МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
реклама
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «МАЙКОПСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Факультет Кафедра инженерно-экономический высшей математики и системного анализа УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _______________О.В.Иванова «_____»__________20_____ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по дисциплине ЕН.Р.01 Математические методы и модели в экономике по специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (туризм и гостиничное хозяйство) Факультет Форма обучения инженерно-экономический очная МАЙКОП Рабочая программа составлена на основании ГОС ВПО специальности 080502 Экономика и управление на предприятии (туризм и гостиничное хозяйство) и учебного плана МГТУ Составитель рабочей программы к.п.н., доцент_ _____________ Кохужева Р. Б. Рабочая программа утверждена на заседании кафедры высшей математики и системного анализа Заведующий кафедрой к.ф.-м..н., доцент «___»________20__г. Куижева С.К. Одобрено научно-методической комиссией факультета «___»_________20_ Председатель научно-методической комиссии факультета (где осуществляется обучение) _______________ Богомолова Е.С. (подпись) (Ф.И.О.) г. Декан факультета (где осуществляется обучение) «___»_________20 ________________ Беданоков М. К. ______________ Бушманова Н. В. _г. СОГЛАСОВАНО: Начальник УМУ «___»_________20__г. Зав. выпускающей кафедрой по специальности ____________ Богомолова Е. С. «___»_________20__г. 2 СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ 1. Цели и задачи учебной дисциплины, ее место в учебном процессе 1.1.Цели и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины «Математические методы и модели в экономике» - обучение методам использования математического моделирования экономических процессов в отраслях народного хозяйства, способам статистической обработки информации. Задачи дисциплины: развитие навыков - составления экономико-математических моделей для решения экономических задач; - привить практические навыки анализа результатов оптимальных решений; - обучить решению экономико-математических задач методами линейного программирования с учетом их особенностей; - обучить практическому применению экономико-математических методов в экономике. Требования к знаниям, умениям и навыкам, которыми должны овладеть студенты: Студент должен знать: - экономическую сущность явлений и процессов в туризме и гостиничном хозяйстве; - количественные и качественные характеристики экономических явлений и процессов в туризме и гостиничном хозяйстве; - характер взаимосвязей экономических процессов и явлений; - типы факториальной зависимости при развитии общей экономической системы; - основы математической статистики; - методы математического программирования. Студент должен уметь: - использовать экономико-математические методы и модели, связанные с решением оптимизационных задач; - использовать экономико-статистические модели и функции при сборе и обработке информации ; - использовать экономико-математические методы как инструмент количественного измерения связей между экономическими явлениями. Студент должен приобрести навыки: - решения оптимизационных задач с использованием методов линейного программирования; - применения пакета прикладных программ при экономико-статистическом моделировании, сборе и обработке данных; 3 - составления оптимизационных экономико-математических моделей; - анализа результатов решений задач при планировании и проектировании в туризме и гостиничном хозяйстве. 1.2. Краткая характеристика дисциплины, ее место в учебном процессе Дисциплина изучается в V семестре. Экономико-математическое моделирование – междисциплинарная дисциплина; это раздел математики, занимающийся разработкой и применением методов и моделей сложных социальноэкономических объектов и процессов с целью выработки наилучших управленческих решений этими процессами. Особая роль принадлежит умению квалифицированно анализировать имеющиеся тенденции в туризме и гостиничном хозяйстве, делать выводы, применять их для планирования и проектирования, находить оптимальные решения. При этом приходится сталкиваться с такими задачами, эффективное и оперативное решение которых практически невозможно без использования экономико-математических методов и применения пакета прикладных программ. Экономико-математические методы и моделирование в туризме и гостиничном хозяйстве позволяют решать большой круг задач, связанных с оптимизацией территориальной организации туристической деятельности с учетом рационального использования материальных, трудовых и денежных ресурсов и др. Дисциплина «Математические методы и модели в экономике» предназначена для изучения студентами основ экономико-математического моделирования в туризме и гостиничном хозяйстве с целью приобретения навыков решения практических задач. 