P. O. 26x - Всероссийский фестиваль педагогического

ВСЕРОССИЙСКИЙ ФЕСТИВАЛЬ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО
ТВОРЧЕСТВА
2015 / 2016 учебный год
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
Московской области «Колледж Подмосковье»
(ГБПОУ МО «Колледж Подмосковье)
(141500,МО г. Солнечногорск, ул. Набережная, д. 2)
Номинация:
Педагогические идеи и технологии: в учреждениях профессионального образования
Статья: "Применение современных информационных технологий в
преподавании математики в учреждениях среднего
профессионального образования"
Разработали:
Пичужкина Ольга Сергеевна,
преподаватель первой категории
Солнечногорск
2015
Применение современных информационных технологий в
преподавании математики в учреждениях СПО
Аннотация
В данной статье рассмотрена возможность использования современных
информационных технологий в преподавании математики в учреждениях
среднего
профессионального
образования.
Обосновано
применение
табличного процессора MS Excel при изучении таких тем, как построение
графиков функций, решение систем линейных уравнений, построение
поверхностей второго порядка, графическое решение систем уравнений.
Данная
работа
демонстрирует
особенности
инновационных
методик
преподавания, основанных на использовании современной информационной
среды обучения.
Применение современных информационных технологий в
преподавании математики в учреждениях СПО
Не секрет, что успешность студента как учащегося определяется не
только и не столько его способностями, сколько желанием учиться, то есть
мотивацией. Современные студенты прагматичны в мыслях и действиях,
мобильны и раскрепощены, а это требует от педагогов применения новых
подходов и методов во взаимодействии с ними.
А что же имеем мы на данный момент? Учебник, сборник заданий,
тетрадь – вот основной набор материалов, которыми пользуются студенты и
преподаватели в образовательном процессе. Результатом применения такого
«набора» является снижение интереса к предмету, в частности, к математике.
При этом преподаватель выступает лишь «транслятором» знаний.
Предмет математики является одним из сложных для обучающихся, и
перед преподавателем встает вопрос о выборе средств и методов обучения с
целью обеспечения максимальной эффективности обучения математики.
Важная роль в решении этой проблемы отводится новым современным
информационным технологиям. Компьютерные технологии создают большие
возможности активизации учебной деятельности. Их преимущество в том, что
они вызывают повышенный интерес у обучающихся. Какая бы сложная и
скучная не была тема занятия, ее невозможно прослушать или просмотреть,
если все это сделано во всех красках, со звуком и многими другими
эффектами. В подростках уже изначально есть любовь к компьютерам,
поэтому если эту любовь правильно использовать и переложить на свой
предмет, мы все от этого только выиграем. Преподавание математики, в силу
особенностей самого предмета, представляет собой наиболее благоприятную
сферу для применения современных информационных технологий.
Существует
значительное
количество
специализированных
математических пакетов, таких как MatLab, MathCad, Math, Mathematica,
Maple и др. Все они охватывают основные разделы математики и позволяют
производить
подавляющее
большинство
необходимых
математических
расчетов. Однако освоение этих пакетов самостоятельно - достаточно
трудоемкая задача. В то же время в курс информатики в средних учебных
заведениях включено изучение электронной таблицы MS Excel. Поэтому
представляется оправданной реализация на первых курсах обучения подхода,
основанного на применении математических методов именно с помощью
пакета Excel.
MS Excel, пожалуй, самая популярная сегодня программа электронных
таблиц. Она входит в офисный пакет MS Office. Ее используют деловые люди
и ученые, бухгалтеры и журналисты. С ее помощью ведут разнообразные
списки, каталоги и таблицы, составляют финансовые и статистические отчеты,
обрабатывают результаты научного эксперимента, ведут учет, готовят
презентационные
материалы.
Конечно,
Excel
сильно
уступает
специализированным математическим пакетам. Тем не менее, большое
количество математических задач может быть решено с его помощью.
В процессе преподавания математики в учреждениях СПО MS Excel
может использоваться в изучении таких тем, как:
 построение графиков функций: линейных, квадратичных, кубических,
обратной пропорциональности, со знаком корня, модуля, дробнорациональных, тригонометрических, логарифмических, показательных;
 решение уравнений n-й степени;
 решение систем линейных уравнений;
 работа с матрицей;
 графическое решение систем уравнений;
 построение поверхностей второго порядка в пространстве: эллипсоида,
гиперболоида, параболоида, конуса.
 тест, созданный средствами Excel и т.д.
Так, при изучении темы «Графики функций», полезно рассмотреть следующее
задание:
Построить
график
квадратичной
функции
𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1
средствами MS Excel.
