1. Случайные события
реклама
Лекция 1 1. Случайные события 1.1. Основные понятия Теория вероятностей изучает закономерности в случайных явлениях. Она служит основой для анализа тех явлений окружающего мира, которым свойственна «изменчивость», и проявление которых не определяется однозначно условиями проводимых наблюдений. Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. Закономерности случайных событий проявляются при многократном повторении эксперимента. Случайный эксперимент ________________________________________ ____________________________________________________________________ Например, __________________________________________________________ Случайное явление ______________________________________________ ____________________________________________________________________ Элементарный исход ___________________________________________ Пространство элементарных исходов обозначается 1 , 2 , . Например, __________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Различают: конечное пространство________________________________________________ бесконечное___________________________________________________________________ счетное_____________________________________________________________ Случайным событием ___________________________________________ ____________________________________________________________________ Событие обозначается заглавной буквой латинского алфавита: А, В, С, … Например, A 4 _________________________________________________ Aчет 2 , 4 , 6 _________________________________________ Случайное событие называется достоверным, _______________________ ____________________________________________________________________ Достоверное событие происходит при каждом испытании, оно обозначается . Например,___________________________________________________________ Случайное событие называется невозможным, ______________________ ____________________________________________________________________ Невозможное событие никогда не происходит, оно обозначается . Например,___________________________________________________________ Событие А влечет за собой событие В А В , если__________________ ____________________________________________________________________ Для любого события А: А . Например,___________________________________________________________ События А и В называются эквивалентными А В , если ____________ ____________________________________________________________________ Например,___________________________________________________________ 1 Лекция 1 Объединением (суммой) событий называется событие n Ai A1 A2 An _________________ i 1 ______________________________________ ______________________________________ Например, опыт состоит в пяти выстрелах по мишени. Рассмотрим события: A0 - ни одного попадания, A1 - ровно одно попадание, A2 - ровно два попадания, A3 - ровно три попадания, A4 - ровно четыре попадания, A5 - ровно пять попаданий. A A0 A1 A2 _______________________________________ Тогда событие B A4 A5 ___________________________________________ Их определения следует, что А А, А , . Произведением (пересечением) событий называется событие n Ai A1 A2 An ,____________________ i 1 ______________________________________ ______________________________________ Например, опыт состоит в трех выстрелах по мишени. Рассмотрим события: B2 - промах при втором выстреле, B1 - промах при первом выстреле, B3 - промах при третьем выстреле. Тогда событие A B1 B2 B3 _________________________________________ Из определения следует, что А , А А, . События называются несовместными,______________________________ _________________________________ _________________________________ Например,___________________________________________________________ События называются противоположными, _________________________ _________________________________ _________________________________ Например,___________________________________________________________ Из определения следует, что A A , а A A . Говорят, что события A1 ,, An , образуют полную группу событий,___ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Например,___________________________________________________________ 2 Лекция 1 1.2. Классическое определение вероятности ____________________________________________________________________ Пусть пространство элементарных исходов конечно, т.е. i in1 , и исходы равновозможны. Тогда вероятность каждого исхода постоянна, и в сумме они дают единицу. Если событию А соответствует m частных случаев из полной группы в n равновозможных событий, то вероятностью события А m называют величину РА , т.е._______________________________________ n ____________________________________________________________________ Пример. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных. Общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10:________________________________________________________ Определим число исходов, благоприятствующих событию А = «______________________________________________________________». 4 стандартные детали из 7 можно взять _________________ способами. При этом остальные 2 детали должны быть нестандартными. Взять 2 нестандартные детали из 3 можно ________________ способами. Число благоприятных исходов равно _____________________. Искомая вероятность: PA ______________________________________________________________ Условия классического определения вероятности не всегда применимы к реальным событиям. Наряду с классическим используют и другие определения вероятности. Если пространство элементарных исходов несчетно, то иногда может быть применен принцип, основанный на геометрической трактовке пространства элементарных исходов и событий. В двумерном случае каждое элементарное событие отмечается на плоскости точкой. Тогда все пространство изображается на плоскости некоторой областью, площадь которой обозначим S . Событие А отмечается на плоскости областью с площадью S A .