Очная форма, 4 года - Уральский институт управления

УРАЛЬСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИКИ
Математика
Рабочая учебная программа дисциплины для направления
«Менеджмент»
Квалификация (степень) выпускника: БАКАЛАВР
Составитель:
С. Ю. Шашкин, д. ф. м. н., профессор
В.Б. Гусева, к. ф. м. н., доцент
Екатеринбург, 2011
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина должна познакомить студентов с основами математического анализа и
линейной алгебры, дать знания о принципах, лежащих в основе изучения вероятностных
закономерностей массовых однородных случайных событий.
В ходе изучения дисциплины студенты должны освоить математические методы,
позволяющие описывать, исследовать, дифференцировать и интегрировать функции одной и
нескольких переменных, овладеть основными представлениями теории вероятности,
сформировать основные навыки и умения, необходимые для решения задач, возникающих в
практической экономической деятельности.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП (основной образовательной
программы)
Дисциплина «Математика» является базовой дисциплиной математического цикла
федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального
образования (ФГОС ВПО) по направлению 080200 Менеджмент (квалификация –
«бакалавр»).
Изучение дисциплины «Математика» основывается на базе знаний, умений и
компетенций, полученных студентами в ходе освоения школьных курсов «Алгебра и начала
анализа», «Геометрия».
Дисциплина «Математика» является базовым теоретическим и практическим
основанием для всех последующих математических и финансово-экономических дисциплин,
в частности, предоставляет необходимые базовые знания для последующего освоения
дисциплин «Теория статистики» и «Методы принятия управленческих решений».
3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
 владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования (ОК-15);
 понимание роли и значения информации и информационных технологий в развитии
современного общества и экономических знаний (ОК-16);
 владение основными методами, способами и средствами получения, хранения,
переработки информации, навыками работы с компьютером как средством
управления информацией (ОК-17);
 способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях и
корпоративных информационных системах (ОК-18).
В результате изучения дисциплины обучающийся должен:
знать:
 основные этапы становления современной математики, ее структуру, специфику
аксиоматического построения математических теорий, роль математики в
социально-экономических исследованиях;
 свойства числовых множеств и последовательностей, глобальные свойства
непрерывных функций;
 основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
 основы интегрального исчисления;
 основы исчисления функций нескольких переменных;
 базовые понятия теории вероятности, такие как испытание, случайное событие,
вероятность случайного события, случайная величина, закон распределения
случайной величины;
 формулы комбинаторики и формулы для вычисления вероятности суммы и
произведения событий;


