НИС Особенности дифференцируемых отображении__

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Особенности дифференцируемых отображений»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Автор программы: Пушкарь П.Е., к.ф.-м.н., petya.pushkar@gmail.com
Тюрин Н.А., д.ф.-м.н., ntyurin@theor.jinr.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики_____________________
Москва, 2012
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Особенности дифференцируемых отображений» является
изучение соответствующего раздела современной математики, приобретение участниками
семинара опыта проведения самостоятельных исследований .
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате участия в семинаре студент должен:
 Самостоятельно изучить один или несколько вопросов, входящих в программу семинара
и перечисленных ниже в разделах 5,6.
 Сделать по выбранному вопросу один или несколько докладов.
 Принимать активное участие в работе семинара, следя за результатами и докладами
остальных участников и приобретая таким образом опыт академического общения.
Компетенция
умение
формулировать результат
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты.
Правильно формулирует собственные результаты.
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов, услышанных на лекциях.
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
Оценивает строгость и корректность учебных текстов по инвариантам и представлениям классических групп.
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Компетенция формируется во всех сегментах
учебного процесса.
Формируется в процессе
докладов и записи результатов.
Участие в семинаре. Активное выслушивание
докладов остальных
участников семинара.
Повышение собственной
математической культуры
и культуры академического общения в процессе
обучения
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Компетенция
умение грамотно пользоваться языком предметной
области
понимание корректности
постановок задач
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
4
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-7
ПК-10
ПК-16
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Распознает и воспроизводит названия основных объектов и математических структур, возникающих в
теории особенностей.
Владеет и свободно использует
профессиональную лексику.
Умение видеть условия общности
положения, в простейших случаях
искать нормальные формы, видеть
скрытую геометрию.
Понимает и воспроизводит основные принципы теории особенностей и ключевые рассуждения.
Понимает мотивировки основных
задач.
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Продумывание услышанного на семинаре.
Беседы с руководителями
семинара и собственным
научным руководителем в
процессе подготовки своих докладов.
Продумывание базовых
фундаментальных концепций теории особенностей.
Вырабатывается в результате работы на семинаре
и решения задач
Продумывание ключевых
моментов семинаров.
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящий НИС относится к циклу научно исследовательских семинаров для студентов
младших курсов (просеминаров) и блоку специальных семинаров, обеспечивающих углублённую профессиональную подготовку бакалавров в избранном ими (самостоятельно при активном участии научного руководителя) направлении и призванных содействовать как можно более раннему вовлечению студентов в самостоятельную исследовательскую работу.
Для участия в семинаре от студентов не требуется никакой дополнительной начальной подготовки, однако программа семинара специально рассчитана на активное взаимодействие с параллельно читаемыми основными обязательными курсами алгебры, геометрии, анализа.
Приобретённые на семинаре знания и опыт могут быть использованы для дальнейшего
изучения различных специальных разделов алгебры, алгебраической геометрии, алгебраической геометрии, топологии.
5
№
1
2
3
4
5
6
Тематический план учебной дисциплины
Название раздела
Критические точки гладких функций
Кратность критической точки, число Милнора, теорема Тужрона
Теория Морса и теория Пикара-Лефшеца
Лагранжевы особенности, каустики
Лежандровы особенности
Кратность голоморфного отображения
Всего
часов
Аудиторные часы
СамостояПрактичетельная
ЛекСемиские заняработа
ции
нары
тия
36
36
12
12
24
24
36
24
48
36
12
8
16
12
24
16
32
24
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Итого
216
72
144
Формы контроля знаний студентов
6
Тип контроля
Форма контроля
1 год
1
2
3
Параметры **
4
Домашние
задачи, доклады
Промежу- Зачёт
точный
Итоговый Зачёт
6.1
v
v
На семинарах ставятся
учебные задачи, решаемые студентами дома, и обсуждаемые на
последующих семинарах
Зачёт по итогам работы семинара
Зачёт по итогам работы семинара
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма текущего контроля — активное участие в работе семинара и решение за-
дач.
В конце 1-го и 3-го модулей участникам семинара выставляется зачётная оценка, отражающее участие в работе семинара, решение предложенных на семинаре домашних задач, выступления с докладами на семинаре.
Содержание дисциплины
7
Раздел 1. Критические точки гладких функций
№ Тема
1.
Всего
часов
Лекции
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
2
4
[1]
Дифференциал отображения, примеры
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
3.
Приведение к нормальным формам в
простейших случаях
Лемма Адамара, Лемма Морса
4.
