компл.числа-задачи

Задачи для самостоятельной работы и методические рекомендации
для их решения
Здесь вы найдёте примеры с подробными решениями, а также аналогичные этим
примерам задачи, которые нужно решить. Правильность своих действий вы можете
проверить по ответам, которые даны в конце раздела.
1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа 11 – i.
Решение. Если комплексное число записать в алгебраической форме, то есть в виде
z=x+iy, то действительная часть Rez = x, а мнимая часть Imz = y. Значит у данного
комплексного числа z = 11 – i действительная часть Rez = 11 и мнимая часть Imz = –1.
Ответ: Re(11– i) =11, Im(11– i ) = –1.
2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел:
а) – 5 – i/2;
b) – 20 + 4i;
c) 1 + 2i.
3. Найти действительные числа a и b, а также комплексные числа z1 и z2, если известно,
что
z1 = a – b + 4i + ai, z2 = 4a – 6b + 3bi и z1 = z2.
Решение. Комплексные числа будут равны, если равны их действительные и мнимые
части. Находим Rez1 = a – b; Imz1 = 4 + a; Rez2 = 4a – 6b и Imz2 = 3b, тогда приравнивая
Rez1 = Rez2 и Imz1= Imz2, получим систему уравнений:
 a  b  4a  6b,

 4  a  3b.
Решая эту систему, найдем, что a = 5 и b = 3.
Ответ: при a = 5, b = 3 z1 = z2 = 2 + 9i.
4. Найдите действительные числа a и b, удовлетворяющие уравнению:
(2 + i)a +(1+2i)b = 1 – 4i.
5. Найти модуль комплексного числа 2 – i.
Решение. Модуль комплексного числа z = x +iy равен
x 2  y 2 , поэтому
z= (2) 2  ( 1) 2  5 .
Ответ: 2–i= 5 .
6. Найти модули комплексных чисел
a) – 5 + 12i;
b) – 5 – i;
c) 3 + 4i.
7. Найти действительные числа a и b, а также комплексно сопряженные числа z1 и z2,
если известно, что z1 = a – 1– ai – bi , z2 = b – 2 + 2ai – bi.
Решение. У комплексно сопряженных чисел действительные и мнимые части связаны
соотношениями:
Rez1 = Rez2 , Imz1 = – Imz2.
Поэтому находим Rez1= a – 1, Imz1= – a – b, Rez2 = b – 2, Imz2 = 2a – b, затем составляем
систему уравнений:
a  1  b  2

 a  b  2a  b
Решив систему, получим: a = –2 , b = –1.
Ответ: a = –2, b = –1, z1 = –3+3i, z2 = –3–3i.
8. Найти действительные числа a и b, а также комплексно сопряженные числа z1 и z2,
если известно, что z1=2a+1+ai+2bi , z2=3a+b+5i+2bi.
9. Доказать, что комплексное число z является вещественным тогда и только тогда,
когда z =z.
Решение. Пусть z – вещественное число, тогда
z=x+i0=x–i0= z .
Если же
z = x + iy = z = x – iy,
то это значит, что y = –y и y = 0, то есть мнимая часть z равна нулю и z – действительное
число.
10. Доказать, что комплексное число является чисто мнимым тогда и только тогда,
когда z = – z.
11. Найти сумму, разность и произведение комплексных чисел z1 = 5–3i и z2 = –2+8i.
Решение. Арифметические операции над комплексными числами можно выполнять так
же, как и над обычными алгебраическими выражениями, только учитывая, что i2=–1.
Поэтому получим:
z1+z2=(5–3i)+(–2+8i)=3+5i;
z1–z2= (5–3i)–(–2+8i)=7–11i;
z1z2 = (5–3i)(–2+8i)= –10+6i+ 40i +24=14+46i.
Ответ: z1+z2=3+5i; z1–z2= 7–11i ; z1z2=14+46i.
12. Вычислить выражение: (1+i)(5–i)+(–4–8i)(5+2i).
13. Вычислить выражение: (6+3i)(4–2i)–( 4–5i)(1+i).
14. Вычислить выражение:
 7  3i
. Ответ записать в алгебраической форме.