основные законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин;
формулы для вычисления вероятностных характеристик одномерных и двумерных
случайных величин;
 законы, устанавливающие взаимосвязь между вероятностными и статистическими
показателями;
уметь:
 совершать логические операции над событиями и множествами;
 вычислять пределы последовательностей и функций;
 дифференцировать функции одной и нескольких переменных;
 исследовать функции одной и нескольких переменных;
 интегрировать функции одной и нескольких переменных;
 вычислять вероятность случайного события;
 строить законы распределения и вычислять вероятностные характеристики
одномерных и двумерных случайных величин;
 определять наличие корреляции и строить линейную регрессионную зависимость
для непрерывных и дискретных случайных величин;
владеть:
 навыками математического мышления;
 аксиоматическим подходом к построению теоретических моделей;
 методами строгих математических доказательств, основанных на законах
формальной логики, математической индукции и дедукции;
 основами исчисления бесконечно малых величин и пределов,
 методами дифференциального и интегрального исчисления;
 навыками использования математических методов и основ математического
моделирования в социально-экономических науках;
 методами описания случайных величин и предсказания их вероятностных
характеристик при решении различных социально-экономических задач.
4. СТРУКТУРА ДИСЦИПЛИНЫ
Общая трудоемкость дисциплины составляет
№
1
Формы
обучения
Очная
форма, 4
года
Лекции
(часы)
60
Практические
Занятия (часы)
96
12 зачетных единиц.
Самостоятельная
Работа (часы)
222
Всего часов
432
27 часов на подготовку к экзамену в первом семестре и 27 часов на подготовку во втором
семестре.
Форма промежуточной аттестации: Очная форма, 4 года - экзамен в первом и втором
семестрах.
№
1
Формы
обучения
Заочная
форма,
3,5 года
Лекции
(часы)
16
Практические
Занятия (часы)
16
Самостоятельная
Работа (часы)
346
Всего часов
432
27 часов на подготовку к экзамену в первом семестре и 27 часов на подготовку во втором
семестре.
5. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
5.1. Тематический план
Очная форма, 4 года
Наименование разделов и тем
Количество часов
Лекции Практические
занятия
Введение.
Специфика
1
математики как науки.
Раздел 1. Основы
29
48
математического анализа
Тема 1.1. Теория множеств
1
4
Тема 1.2. Числовые
2
6
последовательности и их
пределы
Тема 1.3. Функции одной
2
4
переменной и их свойства
Тема 1.4. Пределы и
4
6
непрерывность функции
одной переменной
Тема 1.5. Понятие
4
6
производной и
дифференцирование функций
Тема 1.6. Основы
6
6
интегрального исчисления
Тема 1.7. Функции нескольких
2
2
переменных
Тема 1.8. Дифференцирование
2
8
и интегрирование функций
нескольких переменных
Тема 1.9. Обыкновенные
4
6
дифференциальные уравнения
2
Тема 1.10. Оптимизационные
задачи.
Линейное
и
нелинейное
программирование.
Раздел 2.Линейная алгебра и
теория вероятностей
Тема 2.1. Векторы и линейные
Самостоя Всего
тельная
часов
работа
по
теме
1
2
110
160
8
12
10
16
8
16
14
20
14
20
12
24
6
10
18
20
14
20
4
4
30
48
111
162
2
2
6
10
пространства
Тема 2.2. Уравнения прямых и
плоскостей
Тема 2.3. Матрицы и действия
с ними
Тема 2.4. Определители и их
свойства
Тема 2.5. Системы линейных
алгебраических уравнений
Тема 2.6. Линейные
операторы
Тема 2.7. Элементарные
понятия теории вероятностей
Тема 2.8. Решение задач с
использованием
классического определения
вероятности
Тема 2.9. Независимые
повторные испытания
Тема 2.10. Дискретные
случайные величины, их
распределения и числовые
характеристики
Тема 2.11. Непрерывные
случайные величины, их
распределения и числовые
характеристики
Тема 2.12. Центральная
предельная теорема.
Тема 2.13. Двумерные
случайные величины
Итого по дисциплине:
2
2
6
10
2
2
6
10
2
2
6
8
2
6
12
16
2
2
6
8
2
4
10
12
2
4
10
12
2
6
12
16
2
6
12
16
4
6
12
20
2
2
4
8
4
4
9
16
60
96
222
324
5.2. Содержание дисциплины
№
п/п
1.
Наименование
раздела дисциплины
Введение. Специфика
математики как науки
Содержание раздела
Аксиоматическое построение математических
теорий. Современный взгляд на проблему определения
основных понятий. Правила логического вывода и
исчисление высказываний. Дедуктивная формальная
логика, понятие логического следования, «прямой» метод
доказательства теорем. Доказательство методом «от
противного».
Метод
математической
индукции.
Математические модели. Математизация естественных и
гуманитарных наук.
Литература: [1], [2], [3].
2.
Тема
1.1.
множеств
Теория
3.
Тема 1.2. Числовые
последовательности и
их пределы
4.
Тема 1.3. Функции
одной переменной и их
свойства
5.
Тема 1.4. Пределы и
непрерывность
функции одной
Элементы, множества, подмножества. Способы
задания множеств. Равенство множеств. Включение и
строгое включение множеств. Пустое множество.
Универсальное множество. Примеры числовых множеств.
Операции (действия) над множествами.
Объединение,
пересечение,
разность
множеств.
Дополнение
множества.
Диаграммы
Вьена.
Алгебраические свойства операций над множествами,
законы де Моргана. Декартово (прямое) произведение
множеств.
Отображения. Определение отображения. Типы
отображений,
примеры.
Взаимно
однозначное
соответствие множеств. Эквивалентные множества.
Бесконечные множества. Конечные множества.
Определение и особые свойства бесконечных множеств.
Понятие мощности множества. Счетные множества.
Континуальные множества.
Отношения на множествах. Определение
отношения произвольной степени. Бинарное отношение
на
множестве.
Рефлексивные,
симметричные,
транзитивные
бинарные
отношения.
Отношение
эквивалентности. Отношения порядка. Изоморфизм.
Литература: [1], [2], [3].
Определение
последовательности,
определение предела последовательности. Примеры
последовательностей. Стационарная последовательность.
Свойства сходящихся последовательностей: конечное
число элементов вне любой окрестности предела,
ограниченность,
единственность
предела,
арифметические свойства пределов. Бесконечно малые и
большие последовательности. Неопределенности вида 0/0
и др. Число e.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
Определение и общие свойства функций.
Определение функции, способы задания функций. График
функции. Основные свойства функций: четность,
монотонность, ограниченность. Корни, экстремумы
функции. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Арифметические операции над функциями. Обратная
функция. Сложная функция. Построение графиков
функций средствами табличного процессора MS Excel.
Элементарные
функции.
Простейшие
элементарные функции и их графики. Константа,
линейная
функция,
квадратичная
функция,
экспоненциальная функция, показательная функция,
логарифмическая
функция,
степенная
функция,
тригонометрические функции. Элементарные функции,
построение их графиков.
Литература: [1], [2], [3], [5], [6].
Предел
функции.
Определение
предела
функции.
Односторонние
пределы.
Предел
в
бесконечности, бесконечный предел в точке. Бесконечно
переменной
6.
Тема 1.5. Понятие
производной и
дифференцирование
функций
7.
Тема 1.6. Основы
интегрального
большие и бесконечно малые функции. Первый и второй
замечательные пределы. Арифметические свойства
пределов. Вычисление пределов.
Непрерывные
функции.
Определение
непрерывности функции в точке. Односторонняя
непрерывность в точке. Определение разрыва. Причины
разрывов. Классификация разрывов. Арифметические
свойства непрерывных функций. Непрерывность функции
на отрезке. Свойства функции, непрерывной на отрезке
(теоремы Вейерштрасса и Коши). Поиск корня функции
методом «деления отрезка пополам».
Литература: [1], [2], [3], [4], [5], [6].
Производная, ее смысл, способы вычисления.
Определение производной функции в точке; ее
механическая,
экономическая
интерпретация.
Геометрическая интерпретация производной, уравнение
касательной к графику функции. Понятие производной,
как функции, заданной на некотором интервале.
Операция дифференцирования. Линейность операции
дифференцирования.
Производная
произведения,
частного, сложной функции, обратной функции.
Производные простейших элементарных функций.
Непрерывность
дифференцируемой
функции.
Производные высших порядков.
Дифференциал и приближенные вычисления.
Определение дифференциала. Связь дифференциала и
приращения функции. Формула конечных приращений
(формула Лагранжа) и ее использование для
приближенных вычислений. Эластичность функции и ее
использование
для
приближенного
вычисления
относительного изменения функции. Формула Тейлора и
формула Маклорена.
Использование
производных
для
исследования функций и построения их графиков.
Теорема Лагранжа и ее следствие. Теорема о
монотонности.
Необходимое
условие
экстремума
(теорема Ферма). Стационарные и критические точки.
Достаточные условия экстремума. Выпуклость функции,
геометрическая
интерпретация
этого
понятия
(направление
выпуклости
графика).
Теорема
о
направлении выпуклости. Точка перегиба. Необходимое и
достаточное условия точки перегиба. Асимптоты графика
функции. Схема исследования функции и построения ее
графика.
Применение производных в экономике.
Предельные
показатели
в
микроэкономике.
Максимизация прибыли. Оптимизация налогообложения
предприятий.
Закон
убывающей
эффективности
производства.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определения первообразной, интегрируемой функции,
исчисления
8.
Тема 1.7. Функции
нескольких
переменных
9.
Тема 1.8.
Дифференцирование и
интегрирование
функций нескольких
переменных
неопределенного интеграла. Линейность – основное
свойство
интеграла.
Неопределенные
интегралы
простейших элементарных функций. Интегрирование
методом замены переменной. Метод интегрирования по
частям.
Определенный интеграл. Определение и
