Конспект урока в 10 классе (физико

Конспект урока
в 10 классе
(физико-математический профиль)
по теме
«Решение уравнений,
содержащих обратные
тригонометрические
функции»
Конспект урока разработала:
учитель математики высшей категории МОУ «СОШ № 4 г.Брянска с
углубленным изучением отдельных предметов»,
Почетный работник общего образования Российской Федерации
Шатковская Елена Александровна
Цели урока:
Образовательные :
 Изучить
основные виды уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции.
 Изучить способы решения уравнений с аркфункциями : по
определению; с использованием свойств
аркфункций; с
использованием тождеств, связывающих аркфункции.
 Научить учащихся определять метод решения
конкретного
уравнения в знакомой ситуации.
 Развивающие :
 Развивать
у учащихся умения сравнивать виды уравнений,
находить сходства и различия в них.
 Развивать умения анализировать, проводить рассуждения.
 Развивать устойчивый интерес к предмету.
Воспитательные :
 Воспитывать устойчивый, осознанный интерес к содержанию
собственной деятельности.
 Формировать умения аргументировано отстаивать свои взгляды.
Формировать способность к взаимопомощи, работе в паре, группе,
коллективе.






Структура урока :
Организационный момент .
Актуализация знаний учащихся.
Изучение
видов
уравнений,
содержащих
обратные
тригонометрические функции, и способов их решения: по
определению; с использованием свойств
аркфункций; с
использованием тождеств, связывающих аркфункции.
Самостоятельная работа учащихся тренировочного характера.
Подведение итогов.
Постановка домашнего задания.
Методы обучения :
 Объяснительно –иллюстративный
 Репродуктивный
 Частично –поисковый
Продолжительность урока : 90 минут
Оборудование и дидактическое обеспечение урока :
 Таблицы с определением, графиками
и свойствами обратных
тригонометрических функций.
 Карточка № 1( заготовка для работы в классе)
 Карточка № 2 ( заготовка для работы в классе)
 Карточка № 3 ( самостоятельная работа тренировочного характера)
 Карточка № 4 ( для домашней работы)
 Презентация к уроку
Формы организации деятельности учащихся :
 Фронтальная работа
 Индивидуальная работа
 Работа учащихся в парах
 Самостоятельная работа тренировочного характера
Ход урока
I. Организационный момент
Вступительное слово учителя, выявление и постановка целей урока,
ориентация учащихся в учебной деятельности на уроке.
II. Актуализация ЗУН
1. Фронтальный опрос
1) Что называется арксинусом числа а? Какая функция называется
арксинусом числа х? Каковы ее область определения и область значений ?
Ее основные свойства? ( слайды 1,2)
Арксинус
Арксинусом числа а ( - 1 ≤ а ≤ 1) называется
такое число α из промежутка [ - π/2; π/2]
/2],
синус которого равен а :
arcsin a = α, если sinα
sinα = a и – π/2 ≤α ≤π/2.
Функция у = arcsin x
Функция y = arcsin x, где - 1 ≤ x ≤ 1 и
- π/2 ≤ у ≤ π/2,
/2, называется арксинусом.
Основные свойства:
свойства:
1) D(y)
D(y) = [ -1;1].
1].
2) E(y)
E(y) = [[-π/2 ;π/2].
2].
3) Функция непрерывна на отрезке [ -1;1] и
возрастает на нем.
нем.
4) Функция является нечетной,
