Список научных трудов Е
advertisement
Фаина Михайловна Кириллова (штрихи к научному портрету) Научная деятельность члена-корреспондента Национальной академии наук Республики Беларусь, доктора физико-математических наук, профессора Фаины Михайловны Кирилловой представляет тот почти исключительный, счастливый случай, когда на протяжении всей жизни ученый с неослабевающей энергией занимается одной большой научной проблемой, актуальность которой не уменьшается со временем. Ее стартовая статья 1 «О корректности постановки одной задачи оптимального регулирования», опубликованная в 1958 году, была одной из первых работ в только что зарождавшейся теории оптимальных процессов. Работа получила большую известность в научном мире. В ней для задач оптимального управления развивался новый (функциональный) подход, предложенный в 1957 году Н.Н. Красовским и известный теперь как метод моментов (в первых статьях его называли методом L-проблемы моментов). Метод моментов позволял преодолевать основную трудность, возникающую при использовании принципа максимума Понтрягина – решение краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений он заменял на решение конечномерной задачи выпуклого программирования. Различные аспекты метода моментов исследовались затем Фаиной Михайловной в последующих работах. Специфика метода моментов состоит в том, что для его применения управления нужно трактовать как линейные операции, ограничения на них представить в виде неравенства на норму, а затем найти норму сопряженного пространства, с помощью которой записывается конечномерная двойственная задача. По решению последней строится оптимальное управление. В первых работах по методу моментов использовались стандартные нормы функционалов, для которых были известны нормы сопряженных пространств. В работах Фаины Михайловны было показано, что можно расширить возможности метода моментов, в частности, решать задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, если воспользоваться нестандартными нормами. Границы применимости метода моментов определяются линейностью преобразования управления в выходные сигналы и ограничениями на управления типа нормы. В силу этого в рамках метода можно было оптимизировать только системы, линейные как по фазовым переменным, так и по управлениям. Принципиальный шаг по расширению арсенала методов функционального анализа в теории оптимального управления был сделан Ф.М. Кирилловой с помощью теоремы об отделимости выпуклых множеств в пространстве состояний и теоремы о минимаксе. Ей удалось оптимизировать системы, линейные только по состоянию, но нелинейные по аддитивно входящим управлениям. При этом геометрические ограничения на управления могли задаваться с помощью произвольных ограниченных множеств. Эта техника стала общепринятой в современных работах. Другое важное направление обобщения метода моментов было предложено Фаиной Михайловной в работе, в которой для оптимизации линейных систем по выпуклым функционалам предлагалось использовать теорему о существовании опорной плоскости. Обычно в рассматриваемых задачах расширенные множества достижимости не являются выпуклыми, но их рабочая часть выпукла, что позволяет использовать упомянутую теорему. Эта идея впоследствии нашла применение при доказательстве принципа максимума для дискретных систем, при доказательстве теорем существования оптимальных управлений. По мере развития теории оптимального управления в ней выделялись различные актуальные разделы. С начала 60-х годов XX века в литературе большое внимание уделяется задаче Летова–Калмана по аналитическому конструированию оптимальных регуляторов. Фаина Михайловна внесла существенный вклад в эту тематику, решив задачу Летова–Калмана для систем, не управляемых по Калману. Первые результаты по теории управляемости и наблюдаемости для обыкновенных систем появились на рубеже 50 – 60-х годов. Они играют большую роль в теории управления. В работах Фаины Михайловны проблемы управляемости и наблюдаемости исследуются для обыкновенных систем со сложной структурой и для систем с последействием. При использовании критерия Калмана для систем со сложной структурой приходится работать с матрицами больших размеров. В критериях Ф.М. Кирилловой матрицы имеют значительно меньшие размеры. Системы управления с последействием по своей природе существенно сложнее обыкновенных систем управления. Исследование базовых свойств управляемости и наблюдаемости для них оказалось достаточно трудным делом. Впервые введенное Фаиной Михайловной определяющее уравнение эффективно (в параметрической форме) решает упомянутые проблемы. Определяющее уравнение было предметом исследования многих последующих работ других авторов. Определяющие уравнения представляют собой рекуррентные соотношения, которые составляются по определенным простым правилам по параметрам дифференциальных систем управления и легко решаются. Их Принцип максимума (краеугольный камень математической теории оптимальных процессов) был высказан Л.