геометрическая интерпретация определенного интеграла.
Свойства определенного интеграла. Определенный
интеграл, как функция верхнего предела. Формула
Ньютона-Лейбница. Схема вычисления определенного
интеграла с использованием формулы НьютонаЛейбница. Приложения определенного интеграла в
экономике. Понятие несобственного интеграла по
бесконечному промежутку.
Литература: [1], [2], [3], [4], [5].
Определение
функции
нескольких
переменных.
Понятия
координатного
m-мерного
пространства и евклидова m-мерного пространства.
Геометрическая
интерпретация
двумерного
и
трехмерного
евклидовых
пространств.
Примеры
множеств, являющихся подмножествами евклидова mмерного пространства (сфера, шар, гиперкуб, окрестность
точки). Внутренние и граничные точки множеств.
Открытые и замкнутые множества. Ограниченные
множества. Связные множества. Выпуклые множества.
Определение
функции
нескольких
переменных.
Примеры: линейная функция, квадратичная функция
(квадратичная форма), степенная функция (функция
Кобба-Дугласа), нелинейная функция общего вида.
Графическая интерпретация функции двух переменных –
поверхность в трехмерном евклидовом пространстве.
Линии уровня (изокванты). Построение поверхностей и
линий уровня в Excel.
Пределы
и
непрерывность
функции
нескольких переменных. Понятие последовательности
точек в евклидовом m-мерном пространстве и
определение ее предела. Предел и непрерывность
функции нескольких переменных в точке. Свойства
функции, непрерывной на ограниченном замкнутом
множестве.
Литература: [1], [2], [4], [5].
Частные производные функции нескольких
переменных. Полное приращение и частные приращения
функции нескольких переменных. Определение и смысл
частных производных первого порядка, правила их
вычисления. Частные производные второго и высших
порядков.
Дифференциал
функции
нескольких
переменных.
Определение
дифференциала
и
дифференцируемости функции в точке. Достаточное
условие дифференцируемости. Дифференциал, частные
эластичности и приближенные вычисления.
10.
Тема 1.9.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Дифференцирование
сложных
функций.
Дифференцирование функции одной переменной,
заданной неявно.
Поиск экстремумов функции нескольких
переменных. Определение экстремума. Необходимое
условие экстремума. Стационарные и критические точки.
Достаточное условие экстремума для функции двух
переменных. Условный экстремум. Поиск условного
экстремума функции двух переменных методом прямой
подстановки и методом неопределенных множителей
Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения функции
на
ограниченном
замкнутом
множестве
(две
переменных). Численное нахождение экстремумов с
помощью инструмента «Поиск решения» табличного
процессора MS Excel.
Метод наименьших квадратов. Диаграмма
рассеяния, постановка задачи. Формулировка гипотезы о
виде модельной функции (функции тренда). Процедура
определения параметров модельной функции методом
наименьших квадратов. Расчет параметров линейной
модельной функции y=kx+b. Построение функции тренда
средствами табличного процессора MS Excel.
Геометрическая интерпретация двойного
интеграла. Его вычисление путем сведения к повторному
интегрированию.
Литература: [1], [2], [4], [5].
Дифференциальные
уравнения
первого
порядка. Определение дифференциального уравнения
первого порядка. Дифференциальное уравнение первого
порядка, разрешенное относительно производной.
Определения
решения,
интегральной
кривой,
формулировка теоремы Коши. Понятия общего и
частного
решения.
Геометрический
смысл
дифференциального уравнения первого порядка, поле
направлений.
Методы
решения
уравнений
с
разделяющимися переменными, неполных уравнений.
Метод
решения
линейного
дифференциального
уравнения первого порядка.
Дифференциальные
уравнения
второго
порядка. Определение дифференциального уравнения
второго порядка. Дифференциальное уравнение второго
порядка,
разрешенное
относительно
старшей
производной. Определения решения, интегральной
кривой, формулировка теоремы Коши. Понятия общего и
частного
решения.
Метод
решения
линейного
дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными
коэффициентами.
Преобразование
дифференциального уравнения второго порядка в систему
двух дифференциальных уравнений первого порядка;
обобщение на случай дифференциальных уравнений
высших порядков.
Литература: [1], [2], [4], [5].
11.
Тема 1.10.
Оптимизационные
задачи. Линейное и
нелинейное
программирование.
12.
Тема 2.1. Векторы и
линейные пространства
13.
Тема 2.2. Уравнения
прямых и плоскостей
14.
Тема 2.3. Матрицы и
действия с ними
Задача линейного программирования. Формулировка
задачи линейного программирования в стандартной
форме и ее типичная экономическая интерпретация
(нахождение оптимального плана выпуска продукции при
наличии ресурсных ограничений). Матричная запись
стандартной задачи линейного программирования.
Геометрический смысл решений систем линейных
неравенств и уравнений. Общая постановка задачи
линейного программирования. Симплекс-метод решения
задачи линейного программирования.
Оптимизационная задача с несколькими
целевыми
функциями
(многокритериальное
программирование).
Решение
задачи
методом
преобразования целевых функций в ограничения.
Решение задачи путем построения обобщенной целевой
функции с использованием весовых коэффициентов.
Задачи
нелинейного
программирования.
Задача выпуклого программирования. Производная по
направлению
и
градиент
функции
нескольких
переменных.
Выпуклые
функции.
Приближенное
решение задач выпуклого программирования методом
кусочно-линейной аппроксимации и градиентным
методом.
Литература: [7], [8], [9].
Векторы, как направленные отрезки в двух- и
трехмерном евклидовом пространстве. Координаты
вектора, длина вектора. Обобщение на многомерный
случай. Множество всех векторов в m-мерном
евклидовом пространстве - m-мерное линейное
(векторное) пространство. Правила сложения векторов и
их умножения на число. Скалярное произведение
векторов и его свойства. Проекция вектора. Определения
и признаки ортогональности, коллинеарности векторов.
Линейная комбинация векторов. Линейная независимость
векторов.
Базис
линейного
пространства,
существование ортонормированного базиса. Векторное и
смешанное произведения векторов в трехмерном
пространстве.
Литература: [1], [2], [3], [4], [10].
Общий вид уравнения линии на плоскости.
Нормальное и общее уравнения прямой на плоскости.
Основные задачи о прямых на плоскости. Общий вид
уравнения поверхности в трехмерном пространстве.
Нормальное и общее уравнения плоскости в трехмерном
пространстве. Основные задачи о плоскостях. Общий
вид системы уравнений, описывающих линию в
трехмерном пространстве. Уравнение прямой в
трехмерном пространстве.
Литература: [1], [2], [3], [4], [10].
Определение матрицы. Использование двух
индексов для идентификации элементов прямоугольной
матрицы. Транспонирование матрицы. Матрица, как
15.
Тема 2.4. Определители
и их свойства
16.
Тема 2.5. Системы
линейных
алгебраических
уравнений
совокупность векторов-столбцов или векторов-строк.
Умножение матрицы на число. Сложение матриц
одинаковой структуры. Умножение матриц. Свойства
операции матричного умножения. Умножение матрицы
на вектор. Квадратная матрица, единичная матрица,
обратная матрица. Определение ранга матрицы. Функции
Excel для работы с матрицами.
Литература: [1], [2], [4], [6], [10].
Вычисление
определителей.
Правила
вычисления определителей квадратных матриц 2-го и 3-го
порядков.
Основные
свойства
определителей.
Необходимое и достаточное условия равенства
определителя
нулю.
Определение
минора
и
алгебраического дополнения элемента квадратной
матрицы. Теорема о способе вычисления определителя
разложением по строке или столбцу (теорема Лапласа).
Применение определителей. Произвольная
матрица и ее миноры. Теорема о вычислении ранга
матрицы. Теорема о базисном миноре. Условие
существования и правило вычисления обратной матрицы.
Литература: [1], [2], [4], [6], [10].
Постановка задачи и основные определения.
Пример: модель многоотраслевой экономики Леонтьева.
Общий вид системы линейных алгебраических
уравнений, матричная запись, определение решения.
Совместные и несовместные системы. Эквивалентные
системы,
элементарные
преобразования
систем.
Формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Условия
определенности
и
неопределенности
совместной
системы.
Решение систем линейных алгебраических
уравнений с квадратной матрицей. Метод обратной
матрицы. Метод Крамера.
Решение произвольной системы методом
Гаусса. Алгоритм метода Гаусса. Структура множества
решений совместной неопределенной системы: базисные
и свободные переменные.
Решение однородных систем линейных
алгебраических уравнений. Теорема о необходимом и
достаточном условии существования нетривиальных
решений однородной системы и следствия из нее.
Фундаментальная система решений однородной системы
и способ ее нахождения. Структура общего решения
однородной системы. Структура общего решения
неоднородной системы.
Нахождение псевдорешения несовместной
системы линейных алгебраических уравнений.
Получение нормальной системы из условия минимума
невязки. Псевдорешение – решение нормальной системы.
Поиск
нормального
псевдорешения
в
случае
неопределенности нормальной системы. Общий алгоритм
построения нормального псевдорешения. Численное
17.
Тема 2.6. Линейные
операторы
18.
Тема 2.7.
Элементарные понятия
теории вероятностей
19.
Тема 2.8. Решение
задач с использованием
классического
определения
вероятности
20.
Тема 2.9. Независимые
повторные испытания
21.
Тема 2.10. Дискретные
случайные величины,
их распределения и
числовые
характеристики
нахождение нормального псевдорешения в Excel.
Литература: [1], [2], [4], [5], [6], [10].