нечетной,
arcsin (-x) = - arcsin x.
2) Что называется арккосинусом числа а? Какая функция называется
арккосинусом числа х? Каковы ее область определения и область значений ?
Ее основные свойства? ( Слайды 3,4)
Арккосинус
Арккосинусом числа а ( - 1 ≤ а ≤ 1) называется
такое число α из
промежутка [ - π/2; π/2]
/2],
косинус которого равен а :
arccos a = α, если cosα
cosα = a и – π/2 ≤α ≤π/2.
Функция у = arccos x
Функция y = arccos x, где - 1 ≤ x ≤ 1 и
- π/2 ≤ у ≤ π/2, называется арккосинусом.
Основные свойства:
1) D(y) = [ -1;1].
2) E(y) = [-π/2 ;π/2].
3) Функция непрерывна на отрезке [ -1;1] и
убывает на нем.
4) Функция является четной,
arccos (-x) = arccos x.
3) Что называется арктангенсом числа а? Какая функция называется
арктангенсом числа х? Каковы ее область определения и область значений ?
Ее основные свойства? (Слайды 5,6)
Арктангенс
Арктангенсом числа а
называется такое число α
из интервала ( - π/2; π/2),
тангенс которого равен а :
arctg a = α, если tg α = a и – π/2 < α < π/2.
Функция у = arctg x
Функция y = arctg x, обратная функции
y = tg x , взятой на интервале ( - π/2;π/2) ,
называется арктангенсом.
арктангенсом.
Основные свойства:
свойства:
1) D(y)
D(y) = R.
2) E(y)
E(y) = ((-π/2 ;π/2).
2).
3) Функция непрерывна на множестве R и
возрастает на нем.
нем.
4) Функция является нечетной,
нечетной,
arctg (-x) = - arctg x.
4) Что называется арккотангенсом числа а? Какая функция называется
арккотангенсом числа х? Каковы ее область определения и область
значений? Ее основные свойства? (Слайды 7,8)
Арккотангенс
Арккотангенсом числа а
называется такое число α
из интервала (0;π
(0;π),
котангенс которого равен а :
arcctg a = α, если ctg α = a и 0 < α < π.
5) Как взаимосвязаны между собой аркфункции одного аргумента?
( Слайд 9)
Основные тождества
arcс
arcсos х + arcsin х = π/2
для -1≤ х ≤ 1
arctg х + arcс
arcсtg х = π/2
для любого х
6) Чему равен sin(arcsin a), cos(arccos a), tg(arctg a), ctg(arcctg a)?
Какие значения принимает a? ( Слайд 10)
Для -1 ≤ а ≤ 1 справедливы равенства:
равенства:
sin(arcsin a) = a
cos(arccos a) = a
Для любого числа а справедливы
равенства:
равенства:
tg(arctg a) = a
ctg(arctg a) = a
7) Чему равен arcsin(sin x), arccos(cos x), arctg(tg x), arcctg(ctg x)?
Какие значения принимает х? ( Слайд 11)
Для любого х из промежутка [-π/2;π
/2;π/2]
/2]
arcsin(sinx)
arcsin(sinx) = x
Для любого х из промежутка [0;
[0;π]
arccos(cosx)
arccos(cosx) = x
Для любого х из интервала (-π/2;π
/2;π/2)
arctg(tgx)
arctg(tgx) = x
Для любого х из интервала (0;
(0;π)
arcctg(ctgx)
arcctg(ctgx) = x
2. Устные упражнения ( Слайд 12)
Работаем устно
1. Вычислить:
Вычислить:
1) sin(arcsin 3/5)
3/5)
3) cos(arс
cos(arсcos 2)
5) tg(
tg(2arccos 1/2)
1/2)
2. Найти х, если :
1) arccos x = 0
3) arctg x = π/4
2) tg(arctg 3)
4) arcsin(cos π/3)
/3)
6) arctg(sin π/4)
2) arcsin x = 0
4) arcctg x = π/6
1. Вычислить:
3
5
1) sin(arcsin ) ; 2) tg(arctg 3) ;
4) arcsin(cos
3) cos(arсcos 2);
1


); 5) tg(2arccos ) ; 6). arctg (sin ).
3
4
2
2. Найти х, если :
1) arccos x = 0
2) arcsin x = 0 3) arctg x =