1  2i
Решение. Чтобы найти частное, надо данную дробь умножить и разделить на число,
комплексно сопряженное знаменателю, то есть на 1+2i:
 7  3i (7  3i)(1  2i)  13  11i
13 11

 2
   i.
2
1  2i
(1  2i)(1  2i)
1 2
5 5
Ответ:
 7  3i
13 11
   i.
1  2i
5 5
15. Вычислить выражения, ответы записать в алгебраической форме:
a)
 2  8i
5i
1 i
1
2  2i
; b)
; c)
; d)
; e)
.
3i
4  3i
2  3i
1 i
3  3i
16. Записать в тригонометрической форме и показательной форме числа:
a) 7,
b)–4,
c) –1– 3 i.
Решение. Чтобы записать комплексное число z в тригонометрической форме, надо
знать его аргумент – угол  и модуль r, тогда z = r(cos+isin).
a) 7=7; arg7=0, следовательно, 7=7(cos0+isin0)=7еi0.
b) –4=4; arg(–4)=, следовательно, –4=4(cos+isin)=4еi.
с)–1– 3 i = 2. Чтобы найти аргумент  числа –1– 3 i, выразим его действительную
и мнимую части через модуль и угол  (если z = x + iy, то Rez = x= rcos и Imz = y = rsin,
где r=z и =argz) :
Re(–1– 3 i) = –1 = 2cos , Im(–1– 3 i) = – 3 =2sin,
следовательно, cos = –1/2 , sin = – 3 /2 и tg = 3 , откуда следует, что угол  равен или
/3,
или 4/3. Заметим, далее, что нашему комплексному числу соответствует точка
комплексной плоскости с координатами (–1,– 3 ), которая лежит в третьей четверти. Отсюда
следует, что  = 4/3. Итак,
–1– 3 = 2( cos(4/3) + isin(4/3) ) = 2еi4/3.
Ответ:
a) 7 = 7(cos0 + isin0) = 7еi0; b) –4 = 4(cos + isin) = 4еi; c) 2( cos(4/3) + isin(4/3) ) = 2еi4/3.
17. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число – i.
18. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2+2i.
19. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число –2–2i.
20. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число 1+ 3 i.
21. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
22.Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
3 –i.
1–cos+isin, где [0;2].
Решение. Преобразуем данное комплексное число:
1–cos+isin = 2(sin(/2))2+2isin(/2)cos(/2) = 2sin(/2)(sin(/2) +
+ icos(/2) )=2sin(/2)(cos((–)/2)+ i sin((–)/2) ).
Так как
[0;2], то /2[0;]
и, следовательно, 2sin(/2) 0, то есть мы получили
тригонометрическую форму данного комплексного числа: его модуль равен 2sin(/2), а
аргумент равен (–)/2.
Ответ: 1–cos+isin = 2sin(/2)( cos((–)/2)+ i sin((–)/2) ) =2sin(/2)еi(–)/2.
23. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
sin+i(1–cos), где [0;2].
24. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
3(cos(/4)– i sin(7/4)).
25. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число sin+icos.
26. Записать в тригонометрической форме и показательной форме
число
sin+i(1+cos), где [0;2].
Решение. Преобразуем данное комплексное число:
sin+i(1+cos) = 2sin(/2)cos(/2) +2i (cos(/2))2 = 2cos(/2)( sin(/2)+ icos(/2)).
В отличие от задачи 22 мы не можем утверждать, что cos(/2)0, так как cos(/2)0 при
[0,] и cos(/2) 0 при [,2]. Поэтому в зависимости от  будет разный ответ. В обоих
случаях sin+i(1+cos)=2cos(/2), а arg(sin+i(1+cos))=(–)/2 при [0,]
arg(sin+i(1+cos)) = (3–)/2 при [,2].
и
Ответ:
sin + i(1+cos) = 2cos(/2)(cos((–)/2) + isin((–)/2)) = 2cos(/2) еi(–)/2 при [0,];
sin+i(1+cos) = 2cos(/2)(cos((3–)/2)+isin((3–)/2))=2cos(/2)еi(3–)/2при [,2].
27. Записать в тригонометрической форме и показательной форме число
1+cos+ isin.
28. Известно, что z= r и argz = . Написать в тригонометрической и показательной
форме число, комплексно сопряженное z.
29. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( – 3 + i )12.
Решение. Запишем в показательной форме число – 3 + i. Для этого сначала найдем его
модуль:
– 3 + i  = 2;
чтобы найти аргумент, выразим через него действительную и мнимую части нашего числа:
– 3 = 2cos, 1 = 2sin.
Следовательно, tg = – 1/ 3 , а это значит, что угол  равен или –/6 или 5/6. Так как точка
с координатами (– 3 ,1), соответствующая нашему числу, лежит во второй четверти
комплексной плоскости, то  = 5/6. Таким образом,
– 3 + I = 2еi5/6.
Так как при возведении комплексного числа в целую степень n его модуль тоже возводится в
эту степень, а аргумент умножается на показатель степени n, то в нашем случае получим, что
(– 3 + i )12 = 212еi60/6 = 4096еi10 = 4096.
Ответ: (– 3 +i )12 = 4096еi10 = 4096.
30. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( 1– i )10.
31. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число ( – 3 –i )7.
32. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число (i )25.
33. Записать в показательной и алгебраической форме комплексное число
(sin(/4)+i cos(/4))62.
34. Вычислить
3
 2  2i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные
корни.
Решение. Запишем число –2+2i в показательной форме. Найдем –2+2i =2 2 .Чтобы найти
аргумент, выразим через него действительную и мнимую части:
–2 = 2 2 cos , 2 = 2 2 sin.
Откуда находим, что tg = –1, и так как точка с координатами (–2, 2), соответствующая
нашему комплексному числу, лежит во второй
четверти комплексной плоскости, то
 = 3/4.Таким образом,
–2 + 2i = 2 2 еi3/4.
При извлечении из комплексного числа z корня n-ой степени мы получаем n различных
чисел wk, k = 0, 1, ... , (n-1) ( n корней). В нашем случае n = 3 и будет 3 корня: w0, w1, w2. Все
они имеют один и тот же модуль, равный арифметическому корню n-ой степени из модуля z:
в нашем случае
w0=w1=w2 =
3
2 2  2.
Аргумент первого корня w0 равен аргументу z, деленному на n: в нашем случае
argw0 =(3/4)/3=/4.
Аргументы остальных корней wk , k = 1, ... , (n-1), имеют вид:
arg wk = (argz +2k)/ n,
то есть получаются из аргумента w0 добавлением 2k/n. В нашем случае argw1 =/4+2/3 и
arg w2=/4+4/3. Таким образом, получим 3 корня:
w0 =
w1 =
2 еi/4=1+i,
2 еi(/4+2/3) = (–1– 3 )/2+i( 3 –1)/2 ,
w2 = 2 еi(/4+4/3) = ( 3 –1)/2 + i(– 3 – 1)/2.
Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.
y
–2+2i
W3
W1
x
W2
Ответ:
3
 2  2i :
w0= 2 еi/4=1+i,
w1= 2 еi(/4+2/3) =(–1– 3 )/2+i( 3 –1)/2 ,
w2 = 2 еi(/4+4/3)= ( 3 –1)/2+i(– 3 – 1)/2.
35. Вычислить
27 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
3
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные
корни .
36. Вычислить
3
i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные
корни .
37. Вычислить
3
 125i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости треугольник, в вершинах которого лежат найденные
корни .
38. Найти все корни уравнения z4 = – 8 – 8 3 i. Ответ записать в показательной и
алгебраической форме. Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого
лежат найденные корни.
Решение. Задача сводится к отысканию
4
 8  8 3i . Чтобы ее решить, запишем в
показательной форме число – 8– 8 3 i. Для этого сначала найдем его модуль:
– 8– 8 3 i =16;
затем выразим действительную и мнимую части через аргумент :
–8 = 16cos, –8 3 = 16sin.
Следовательно, tg=
3 , а это значит, что  равно или /3 или 4/3. Так как точка с
координатами (–8,–8 3 ), соответствующая нашему числу, лежит в третьей четверти
комплексной плоскости, то  = 4/3. Таким образом,
–8 – 8 3 i = 16еi4/3.