Понятие оператора, действующего в линейном
пространстве. Определение линейного оператора.
Матричное
представление
линейного
оператора.
Преобразование матрицы линейного оператора при
ортогональном
преобразовании
базиса.
Примеры
линейных
операторов.
Задача
о
нахождении
собственных векторов и собственных значений
линейного
оператора.
Нормировка
собственных
векторов. Задача о нахождении корней многочлена,
комплексные числа. Линейная модель международной
торговли.
Литература: [1], [2], [4], [10].
Испытание. Испытание, исход (элементарное
событие), Полное множество исходов (вероятностное
пространство). Случайность исходов.
Операции над событиями. Определение
случайного события. Противоположное событие. Сумма
(объединение) и произведение (пересечение) событий.
Достоверное и невозможное события. Несовместные
события. Полная группа событий.
Литература: [5], [11], [12].
Элементы комбинаторики. Правила суммы и
произведения. Подсчет числа размещений, перестановок,
сочетаний.
Классическое, статистическое, геометрическое
определения
вероятности
события.
Условная
вероятность.
Независимые
события
и
формула
умножения вероятностей для независимых событий.
Общая формула сложения вероятностей. Формула
сложения вероятностей для несовместных событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры
решения задач.
Литература: [5], [11], [12].
Схема опыта Бернулли. Формула Бернулли.
Формула Пуассона. Предельный случай очень большого
числа испытаний; локальная и интегральная формулы
Лапласа.
Литература: [5], [11], [12].
Определение
случайной
величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Распределение
дискретной
случайной
величины. Ряд распределения, полигон распределения,
гистограмма распределения. Функция распределения
дискретной случайной величины.
Математическое
ожидание,
дисперсия,
стандартное отклонение дискретной случайной
величины. Смысл математического ожидания и
дисперсии. Математические операции над случайными
величинами.
Биномиальное
распределение,
геометрическое и гипергеометрическое распределение,
22.
Тема 2.11.
Непрерывные
случайные величины,
их распределения и
числовые
характеристики
23.
Тема 2.12. Центральная
предельная теорема.
24.
Тема 2.13. Двумерные
случайные величины
распределение Пуассона.
Литература: [5], [11], [12].
Функция
распределения
и
плотность
вероятности непрерывной случайной величины.
Определение и смысл математического ожидания,
дисперсии, стандартного отклонения непрерывной
случайной величины. Мода, медиана, асимметрия,
эксцесс случайной величины. Моменты случайной
величины. Математическое ожидание и дисперсия
функции случайной величины.
Примеры
распределения
непрерывной
случайной величины.
Случайная величина с
равномерным распределением. Нормальная и стандартная
нормальная случайные величины.
Литература: [5], [11], [12]
Неравенство Чебышева, Закон больших чисел в форме
Бернулли. Смысл центральной предельной теоремы
(теоремы Ляпунова).
Литература: [5], [11], [12].
Распределение
двумерной
дискретной
случайной величины. Функция распределения и ее
свойства.
Плотность
вероятности
непрерывной
двумерной случайной величины и ее свойства.
Условные распределения. Числовые характеристики
двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и
независимые случайные величины. Ковариация и
теоретический коэффициент корреляции.
Литература: [5], [11], [12].
5.3. План практических занятий.
Темы практических занятий по Разделу 1
1. Элементы исчисления высказываний. Логическое следование высказываний,
методы доказательства. Метод математической индукции.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
2. Множества. Операции над множествами и их алгебраические свойства.
Отображения, эквивалентные множества.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
3. Бесконечные множества. Отношения на множествах.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
4. Числовые последовательности. Вычисление пределов с использованием
определения. Свойства сходящихся последовательностей.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
5. Вычисление пределов последовательностей с использованием их свойств.
Бесконечно
малые
и
бесконечно
большие
последовательности,
раскрытие
неопределенностей.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
6. Функции и их основные свойства. Элементарные функции и их графики.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
7. Предел функции, вычисление по определению. Замечательные пределы.
Арифметические свойства пределов, вычисление пределов, раскрытие неопределенностей.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
8. Непрерывность функции в точке и анализ разрывов. Свойства функций,
непрерывных на отрезке.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
9. Производная и ее вычисление по определению. Правила дифференцирования.
Геометрическая интерпретация производной.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
10. Дифференциал и приближенные вычисления. Эластичность функции.
Производные высших порядков. Формулы Тейлора и Маклорена.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
11. Использование производных для анализа монотонности, выпуклости функций,
поиска экстремумов и точек перегиба.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
12. Нахождение асимптот графика функции. Общая схема исследования функции и
построения ее графика. Использование производных в экономике.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
13. Первообразная и неопределенный интеграл. Интегрирование методом замены
переменной. Метод интегрирования по частям.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
14. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площадей.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
15. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку. Приложения
определенного интеграла в экономике.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
1. Функции нескольких переменных, их пределы, непрерывность. График функции
двух переменных – поверхность; линии уровня.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
2. Частные производные, их вычисление. Дифференциал, частные эластичности,
приближенные вычисления.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
3. Дифференцирование сложных и неявных функций. Поиск локальных экстремумов,
условных экстремумов.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
4. Поиск наибольшего (наименьшего) значения функции двух переменных на
ограниченном замкнутом множестве. Двойной интеграл и его вычисление сведением к
повторному интегрированию.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
5. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений.
Решение уравнений с разделяющимися переменными, неполных уравнений.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
6. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
7. Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Литература: [1], [2], [4], [5], [13], [14].
Темы практических занятий по Разделу 2
1. Векторы и линейные пространства.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
2. Уравнения прямых и плоскостей.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
3. Матрицы и операции с ними.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
4. Определители и их свойства. Вычисление определителей, применение
определителей.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
5. Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей.
Решение произвольной системы методом Гаусса.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
6. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений. Нахождение
фундаментальной системы решений. Построение общего решения неоднородной системы.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
7. Нахождение псевдорешения несовместной системы линейных алгебраических
уравнений.
Литература: [5].
8. Нахождение собственных векторов и собственных значений линейных операторов.
Литература: [1], [2], [4], [10], [3], [13], [14].
9. Элементарные понятия теории вероятностей.
Литература: [11], [12], [13], [15].
10. Элементы комбинаторики. Решение задач с использованием классического
определения вероятности.
Литература: [11], [12], [13], [15].
11. Условная вероятность. Независимые события и формула умножения вероятностей.
Формула сложения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Литература: [11], [12], [13], [15].
12. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
Литература: [11], [12], [13], [15].
13. Локальная и интегральная формулы Лапласа.
Литература: [11], [12], [13], [15].
14. Дискретные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
Литература: [11], [12], [13], [15].
15. Непрерывные случайные величины, их распределения и числовые характеристики.
Литература: [11], [12], [13], [15].
16. Центральная предельная теорема.
Литература: [11], [12], [13], [15].
17. Двумерные случайные величины
Литература: [11], [12], [13], [15].
6. ФОРМЫ КОНТРОЛЯ И ОТЧЕТНОСТИ
1. Формы контроля
В качестве оценочных средств программой дисциплины предусматривается:
 текущий контроль (аудиторные контрольные работы, домашние контрольные
работы, домашние задания).
 промежуточный контроль.
Очная форма обучения, 4 года.
Промежуточный контроль изучения дисциплины проводится в форме письменного
экзамена в 1-ом и 2-ом семестре. Итоговая оценка за экзамен выставляется в форме
“неудовлетворительно”, “удовлетворительно”, “хорошо”, “отлично” и в баллах по
100-бальной шкале:
 “неудовлетворительно” – менее 51 балла;
 “удовлетворительно” – от 51 до 69 баллов;
 “хорошо” – от 70 до 85 баллов;
 “отлично” – свыше 85 баллов;
и формируется:
 аттестационными баллами семестра (80);