С. Понтрягиным в качестве гипотезы в 1956 году, доказан для линейных систем Р.В. Гамкрелидзе в 1957 году, для нелинейных систем – В.Г. Болтянским в 1958 году, для систем с фазовыми ограничениями – А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным в 1963 году. 1 роль в теории управления и наблюдения аналогична роли характеристических уравнений в теории устойчивости. С помощью определяющих уравнений легко получаются классические результаты Калмана по управляемости и наблюдаемости обыкновенных систем. Для систем с последействием кроме проблемы относительной управляемости, полностью решаемой с помощью определяющих уравнений, существует более трудная проблема полной управляемости. Эта проблема решена Фаиной Михайловной для систем с чистым запаздыванием. Ею разработана общая схема для исследования полной управляемости для общих систем с запаздыванием. В теории управляемости и наблюдаемости Калмана используются весьма широкие классы управлений и восстанавливающих функций. Метод определяющих уравнений позволил решать те же задачи c использованием значительно более узких классов функций, генерируемых конечномерными регуляторами и наблюдателями. Обобщением результатов, полученных для стационарных линейных систем без учета геометрических ограничений («чистой» теории управления), на нестационарные, нелинейные системы с геометрическими ограничениями Фаина Михайловна не занималась, поскольку эти результаты (даже если их удастся получить в некоторых частных случаях) носят почти необозримый характер. Последнее обстоятельство объясняется тем, что упомянутые вопросы относятся уже к конструктивной теории, где они решаются эффективно в каждом конкретном случае при весьма общих предположениях. Свойства управляемости и наблюдаемости связаны с существованием допустимых управлений. Принципиальные задачи существования оптимальных управлений в работах Фаины Михайловны ставятся и решаются по-новому. Классические теоремы существования решений дифференциальных уравнений и теоремы существования оптимальных управлений (А.Ф. Филиппов) сформулированы для весьма широких классов систем. В них индивидуальные особенности систем не учитываются, в силу чего для некоторых систем решения могут существовать и в случае, когда они не удовлетворяют условиям классических теорем. В работах Фаины Михайловны впервые доказаны индивидуальные теоремы существования оптимальных управлений, в которых условия существования решений связываются с условиями оптимальности. Как известно, с проблемой существования оптимальных управлений тесно связана проблема необходимых условий оптимальности, которые, очевидно, имеют смысл только для задач, имеющих решения. Фундамент теории необходимых условий оптимальности для обыкновенных систем заложен принципом максимума Понтрягина. Заслуга Фаины Михайловны в этой области состоит в том, что она нашла универсальный способ выражения принципа максимума и обосновала этот результат для широкого класса дифференциально-функциональных систем, включающих, в частности, системы с запаздываниями. Одним из основных (а может быть, и главным) элементов принципа максимума Понтрягина является сопряженная система. Вид этой системы заметно усложняется с усложнением исходной (прямой) системы управления. Для некоторых систем с запаздываниями запись сопряженной системы занимает журнальную страницу. В этой ситуации не только сложно запомнить уравнения, но и нельзя быть уверенным в том, что не допущена описка. Долгое время не был понятен закон образования сопряженных систем. Фаина Михайловна решила эту проблему. Другое направление обобщения принципа максимума Понтрягина связано с исследованием ситуаций, в которых принцип максимума вырождается, не доставляя полезной информации об оптимальном управлении. Эти ситуации часто встречаются на практике и называются особыми режимами (решениями, управлениями). Особым управлениям посвящены ряд статей и специальная монография Фаины Михайловны. Понятие особых оптимальных управлений было введено в 1959 году Л.И. Розоноэром. Затем были разработаны некоторые методы их вычисления. Проблему оптимальности особых управлений без учета ограничений на значения управлений впервые стал систематически исследовать Г. Келли. Вклад Фаины Михайловны в эту область теории оптимального управления состоит в следующем: 1) она разработала универсальный метод пакета вариаций для исследования оптимальных особых управлений в открытой области; 2) предложила оригинальный метод матричных импульсов для особых управлений с замкнутыми множествами значений; 3) нашла новые условия оптимального сопряжения экстремалей. Теория оптимальных особых управлений рассмотрена Фаиной Михайловной и с позиций динамического программирования. Классическое динамическое программирование, как и принцип максимума, не дает информации об особых управлениях. Фаина Михайловна предложила дополнить уравнение Беллмана в частных производных первого порядка новыми уравнениями в частных производных высокого порядка, которые содержат полезную информацию об оптимальных особых управлениях. К теории особых управлений примыкает теория условий оптимальности высокого порядка, высказанная Фаиной Михайловной. Эти условия усиливают принцип максимума уже на неособых участках оптимального управления, на которых принцип максимума несет информацию, полезную, но не достаточную для распознавания неоптимальных управлений. Теория оптимальных особых управлений может быть использована при исследовании скользящих режимов, возникающих в задачах, не имеющих решений в классе измеримых управлений. Каждая задача оптимального управления с геометрическими ограничениями имеет решения в классе скользящих режимов. По этим решениям можно для любого > 0 построить -оптимальные управления в классе кусочно-непрерывных 2 функций (Р.