Как мы уже отмечали, при извлечении из комплексного числа корня n-ой степени мы
получаем n различных чисел wk, k=0,1,...,(n-1) ( n корней). В нашем случае n = 4 и будет 4
корня: w0, w1, w2 ,w3. Все они имеют один и тот же модуль, равный арифметическому корню
4-ой степени из модуля данного комплексного числа –8 – 8 3 i:
w0=w1=w2=w3 = 4 16 = 2.
Аргумент первого корня w0 равен аргументу –8–8 3 i, деленному на 4: argw0 = (4/3)/4=/3.
Аргументы остальных корней wk
k=1,2,3
будут равны: argwk = (argz +2k)/ 4, то есть
получаются из аргумента w0 добавлением 2k/4. Поэтому argw1=/3+2/4, argw2= /3+4/4
и argw3=/3+6/4. Таким образом, получим 4 корня данного уравнения:
w0=2еi/3=1+ 3 i,
w1=2 еi(/3+/2) = – 3 +i ,
w2 =2 еi(/3+)= –1– 3 i ,
w3=2 еi(/3+3/2) = 3 – i.
Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.
Y
W1
W0
X
W2
W3
–8 –8 3 i
Ответ:
w0=2еi/3 =1+ 3 i, w1=2 еi(/3+/2) = – 3 +i , w2 =2 еi(/3+)= –1– 3 i , w3=2 еi(/3+3/2) = 3 – i.
39. Вычислить
4
625 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни .
40. Вычислить
4
 81 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни.
41. Вычислить
4
 8  8 3i . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости квадрат, в вершинах которого лежат найденные
корни .
42. Вычислить
6
 64 . Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости шестиугольник, в вершинах которого лежат
найденные корни.
Решение. Запишем число –64 в показательной форме:
–64= 64,
arg(–64) =  ,
– 64 = 64еi.
При извлечении из комплексного числа z корня шестой степени получится 6 различных
корней wk (k = 0, 1, 2, 3 , 4, 5). Все они будут иметь один и тот же модуль, равный
6
64 =2, и
argw0 = (arg(–64))/6 = /6. Аргументы остальных корней wk (k = 1, 2 , 3 ,4 ,5) будут равны:
arg wk=( +2k)/ 6,
то есть получаются из argw0 добавлением
2k/6. Поэтому argw1=/6+2/6 = /2,
argw2 =/6+4/6 =5/6, argw3 = /6+6/6 =7/6, argw4= /6+8/6=3/2, argw5=/6+10/6=11/6.
Таким образом, получим 6 корней:
w0 = 2еi/6 = 3 +i,
w1=2 еi/2 = 2i,
w2 =2еi5/6=– 3 +i,
w3= 2 еi7/6 = – 3 –i,
w4=2 еi3/2 = –2i ,
w5=2 еi11/6 = 3 –i
Теперь сделаем рисунок на комплексной плоскости.
Y
W1
W0
W2
X
–64
W5
W3
W4
Ответ:
6
64 = w0=2еi/6= 3 +i, w1=2 еi/2 =2i, w2 =2еi5/6=– 3 +i, w3= 2 еi7/6 =– 3 –i,
w4=2 еi3/2 =–2i , w5=2 еi11/6 = 3 –i
43. Вычислить
61.
Ответ записать в показательной и алгебраической форме.
Нарисовать на комплексной плоскости шестиугольник, в вершинах которого лежат
найденные корни .
44. Вычислить 24  10i . Ответ записать в алгебраической форме.
Решение. В отличие от предыдущих задач здесь “ неудобные” значения аргумента
комплексного числа, поэтому мы не будем использовать тригонометрическую форму его
записи, а просто запишем:
24  10i = x+iy.
Теперь возведем в квадрат обе части равенства:
24 – 10i = x2 – y2 + 2xyi.
Но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда равны их
действительные и мнимые части, поэтому, приравнивая их, получим систему двух линейных
уравнений с двумя неизвестными:
x 2  y 2  24
.

2xy  10
Решаем эту систему:
2
5  5
x   ,    y 2  24 , y4 + 24y2 – 25 = 0, y2 = 1
y  y
(второй корень уравнения отрицательный и равен –25). Таким образом получим два числа:
z1 = 5 – i и z2 = – 5 + i .