4
4) arcctg x =

.
6
III. Изучение видов уравнений, содержащих обратные
тригонометрические функции, и некоторых способов их решения
В: Как можно по-другому сформулировать задание 2? Что значит найти х в
данном случае?
О: Это значит решить уравнение.
В: Какое это уравнение?
О: Содержащее переменную под знаком обратной тригонометрической
функции.
В: как мы решили такое уравнение?
О: По определению соответствующей аркфункции.
В: Итак, мы сейчас познакомились с видом простейших уравнений,
содержащих аркфункции. Всегда ли такие уравнения имеют решения ?
О: Нет, не всегда. Для каждого  из уравнения конкретного вида должно
выполняться условие : число  входит в область значений конкретной
аркфункции.
В: Давайте попробуем вместе составить таблицу, которая поможет решать
такие виды уравнений (учащиеся работают в теоретических тетрадях)
Вид простейшего уравнения
1. arcsin x = а ( │а│ ≤  )
Решение
х = sin а
2. arccos x = а ( 0 ≤ а ≤  )

3. аrctg x = а
( │а│ < )
х = cos а
х = tg а
4. arcctg x = а
х = ctg а
2
2
( 0 < а < )
В: Из следующих уравнений выберите те, которые можно решить данным
способом, и решите их : ( учащиеся работают по заготовкам ( карточка 1) )
Уравнение
1. arcsin x =
Решение уравнения

2
1

+ 2x =
-4
2
3


3. arctg x +
=
2
2
2. arccos
4. arcsin x = 1
5. 2arccos 2х = 3
6. sin x – 0,5 = 0
В: Какие уравнения можно отнести к виду простейших уравнений с
аркфункциями?
О: Это уравнения 1, 3, 4, 5.
В: Почему только эти ?
О: В уравнении 2 переменная не содержится под знаком аркфункции, в
уравнении 6 отсутствует аркфункция.
В: Какие решения имеют выбранные вами уравнения ?
О : В уравнении 1) х = 1; в уравнении 3) х = 0; в уравнении 4) х = sin 1; в
уравнении 5) х =
1
cos 1,5
2
( предполагаемая запись ученика на заготовке ( карточка 1))
Уравнение
1. arcsin x =
Решение уравнения

2
х = sin

,
2
x=1
1

+ 2x =
-4
2
3


3. arctg x +
=
2
2
2. arccos
4. arcsin x = 1
5. 2arccos 2х = 3
arctg x = 0,
x = tg 0,
x=0
х = sin 1
arccos 2x = 1,5
2х = cos 1,5
х=
1
cos 1,5
2
6. sin x – 0,5 = 0
В: А можно ли решить по определению уравнение, под знаком аркфункции в
котором содержится не х, а выражение с переменной х , например :
arccos (2x+1) =
3
?
4
О: Сначала можно найти значений выражения, содержащегося под знаком
арккосинуса, с помощью его определения, а потом решить полученное
алгебраическое уравнение, и найти значение переменной х.
В: Давайте попробуем решить это уравнение по определению данной
аркфункции .
(ученик у доски решает с комментарием)
arccos (2x+1) =
3
.
4
Область определения уравнения задается условием – 1  2х + 1  1.
Так как
3
 [ 0;  ], то
4
3
,
4
2
2х + 1 = ,
2
2 2
х= .
4
2х + 1 = cos
Полученное значение х удовлетворяет области определения уравнения.
Ответ : х = -
2 2
.
4
В: Итак, с помощью определения аркфункции можно решать уравнения вида:
arcsin f(x) = a, arccos f(x) = a, arctg f(x) = a, arcctg f(x) = a. (1)
Давайте вместе с вами еще раз обсудим ход решения этого уравнения и
составим перечень основных шагов.
Учащиеся перечисляют этапы решения, делают записи в теоретических
тетрадях :
1. Составим область определения данного уравнения.
2. Убедимся, что число а удовлетворяет области значений данной
аркфункции.
3. Найдем значение f(x) по определению данной аркфункции.
4. Решим полученное алгебраическое уравнение, найдем значение
переменной х .
5. Выясним, удовлетворяет ли
полученное значение х области
определения исходного уравнения.
6. Запишем ответ.
В : Решите следующие уравнения :
(работа в парах, два ученика на закрытых досках решают для последующей
проверки)
1. arccos( 3x2 – 10x + 2,5) =
2 2
 [0;  ].
,
3
3
Область определения уравнения задается условием :
- 1  3x2 – 10x + 2,5  1.
По определению функции арккосинус получим :
3x2 – 10x + 2,5 = cos
2
,
3
3x2 – 10x + 2,5 = - 0,5,
3x2 – 10x + 3 = 0,
х = 3, х =
1
.
3
Полученные значения х удовлетворяют области определения уравнения.
Ответ : х = 3, х =
1
.
3
2. arcsin ( х3 – 8х2 + 15х + 1) =
 