В. Гамкрелидзе). Скользящие режимы исследуются Ф.М. Кирилловой путем расширения исходной задачи и использования условий оптимальности для получающихся при этом особых управлений. Другой метод исследования скользящих режимов основан на предложенном Фаиной Михайловной принципе -максимума для субоптимальных управлений в непрерывных системах. При фактическом построении оптимальных управлений большую роль играют достаточные условия оптимальности. Этим вопросам Фаина Михайловна также уделила значительное внимание в ряде своих работ. Если речь зашла о построении оптимальных управлений, то неизбежно возникает вопрос об оптимальных процессах в дискретных системах, поскольку большинство задач оптимального управления могут быть решены только на вычислительных устройствах дискретного действия. Об интересе Ф.М. Кирилловой к таким вопросам и ее вкладе в эту область можно судить по работам, где для дискретных систем методом моментов решены сложные задачи оптимального управления, получены критерии управляемости и наблюдаемости, необходимые и достаточные условия оптимальности. Здесь особо следует отметить принципиальный результат по условиям оптимальности особых управлений и условиям оптимальности высокого порядка. Большой резонанс в научном мире вызвали работы Фаины Михайловны по принципу -максимума, в которых впервые принцип максимума Понтрягина получил адекватное выражение для дискретных систем. Прежде в литературе было много путаницы в этом вопросе. Дискретные системы по своей природе существенно проще своих непрерывных аналогов. Для них многие проблемы теории оптимального управления решаются просто. Это обстоятельство подтолкнуло многих исследователей поскорее перенести принцип максимума Понтрягина на дискретные системы. Появилась масса работ с «доказательствами» дискретного принципа максимума. Когда было обнаружено, что это невозможно сделать в общем случае, стали публиковаться работы с локальными принципами максимума. Однако все эти результаты не переходили в классический принцип максимума для непрерывных систем в случае, когда дискретные системы при уменьшении периода дискретизации стремятся к своим непрерывным аналогам. Принцип -максимума стал единственным результатом, который обладает этим свойством. Он позволил понять связь между существованием оптимальных управлений в непрерывных системах и справедливостью принципа максимума для дискретных систем. Все рассмотренные выше проблемы и полученные для них результаты имеют большое значение при фактическом решении задач оптимального управления. Однако все они относятся к качественной теории оптимальных процессов и связаны с анализом процессов без построения алгоритмов вычисления оптимальных управлений. Это, конечно, неизбежный и важный этап при развитии любой теории. Вместе с тем, согласно Д. Данцигу, «Решающим критерием при оценке той или иной теории является ее способность решать те задачи, которые послужили начальным толчком ее развития». Новый этап научной деятельности Фаины Михайловны связан с построением конструктивной теории оптимального управления. Он начался в 70-е годы, после ее переезда в Минск. Здесь Ф.М. Кирилловой была разработана обширная программа, некоторые элементы которой выполняются до настоящего времени. Из школы, вуза каждый знает элементарные способы решения экстремальных задач. Однако задачи оптимального управления представляют собой новый тип экстремальных задач, к которым элементарные методы неприменимы. Главная особенность этих задач состоит в том, что в них аргументы изменяются не в открытых областях (характерных для классических методов анализа), а в замкнутых множествах, задаваемых, как правило, нестрогими неравенствами. Первые задачи нового типа были исследованы в линейном программировании, которое появилось во второй половине 40-х годов XX века. Задачи линейного программирования – простейшие экстремальные задачи неклассического типа, однако даже их невозможно решать без вычислительных устройств дискретного действия. Чтобы создать методы решения задач оптимального управления, нужно было прежде всего понять, как решаются задачи линейного программирования. Только потом имеет смысл пытаться решать задачи из более сложных классов. Именно по этой схеме с начала 70-х годов под руководством Ф.