экзаменационным баллом (20).
2. Вопросы для подготовки к экзамену
Формулировки теоретических вопросов, предлагаемых на экзамене, повторяют
формулировки тем, перечисленных в содержании программы. Например:
 Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
 Проверка статистических гипотез.
 и т.д.
3. Примеры задач, предлагаемых в контрольных работах, на экзамене.
Раздел 1
1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения)
доказательство теоремы:
Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.
Если получишь двойку – не будет стипендии.
Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.
2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической
1  qn
прогрессии (т.е. последовательности xn  aq n 1 ) сумма первых n членов равна S n  a
.
1 q
3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% - «Урал», 50% - «Юность», 30% журналы «Огонек» и «Урал», 20% - «Урал» и «Юность», 30% - «Огонек» и «Юность», 10% все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают
ни одного?
4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение:
а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным
соответствием.
5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.
6. Исследуйте бинарное отношение (x,y) , x+y=8 , на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным,
антисимметричным?
7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y),
xy  0 - есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение
множества X на классы эквивалентности.
8. Показать, используя определение предела последовательности, что
2  ( 1) n 1
последовательность xn 
сходятся к числу 0.
n
9. Показать, используя определение предела последовательности, что
последовательность
xn  n a (a  1) сходится к 1.
10. Найти предел последовательности xn  n ( n  1  n ) .
11. Найти предел последовательности xn 
n2  n  2
.
3n 2  2n  4
n  3 3n 1
)
.
n
13. Пусть последовательность x n - ограничена, y n - бесконечно большая. Доказать,
12. Найти предел xn  (
что последовательность ( xn / yn ) бесконечно малая.
14. Дана f(x) = 2x2 + x - 3. Построить графики y = f(x) , y = |f(x)|. При каких значениях
параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?
15. Дана функция y 
x 1
. Построить ее график; решить неравенство y<0; решить
x4
уравнение |y-1| = 1.
16. Построить график функции y  log 1 (3  2 x ) 2 .
2
17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти
x  3x  2
.
lim
x 0
2x  1
sin 4 x
18. Найти предел lim
.
x 0
x 1 1
tg ( x )
19. Найти предел lim
.
x 0 5 x
20. Пусть
 x  1, при x  1
f ( x)  
2
3  ax , при x  1
При каком выборе числа a функция f (x ) будет непрерывной в точке x  1 ?
21. Доказать, что уравнение x 5  3x  1 имеет точно один корень на отрезке [1, 2].
22. Доказать, что уравнение x  2 x  1 имеет один положительный корень, меньший 1.
f
23. Пусть f ( x )  2 x 3 . Найти приращение функции  f и отношение
в точке
x
x0  1 если а) x  1, б) x  1 , в) x  0.1 , г) x  0.1 , д) x  0.01 , е) x  0.01 .
Объяснить результаты.
24. Используя определение производной найти производную функции
f ( x )  (2 x  3)2 .
25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе
f ( x )  x 3 равен 12 ?
26. На параболе f ( x )  x 2 взяты две точке с абсциссами x 1  1 и x 2  2 . Через эти
точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна
проведенной секущей?
27. Найти производную для функции f ( x )  x 2 / ln( x )  2 x . Найти третью
производную для функции f ( x )  x 2  ln( x ) .
28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти
равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса,
предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.
29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус
изменится на 1% ?
30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При
каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба
будет наибольшей?
31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание
которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти
наибольшую площадь вписанного прямоугольника.
32. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  2 x 3  9 x 2  12 x  3 .
2
33. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  ln x .
34. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  exp( 
x2
).
2
35. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x )  x  e  x .
2x2  8
.
x 1
37. Вычислить неопределенный интеграл  (2 sin x  6  3x 2 )dx .
36. Исследовать функцию и построить ее график: f ( x ) 
38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а)
e5 x
12
;
б)
x
(
x

