Вступительные экзамены

Для поступающих в 8 класс.
Вариант состоит из трех блоков.
Блок А (Задачи 1 – 4) — направлен на проверку основных алгоритмических навыков
учащихся и состоит из задач на
преобразование числовых и алгебраических выражений и решение линейных уравнений.
Блок В (Задачи 5 – 8) — направлен на проверку навыков решения текстовых задач и
владения математическим языком, в частности, содержащимися в программе 7 класса
понятиями арифметики и алгебры, пройденным материалом по геометрии, понятиями
линейной функции и ее графического изображения.
Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной
трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического
характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач
комбинированного типа.
Задача 1.
3

 1 7 
Вычислить  0,315  0,725  0,75 :  0,01  0,315  0,275  :    .
20

  4 20 
Задача 2.
Решить уравнение
x  7  : 1  5  7 : 1,4  x  9 x .
3
Задача 3.
а) Разложить на множители: a 2  2ab  b 2  ac  bc .


б) Упростить выражение b  2 b 4  2b 3  4b 2  8b  16 .
Задача 4.
Вычислить
8 20  20 5
.
4 35  25 2
Задача 5.
Найти все трехзначные числа, делящиеся на 15, сумма первой и третьей цифры у которых
равна 7.
Задача 6.
Изобразить на числовой прямой точки A  8 и B  20 и отметить точки, расположенные в
три раза ближе к точке A , чем к точке B (если такие существуют).
Задача 7.
Построить на одном чертеже графики функций y  4 x  1 и y  2  0,5x :  0,125 ,
указав точки пересечения обоих графиков с осями координат и между собой, если такие
точки существуют. Выяснить при каких значениях a точка с координатами a; 2a  лежит
хотя бы на одной из этих прямых.
Задача 8.
В треугольнике ABC угол A равен 70  . Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке
O . Угол AOC равен 115  . Найти углы B и C треугольника ABC , а также углы AOB и
BOC .
Задача 9.
 1  2  4  2  4  8    10  20  40 
Найти 
 .
 1  4  5  2  8  10    10  40  50 
2
Задача 10.
Пешеход идет вдоль дороги. Мимо него проезжают попутные автобусы с интервалом 12
минут. С каким интервалом в минутах автобусы проезжают мимо остановки, если
скорость автобуса в шесть раз больше скорости пешехода?
Задача 11.
1
x  2 и y  6  x . Напишите уравнение
3
прямой, проходящей через точку A и пересекающейся с прямой y  4 x  3 в точке,
лежащей на оси Oy . Постройте эту прямую.
Пусть A — точка пересечения прямых y 
Задача 12.
Найти последнюю цифру числа 1150  9 35  215 .
Для поступающих в 9 класс.
Вариант состоит из трех блоков.
Блок А (Задачи 1 – 4) — проверка основных алгоритмических навыков учащихся:
навыков преобразования числовых и алгебраических выражений, решение линейных и
квадратных уравнений, решение линейных неравенств.
Блок В (Задачи 5 – 8) — проверка навыков решения текстовых задач и владения
математическим языком, в частности, понятиями арифметики и алгебры, пройденным
материалом по геометрии, понятиями линейной и квадратичной функции и их
графического изображения.
Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной
трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического
характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач
комбинированного типа.
Задача 1.
 b 2  a 2 b 1  a  1
1 1 1

Вычислить 

:  :  при a  0,998 , b  0,999
3
b  b  a b a b 
 b
Задача 2.
Решить уравнение
Задача 3.
3 x
 x  1.
x2
а) Разложить на множители: xy  zy  x 2  2 xz  z 2 .
б) Найти значение выражения
Задача 4.
Решить неравенство
x2  x  5
при x  1 3 .
x 1
1,5  x
 0,75  x и изобразить все его решения на числовой прямой.
7
1
3
Задача 5.
На столе лежат груши и яблоки. Если добавить одну грушу, то груш будет в два раза
больше, чем яблок; если количество груш удвоить, то общее количество плодов будет 38.
Сколько груш и сколько яблок находится на столе?
Задача 6.
Найти все такие числа x , для которых выражение
x
— целое.
0,7
x  3  x имеет смысл, и число
Задача 7.
Построить на одном чертеже графики функций y  0,5 x  2 и y  x 2  2 x , указав точки
пересечения обоих графиков с осями координат и между собой, если такие точки
существуют.
Задача 8.
Внутри треугольника ABC отмечена точка O так, что OA  OB  OC . Угол AOB равен
50  , угол BOC равен 150  . Найти углы треугольника ABC .
Задача 9.
Найти значение выражения
a  4 a 1
b 2  ab

