компл.числа-задачи-учит

Задачи для выстраивания индивидуальных траекторий обучения
Эта тема не входит в программы общеобразовательных школ, но может быть
полезна учащимся математических классов. Мы предлагаем здесь набор задач для
выстраивания
индивидуальных
траекторий
обучения
таких
школьников.
Соответствующий теоретический материал вы можете найти в разделе «Уроки для
развития самостоятельной работы», а также в «Виртуальном образовательном
классе модуля математика».
Условия задач
1. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел:
а) – 5 – i/2;
b) – 20 + 4i;
c) 1 + 2i.
2. Найдите действительные числа a и b, удовлетворяющие уравнению:
(2 + i)a +(1+2i)b = 1 – 4i.
3. Найти модули комплексных чисел
a) –5 + 12i;
b) – 5 – i;
c) 3 + 4i.
4. Найти действительные числа a и b, а также комплексно сопряженные числа z1 и z2,
если известно, что z1 = 2a + 1 + ai + 2bi , z2 = 3a + b + 5i + 2bi.
5. Доказать, что комплексное число z является вещественным тогда и только тогда,
когда z =z.
6. Доказать, что комплексное число является чисто мнимым тогда и только тогда, когда
z = –z.
7. Вычислить выражение: (1 + i)(5 – i) + (– 4– 8i)(5 + 2i).
8. Вычислить выражение: (6 + 3i)(4 – 2i) – ( 4 – 5i)(1 + i).
9. Вычислить выражения, ответы записать в алгебраической форме:
a)
 2  8i
5i
1 i
1
2  2i
; b)
; c)
; d)
; e)
.
3i
4  3i
2  3i
1 i
3  3i
10. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число – i.
11. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2+2i.
12. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2–2i.
13. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число 1+ 3 i.
14. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
3 –i.
15. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
sin+i(1–cos), где [0;2].
16. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
3(cos(/4) – i sin(7/4)).
17. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число sin+icos.
18. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
1+cos+ isin.
19. Известно, что z= r и argz =. Написать в тригонометрической и показательной
форме число, комплексно сопряженное z.
20. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( 1– i )10.
21. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( – 3 –i )7.
22. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число (i )25.
23. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число
(sin(/4)+i cos(/4))62.
24. Вычислить
27 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
3
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат
найденные корни .
25. Вычислить
3
i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат
найденные корни .
26. Вычислить
 125i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
3
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат
найденные корни.
27. Вычислить
4
625 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни .
28. Вычислить
4
 81 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни.
29. Вычислить
4
 8  8 3i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни.
30. Вычислить
40  42i . Ответ записать в алгебраической форме.
31. Вычислить 15  8 i . Ответ записать в алгебраической форме.
32. Вычислить 5  12i . Ответ записать в алгебраической форме.
33. Решить уравнение: z2+(2–5i)z–6–4i=0
34. Решить уравнение: z2–(5–i)z+6–2i=0
35. Решить уравнение: z2+(6+5i)z–1+17i=0
Ответы к задачам
1. a)Re(–5–i/2) = –5, Im(–5–i/2) = –1/2; b) Re(–20+4i) = –20, Im( –20+4i) =4; c) Re( 1+2i)=1,
Im( 1+2i)=2.
2. a = 2, b = –3.
3. a)13; b) 26 ; c) 5.
4. a = 3, b = –2, z1=7–i, z2=7+i.
7.
2 – 44i.
8. 21 + i.
9. a)
16 38
 i;
25 25
b) 
15 10
 i;
13 13
c) –i;
10. –i = cos(–/2) + isin(–/2) = еi(–/2).
11. –2 +2i=2 2 (cos(3/4)+isin(3/4))= 2 2 еi3/4.
12. –2 –2i = 2 2 (cos(5/4)+isin(5/4))= 2 2 еi5/4.
13. 1+ 3 i = 2((cos(/6)+isin(/6))= 2еi/6.
14.
3 –i = 2((cos(–/6)+isin(–/6)) = 2еi(–/6).
15. 2sin(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2sin(/2)еi/2
d)
3 1
2
 i ; e) i .
10 10
3
16. 3(cos(/4) + isin(/4) ) = 3еi/4
17. (cos(/2–)+isin(/2–) )= еi(/4–)
18. 2cos(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2cos(/2)еi/2 ,если –   
19. z = r( cos(–) + isin(–) ) = rе–i
20. –32i
21. 64( 3 +i)
22. i
23. – i
24. w0=3еi0=3, w1=3 еi2/3 =
3  3 3i
3  3 3i
, w2 =3 еi4/3=
2
2
3i
 3 i
, w1= еi5/6 =
, w2 = еi3/2=–i
2
2
25. w0= еi/6 =
26. w0= 5еi/2=5i , w1= 5еi7/6 =
 3 i
, w2 = 5еi11/6=
2
3 i
2
27. w0 = 5еi0 =5 , w1= 5еi/2 = 5i, w2 = 5еi= –5, w3 =5еi3/2 = –5i
28. w0= 3еi/4=
3(1  i)
2
, w1= 3еi3/4 =
3( 1  i)
2
, w2 = 3еi5/4=
3( 1  i)
2
, w3 =3еi7/4 =
3(1  i)
2
29. w0=2еi/6=1+ 3 i, w1=2 еi(/6+/2) =– 3 +i , w2 =2 еi(/6+) = –1– 3 i ,w3=2 еi(/6+3/2) = 3 –i.
30. w0= 3–7i , w1=–3+7i
31. w0= 4+i , w1=–4–i
32. w0= 3–2i , w1=–3+2i
33. z1=2i, z2=–2+3i
34. z1=3–i, z2=2
35. z1=1+3i, z2=5+2i