 
 [,
; ].
2
2
2
2
Область определения уравнения задается условием :
- 1  х3 – 8х2 + 15х + 1  1.
По определению функции арксинус получим :
х3 – 8х2 + 15х + 1 = sin

,
2
х3 – 8х2 + 15х + 1 = 1,
х3 – 8х2 + 15х = 0,
х = 0, х = 3, х = 5.
Области определения исходного уравнения удовлетворяют х = 0 и х =3.
Ответ : х = 0; х = 3.
В: Итак, уравнения с аркфункциями можно решать по определению.
Встречались ли мы ранее с уравнениями, которые можно было решать по
определению входящей в уравнение функции?
О: Да. Логарифмические уравнения можно решать по определению.
В: А как еще можно решить логарифмическое уравнение?
О: С помощью свойств логарифмов и логарифмической функции.
В: Какое свойство логарифмической функции мы использовали?
О: Ее монотонность.
В: Какое теоретическое положение позволяло нам использовать это
свойство?
О : Теорема :
Пусть функция f(u) строго монотонна (строго возрастает или строго убывает)
на К. Тогда уравнение вида f(α(x)) = f(β(x)) равносильно уравнению
α(x) =β(x).
В: Какое общее свойство можно отметить у каждой аркфункции ?
О: Аркфункции также являются монотонными на своей области определения.
В: Как вы думаете, можно ли это свойство использовать при решении
уравнений, содержащих аркфункции?
О: Да, можно.
В: Решим уравнение :
arcsin ( 2x2 -1 ) = arcsin (5x – 3).
Область определения уравнения задается условиями :
- 1  2х2 – 1  1 и - 1  5х – 3  1.
Так как функция у = arcsin х – монотонная функция на области определения,
то из равенства arcsin  = arcsin  следует, что  =  .
Это значит, что исходное уравнение сводится к алгебраическому уравнению:
2х2 – 1 = 5х – 3,
х = 2, х = 0,5.
Проверка показывает, что области определения исходного уравнения
удовлетворяет только х = 0,5.
Ответ : х = 0,5.
В: Как в общем виде можно записать такие уравнения ?
О: arcsin f(x) = arcsin g(x), arccos f(x) = arccos g(x), arctg f(x) = arctg g(x) ,
arcctgf(x) = arcctg g(x). (2)
В: Выделите основные этапы решения такого вида уравнений.
Учащиеся называют основные шаги решения уравнения,
теоретических тетрадях :
делая записи в
1. Убедиться, что уравнение содержит одноименные аркфункции и имеет
вид (2).
2. Составить область определения данного уравнения.
1. Используя свойство монотонности аркфункции на ее области
определения, получить алгебраическое уравнение, найти его корни.
2. Выяснить, удовлетворяют ли полученные значения переменной
области определения исходного уравнения.
3. Записать ответ.
Решим уравнения:
( ученик у доски с комментарием)
1) аrctg ( х2 – 9) = arctg (8х)
Область определения уравнения – множество действительных чисел.
На области определения функция арктангенс является монотонной,
значит:
х2 – 9 = 8х ,
х2 – 8х - 9 = 0,
х = -1, х = 9
Ответ : х = -1, х = 9
2) arcсos ( х2 – 1) = arcсos ( 2х + 2).
Область определения уравнения задается условиями :
- 1  х2 – 1  1 и – 1  2х+2  1.
Так как на области определения функция арккосинус монотонна, то
получим :
х2 – 1 = 2х + 2,
х2 – 2х – 3 = 0,
х = - 1, х = 3.
Из полученных значений переменной х области определения уравнения
удовлетворяет х = - 1.
Ответ : - 1.
В: Решите следующие уравнения :
( учащиеся работают в парах на заготовках ( карточка 2))
Уравнение
Решение уравнения
1
3
1) arcsin ( 2х + 3 ) = arcsin ( -
2х
)
9
2) arсcos ( 3х + 1) = arcсos ( 2х + 5)
3) 2 arctg ( 4 – х) =