М. Кирилловой ведется работа в Институте математики Национальной академии наук Беларуси и в Белгосуниверситете. Анализ наиболее известного, популярного и эффективного в 70-е годы симплекс-метода линейного программирования показал, что его трудно использовать для решения задач оптимального управления. Как известно, основная идея Д. Данцига при создании симплекс-метода состояла в движении от вершины к вершине по ребрам многогранного множества планов в направлении увеличения целевой функции. Почти с самого момента появления симплекс-метод подвергался критике со стороны специалистов по исследованию операций из-за того, что при таком подходе не удается использовать опыт специалистов, приближенные решения и т.п. для повышения эффективности метода. К этому можно добавить и то, что симплекс-метод не позволяет строить субоптимальные планы, в нем не используется теория двойственности. Адаптивный метод, созданный в Минске под руководством Фаины Михайловны, лишен отмеченных недостатков симплекс-метода (адаптивный метод может стартовать из любой точки множества планов; при переходе на итерации от одного плана к следующему используется специальная нормировка возможных направлений, полученная из части ограничений задачи, что приводит к максимальному приращению целевой функции; процесс решения при любом заданном > 0 останавливается с помощью критерия субоптимальности при достижении -окрестности оптимального плана; на 3 первой фазе адаптивного метода обрабатывается любая полезная информация о возможном решении задачи, полученная от разных специалистов и не приводящая в общем случае (из-за несогласованности рекомендаций) к начальному плану задачи. Особо следует отметить использование теории двойственности в основных операциях адаптивного метода. Это, с одной стороны, позволяет доказать критерий субоптимальности, а с другой – существенно повысить эффективность метода. При этом в отличие от двойственного симплекс-метода итерации адаптивного метода (прямого и двойственного) используют «длинные» двойственные шаги, что оказывает решающее влияние на повышение эффективности метода и играет важную роль при синтезе оптимальных систем управления (см. ниже). Численные эксперименты на ЭВМ показали его весьма высокую эффективность при решении общих и специальных задач линейного программирования. С точки зрения теории оптимального управления ценным свойством адаптивного метода является возможность его перенесения на задачи оптимального управления динамическими системами. Следующими по сложности (после линейного программирования) классами специальных экстремальных задач являются квадратичное, кусочно-линейное, дробно-линейное программирования, аналогичные задачи оптимального управления. После создания адаптивного метода линейного программирования Фаиной Михайловной была проведена работа по его перенесению (обобщению) на перечисленные более сложные классы экстремальных задач. При построении алгоритмов решения специальных задач нелинейного программирования и оптимального управления, которые при линейных ограничениях содержат специальные виды целевых функций и критериев качества, принципы адаптивного метода линейного программирования были дополнены принципом накопления оптимальных признаков, что позволило создать конечные методы решения упомянутых задач и повысить эффективность решения общих нелинейных задач при соответствующих последовательных их аппроксимациях с помощью специальных нелинейных задач. Результаты этой работы опубликованы в многочисленных статьях и монографиях Фаины Михайловны и ее сотрудников. При моделировании многих прикладных задач естественным образом возникают сетевые модели, которые адекватно отражают структуру задач. Методы решения подобных задач путем сведения их к общим задачам и решения последних общими методами, даже учитывающими разреженность матриц условий, менее эффективны, чем сетевые методы, которые собой представляют специальные реализации общих методов для сетевых задач. Эти вопросы тщательно исследованы Фаиной Михайловной. Другой подход к решению экстремальных задач больших размеров состоит в декомпозиции и агрегировании. Ф.М. Кириллова предложила ряд оригинальных методов в этой области. Развитие адаптивного метода на общие задачи нелинейного программирования осуществлялось Фаиной Михайловной с помощью нового важного понятия – сетевых моделей нелинейных функций. Использование сетевых моделей позволяет наглядно представить сложность конкретной задачи и строить разнообразные эффективные численные методы решения задач нелинейного программирования с учетом специфики структуры конкретных функций, участвующих в формулировке задачи. Обобщение адаптивного метода на динамические задачи Фаина Михайловна начала, естественно, с линейных систем управления. Как известно, при стандартном подходе решение задачи оптимального управления определяется оптимальным вектором Лагранжа, который задает оптимальное поведение котраектории – решения сопряженной системы. При реализации адаптивного метода для задач оптимального управления оказалось, что в качестве базового