DOC, 192 Кб - Высшая школа экономики

@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Московский институт электроники и математики
Департамент прикладной математики
Рабочая программа дисциплины
«Теория вероятностей, математическая статистика
и теория случайных процессов»
для образовательной программы «Прикладная математика»
направления подготовки 01.03.04 «Прикладная математика»
уровень «бакалавр»
Разработчик программы
Ивченко Г.И., д. ф.-м.н., проф., [email protected]
Одобрена на заседании департамента прикладной математики «___»____________ 2015 г
Руководитель департамента А.В. Белов _________________
Рекомендована Академическим советом образовательной программы
«___»____________ 2015 г., № протокола_________________
Утверждена «___»____________ 2015 г.
Академический руководитель образовательной программы
Л.А. Манита _________________
Москва, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
1. Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
Образовательным стандартом по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная математика (квалификация бакалавр).
Образовательной программой «Прикладная математика».
Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.04 Прикладная
математика
2. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория
случайных процессов» является формирование у студентов понятий, знаний и компетенций, позволяющих строить и анализировать модели систем реального мира с помощью вероятностностатистических методов
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
Знать
основные понятия теории вероятностей, математической статистики и теории
случайных процессов:
случайные величины и их распределения;
основные законы распределения случайных величин и их числовые характеристики;
распределения функций от случайных величин;
законы больших чисел и предельные теоремы;
методы оценивания неизвестных параметров распределений;
критерии проверки статистических гипотез;
методы стохастического прогнозирования;
основные модели временных рядов и прогнозирование в них;
статистические методы оценивания характеристик случайных процессов
Уметь
применять освоенные методы и модели к решению типовых и практических задач теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов;
пользоваться расчетными формулами, теоремами, таблицами при решении вероятностных и статистических задач;
применять статистические методы для обработки результатов измерений, строить критерии для проверки гипотез и рассчитывать научно обоснованные прогнозы будущего;
пользоваться библиотекой прикладных программ для статистических задач;
применять полученные знания для изучения других дисциплин.
Иметь:
навыки применения вероятностных и статистических методов для решения различных
прикладных задач;
навыки построения и исследования статистических критериев для решения прикладных
задач с помощью различных статистических программ.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
А) универсальные
- УК-1 Способен учиться, приобретать новые знания, умения, в том числе в области, отличной от профессиональной.
- УК-5 Способен работать с информацией: находить, оценивать и использовать информацию из различных источников, необходимую для решения научных и профессиональных задач (в
том числе на основе системного подхода).
- УК-6 Способен вести исследовательскую деятельность, включая анализ проблем, постановку целей и задач, выделение объекта и предмета исследования, выбор способа и методов исследования, а также оценку его качества.
Б) профессиональные
- ПК-2 Способен сформулировать инженерную задачу, формализовав ее на основе знаний
математического аппарата и проведенного системного анализа.
- ПК-10 Способен применять знание фундаментальной математики и естественно-научных
дисциплин при разработке математических моделей и методов для объектов, процессов и систем в
инженерной практике.
- ПК-12 Способен обоснованно выбирать, дорабатывать и применять для решения исследовательской задачи математические методы и модели, осуществлять проверку адекватности моделей,
анализ и интерпретацию результатов, а также оценивать надежность и качество функционирования
систем.
4.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к математическому и естественнонаучному циклу дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:
математический анализ, алгебра и геометрия, дифференциальные уравнения, теория
функций комплексного переменного, теория графов и математическая логика,
дискретная математика, функциональный анализ, комбинаторика.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплин:
теория управления, методы оптимизации, методы вычислений, теория случайных
процессов, стохастическое моделирование, теория информации, теория надежности.
5. Тематический план учебной дисциплины
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
@
№
1
2
3
4
5
6
7
Всего
часов
Название раздела
Определение вероятностного пространства. Основные свойства вероятности.
Случайные величины. Случайные векторы.
Распределение функций от случайных величин.
Сходимость случайных величин. Предельные теоремы.
Непараметрические задачи статистики.
Задачи точечного оценивания.
Достаточные статистики и оптимальные
оценки.
Доверительное оценивание.
8 Проверка статистических гипотез.