2
4) arcctg ( х2 – х) = arcctg ( 4х – 6)
5) arcсos х = arcsin х
В: Какие из уравнений вы решили с использованием монотонности
аркфункций?
О: Это уравнения 1, 2, 4.
В : Почему только эти ?
О: Уравнение 3 решается по определению аркфункции, а в уравнении 5
содержатся разные аркфункции.
В : Проверим решенные вами уравнения.
О: В уравнении 1 : х = -1,5; в уравнении 2 нет корней, так как полученное
значение х не удовлетворяет области определения исходного уравнения; в
уравнении 4 : х = 2, х = 3.
Предполагаемая запись учащихся на заготовках :
Уравнение
Решение уравнения
1
3
1) arcsin ( 2х + 3 ) = arcsin ( -
2х
)
9
-1
 2х + 3 1  1 и - 1  -
2х + 3
2) arсcos ( 3х + 1) = arcсos ( 2х + 5)
3) 2 arctg ( 4 – х) =

2
3
1
2х
=,
3
9
18х + 30 = - 2х,
20х = -30,
х = - 1,5
выполняем проверку.
Ответ : х = - 1,5
- 1  3х + 1  и - 1  2х + 5
3х + 1 = 2х + 5,
х = 4.
Выполняем проверку.
Ответ : нет решений.
arctg(4-x) =
4 – х = tg
4) arcctg ( х(х- 1)) = arcctg ( 4х – 6)
2х
 1.
9

,
4

,
4
4 – х = 1,
х = 3.
Область определения
множество R.
х2 – х = 4х – 6,
х2 – 5х + 6 = 0,
х = 2. х = 3.
Ответ : х = 2. х = 3
5) arcсos х = arcsin х
Выполняем проверку ответов ( Слайд 13)
1
уравнения _
Уравнение
Решение
уравнения
1)arcsin(2x+10
/3)=arcsin(
)=arcsin(--2x/9)
1)arcsin(2x+10/3
2x/9)
х = -1,5
2)arccos(3x+1) = arccos(2x+5)
нет решений
3)2arctg(43)2arctg(4-x)=π
x)=π/2
х=3
4)arcctg ( х(x(x- 1)) = arcctg ( 4х
4х – 6)
х = 2,х
2,х = 3
5)arccos x = arcsin x
В: Какие из ранее изученных свойств аркфункций помогут решить уравнение
5? Есть ли взаимосвязь между arcсos х и arcsin х ?
О: Для х  [- 1; 1] выполняется тождество : arcсos х + arcsin х =

.
2
В: Как его можно использовать для решения данного уравнения?
О: Выразить из тождества одну из аркфункций.
В: Какое уравнение получим ? Как его решим?
(ученик у доски решает уравнение с комментарием) :
arcсos х = arcsin х,

- arcсos х,
2

2 arcсos х = ,
2
 
 [0;  ]
arcсos х =
,
4
4

х = cos ,
4
2
2
 [-1; 1].
х=
,
2
2
2
Ответ : х =
.
2
arcсos х =
В: Каким тождеством связаны две другие аркфункции?
О : Для любого х выполняется тождество : arctg х + arcсtg х =

.
2
В: Какие виды уравнений можно решать с использованием двух этих
тождеств?
О: Уравнения, в которых аркфункции имеют одинаковые аргументы.
В: К каким уравнениям приходим после применения тождеств?
О: К уравнениям, которые решаются по определению аркфункции.
В: Решите самостоятельно следующие уравнения :
( на закрытых досках два ученика решают для последующей проверки )