элемента разумно использовать не вектор Лагранжа, а опору, по которой этот вектор легко строится. Опора тесно связана как с прямой, так и с сопряженной системами. Это оказалось решающим в дальнейшем при создании быстрых алгоритмов построения оптимальных программных управлений и синтезе оптимальных обратных связей для линейных и нелинейных динамических систем. При переходе от линейных и специальных нелинейных задач к общим задачам нелинейного программирования и оптимального управления большую роль играют квазилинейные задачи, которые отличаются от линейных и специальных задач нелинейного программирования и оптимального управления малыми нелинейными добавками общего вида. Для таких задач естественными являются асимптотические методы (методы малого параметра). Хотя подобными методами занимаются многие исследователи, перенести их на нелинейное программирование и задачи оптимального управления с замкнутыми геометрическими ограничениями не удавалось, поскольку эти задачи являются по существу негладкими, а асимптотические методы являются эффективными только для гладких задач. Успех минских математиков, работающих под руководством Фаины Михайловны, определило использование в качестве основного инструмента опоры, которая гладким образом зависит от малого параметра, в отличие от сопряженных переменных. Синтез методов решения кусочно-линейных и квазилинейных задач оптимального управления позволил Ф.М. Кирилловой построить быстрые алгоритмы вычисления оптимальных программных управлений в нелинейных системах. Работа по конструктивным методам оптимизации не ограничивалась разработкой алгоритмов. Под руководством Фаины Михайловны они были реализованы в виде программ для ЭВМ и опубликованы в серии выпусков по программному обеспечению. К концу 80-х годов программа по конструктивной теории экстремальных задач, стартовавшая в начале 70х, была в основном завершена в той части, которая касалась оптимальных программных управлений. Оказалось, 4 что полученные при этом методы позволяют решать значительно более сложные и важные задачи, чем те, которые имелись в виду первоначально. Из самого понятия «оптимальное управление» видно, что возникло новое понятие в теории регулирования (так до начала 50-х годов XX века называлась теория управления). Специалисты по управлению делали акцент на слове «управление», стараясь организовать наилучшие воздействия на объекты управления. Математики же, начиная с Л.С. Понтрягина, делали акцент на слове «оптимальное», считая «оптимальное управление» современной задачей классического вариационного исчисления. При таком подходе «оптимальное управление» представляет собой «оптимальную программу» (оптимальное программное управление, нацеленное только на выявление потенциальных возможностей математических моделей, а не на управление реальными системами) и образует специальное понятие более широкой современной теории экстремальных задач, в которую входят и задачи, не связанные с управлением. Развитие теории экстремальных задач все больше и больше отдаляло ее от теории управления. Пора вернуться к истокам «оптимального управления» и решить те задачи управления, которые были и остаются актуальными в ней. Теория управления связана с разнообразными объектами. Многие ее объекты (в частности, паровые машины, необходимость стабилизации хода которых явилась первым толчком к появлению теории регулирования) имеют механическую природу. Механика как наука значительно старше теории управления. Ее задачи способствовали зарождению и развитию вариационного исчисления. К моменту постановки первых задач регулирования механика располагала мощными математическими средствами. Однако в то время она занималась, в основном, анализом движений естественных объектов. В противоположность этому теория управления стала сразу заниматься объектами, создаваемыми человеком, поэтому ее основные задачи связаны с проблемой синтеза. До появления теории оптимального управления задачи синтеза, типа задач стабилизации, решались с помощью методов анализа. Система управления замыкалась обратной связью, предложенной из эвристических соображений. Анализировалось поведение замкнутой системы. Методом проб и ошибок подбирались соответствующие характеристики обратной связи. Такими были и классические методы стабилизации, которые опирались на мощную теорию устойчивости движения. Общепризнанно, что центральной проблемой оптимального управления является проблема синтеза оптимальных систем (А.А. Фельдбаум, А.Н. Хопкин), или, в другой терминологии, конструирование оптимальных обратных связей. Полувековая история развития теории оптимального управления показывает, насколько сложна эта проблема. Несмотря на выдающиеся результаты, полученные в рамках принципа максимума, динамического программирования и других подходов, до сих пор нет эффективных методов синтеза оптимальных обратных связей даже для линейных систем. Поскольку принцип максимума ориентирован на анализ оптимальных программных управлений, то в течение длительного времени основные надежды при синтезе оптимальных систем возлагались на динамическое программирование. Действительно, с его помощью удается получить позиционные решения для линейноквадратичной задачи оптимального управления, для задач, исследуемых в рамках H -теории управления. Но эти задачи столь специфичны, что их решениями являются линейные обратные связи 2, т.