Тогда геометрическая вероятность определяется как отношение S соответствующих площадей: РА A . S Статистической вероятностью называют относительную частоту событий. Пусть существует возможность неоднократного осуществления эксперимента – n раз. Наблюдаем появление события А. Обозначим m A – число m появления события А. Отношение A называется относительной частотой n события А в данной серии экспериментов. 1.3. Простейшие свойства вероятностей Пусть А и В – некоторые события. 1. 0 PA 1, P 0, P 1 . 3 Лекция 1 2. для несовместных событий a. A B : PA B PA B PA PB; n n b. P Ai PAi . i 1 i 1 3. в общем случае a. A, B : PA B PA PB PA B; n P Ai PAi PAi A j PAi A j Ak b. i 1 i i, j i, j, k ... 1n PA1 A2 ... An . 4. Если события A1 ,..., An образуют полную группу, то n PAi 1. i 1 5. Сумма вероятностей противоположных событий PA PA 1 . 1.4. Условные вероятности Нередко возникает необходимость оценить «шансы» события А в ситуации, когда известно, что произошло событие В. Вероятность события А при условии, что осуществилось событие В, называется условной вероятностью и обозначается PB A. Если РВ 0 , то: РA В . Р А В РВ Если известна условная вероятность, то можно вычислить вероятность произведения событий: ________________________________________________ Это так называемая формула произведения. Можно обобщить эту формулу на случай произвольного числа событий: n P Ai PA1 PA1 A2 PA1 A2 A3 ... PA1... An 1 An . i 1 1.5. Независимость случайных событий События А и В называются независимыми, __________________________ ____________________________________________________________________ Для независимых событий ________________________________________ Вероятность пересечения двух независимых событий: ____________________________________________________________________ Пример. Из полной колоды (52 карты) вынимается одна карта. Рассмотрим события: А – «появление туза», В – «появление карты красной масти», С – «появление бубнового туза», D – «появление десятки». 4 Лекция 1 PA _____________ PB A _______________, т.е.______________________ PA _____________ PC A _______________, т.е.______________________ PB _____________ PC B _______________, т.е.______________________ PB _____________ PD B _______________, т.е.______________________ Система событий A1 ,..., An называется системой попарно независимых событий, если _______________________________________________________ Система событий называется независимой в совокупности, если _______ ________________________________________________ Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна _________________________________________________ Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в совокупности равна ___________________________________________________ Если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию. Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: PA1 0.8 , PA2 0.7 , PA3 0.9 . 1) Найти вероятность события А = «хотя бы одно попадание при одновременном залпе из всех орудий»; 2) Найти вероятность события В = «ровно одно попадание при одновременном залпе из всех орудий». Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 , A2 , A3 независимы в совокупности. Вероятности промахов (противоположных событий) соответственно равны: PA1 _________, PA2 _________, PA3 __________. 1) Искомая вероятность PA ____________________________________ ____________________________________________________________________ 2) Событие В может осуществиться несколькими способами, т.е. распадается на несколько несовместных вариантов: ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ Тогда PВ _________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 1.6. Формула полной вероятности и формула Байеса Если об эксперименте можно сделать n исключающих друг друга предположений (гипотез) H1 ,..., H n и если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: ________________________________________________ 5 Лекция 1 Пример. Имеются три одинаковые на вид урны. В первой урне 2 белых и 1 черный шар, во второй – 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Событие А = «_______________________________________________________» Выдвигаем три гипотезы: H1 «_____________________________________________________________» H 2 «_____________________________________________________________» H 3 «_____________________________________________________________» По условию, вероятности гипотез равны: PH1 ______________; PH 2 _______________; PH 3 _______________. Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: PH1 A _____________; PH 2 A ______________; PH 3 A _______________. По формуле полной вероятности: PA ______________________________________________________________ Если до эксперимента вероятности гипотез были PH1,..., PH n , а в результате эксперимента появилось событие А, то с учетом этого условные вероятности гипотез вычисляются по формуле Байеса: ________________________________________________ Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку. До опыта возможны следующие гипотезы: H1 «_____________________________________________________________» H 2 «_____________________________________________________________» H 3 «_____________________________________________________________» H 4 «_____________________________________________________________» Вероятности этих гипотез: PH1 ___________________; PH 2 ____________________; PH 3 ___________________; PH 4 ____________________. Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: PH1 A ________; PH 2 A _________; PH 3 A ________; PH 4 A ________. После опыта гипотезы H1 и H 2 становятся невозможными, а вероятности гипотез H 3 и H 4 вычисляются по формуле Байеса: PА H 3 _______________________; PА H 4 ____________________________ 6