.
2
1) 5 arctg х – 3 arcсtg х =


- arctg х) = ,
2
2


5 arctg х + 3 arctg х =
+3 ,
2
2
8 arctg х = 2  ,


 
 (arctg х =
,
; ),
4
4
2 2

х = tg ,
4
5 arctg х – 3 (
х = 1.
Ответ : х = 1.
2) 7 arcsin
х
2
х
+ arcсos
х
2
= 2 ,
х
2

[-1;1], х  [- 2 ; 2 ]

х
- arcsin
= 2,
2
2
2

х
6 arcsin
=3 ,
2
2
 
 
х
 [arcsin
= ,
; ],
4 4
2
2
2

х
= sin ,
4
2
7 arcsin
х
2
=
+
2
,
2
х = 1.
Ответ : х = 1.
В: Какие трудности возникают при решении уравнений с аркфункциями
рассмотренными способами?
О: При решении таких уравнений нужно не забывать про область
определения уравнения и множество значений аркфункции.
В: Давайте проверим, насколько вы сегодня разобрались с предложенными
вам
способами
решения
уравнений,
содержащих
обратные
тригонометрические функции.
Проведем самостоятельную работу тренировочного характера
( карточка № 3, учащиеся работают в рабочих тетрадях по вариантам).
Вариант 1
Вариант 2
а) arcsin ( х2 – 3х) = 0
б) 0,5 arctg ( 2х – 3) =
а) arcsin ( х – х2) = 0

2
б) 3 arcсos (х + 1) – 2  = 0
в) 3 arcсos ( 3х – 3,5) = 2 
в) 6 arctg
х 3
= 3
2
г) аrcsin ( х2 – 3х) = arcsin ( - 2х)
г) аrcsin х2 = arcsin ( 2 – х)
д) arcсos ( х2 - х) = arcсos ( 2х -2)
д) arcсos ( 1 – х2) = arcсos ( 1 – х)
е) arcsin 2х + 2 arcсos 2х =
7
6
ж) 6 arcсos х + 2 аrcsin х = 5
е) 2 arcсos 3х + 3 arcsin 3х =

2
ж) 5 аrcsin х + 2 arcсos х = 4
В: На следующем уроке мы проведем детальный
анализ вашей
самостоятельной работы, а сейчас проверим правильность выполнения
предложенных вам заданий ( выполняем проверку самостоятельной работы
по заготовленным ответам, после чего учащиеся сдают тетради).
Вариант 1
Вариант 2
1) х = 0, х = 3
1) х = 0, х = 1
2) нет решений
2) х = -1,5
3)х
3)х = 1
3)нет
3)нет решений
4)х
4)х = 0
4)х
4)х = 0
5)х
5)х = 1
5)х
5)х = 0,х
0,х = 1
6)х
6)х = -1/4
6)х
6)х = -1/3
7) х = cos(
cos(5-π)/4
7)х
7)х = sin(4sin(4-π)/3
IV. Подведение итогов
Постановка домашнего задания
В: Что нового узнали сегодня на занятии ?
О: Мы познакомились с уравнениями, содержащими обратные
тригонометрические функции, узнали способы их решения.
В: Какими способами вы научились решать уравнения с аркфункциями?
О: По определению аркфункции, с использованием свойства монотонности
аркфункции и с применением тождеств, связывающих аркфункции.
В: Для закрепления сегодняшней темы вы получаете карточку для домашней
работы.
Спасибо за урок.
Карточка для домашней работы :
Решить уравнение :

.
3
2). 6 arcsin (х2 – 6х + 8,5) =  .
1). аrctg ( х3 – 27 - 3 ) = -
3). аrcсos ( 3х2 – 5х + 1) = 0.
4). arcsin (tg

) – arcsin
4

3
- = 0.
6
х
5). аrсctg ( 5х – 3) = arcсtg ( 2х2).
6). аrcсos ( 3х2 + 3) = аrcсos (5х + 1).
7. arcsin ( 6х – 8) = arcsin (х2).
8). 2 аrctg ( х + 1) + 3 аrcсtg ( х+ 1) =  .
9). 8 arcsin( х-1) + 2 аrcсos ( х – 1) = 2  .