9 Методы стохастического прогнозирования
10 Основные модели временных рядов и прогнозирование в них;
11 Статистические методы оценивания характеристик случайных процессов
.
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
8
4
4
16
8
8
16
8
8
8
8
8
4
4
4
4
4
4
4
2
2
12
20
32
6
10
16
6
10
16
8
4
4
6. Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Форма контроля
Контрольная
работа
Эссе
Реферат
Коллоквиум
Домашнее
задание
Промежуточный
Итоговый
1
1 год
2 3
*
Параметры
4
письменная работа 80
минут
*
Экзамен
Экзамен
*
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
Таблица соответствия оценок по десятибалльной и пятибалльной системе
По десятибалльной шкале
1 – неудовлетворительно
2 – очень плохо
3 – плохо
4 – удовлетворительно
5 – весьма удовлетворительно
6 – хорошо
7 – очень хорошо
8 – почти отлично
9 – отлично
10 – блестяще
По пятибалльной системе
неудовлетворительно – 2
удовлетворительно – 3
хорошо – 4
отлично – 5
Выдача задания и проверка работ могут быть проведены дистанционно.
7. Содержание дисциплины
Раздел 1
1. Предмет теории вероятностей.
2. Определение вероятностного пространства. Основные свойства вероятности событий.
3. Случайный эксперимент. Понятие вероятности. Классическое определение вероятности.
Элементы комбинаторики.
4. Свойства вероятности. Понятие независимости событий. Условные вероятности.
5. Формула полной вероятности, формула Байеса .
6. Схемы независимых испытаний.
7. Геометрические вероятности
Раздел 2
1. Случайные величины. Случайные векторы. Функции от случайных величин.
2. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
3. Независимость случайных величин.
4. Распределения функций от случайных величин. Условные распределения.
5. Числовые характеристики случайных величин и векторов.
6. Основные распределения дискретного типа.
7. Непрерывная случайная величина.
8. Основные распределения непрерывного типа.
9. Характеристическая функция и ее свойства.
Раздел 3
1. Разные виды сходимости случайных величин и соотношения между ними.
2. Метод производящих функций.
3. Метод характеристических функций.
4. Предельные теоремы теории вероятностей.
5. Законы больших чисел.
6. Центральная предельная теорема.
Раздел 4
1.Предмет математической статистики.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
2.Основные понятия и задачи математической статистики.
3. Порядковые статистики.
Раздел 5
1. Свойства точечных оценок.
2. Выборочные моменты и их свойства.
3. Сравнение качества оценок, эффективные оценки.
4. Оптимальные оценки.
5.Оценки максимального правдоподобия
Раздел 6
1. Определение и методы получения достаточных статистик. Примеры.
2. Теорема Рао-Блэкуэлла-Колмогорова.
3. Полные достаточные статистики и их использование для получения оптимальных
оценок.
.
Раздел 7
1. Доверительное оценивание.
2. Построение точных доверительных интервалов.
3. Построение асимптотических доверительных интервалов.
Раздел 8
1. Постановка задачи проверки статистических гипотез. Простые и сложные
гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия.
2. Критерии согласия. Критерий хи-квадрат.
3. Критерий отношения правдоподобия и его свойства.
Раздел 9
1. Оптимальный предиктор и его свойства.
2 Линейное прогнозирование.
3. Использование в прогнозе дополнительных переменных.
Раздел 10
1. Стационарные временные ряды (ВР).
2. Линейный предиктор и его обновление.
3. Асимптотическая точность прогноза.
Раздел 11
1. Общая линейная модель ВР.
2. Процессы скользящего среднего.
3. Процессы авторегрессии.
4. Смешанные процессы.
Раздел 12
1. Модель АРПСС.
2. Прогнозирование в модели АРПСС.
3. Примеры прогнозирующих функций.
Раздел 13
1. Оценивание среднего случайного процесса.
2. Оценка автоковариации.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
3. Оценивание спектральной плотности.
8. Образовательные технологии
Чтение лекций, проведение практических занятий, обсуждение и защита курсовых работ,
проведение контрольных и домашних работ, проведение экзамена.
В рамках курса предусмотрены занятия в дисплейном классе для реализации
статистических процедур на компьютере при решении статистических задач
при выполнении домашних заданий и при выполнении самостоятельных работ.
9. Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
9.1 Тематика заданий текущего контроля
Типовые задачи для домашних заданий и контрольных работ
1. Торговый агент имеет пять телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех
пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель
сделает заказ, равна 0.4. Составить закон распределения (ряд распределения) числа телефонных
разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
2. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0.01. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди 30 приобретенных. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение числа выигравших облигаций.
3. Среди 5 изделий 2 бракованных. Составить закон распределения для числа бракованных изделий среди взятых наудачу четырех приборов. Найти математическое ожидание,
дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа бракованных изделий среди взятых
наудачу четырех приборов.
4. В рулетке в Монте-Карло 37 занумерованных полей. Среди них 18 - красных, 18 - черных и 0
(zero).
Игрок делает ставку на красное поле на сумму в 1 доллар. Если выигрывает цифра на красном
поле, то выигрыш игрока составляет 1 доллар, если выпадает 0, то игрок проигрывает 1/2 доллара, если выпадает цифра на черном поле, то он проигрывает 1 доллар. Составить ряд распределения выигрыша при одной игре. Найти математическое ожидание и дисперсию выигрыша.
5. Случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром   3 . Найти математическое ожидание, дисперсию случайно величины Z  3X  5 . Найти
P  Z  7 .
6. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Случайные величины Y и Z соответственно распределены по пуассоновскому и биномиальному закону с параметрами   3 , n  4, p  1/ 2 . Случайные величины X, Y, Z независимы. Найти математическое
ожидание и дисперсию Z  XY .
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
@
7. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0,1] . Найти функцию распределения, плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y   ln(1  X ) /5.
8.
При каком значении параметра А функция
 Ax 2 , 0  x  1,
f ( x)  
x  [0,1]
 0,
является плотностью распределения некоторой случайной величины X? Найти
матическое ожидание, дисперсию этой случайной величины. Вычислить
мате-
P  X  1/ 2  .
9. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (X,Y) задан таблицей
X
Y
-1
0
1
0.25
0.1
2 0.1
0.05
1
0.3
2
0.15
0 0.05
Вычислить коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y.
10. Случайные величины X и Y независимы, одинаково распределены и
P  X  k   P Y  k   (1  p)k 1 p, k  1, 2,..
Найти распределение Z  X  Y (вычислить P  Z  l  , l  1, 2,... ) .
11. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно
заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева;
12. Независимые случайные величины X1 , X 2 имеют нормальное распределение с параметрами
(a1 ,1 ), (a2 ,  2 ) соответственно.
Найти плотность распределения случайной величины
Z   X1   X 2
Найти совместную плотность распределения случайных величин X1 , Z .
Найти условную плотность распределения случайной величины Z при фиксированном
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
значении случайной величины X1 .
Найти условное математическое ожидание и условную дисперсию случайной величины
Z при фиксированном значении X1 .
13. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0.7. Оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от
0.66 до 0.74.
14. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона - безработные. Оценить вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10 000 работоспособных жителей
города будет в пределах от 9% до 11% (включительно).
15. Имеется 6 патронов. Стрельба ведется до двух попаданий. Х- число выстрелов с вероятностью
попадания в каждом 0,4. Построить ряд распределения с.в. Х. Найти F(x),MX,DX, и построить
график F(x).
x  [1,9]
 0,
16. f ( x )  
Cx
3
x  [1,9]
Найти C, F(x), MX, DX и P (0<x<3)
17. С.в. Х ~Е(0,5), Y=3-3х. Найти МY, DY, K XY , rXY
9.2 Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
ВЕРОЯТНОСТЬ
1. Случайные события и действия над ними. Определение и свойства вероятности. Формула
сложения. Классическое определение вероятности. Примеры.
2. Вероятностное пространство. Свойства вероятности. Примеры.
3. Условные вероятности. Формула умножения. Независимость событий.
4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Число успехов в схеме Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа.
6. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
7. Дискретные случайные величины. Примеры распределений дискретных случайных величин
(биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское).
8. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства.
Примеры абсолютно непрерывных распределений (равномерное, нормальное, показательное).
9. Совместные распределения – дискретный и непрерывный случай.
10. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.
Примеры.
11. Математическое ожидание случайных величин. Свойства математического ожидания.