1
)
dx

 e x  1 dx .
39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные
интегралы: а)  x cos xdx ; б)  ln xdx .
1
40. Вычислить определенные интегралы: а)
2x
0 1  x 2 dx ; б)


0
0
 x sin xdx ; в)
 xe
x
dx .
41. Найти область определения функции двух переменных f ( x, y )  y 2  x 2  x  4 .
42. Построить линии уровня для функции f ( x, y )  xy  y .
43. Построить линии уровня для функции f ( x, y )  x 2  y 2  2 x  2 y .
44. Найти предел функции f ( x, y ) 
sin( 5 x 2  y 2 )
в точке М(0,0).
x2  y2
2 xy
45. Доказать, что функция f ( x, y )  2
не имеет предела в точке М(0,0).
x  y2
y
46. Найти частные производные функций: а) f ( x, y )  x ln y  ; б) f ( x, y )  x y .
x
2
47. Для функции f ( x, y )  x sin y найти частные производные второго порядка.
48. Зависимость объема производства f ( x, y ) от капитальных затрат x и затрат труда
y описывается функцией Кобба-Дугласа f ( x, y )  Ax y  . Найти дифференциал и частные
эластичности этой функции. Пусть   3 / 4,   1 / 4 ; на сколько процентов изменится
объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на
2%?.
du
49. Пусть u  xy 2  sin 3z, x  2t, y  t 2 , z  t 3 . Найти
.
dt
50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда
y от капитальных затрат x описывается соотношением Ax y   100 . Рассчитать
dy
производную
. Какой она имеет смысл?
dx
51. Найти экстремумы функции f ( x, y )  y 2  x 2  xy  2 x  6 y .
52. Найти экстремумы функции f ( x, y )  8 y 3  x 3  6 xy  1 .
53. Найти экстремумы функции f ( x, y )  2 x 3  xy2  5x 2  y 2 .
54. Найти экстремумы функции f ( x, y )  y x  y 2  x  6 y .
55. Найти максимум функции Кобба-Дугласа f ( x, y )  Ax y  при условии
px  qy  J .
56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y )  ( x  1) 2  3 y  y 3 в
области 0  x  2, 0  y  2 .
57. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y )  ( x  1) 2  3 y  y 3 в
области 0  x  2,  2  y  0 .
58.
Рассчитать
двойной
интеграл
 (3x
2
y  2 x 3 )dxdy ,
если
область
D
D  {0  x  1, 1  y  2} .
59. Рассчитать двойной интеграл
 y
2
x dxdy , если область D ограничена линиями
D
x 2  y 2  4, x  y  2 .
60. Найти общее решение дифференциального уравнения y   y  x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)  0 .
61. Найти общее решение дифференциального уравнения y   y  cos x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (0)  1 .
62. Найти общее решение дифференциального уравнения x 2 y  y  0 , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальному условию y (1)  3 .
63. Найти общее решение дифференциального уравнения y  y  2 y  e x , а также его
частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0, y (0)  1 .
64. Найти общее решение дифференциального уравнения y   6 y   7 y  14 , а также
его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  0, y (0)  0 .
65. Найти общее решение дифференциального уравнения y   6 y   9 y  0 , а также
его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y (0)  1, y (0)  0 .
Раздел 2
1. Являются ли компланарными (т.е. лежат ли в одной плоскости) три вектора:
 1 
 0 
  2
        