Кубические формы
5.
Поворачивание
Ньютона
2.
линейки,
метод
Итого:
6
2
4
[1]
6
2
6
[1], [6]
6
4
6
[1]
6
2
4
[1]
36
12
24
Раздел 2. Кратность критической точки, число Милнора, теорема Тужрона
№ Тема
1
Локальная
описание
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
9
3
6
[1,2,3]
9
3
6
[1] , [2]
9
3
6
[4] , [5]
9
3
6
36
12
24
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
9
3
6
[6]
9
3
6
[6]
9
3
6
[2]
Всего
часов
алгебра,
Лекции
инвариантное
2
Число Милнора
3
Различные эквивалентности
4
Теорема Тужрона
Итого:
[1] , [3]
Раздел 3. Теория Морса и теория Пикара-Лефшеца
.
№ Тема
1
2
3
Всего
часов
Лекции
Изменение топологии множества
меньших значений
Клеточная структура на многообразии.
Исчезающий цикл
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
4
Теорема Пикара-Лефшеца
Итого:
9
3
6
36
12
24
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
4
8
[1], [3,4]
6
2
4
[1]
8
2
4
[1]
24
8
16
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
6
2
4
[1]
12
4
8
[1]
6
2
4
[1]
12
4
8
6
2
4
[1]
6
2
4
[1]
48
16
32
[2]
Раздел 4. Лагранжевы особенности, каустики
.
№ Тема
1
Всего
часов
Лекции
Теорема Уитни о типичных отображениях плоскости в плоскость
Элементы симплектической геометрии.
3 Каустики и лагранжевы особенности,
связь с классификацией критических
точек функций, стабилизация
Итого:
2
Раздел 5. Лежандровы особенности.
№ Тема
1
2
3
4
5
6
Всего
часов
Лекции
Начала контактной геометрии —
контактная структура, основные
свойства
Теорема Дарбу, теорема Дарбу для
лежандровых расслоений
Особенности фолновых фронтов
Применения
–
выворачивание
окружности
Производящие семейства
Производящие семейства гиперповерхностей
Итого:
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Раздел 6. Кратность голоморфного отображения.
№ Тема
1
2
3
Кратность
отображения
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
4
8
[1]
12
4
8
[4], [1]
12
4
8
[1]
36
12
24
Лекции
голоморфного
А-эквивалентность,
подготовительная
Вейерштрасса
Теорема о равенстве
кратности, применения
теорема
индекса
и
Итого:
8
Семинар
ы
Всего
часов
Образовательные технологии
В начале каждого модуля участникам семинара предлагаются на выбор различные темы для самостоятельного изучения при поддержке руководителей семинара и научного руководителя, а
также задачи, решение которых участниками семинара приближается к самостоятельному научному исследованию и при благоприятном стечении обстоятельств может послужить началом
полноценной самостоятельной научной работы.
По мере того, как участники семинара продвигаются в изучении своих тем, они делают на семинаре доклады.
Кроме того, на каждом семинаре студентам предлагаются задачи для самостоятельного решения. Задачи должны решаться дома, после чего обсуждаются на следующих семинарах, иногда в
индивидуальном порядке.
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Во время
докладов студентов следует уделять особое внимание ясности изложения и умению докладчика
поддерживать контакт с аудиторией. Следует стимулировать конструктивное академечиское
обсуждение докладов, воспитывать умение слушать собеседника и задавать содержательные
вопросы.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Основной задачей семинара является вовлечение студентов в самостоятельные математические
исследования и воспитание математического вкуса и культуры академического общения. В соответствии с этим, основным оценочным критерием является активность, с которой студент
принимает участие в работе семинара и качество его докладов и/или текстов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Особенности дифференцируемых отображений для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка промежуточного и итогового зачётов выставляется по 10-балльной шкале. Оценивается сделанный студентом доклад и/или работа на семинаре по десятибальной шкале, по той
же шкале оценивается решение задач. Результаты учитываются с равными весами в окончательной оценке.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Основная литература
1. В. Арнольд, А. Варченко, С. Гусейн-Заде, Особенности дифферененцируемых отображений, т.1. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, 1982
2. В. Арнольд, А. Варченко, С. Гусейн-Заде, Особенности дифферененцируемых отображений, т.2. Монодромия и ассимптотики интегралов, 1984
3. Голубицкий, Гийемин, Устойчивые отображения и их особенности. 1977
4. Брекер, Ландер, Дифференцируемые ростки и катастрофы, 1997
5. Дж Милнор, Теория Морса, 1964