Задание 1. Классическим методом определить зависимость ... i

Задание
1. Классическим методом определить зависимость от
времени тока в первой i1(t) и второй i2(t) ветвях схемы, а также
напряжения на конденсаторе uC(t) после первой коммутации
(замыкании ключа К1).
2. Подставив t1=t определить независимые начальные
условия для второй коммутации iL(t1)=iL(0), uC(t1)=uC(0).
3. Составить операторную схему замещения для заданной
цепи после второй коммутации (замыкании ключа К2).
4. Составить граф для операторной схемы замещения п.3,
обозначив на нём номера узлов и ветвей.
5. Применяя MathCAD, определить матричным методом
операторные выражения (по Лапласу) для токов I1(p), I2(p), I3(p)
ветвей схемы.
6. Применяя MathCAD, определить оригиналы токов i1(t),
i2(t), i3(t) ветвей после второй коммутации.
7. Применяя MathCAD, построить графики токов i1(t),
i2(t), i3(t).
8. Используя программу Electronics Workbench, получить
осциллограммы токов i2(t) и i3(t) во второй и третьей ветвях
исходной схемы после первой и второй коммутации.
П р и м е ч а н и е:
1. Номер варианта схемы соответствует порядковому
номеру, под которым фамилия студента записана в групповом
журнале.
2. Числовые значения выбираются в соответствии с
номером группы.
3. При выполнении п. 8 во вторую и третью ветви ввести
измерительные шунты RШ = 0,001 Ом.
3
Исходные данные
4
Группа 4.
вар.
№
1-4
2-4
3-4
4-4
5-4
6-4
7-4
8-4
9-4
10-4
11-4
12-4
13-4
14-4
15-4
16-4
17-4
18-4
19-4
20-4
21-4
22-4
23-4
24-4
25-4
E1,
В
80
100
80
80
120
100
90
90
80
90
110
120
120
120
110
100
80
90
120
90
90
120
90
120
110
R1,
Ом
5
11
7
7
12
3
5
12
4
6
6
2
3
1
4
4
3
3
2
2
L1,
Гн
0,018
0,011
0,013
0,008
0,017
0,015
0,015
0,012
0,018
0,008
0,009
0,009
0,023
0,004
0,008
0,005
-
C1,
мкФ
200
220
250
200
350
220
230
210
360
900
500
300
290
600
700
200
R2,
Ом
5
4
3
2
4
3
5
5
6
2
8
3
2
1
5
5
3
5
L2,
Гн
0,021
0,018
0,011
0,015
0,011
0,021
0,04
0,005
0,006
0,006
0,016
0,003
0,014
C2,
мкФ
220
170
250
200
200
240
600
340
400
450
50
600
R3,
Ом
10
11
5
5
4
5
2
2
1
3
2
2
1
4
4
3
1
L3,
Гн
0,022
0,022
0,012
0,005
0,001
0,012
0,001
0,003
-
C3,
мкФ
100
100
100
900
500
100
500
2000
270
500
300
-
5
Δt,
мс
4
3
4
1
1
3
2
4
2
3
2
5
5
4
6
6
3
3
3
3
2
6
10
3
3
Пример расчёта переходного процесса в линейной
электрической цепи с тремя накопителями энергии
Схема
Исходные данные
Е1=100 [B];
R2= 4
[Ом];
R3= 8
[Ом];
L1=0,007 [Гн];
L3=0,003[Гн];
C2=400 [мкФ];
t =0,004 [c].
1-я коммутация
До первой коммутации ток в цепи отсутствовал
и конденсатор С2 был разряжен.
1). Начальные условия.
Независимые начальные условия:
i1 0   0 [A]; uC 0   0 [B].
2
Зависимые начальные
i2 0   0 [A];
условия:
duC 0  i2 0 
0