е. соответствующая теория не выходит за рамки линейной теории управления. Перефразируя известные слова Э.К. Циолковского, можно сказать: линейные обратные связи породили теорию управления, однако теория управления не может вечно оставаться в своей колыбели. Конечно, линейные обратные связи просты в реализации, но они неэффективны в чрезвычайных ситуациях, когда нужно предпринимать быстрые и решительные действия, используя все имеющиеся возможности сразу, как только возникают отклонения от нормального процесса. В этих ситуациях линейные обратные связи реагируют медленно, с медленным нарастанием усилий, что может привести к плохим результатам. При использовании линейных обратных связей в задачах стабилизации область притяжения состояния равновесия может быть заметно меньше максимально возможной, если потребовать, чтобы значения стабилизирующих сигналов не выходили за заданные пределы. Она часто стягивается в точку, если в задаче допустимы лишь неотрицательные значения управлений. Основное препятствие на пути динамического программирования к синтезу оптимальных систем представляет «проклятие размерности». Последнее – непосредственное следствие того, что динамическое программирование – чрезвычайно общий метод. С его помощью можно исследовать процессы, которые могут совершать большие скачки в любые моменты времени. При таких условиях в процессе управления нет времени для дополнительных вычислений. В приложениях большинство процессов непрерывны и даже имеют ограниченные скорости развития. Этот факт в рамках динамического программирования не удается эффективно использовать и, следовательно, применять современные вычислительные устройства в самом процессе реального управления; нужно заготавливать решения заранее (как в программном управлении), до начала процесса управления. Известно, что современные вычислительные средства широко и эффективно используются при анализе процессов управления, теперь настало время применять их непосредственно в процессе управления. Промежуточное место между линейными и нелинейными обратными связями занимают обратные связи с линейными поверхностями переключения (Е.А. Барбашин, С.В. Емельянов). Последние вводятся из эвристических соображений без использования идеи оптимальности. Подобные связи до этого использовались И. Флюгге-Лотц и в системах антиблокирующего торможения автомобилей. 2 5 Принцип, положенный Фаиной Михайловной в основу нового подхода к синтезу оптимальных систем, можно выразить словами народной мудрости: «Лучше избегать дьявола, чем бороться с ним». Первая работа по синтезу оптимальных обратных связей для линейных систем, основанная на новом подходе, была опубликована Фаиной Михайловной в 1991 году. В дальнейшем она развила этот подход в монографии и ряде статей. Естественность нового подхода проявляется и в том, что с его помощью стало возможным решать задачи оптимального управления даже для нелинейных систем. Серия работ Фаины Михайловны по проблемам синтеза направлена в печать. До сих пор речь шла о синтезе оптимальных обратных связей классического типа, которые строятся по детерминированным моделям без использования какой-либо информации о возмущениях. На практике всегда есть определенная (пусть даже ограниченная) информация о них. Учет такой информации может значительным образом повысить эффективность обратных связей. Но при этом задача синтеза существенно усложняется. Задачи оптимального управления динамическими системами в условиях неопределенности примыкают к дифференциальным играм (Р. Айзекс), которые стали эффективно развиваться с середины 60-х годов. Однако основные результаты, полученные в теории дифференциальных игр, носят качественный характер и пока не привели к созданию эффективных методов решения задач оптимального управления в условиях неопределенности даже для линейных систем. Упомянутый выше подход Ф.М. Кирилловой удалось обобщить на системы с неопределенностью. В связи с этим возникли новые классы оптимальных обратных связей. Результаты частично опубликованы. Новые результаты готовятся к печати. Развивая новый подход, Фаина Михайловна вышла на проблемы синтеза замкнутых систем, управляемых с помощью не только оптимальных обратных связей, но и оптимальных прямых и комбинированных связей. Это совершенно новое направление теории оптимального управления. Говоря об оптимальных обратных связях, часто имеют в виду только обратные связи по состоянию. Между тем область применения последних весьма ограничена, поскольку современные математические модели систем управления имеют очень высокую размерность, а на практике часто нет возможности измерять все фазовые координаты их физических прототипов. В этих условиях инженеры используют обратные связи по выходу, работающие по доступным измерениям выходных сигналов систем управления. В связи с обратными связями по выходу возникает проблема оптимального наблюдения (проблема построения оптимальных эстиматоров). Эта проблема решается в Минске под руководством Фаины Михайловны параллельно с проблемой синтеза оптимальных обратных связей. Результаты частично опубликованы, частично направлены в печать, другие готовятся к опубликованию. В последний год работа по синтезу оптимальных систем привела Фаину Михайловну к задачам дуального (по А.