Определим функцию f(x). Для этого в ячейки А2:А20 необходимо ввести
значение аргумента от -4 до 5 с шагом 0,5 при помощи автозаполнения. В
ячейку В2 вводится значение функции, вычисляемое по формуле =3*A2^22*А2+1. Ячейки В3:В20 заполняются копированием формулы из ячейки В2.
В результате должна получиться следующая таблица (рис.1):
Рисунок 1
Далее выделим диапазон А1:В20 и воспользуемся Мастером диаграмм.
Для построения графика функции лучше выбрать точечную диаграмму, со
значениями, соединенными сглаживающими линиями без маркеров. Чтобы
график получился выразительным, можно определить промежуток изменения
аргумента, увеличить толщину линий, выделить оси координат, нанести на
них соответствующие деления, сделать подписи на осях и вывести заголовок.
Все эти операции студенты уже должны уметь выполнять, так как при
изучении информатики предполагается работа в MS Excel.
Таким образом, перед глазами учащегося должен появиться график
именно квадратичной функции, то есть парабола (рис.2).
Рисунок 2
Очень
интересным
может
оказаться
построение
графиков
сразу
нескольких функций на одной координатной плоскости. Так, например, при
изучении показательной функции полезно именно в Excel решить следующую
задачу:
На одной координатной плоскости постройте графики функций:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 , 𝑓(𝑥) = 3𝑥 , 𝑓(𝑥) = 5𝑥 . Определите сходства и различия.
Для решения данной задачи необходимо задать диапазон изменения
переменной от -2 до 2 с шагом 0,4 в ячейки А2:А12. Затем в столбцы В2:В12,
С2:С12, D2:D12 ввести, соответственно, формулы: =2^A2, =3^A2, =5^A2 для
получения значений функций (рис.3).
Рисунок 3
На построенной диаграмме студенты сразу видят сходства и различия
графиков всех трех функций, им легко анализировать и делать выводы.
Например, все три функции являются возрастающими и проходят через точку
(0;1).
При изучении темы «Графическое решение системы уравнений»
построению графиков обеих функций должно предшествовать выделение
зависимой переменной из каждого уравнения. Так, например, систему
𝑥2 + 𝑦 = 2
𝑦 = 2 − 𝑥2
предварительно надо привести к виду {
, а затем уже
{
𝑦=𝑥
𝑥−𝑦 =0
перенести решение системы в табличный процессор Excel. При этом так же,
как и в предыдущем примере, необходимо на одной координатной плоскости
построить два графика. Точка их пересечения и будет решением системы
уравнений (рис.4).
Рисунок 4
Как мы видим, решением данной системы являются пары (-2;-2) и (1;1).
Иногда для более точного решения необходимо выбрать меньший шаг
изменения неизвестной.
Отдельного внимания требует тема «Решение системы линейных
уравнений», так как методов для решения систем множество. И все они могут
быть реализованы с помощью таблиц MS Excel.
Вспомним, что система т линейных уравнений с п неизвестными (или линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
{ 𝑎…21…𝑥1…+…𝑎…22…
………………………
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Здесь x1, х2, ..., хn - неизвестные, которые надо определить; a11, a12, ..., атп коэффициенты системы; b1, b2, ... bт - свободные члены (предполагаются
известными). Индексы коэффициентов аij системы обозначают номера
уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.
Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем
линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной
матрицы (причем для таких уравнений решение существует и оно
единственно). Для системы n линейных уравнений с n неизвестными с
определителем матрицы, отличным от нуля, решение записывается в виде 𝑥𝑖 =
∆𝑥𝑖
∆
, где ∆ − главный определитель матрицы системы, а ∆𝑥𝑖 −
вспомогательные определители.
Средствами MS Еxcel правило Крамера можно реализовать следующим
образом:
1. Предусмотреть таблицу для ввода коэффициентов аij и свободных
членов bi. В нашем случае это блок ячеек K2:N4.
2. Для вычисления главного определителя матрицы системыΔблок ячеек
B3:D5 заполнить абсолютными ссылками на коэффициенты аij.
3. Для подсчета вспомогательных определителей Δх1, Δх2, Δх3 также
создать блоки ячеек с абсолютными ссылками на соответствующие
коэффициенты. Абсолютные ссылки используются для того, чтобы
неограниченное количество раз использовать данную форму для
нахождения
решения
различных
систем
линейных
уравнений.
Необходимо будет лишь менять коэффициенты в блоке ячеек K2:N4.
4. Вычислить определители можно с помощью встроенной в Excel
функции
МОПРЕД(массив).
Так,
например,
для
вычисления
определителя Δ формула будет записана в виде: =МОПРЕД(B3:D5). В
разделе
ответов
необходимо
предусмотреть
ситуацию,
когда
определитель Δ=0. Осуществить это можно с помощью логической
функции
ЕСЛИ(лог_выражение,[значение_если_истина],
[значение_если_ложь]). Чтобы вычислить значение переменной x1,
необходимо ввести в ячейку формулу: =ЕСЛИ (F4=0;"";F9/F4). Это
значит, что когда определитель будет равен нулю, ячейка с
предполагаемым ответом для x1 останется пустой.