 0 [B/с].
4
dt
C2
4  10
2). Принуждённый режим:
i1 ПР  0 [A]; uC
2
6
ПР
 E1  100 [B].
3). Корни характеристического уравнения:
Z  j   R2  jL1 
p  j
Z  p   R2  pL1 
приравняем
уравнение:
Z(p)
1
,
jC 2
1
L C p 2  R2 C 2 p  1
 1 2
pC 2
pC 2
нулю
и получим характеристическое
L1C 2 p 2  R2 C 2 p  1  0 .
Подставив численные значения, получим
2 ,8  10 6 p 2  1 ,6  10 3 p  1  0 .
Корни этого уравнения получаются комплексносопряжённые p1 ,2  285 ,71  j 524 ,89 , а напряжение на
ёмкости, представляющее собой сумму свободной и
принуждённой составляющих, будет иметь вид:
uC t   Ae 285,71t  sin524 ,89t     100 .
(1)
Для определения постоянных интегрирования А и
 продифференцируем (1)
duC t 
 285 ,71 Ae  285 ,71t sin524 ,89t    
dt
(2)
 524 ,89 Ae 285 ,71t cos 524 ,89t   
и возьмём (1) и (2) при t = 0+ :
uC 0   A sin   100
duC 0 
 285 ,71 A sin   524 ,89 A cos 
dt
С другой стороны (см. начальные условия):
uC 0   0 [В],
7
duC 0 
 0 [B/с].
dt
Таким образом, имеем систему двух уравнений
0  A sin   100
0  285 ,71 A sin   524 ,89 A cos  .
Из первого уравнения A sin   100 подставим
во второе:
0  285 ,71 100   524 ,89 A cos  ,
откуда A cos   54 ,43 . Далее получаем:
A sin 
 100
o
 tg 
 1 ,84 ,откуда   61,44
A cos 
 54 ,43
 100  100
и A

 113 ,85 .
sin 
0 ,878
Окончательно, напряжение на ёмкости после первой
коммутации определится по формуле:
uC t   100  113 ,85e 285,71t sin524 ,89t  61,44 0 
2
Выражение для тока в первой и второй ветви после
первой коммутации, можно получить также используя
начальные условия и принуждённые составляющие, или
проще с помощью формулы для тока через конденсатор:
i1 t   i 2 t   C 2
duC t 
2
dt

 13 ,01e 285 ,71t sin524 ,89 t  61 ,44 0  
 23 ,9 e 285 ,71t cos 524 ,89 t  61 ,44 0  .
Далее это выражение приведём к виду
i1 t   i 2 t   A1 e 285 ,71t sin524 ,89 t  1  ,
8
где
A1 
13 ,012  23 ,9 2  27 ,21
 23 ,9
1  arctg
 61,44  0 .
13 ,01
Окончательно имеем:
i1 t   i 2 t   27 ,21e 285 ,71t sin524 ,89 t  .
Вторая
коммутация
(замыкание
ключа К2)
происходит через время t = 0,004 с.
Определим
независимые
начальные условия
для неё:
i 1 0 ,004   27 ,21e 285 ,710 ,04  sin524 ,890 ,004   7 ,49 [A]
uC 0 ,004  101,1 [B]
. {Примечание: при расчёте
2
напряжения на конденсаторе необходимо угол 61,44о
перевести в радианы 61,44   180  1 ,072 }
2-я коммутация
Независимые
начальные
условия
для
второй
коммутации:
[A];
i1 0  7 ,49
 
uC 2 0   101,1
i 3 0   0 [A].
[B];
Составим
операторную схему для
цепи после
второй
коммутации.
9
Здесь L1i1(0)=5,24.10-2; L3i3(0)= 0; UC2(0)/p=101,1/p.
Как показано в [1], операторное выражение любой
электрической величины можно определять, используя
методы,
применяемые при расчёте цепей постоянного
тока.
Применим метод двух узлов в матричной форме
и используем для расчёта MathCAD.
Составляем граф цепи и записываем матрицу
операторных сопротивлений ветвей, узловую матрицу и
столбцовые матрицы операторных выражений для
источников тока и э.д.с. ветвей.
 L1  p

 0
Z 


 0
1
1
2
3
0
1
p  C2



0


R3  L3  p 
0
 R2
0
2
 E  L1  I10 
p



EP  
U02




p


0


A  ( 1 1 1 )
 0 
J   0 
0
 
Далее вводим формулу для определения токов ветвей
[1]:
IUP  Z
10
1

T


 A   A  Z
1
T
A

1


 A  J  Z
1
 

 EP    EP  J
Результирующую матрицу-столбец операторных
выражений для токов I1(p), I2(p), I3(p) получаем следующим
образом:


29
26
23 2.
19 3.


1.25  10  2.61  10  p  3.13  10  p  7.87  10  p
 3.57  10-3 

1. 

1.
25
23
20 2.
16 3.

p  3.57  10  1.02  10  p  1.71  10  p  3.75  10  p



38 2.
42
43
5.62  10  p  1.04  10  p  3.14  10

simplify 
-22
IUP
  5.00  10 

1.
float  3
25
23
20 2.
16 3.


