
(4)
( f i , Af j )   i ij , , ( f i , Bf j )   i ij , ( f i , Сf j )  ( i  i ) ij ,
fi и
где скобками обозначено скалярное произведение,
 ij - симметричный символ Кронекера,
 i ,  i - неотрицательные элементы диагональных матриц.
Уравнение (1) после перехода к собственному базису принимает вид:
( i   i ) xi (  )  ri ,
(5)
где ri  ( f i , R ) ,
xi - коэффициент в разложении вектора x по собственному базису.
Из уравнений (5) легко выразить все коэффициенты xi :
ri
.
xi (  ) 
 i  i
(6)
Тогда предельный переход (2) даёт следующие значения для коэффициентов
разложения по собственному базису вектора x*:
xi*
 ri
 ,  0
  i i
.

 0,  i  0
(7)
В силу положительной определенности матрицы C величина  i положительна при
 i  0 . Поэтому все xi* конечны. Вектор x* оказывается ортогональным к любому
собственному вектору, для которого  i  0 , т.е. целиком лежит в ядре линейного
преобразования, определяемого матрицей B. Коэффициенты разложения (5) и (6) при
 i  0 оказываются одинаковыми. Следовательно, вектор x* может быть получен из
вектора x, вычисленного при конечном объемном модуле, как B-проекция этого вектора на
ядро преобразования.
Практические вычисления связаны с матрицами высокого порядка, что делает
невозможным вычисление базиса из собственных векторов. Поэтому алгоритм вычисления
вектора x* следует строить, исходя из приближенных методов решения алгебраических
задач.
Выделим в базисе f i векторы, лежащие в ядре (соответствующие условию  i  0 ).
Обозначим эти векторы как g i . Остальные собственные векторы, для которых  i  0 ,
будем обозначать hi . Коэффициенты xi (  ) при векторах g i будем обозначать xi (  ) , а
xi (  ) . Тогда вектор x(  ) можно представить в виде следующей линейной
при hi - как ~
комбинации базисных векторов:
x(  )  xi (  ) f i  xi (  ) g i  ~
xi (  )hi .
(8)
Как следует из (6), коэффициенты xi (  ) в действительности не зависят от параметра
xi (  ) равны
регуляризации , а из (7) видно, что предельные значения коэффициентов ~
нулю. Следовательно, вектор x* равен первому слагаемому правой части (7), а вектор x при
произвольном  связан с x* следующим равенством:
x(  )  x *  ~
xi (  )hi ,
(9)
при этом x* B-ортогонален к каждому из векторов hi . Таким образом, для вычисления x* нет
необходимости строить полный базис пространства, а достаточно построить базис hi и
ортогонализовать к нему вектор x, вычисленный при произвольном .
Размерность линейной оболочки hi может быть также неприемлемо велика для
построения базиса. Однако ортогонализация исходного вектора x может выполняться не ко
всему подпространству, а так, чтобы обеспечить малость проекции x*. В качестве такого
подпространства можно выбрать подходящее подпространство Крылова.
Вычисление перемещений узлов не исчерпывает поставленной задачи. Требуется
также определить напряжения. Сложность возникает при определения шаровой компоненты
напряжений в объемно несжимаемых слоях, поскольку в результате предельного перехода
будет получена нулевая объемная деформация. Объемный модуль упругости при этом
бесконечный. Таким образом, гидростатическое давление не совершает работы на
деформациях, а вследствие этого его величина оказывается неопределенной (произведение
нуля на бесконечность).
Для разрешения неопределенности проведем анализ предельного перехода. Пусть
объемная деформация  в некоторой точке выражается через узловые перемещения
известным соотношением:
 ( )  Gx( ) ,
(10)
где G – матрица-строка.
В пределе  (0)  Gx*  0 . Шаровая компонента напряжений  (величина,
противоположная по знаку гидростатическому давлению) пропорциональна объемной
деформации:
1
 ( )  K ( )   ( ) .

(11)
Применяя к (11) правило Лопиталя, получим:
d ( )
dx( )
.
 G lim
  0 d
  0 d
lim   lim
(12)
 0
Таким образом, задача сводится к вычислению производной вектора узловых
перемещений по параметру  в окрестности точки x*.
Предложенный алгоритм решения позволяет вычислять перемещения и напряжения в
линейно деформируемых средах с кинематическими связями, в том числе в слоистых
структурах, содержащих объемно несжимаемые слои.