Таким образом, расчетные формулы, необходимые для реализации
метода Крамера, должны выглядеть примерно так (рис.5):
Рисунок 5
В
результате
решение
системы
линейных
уравнений
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 6
{2𝑥1 + 3𝑥2 + 3𝑥3 = 13 сводится к заполнению таблицы коэффициентами при
3𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 8
неизвестных и свободными членами. И результат не заставит себя ждать. На
рис. 6 мы видим, что система имеет решение (1;2/3;3).
Рисунок 6
Особенно перспективным является использование компьютера при
изучении курса геометрии, где большую пользу оказывают графические
возможности компьютера. И это не только визуализация излагаемого
материала, но и развитие визуального мышления. Так, к примеру, тема,
которая интересно реализуется с помощью табличного процессора MS Excel,
это построение поверхностей второго порядка в пространстве. Рассмотрим
следующую задачу:
Постройте гиперболический параболоид
𝑥2
9
−
𝑦2
4
= 2𝑧 на интервале 𝑥 ∈
[−3; 3], 𝑦 ∈ [−2; 2] с шагом ∆= 0,5 для обеих переменных.
Перед тем, как приступить к реализации задачи в Excel, необходимо
разрешить уравнение относительно переменной z:
x2 y2
𝑧=
−
18 8
В столбец А, начиная с ячейки А2, ввести значения переменной х,
начиная с -3 до 3 с шагом 0,5. Значения переменной у вводим в строку 1,
начиная с ячейки B1.
В ячейку B2 необходимо ввести формулу: =$A2^2/18-B$1^2/8 и
скопировать ее вниз до ячейки В14, затем вправо до столбца J включительно.
Таблица значений должна выглядеть следующим образом (рис.7):
Рисунок 7
Заключительный этап – построение поверхности. Для этого необходимо
выделить блок ячеек B2:J14,
и на ленте Вставка в разделе Диаграммы
выбрать тип диаграммы – Поверхность. Далее можно изменить внешний вид
диаграммы, используя ленты Конструктор, Макет, Формат. С их помощью
можно добавить название диаграммы, подписать оси, повернуть фигуру и т.д.
(рис. 8) Студенты должны иметь представление о том, что гиперболический
параболоид похож на седло, и когда на своей диаграмме они увидят именно
такое изображение, то могут сделать вывод, что с работой справились.
Рисунок 8
В
заключении
использование
следует
отметить,
информационных
что
технологий
в
современном
становится
обществе
необходимым
практически в любой сфере деятельности человека. Опыт показывает, что
овладение
навыками
информационных
технологий
протекает
гораздо
эффективней, если происходит не только на занятиях информатики, а находит
свое продолжение и развитие на занятиях учителей-предметников. Этот
подход выдвигает новые требования к подготовке учителя-предметника,
ставит перед ним новые проблемы, заставляет осваивать новую технику и
создавать новые методики преподавания, основанные на использовании
современной информационной среды обучения.
Опыт использования компьютера на занятиях математики показывает,
что обучающиеся более активно принимают участие в уроке, происходит
более качественное запоминание учебного материала, даже самые слабые
студенты втягиваются полностью в учебный процесс. Конечно, время на
подготовку преподавателя к занятию с использованием ИКТ увеличивается,
особенно на первом этапе. Но в дальнейшем накопленный опыт и
методическая база являются хорошим подспорьем для подготовки и
проведения занятий.
Нельзя сказать точно, что результаты обучающихся значительно
повысятся
благодаря
использованию
ИКТ,
но
они
будут
больше
интересоваться тем, что происходит на занятии, будут активнее работать и
быстрее запоминать материал.
Термины
Гиперболический параболоид, график функции, координатная плоскость,
метод Крамера, определитель матрицы, переменная, показательная функция,
система линейных уравнений, функция.
Литература
1. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: Учебник для ССУЗов 3-е изд. стер – М.: Дрофа, 2010. 395 с.
2. Гаврилов М. В., Климов В. А. Информатика и информационные
технологии: Учебник для СПО – 4-е изд. – М.: Юрайт, 2014. 383 с.
3. Григорьев С. Г., Иволгина C. В. Математика: учебник для студентов
средних профессиональных учреждений/ под ред. В. А. Гусева.- М.:
Академия, 2012. 415 с.
4. Пичужкина О. С. Методические рекомендации по выполнению
домашних контрольных работ по математике для студентов I – III
курсов заочной формы обучения. М.: Триада, 2013. 32 с.