, если известно, что
.
2
b 8 b  2
a  ab
Задача 10.
1
пути, когда вдогонку за ним
4
отправился мотоциклист. Догнав автомобиль, мотоциклист тут же повернул обратно и
вернулся в город A в тот момент, когда автомобилист достиг города B . Найти отношение
скорости автомобиля к скорости мотоцикла, считая, что в течение всего времени
движения скорости обоих транспортных средств не изменялись.
Автомобилист выехал из города A в город B и проехал
Задача 11.
Найти все значения параметра a , при которых сумма квадратов корней уравнения
x 2  ax  2a  0 равна 5.
Задача 12.
Найти все нечетные однозначные числа, которые могут служить дискриминантами
квадратного трехчлена с целыми коэффициентами.
Для поступающих в 10 класс..
Вариант состоит из трех блоков.
Блок А (Задачи 1 – 4) — проверка основных алгоритмических навыков учащихся:
преобразование числовых и алгебраических выражений, решение линейных и квадратных
уравнений, решение неравенств, метод интервалов.
Блок В (Задачи 5 – 8) — проверка навыков решения текстовых задач и владения
математическим языком, в частности, содержащимися в программе 9 класса понятиями
арифметики и алгебры, пройденным материалом по геометрии, понятием линейной,
квадратичной и других простейших функций и их графического изображения, а также
графическое решение уравнений и неравенств.
Блок С (Задачи 9 – 12) — проверка готовности к решению задач повышенной
трудности: задач, требующих изобретательности, преодоления трудностей логического
характера, содержащих параметры (в явной или неявной форме), и задач
комбинированного типа.
Задача 1.
 b 2  a 2 b 1  a  a
1 b 1 

Вычислить 

: 2  :  при a  8 , b  2 .
3
b  b  a b
a ab 
 b
Задача 2.
Решить уравнение
Задача 3.
1
1
1


.
x  5 x  3 4x


2
Решить уравнение x 2  x  x 2  x  30 .
Задача 4.
Решить систему неравенств
x  3x  22  0

.

2 
x  5  1  30
7 

Задача 5.
Стоимость 20 тарелок и 5 чашек составляет 202 рубля. Какова стоимость тарелки, если
известно, что чашка стоит на 5 % больше тарелки?
Задача 6.
Построить график функции y 

x2

2

80 5
2 20
 5
10
.
Задача 7.
Построить на одном чертеже графики функций y  x  x 2 и y  x 2  1 , указав точки
пересечения обоих графиков с осями координат и между собой.
Задача 8.
В треугольнике ABC сторона AB  356 , сторона AC  296 , а длина высоты AH (где
точка H лежит на отрезке BC ) равна 10.
а) Найти площадь треугольника ABC .
б) Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника A1 B1C1 , вершины B1 и
C1 которого лежат на сторонах CA и AB (соответственно), вершина прямого угла A1
лежит на стороне BC , а гипотенуза C1 B1 параллельна стороне CB .
Задача 9.
ab  c  abc
 a  2b 
 1  0 .
Найти значение выражения 2
, если известно, что с 2  
2
2
a b c
 2a  b 
2
Задача 10.
Числа a1 , a2 , ... , a101 образуют арифметическую прогрессию. Сумма всех членов этой
прогрессии с нечетными номерами равна 255. Найти сумму всех членов этой же
прогрессии с четными номерами.
Задача 11.
При каких значениях параметра a уравнение a 2  a x 2  2ax  1  0 имеет ровно одно
решение?


Задача 12.
На сторонах AB , BC , CD , AD прямоугольника ABCD взяты точки A1 , B1 , C1 , D1 ,
соответственно, причем AA1  BB1  CC1  DD1  1 . Найти длины сторон AB и BC
исходного прямоугольника, если известно, что они выражаются целыми числами m и n
(где m  n  2 ), а площадь четырехугольника A1 B1C1 D1 равна 52.