Ответ: z1 = 5 – i , z2 = –5 + i.
45. Вычислить
40  42i . Ответ записать в алгебраической форме.
46. Вычислить 15  8 i . Ответ записать в алгебраической форме.
47. Вычислить 5  12i . Ответ записать в алгебраической форме.
48. Решить уравнение: z2+(3+4i)z+7+9i=0.
Решение. Чтобы найти корни данного и квадратного уравнения воспользуемся обычной
формулой:
z1,2 =
3  4i  (3  4i) 2  4  (7  9i)
2
.
Вычислим
(3  4i) 2  4  (7  9i) =
35  12i = x+iy.
Теперь, как и в задаче 44 , возведем обе части равенства в квадрат и получим систему
уравнений:
x 2  y 2  35
,
2xy  12
Комплексные числа 
полагая
2
6  6 
x   ,    y 2  35 , y4 – 35y2 – 36 = 0,
y  y
находим y2 = 36 (второй корень уравнения отрицательный и равен –1). В итоге получим, что
z1 = ( – (3 + 4i) –1 + 6i)/2 = – 2 + i и z2 = ( – (3 + 4i) +1 – 6i)/2 = –1–5i.
Ответ: z1= –2+i , z2 = – 1 – 5i.
49. Решить уравнение: z2+(2–5i)z–6–4i=0
50. Решить уравнение: z2–(5–i)z+6–2i=0
51. Решить уравнение: z2+(6+5i)z–1+17i=0
Ответы к задачам
2. a) Re(–5–i/2) = –5, Im(–5–i/2) = –1/2; b) Re(–20+4i) = –20, Im( –20+4i) =4 ;
c) Re( 1+2i)=1, Im( 1+2i)=2.
4. a = 2, b = –3.
6. a)13; b) 26 ; c) 5.
8. a = 3, b = –2, z1=7–i, z2=7+i.
12. 2 – 44i.
13. 21+i.
15. a)
16 38
 i;
25 25
b) 
15 10
 i;
13 13
c) –i; d)
17. –i =cos(–/2)+isin(–/2)= еi(–/2).
18. –2+2i=2 2 (cos(3/4)+isin(3/4))= 2 2 еi3/4.
3 1
2
 i ; e) i .
10 10
3
19. –2–2i=2 2 (cos(5/4)+isin(5/4))= 2 2 еi5/4.
20. 1+ 3 i=2((cos(/6)+isin(/6))= 2еi/6.
21.
3 –i=2((cos(–/6)+isin(–/6))= 2еi(–/6).
23.2sin(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2sin(/2)еi/2
24.3(cos(/4)+isin(/4) )=3еi/4
25. (cos(/2–)+isin(/2–) )= еi(/4–)
27. 2cos(/2)( cos(/2)+isin(/2) )= 2cos(/2)еi/2 ,если –   
28. z =r( cos(–)+isin(–) )=rе–i
30. –32i
31. 64( 3 +i)
32. i
33. –i
35. w0=3еi0=3, w1=3 еi2/3 =
3  3 3i
3  3 3i
, w2 =3 еi4/3=
2
2
3i
 3 i
, w1= еi5/6 =
, w2 = еi3/2=–i
2
2
36. w0= еi/6 =
37. w0= 5еi/2=5i , w1= 5еi7/6 =
 3 i
, w2 = 5еi11/6=
2
3 i
2
39. w0= 5еi0=5 , w1= 5еi/2 =5i, w2 = 5еi= –5, w3 =5еi3/2 =–5i
40. w0= 3еi/4=
3(1  i)
2
, w1= 3еi3/4 =
3( 1  i)
2
, w2 = 3еi5/4=
3( 1  i)
2
, w3 =3еi7/4 =
3(1  i)
2
41. w0=2еi/6=1+ 3 i, w1=2 еi(/6+/2) =– 3 +i , w2 =2 еi(/6+) = –1– 3 i ,w3=2 еi(/6+3/2) = 3 –i.
45. w0= 3–7i , w1=–3+7i
46. w0= 4+i , w1=–4–i
47. w0= 3–2i , w1=–3+2i
49. z1=2i, z2=–2+3i
50. z1=3–i, z2=2
51. z1=1+3i, z2=5+2i