А. Фельдбауму) управления, где вместо пассивного наблюдения используется активное наблюдение, при котором управление предназначено не только для перемещения объекта, но и для уменьшения неопределенности, имеющейся в задаче. Эти результаты наряду с последними результатами Фаины Михайловны по оптимальной идентификации направлены на создание эффективных робастных адаптивных систем управления. Большинство работ Фаины Михайловны посвящено оптимальным процессам в гладких динамических системах. В работах по негладким задачам она основное внимание уделяет специальным типам негладкости, которые наиболее часто возникают в практических задачах. Это позволило ей эффективно решить многие сложные задачи с учетом их специфики. Среди опубликованных работ Фаины Михайловны есть и работы по системам с распределенными параметрами. Поскольку состояния таких систем представляют собой элементы бесконечномерных пространств, то их невозможно в полном виде записать в памяти ЭВМ. В этой ситуации естественным является использованный Фаиной Михайловной метод аппроксимации распределенных систем системами с сосредоточенными параметрами или многопараметрическими дискретными системами. Задачи управления можно условно разбить на классические и современные. Временная граница между ними определяется концом 40-х годов XX века. Классические задачи управления рассматривались в основном для линейных стационарных систем с одним входом и одним выходом на бесконечном промежутке времени. Они группировались вокруг двух проблем: 1) проблемы регулирования; 2) проблемы следящих систем. Современные задачи управления, как правило, рассматриваются на конечных промежутках времени и группируются большей частью около задач оптимального управления. Бесконечные промежутки управления для задач оптимального управления неестественны, если иметь в виду не математические модели, а физические объекты. В таких задачах по определению стремятся получить точный количественный результат. Для этого нужна точная информация о характеристиках объекта оптимизации. Последние не могут оставаться неизменными на бесконечном промежутке времени, а точно предвидеть их поведение в будущем и запомнить (записать) в ЭВМ невозможно. Как будет видно из дальнейшего, задачи управления на бесконечных промежутках времени можно исследовать методами оптимального управления, но в этом случае речь пойдет о получении результатов качественного характера. Задачи оптимального управления возникли из классических задач регулирования и слежения, из тех их частей, в которых рассматривалось качество переходных процессов. Вторая часть классических задач (регулирования и слежения) представляет проблему устойчивости, третья – проблему 6 инвариантности. Каждая из этих частей актуальна и в наши дни. Поэтому естествен вопрос, как эти классические проблемы решаются с помощью современных методов оптимального управления. Значение оптимальных обратных, прямых и комбинированных связей определяется тем, что при реальном управлении используются только управления замкнутого типа. Малые темпы внедрения результатов теории оптимальных управлений в практику объясняются прежде всего тем, что до сих пор не была решена проблема синтеза оптимальных систем. Теперь, когда появились первые результаты по синтезу оптимальных систем, в Минске под руководством Фаины Михайловны началась работа по их использованию для решения актуальных прикладных задач, которые, возможно, и не являются в исходной постановке экстремальными. Одной из таких задач является очень часто встречающаяся в приложениях задача стабилизации динамических систем. Она была центральной в классической теории регулирования, ей посвящены многие работы. Большинство опубликованных результатов по стабилизации динамических систем связано с линейными обратными связями. При больших отклонениях процессов от нормальных режимов такие обратные связи могут создавать стабилизирующие сигналы, выходящие за пределы возможностей имеющихся технических средств. По этой и другим причинам в приложениях очень актуальна задача синтеза ограниченных обратных связей. Существующие методы неприспособлены для решения этой трудной проблемы. Фаина Михайловна предложила для решения проблемы стабилизации ограниченными управлениями использовать методы оптимального управления, где ограничения на управления составляют стандартные элементы. Идея оказалась очень плодотворной. К настоящему времени построены ограниченные стабилизирующие обратные