3.57  10  1.02  10  p  1.71  10  p  3.75  10  p


44
41
38 2.
 2.00  10-18

2.23  10  4.74  10  p  8.19  10  p



1.
1. 

p
25
23
20 2.
16 3.
3.57  10  1.02  10  p  1.71  10  p  3.75  10  p












Выделяем каждый элемент матрицы операторных
выражений и далее оригинал определяем, используя
специальный оператор “invlaplace” панели инструментов
Symbolic (Символьная). Также для упрощения выражений
(если это необходимо) можно воспользоваться оператором
“simplify” и оператором “float” для сокращения числа
знаков.
I1P  IUP
I1P
0 0
simplify
-3
 3.57  10 
float  3
 1.25  1029  2.61  1026  p  3.13  1023  p 2.  7.87  1019  p 3.
1.
1.
25
23
20 2.
16 3.
p   3.57  10  1.02  10  p  1.71  10  p  3.75  10  p 
Оригинал тока первой ветви после второй коммутации i12(t):
invlaplace  p
i12( t )  I1P
simplify


3
 12.5  1.56  exp 3.94  10  t  6.57  exp ( 313.  t )  cos( 378.  t )  .878  exp ( 313.  t )  sin( 378.  t )
float  3
11
I2P  IUP
I2P
1 0
simplify
-22
 5.00  10 
float  3
 5.62  1038  p 2.  1.04  1042  p  3.14  1043
 3.57  1025  1.02  1023  p  1.71  1020  p 2.  3.75  1016  p 3.
1.
Оригинал тока второй ветви после второй коммутации i22(t):
invlaplace  p
i22( t )  I2P


3
 12.8  exp 3.94  10  t  5.33  exp ( 313.  t )  cos( 378.  t )  2.06  exp ( 313.  t )  sin( 378.  t )
simplify
float  3
I3P  IUP
I3P
2 0
simplify 2.00  10-18


float  3
1.
p
 2.23  1044  4.74  1041  p  8.19  1038  p 2.
 3.57  1025  1.02  1023  p  1.71  1020  p 2.  3.75  1016  p 3.
1.
Оригинал тока третьей ветви после второй коммутации i32(t):
invlaplace  p
i32( t )  I3P
simplify


3
 12.5  11.3  exp 3.94  10  t  1.24  exp ( 313.  t )  cos( 378.  t )  2.94  exp ( 313.  t )  sin( 378.  t )
float  3
После того, как получены оригиналы токов ветвей после
второй коммутации, необходимо построить графики токов после
первой и второй коммутации.
Сначала на листе MathCAD запишем ток первой и второй
ветви после первой коммутации:
i11(t):=27.22.exp(-285.71.t).sin(524.89.t),
а также время между первой и второй коммутацией:
t1:=0.004 .
12
Используя специальный оператор “Add Line” панели
инструментов Programming (Программирование) зададим
построение графиков найденных токов:
i1( t ) 
i11( t ) if 0  t  t1
i2( t ) 
i12( t  t1) if 0  t  t1
i3( t ) 
i11( t ) if 0  t  t1
i22( t  t1) if 0  t  t1
0 if 0  t  t1
i32( t  t1) if 0  t  t1
14
i1( t)
i2( t)
i3( t)
3
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
t
0
0.014
0.016
0.016
Используя программу Electronics Workbench, получаем
осциллограммы токов во второй и третьей ветвях исходной
схемы после первой и второй коммутации. На осциллографе
должен
быть
активирован
внешний
запуск
(ext),
13
чувствительность по напряжению установлена на уровне 1 mv/div
.
14
Литература
1.
Дудин
Б.А.,
Хлопков
А.М.,
Шарендо
Н.О.
Электротехника и электроника. Часть 1. Методы расчёта
стационарных и переходных процессов в электрических и
магнитных цепях: Учебное пособие. –М.: МИИТ, 2003. – 172с.
2. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое
знание, 2003. – 814 с.: ил.
3. Карлащук В.И. Электронная лаборатория на IBM PC.
Программа Electronics Workbench и её применение. Изд. 3-е,
переработанное и дополненное. – М.: СОЛОН-Пресс,2003. – 736
с.: ил. – (Серия “Системы проектирования”)
Содержание
Стр.
Задание ………………………………………………………………3
Варианты схем …………………………………………………….. 4
Параметры элементов схем ………………………………………...7
Пример расчёта переходного процесса………………… ………..11
Литература …………………………………………………………20
15