a    2 , b    1 , c   3  ?
  3
  2
 4 
 
 
 
  1
1
1
        
2. Являются ли линейно зависимыми три вектора: a   1 , b    1, c   1  ?
1
1
  1
 
 
 
 1 
 0 
  2
 
 
        
3. Пусть a    2 , b    1 , c   3  . Найти координаты вектора x  a  2b  3c .
  3
  2
 4 
 
 
 
4. Две прямые на плоскости задаются уравнениями x  y  1 и x  y  2 . Параллельны
ли эти прямые? Каково между ними расстояние?
2 1
2
 1 4 1




5. Пусть C   0
1 3 , F   2  3 3  . Найти матрицу H  C 2  F 2 .
 1  2 2
1
1 4 



3 1 2 4 


0  2 3 1 
6. Дана матрица A  
. Вычислить ее определитель. Найти миноры
4 1 3 2 


 5 3 1  3
элементов a23 , a14 и алгебраические дополнения элементов a 43 , a 24 .
1 2 4


7. Найти ранг матрицы C   0 2 4  .
 3  1 2


8. Решить методом обратной матрицы и методом Крамера систему линейных
3x  x  2,
алгебраических уравнений:  1 2
2 x1  3x2  5.
9. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
 x1  2 x2  3x3  x4  9,
3x  4 x  2 x  2 x  15,
 1
2
3
4

2
x

2
x

3
x

3
x
2
3
4  0,
 1
5 x1  x2  2 x3  5 x4  12.
10. Решить методом Гаусса систему линейных алгебраических уравнений:
 x1  x2  x3  x4  2,
 x  2 x  2 x  x  5,
 1
2
3
4

2
x

x

3
x

2
x
3
4  1,
 1 2
 x1  2 x2  3x3  6 x4  10.
11. Найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных
 x1  2 x2  x3  x4  0,
алгебраических уравнений 
, а также ее общее решение.
2
x

3
x

x

2
x

0
.
2
3
4
 1
 1
0  
12. Найти нормальное относительно вектора x  1 псевдорешение системы
 1
 
5x1  3x2  4 x3  0,
линейных алгебраических уравнений: 
.
6 x1  5x2  6 x3  0.
13. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора,
заданного матрицей A  
2
4 .

 1  3 
14. В коробке 12 шаров: 3 белых, 4 черных, 5 красных. Какова вероятность вынуть
из коробки черный шар?
15. В коробке 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность
того, что оба шара - белые?
16. В лотерее 2000 билетов. Из них выигрышные:
1 – 100 руб., 4 по 50 руб., 10 по 20 руб., 20 по 10 руб.,
165 по 5 руб., 400 по 1 руб.
Какова вероятность выиграть по одному билету не менее 10 руб.?
17. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет
герб?
18. В лотерее 1000 билетов. Из них 500 – выигрышные и 500 – невыигрышные.
Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?
19. На экзамене из 30 студентов некоторой группы 6 получили «отлично», 10 –
«хорошо», 9 –«удовлетворительно», остальные – «неуд». Какова вероятность того, что все
трое студентов этой группы, встреченные деканом в буфете, получили на экзамене «неуд»?
20. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k
билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере один из купленных билетов
выигрышный?
21. Из колоды, содержащей 52 карты, наугад вынимают 4 карты. Какова вероятность
того, что все эти карты разных мастей?
22. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором ящике 8 белых и 4
черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
23. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая
вынутый шар в ящик). Какова вероятность того, что оба шара белые?
24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания
в цель для первого стрелка равна 0.75, для второго – 0.8, для третьего – 0.9. Определить
вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
25. В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что в цель попадет
хотя бы один стрелок.
26. На экзамен пришли студенты из двух групп: 60% пришедших – из 101-й группы,
40% - из 102-й. По прогнозам в 101-й группе будет 20% неуспевающих, а в 102-й – 15%.
Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не получит двойку?
27. В поликлинике работают два врача. Вероятность попасть на прием к врачу А
равна 0.6, а к врачу Б – 0.4. Вероятность ошибочного диагноза у А равна 0.03, а у Б – 0.08.
Больной побывал в поликлинике и ему поставили неверный диагноз. Определить
вероятность того, что диагноз поставлен врачом А? Врачом Б?
15. В коробке 10 белых и 5 черных шаров. Вынули 4 шара. Какова вероятность того,
что среди них оказалось 3 белых?
28. В группе 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы двое из них
празднуют свой день рождения в один и тот же день?
29. В автобусе 40 пассажиров, среди которых 5 преступников. На допрос пригласили
шестерых наугад выбранных пассажиров. Какова вероятность того, что среди них окажется
хотя бы один преступник?
30. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у кого первого выпадет орел.
Число бросков не ограничивается. а) Какова вероятность выигрыша бросавшего первым?
Вторым? б) Какими станут вероятности выигрыша, если бросающий вторым делает по два
броска?
31. В контрольной работе 3 задачи, для каждой указано 5 вариантов ответов, один из
которых правильный. Для положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Какова
вероятность положительной оценки, если отвечать наугад?
32. В тесте 25 вопросов. На каждый приведено 3 ответа, один из которых верный.
Для зачета достаточно правильно ответить на 15 вопросов. Какова вероятность получить
зачет, отвечая наугад?
33. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет три девочки и
два мальчика. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова.
34. Что вероятнее выиграть у равносильного шахматиста (ничейный исход партии
исключен): больше 1 партии из 4 или больше 2 партий из 5?
35. В помещении 4 лампы. Вероятность работы в течение года для каждой лампы
0.8. Найти вероятность того, что к концу года останутся гореть 3 лампы.
36. Два баскетболиста делают по три броска в корзину. Вероятность попадания мяча
при каждом броске равна соответственно 0.6 и 0.7. Найти вероятность того, что у обоих
будет равное количество попаданий.
37. В страховой конторе застраховано 10 000 клиентов одного возраста и одной
социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года равна 0,006. Каждый клиент
1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить
его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: а) контора разорится; б)
контора получит не менее 40000 долларов прибыли?
38. Банк выдал 1000 кредитов на год по 500 т.р. под 10% годовых (возврат 550 т.р.).
Вероятность возврата кредита каждым клиентом 90%. Какой будет прибыль банка,
гарантированная с вероятностью 95% ?
39. В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и
десять выигрышей 1 руб. Найти распределение случайной величины Х – стоимости
возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
40. Кубик брошен 3 раза. Написать распределение числа появлений шестерки.
Построить функцию распределения.
41. Стрелок трижды стреляет по мишени. Число попаданий – случайная величина Х.
Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.3. Построить распределение
случайной величины Х, рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное
отклонение. Проверить выполнение «правила трех стандартных отклонений».
42. В коробке 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынимают 2 шара. Случайная величина
Х – сумма номеров вынутых шаров. Построить распределение случайной величины Х,
рассчитать ее математическое ожидание, дисперсию, стандартное отклонение. Проверить
выполнение «правила трех стандартных отклонений».
43. Дана функция плотности вероятности некоторой случайной величины:
0 при x  0,