связи для линейных и нелинейных систем. При этом с математической точки зрения интересным оказался и метод доказательства устойчивости замкнутых систем. Было доказано, что функция Беллмана сопровождающей задачи оптимального управления является функцией Ляпунова. Доказательство этого факта не является стандартным, поскольку функция Беллмана получается негладкой. Задачи стабилизации и их частный случай – задачи демпфирования (гашения колебаний) – можно (как и задачи оптимального управления) исследовать как в предположении о доступности в процессе управления текущих состояний стабилизируемого объекта, так и в предположении, что стабилизация ведется лишь по доступным измерениям выходных сигналов. Вторая задача более общая и более сложная. Фаина Михайловна, развивая метод синтеза стабилизаторов по состоянию, предложила метод синтеза стабилизаторов по выходу. Он реализован с помощью нелинейных наблюдателей, строящих оценки текущих состояний системы, и нелинейных регуляторов, вырабатывающих по этим оценкам стабилизирующие сигналы. Нелинейные наблюдатели Фаины Михайловны отличаются как от указанных выше оптимальных эстиматоров, так и от линейных наблюдателей Люенбергера. Перед последними они имеют такие же преимущества, какие имеют нелинейные оптимальные обратные связи перед линейными обратными связями. При их использовании область притяжения состояния равновесия получается сколь угодно близкой к максимально возможной, обеспечивается высокое качество переходных процессов с точки зрения различных критериев, вводимых в сопровождающую задачу оптимального управления. Эти результаты получены Фаиной Михайловной и для обыкновенных динамических систем, и для систем с последействием. В последнее время Фаина Михайловна заинтересовалась задачами инвариантности, задачами робастного управления и задачами надежной стабилизации. Проблема инвариантности (нейтрализации действия на систему внешних возмущений) в теории управления была поставлена инженерами в конце 30-х годов XX века (Г.В. Щипанов). Ей много внимания уделили Н.Н. Лузин, Б.Н. Петров. За рубежом с начала 80-х годов развивается другой подход к проблеме, названный Hтеорией управления. Все полученные и эффективно реализуемые результаты не выходят за пределы линейных обратных связей и поэтому решают проблему инвариантности лишь частично. Используя метод синтеза современных оптимальных обратных связей для задач оптимального управления в условиях неопределенности, Фаина Михайловна создала метод синтеза ограниченных обратных связей, которые для любого > 0 обеспечивают -инвариантность замкнутых систем по отношению к ограниченным внешним возмущениям (именно такая цель преследовалась в первых работах по инвариантности). Метод можно использовать и для решения проблемы амортизации – защиты динамических систем от внешних воздействий. К задачам инвариантности примыкают задачи робастного управления. Свойство робастности обобщает свойство грубости в том же смысле, в каком свойство асимптотической устойчивости в большом обобщает свойство асимптотической устойчивости в малом (в смысле А.М. Ляпунова). При решении задачи синтеза робастных обратных связей Фаина Михайловна предложила использовать разработанные ранее методы синтеза оптимальных обратных связей для нелинейных систем. В качестве одного из вариантов задач робастного управления можно рассматривать задачу надежной стабилизации. В этой задаче предполагается, что в процессе управления некоторые каналы, элементы системы могут внезапно выходить из строя. При использовании ограниченных управлений задача надежной стабилизации заметно сложнее стандартной задачи, но Фаина Михайловна показала, что их можно решать методами оптимального управления. Задачи слежения отличаются от задач регулирования тем, что в них вместо состояний равновесия рассматриваются заданные или неизвестные движения. Хотя формально в некоторых случаях задачу слежения 7 можно свести к задаче регулирования, ее решение значительно сложнее. Как показано в работах Фаины Михайловны, методы оптимального управления можно весьма эффективно использовать и для решения задач слежения. Фаина Михайловна неуклонно расширяет спектр актуальных прикладных задач, эффективное решение которых поддается методам оптимального управления. К рассмотренным выше задачам можно добавить, не имея возможности остановиться на них подробнее, задачи, исследованные Фаиной Михайловной в последних работах по экономике, в которых методами оптимального управления построены программные и позиционные решения актуальных динамических задач микро- и макроэкономики. Вместе с тем видно, что наступает новый этап ее деятельности по реализации перечисленных методов для решения реальных практических задач. Это очень сложный и ответственный этап. Работа в этом направлении только начинается. Будем надеяться, что энергия, целеустремленность и настойчивость Фаины Михайловны позволят ей и ее сотрудникам успешно работать и на новом этапе. Заслуженный деятель науки БССР, доктор физ.-мат. наук, профессор 8 Р.Габасов