Примеры вычисления математического ожидания.
12. Дисперсия случайных величин. Свойства дисперсии. Примеры вычисления дисперсии
случайных величин.
13. Ковариация и ее свойства. Коэффициент корреляции и его свойства.
14. Неравенство Чебышева.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
15. Закон больших чисел.
16. Характеристические и производящие функции. Примеры.
17. Центральная предельная теорема, ее различные формулировки.
18. Цепи Маркова, их основные характеристики и предельные вероятности. Примеры.
СТАТИСТИКА
1. Статистическая модель и задачи математической статистики.
2. Оценивание неизвестных вероятностей в дискретных моделях, статистический ряд и полигон
частот.
3. Оценивание вероятности успеха в схеме Бернулли.
4. Точечные оценки и их свойства.
5. Доверительное оценивание. Построение доверительного интервала для параметра
биномиального распределения.
6. Выборочные среднее и дисперсия и их свойства.
7. Проверка гипотез для дискретных данных. Критерий хи-квадрат.
8. Сравнение качества оценок. Оптимальные оценки.
9. Неравенство Рао-Крамера. Эффективные оценки.
10. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального
правдоподобия.
11. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Теорема Колмогорова и
ее применения.
12. Порядковые статистики, их распределения и использование для оценивания квантилей распределения.
13. Критерии согласия Колмогорова.
14. Критерий отношения правдоподобия и его свойства.
ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В НИХ
1. Оптимальный предиктор и его свойства.
2. Линейное прогнозирование.
3. Обновление прогноза с использованием дополнительных переменных.
4. Модель стационарного временного ряда и ее характеристики.
5. Линейный предиктор и его обновление.
6. Асимптотическая точность прогноза.
7. Общая линейная модель ВР и ее представления.
8. Модель СС и прогнозирование в ней.
9. Модель АР и прогнозирование в ней.
10. Смешанные процессы и прогнозы для них.
11. Нестационарные ВР, модель АРПСС.
12. Прогнозирование в модели АРПСС.
13. Идентификация модели ВР.
14. Метод наименьших квадратов оценивания параметров ВР.
15. Метод максимального правдоподобия оценивания параметров ВР.
16. Оценивание среднего стационарного ВР.
17. Оценка автоковариации.
18. Оценивание спектральной плотности.
@
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов» для направления 01.03.04 «Прикладная математика» подготовки бакалавра
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
В каждом модуле оценивается:
1. Темп выполнения домашних заданий – по количеству решенных задач;
2. Активность студентов – по количеству и качеству заданных вопросов;
3. Активность студентов - по количеству и качеству выступлений;
4. Активность студентов - по количеству участий в обсуждениях;
5. По результатам контрольных работ
Выводится оценка Оi (i=1,2,3,4) за i-ый модуль,
Оценка Отек = (О1+О2)/2,
Оэкз – оценка, полученная на экзамене.
Общая оценка О=0.5 Отек +0.5 Оэкз.
По результатам текущих оценок строится текущий прогноз итоговой оценки каждого
студента, который еженедельно доводится до его сведения.
11
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовые учебники
1. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. – М.: ЛЕНАНД, 2015 (8-е изд.).
2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Введение в математическую статистику. – М.:
Издательство ЛКИ, 2010.
3 Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. – М.: Книжный дом
«ЛИБРОКОМ», 2014.
4. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и
математическая статистика в задачах.– М.: ЛЕНАНД, 2015 (4-е изд.).
5. В.П. Боровиков, Г.И. Ивченко. Прогнозирование в системе Statistica в среде Windows. М.: «Финансы и Статистика», 2006 (2-е изд.).
6. Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев, А.В. Чистяков. Математическая статистика в задачах.
Изд. 3-е. – М.: ЛЕНАНД, 2015.
11.2 Дополнительная литература
1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения (том 1). М.: Мир, 1984
2. Ивченко Г.И., Энатская Н.Ю. Основные вероятностные распределения. М.: МИЭМ, 2008
11.3 Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы
1. www.statsoft.
2. http://www.biometrica.tomsk.ru/list/general.htm
3. Анатольев А., Цыплаков А. Где найти данные в сети? Квантиль, N6, с.59-71, 2009.
12
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Не требуется.