f ( x )  a sin( x ) при 0  x   ,

0 при x  

Определить a и функцию распределения F (x ) .
44. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке [0,1], имеет
плотность вероятности f ( x )  2 x . Какова функция распределения F (x ) этой случайной
величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.
45. Случайная величина x , принимающая значения на промежутке (0,2), имеет
плотность вероятности f ( x )  1 / 4 при 0  x  1 и f ( x )  3 / 4 при 1  x  2 . Какова функция
распределения F (x ) этой случайной величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) .
Рассчитайте математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
46. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке 0,1 , имеет
равномерное распределение. Какова плотность распределения f (x ) и функция распределения
F (x ) этой случайной величины? Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
47. Случайная величина x , принимающая значения на отрезке 0,1 , имеет
плотность вероятности f ( x )  (4  2 x ) / 3 . Найдите функцию распределения F (x ) этой
случайной величины. Нарисуйте графики f (x ) и F (x ) . Рассчитайте математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
48. Радиус круга измерен приближенно на интервале (a,b). Полагая, что радиус
является случайной величиной, распределенной равномерно на этом интервале, найти
математическое ожидание и дисперсию площади круга.
49. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и
дисперсией, соответственно равными 10 и 25. Найти вероятность того, что при испытании
эта случайная величина примет значение: а) из промежутка (20, 30); б) большее 15?
50. Стрельба из орудия ведется вдоль определенного направления. Средняя
дальность полета снаряда 10 000 м. Предполагая, что дальность полета распределена по
нормальному закону с дисперсией 1600 м2, найдите, какой процент выпускаемых снарядов
дает перелет от 100 до 200 м.
51. При средней длине некоторой детали в 20 см найдено, что отклонения,
превосходящие  0,5 см, встречаются в среднем 4 раза на 100 деталей. Считая, что длина
детали распределена по нормальному закону, определите ее стандартное отклонение.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
а) основная литература:
Высшая математика для экономистов. / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2006.
Красс М.С. Математика для экономистов. СПб.: Питер, 2008.
Турецкий В.Я. Математика и информатика. М.: ИНФРА-М, 2004.
Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом 4
образовании. М.: Дело, 2002.
5. Шолохович Ф. А., Васин В.В. Основы высшей математики. Екатеринбург, УрГУ, 2003.
6. Колесников А. Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРА-М, 2003.
7. Исследование операций в экономике. / Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2001.
8. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.:
Дело, 2002.
9. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. М.:
Финансы и статистика, 2001.
10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. М.: Финансы
и статистика, 1999.
11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2007.
12. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее
образование, 2006.
1.
2.
3.
4.
б) дополнительная литература;
13. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах
(Части 1 и 2).. М.: Оникс: Мир и Образование, 2007.
14. Шипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 2003.
15. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М.: Высшее образование, 2006.
в) программное обеспечение:
1. Программные средства «Microsoft Office»: Microsoft Excel
2. Электронный учебно-методический комплекс «Математика», расположенный в Интернет
по адресу http://172.16.0.23/de/title.htm.
3. Электронный вариант конспекта лекций в локальной сети академии по адресу
\\Class_serv\classes\_Teachers\Математика
4. Лекционные и методические материалы, http://edu.uapa.ru/moodle
8. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ ПРОЕКТОВ (РАБОТ)
«Курсовой проект (работа) учебным планом не предусмотрены»
9. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Дисциплина состоит из двух основных разделов. Программой предусмотрено
освоение каждого раздела в течение одного семестра. Для успешного освоения материала
курса «Математика» требуются систематическая работа по изучению лекций и
рекомендуемой литературы, решению домашних задач и домашних контрольных работ, а
также активное участие в работе семинаров.
Показателем освоения материала служит успешное решения задач предлагаемых
домашних контрольных работ и выполнение аудиторных самостоятельных и контрольных
работ. При освоении дисциплины рекомендуется использовать образовательные технологии
и оценочные средства контроля успеваемости, разработанные в рамках системы Moodle.