1.3.Связь с предшествующими дисциплинами Изучение дисциплины «Математические методы и модели в экономике» непосредственно связано с такими дисциплинами, входящими в учебный план и предшествующими ее изучению, как высшая математика, математическая статистика, макро- и микроэкономика. 1.4.Связь с последующими дисциплинами Дисциплина «Математические методы и модели в экономике» связана с изучением таких дисциплин, как стратегический менеджмент; управление предприятиями, логистика и т.д. 4 2. Распределение часов по семестрам 5 150 12 6 6 лабораторные ЗФО практические практиче ские 36 лекции лекции 36 аттестации всего 72 СРС Общий объем 150 курсовая работа семестр 5 неделю лаборато рные Форма обучения ОФО Форма итоговой Количество часов в Учебные занятия - 5 сем. 78 экзамен 1 1 - 5 сем. 138 экзамен - - - Аудиторные 5 3. Содержание дисциплины 3.1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционных занятий Лекционный курс Порядк овый номер лекции 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Раздел, тема учебного курса, содержание лекции Тема 1. Основы экономико-математического моделирования. 1.1. Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей. Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели. Типы моделей: геометрические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели и производственные функции; балансовые модели; оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели. 1.2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования. Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов и моделей в туризме и гостиничном хозяйстве. Тема 2. Методы математического программирования в решении экономических задач. 2.1. Понятие распределительного метода и особенности решения транспортной задачи. Преимущества решения. Постановка распределительных задач. Исходная информация. Переменные задачи. Целевая функция. Распределительная таблица. 2.2. Базовая модель задачи. Методы составления опорного плана и его улучшения. Сбор исходной информации. Переменные задачи. Математическая модель задачи. Задачи на максимум и минимум целевой функции. Допустимое решение задачи. 2.3. Метод аппроксимации (метод Фогеля) и метод потенциалов. Основные понятия методов. Алгоритм. Потенциал строки, столбца. Характеристика свободной клетки. Построение прямоугольного контура. Получение оптимального решения целевой функции. Анализ результата. Дополнительные ограничения задачи. Корректура оптимального плана. Правила оптимальности задач на максимум и минимум целевой функции. Улучшение опорного решения. Несбалансированные задачи. Задачи с дополнительными условиями 2.4. Анализ оптимального решения на основе экономической интерпретации потенциалов. Открытая модель транспортной задачи. Введение дополнительных ограничений. Фиктивные поставки и фиктивное потребление. Вырожденность плана. Нулевые поставки. Анализ полученных решений. 2.5. Общие задачи линейного программирования. Количество часов ОФО ЗФО 4 1 Сам. Сам. Сам. 1 4 4 1 6 8. 9. 10. 11. 12. 13. Геометрическое представление задач. Характеристика решаемых задач. Требования к задачам. Алгоритм решения. Построение выпуклого многоугольника. Геометрическое решение. Двойственные задачи линейного программирования. Понятие двойственной задачи и схема ее построения. Решение двойственной задачи. Сопоставление оптимальных решений прямой и двойственной задач. Теорема двойственности Тема 3. Экономико-математический анализ на основе оптимальных решений. 3.1. Постановка экономико-математической задачи, определение переменных и ограничений. Этапы информационного обеспечения. Выбор переменных. Техникоэкономические коэффициенты. Целевая функция. Запись ограничений. Моделирование системных ограничений, формирование ресурсных ограничений. Основные, дополнительные, вспомогательные ограничения. Приемы формирования ограничений. Ресурсные ограничения: трудовые, технические, материальные, денежные. 3.2. Приведение задачи к каноническому виду. Первое опорное решение. Определение канонической формы. Необходимость приведения задачи к канонической форме. Введение дополнительных переменных в ограничения. Искусственные переменные в задачах на максимум и минимум целевой функции. Экономический смысл первого опорного решения. 3.3. Понятие симплексного метода решения экономических задач, моделирование экономических процессов. Основные переменные. Система ограничений. Область допустимых значений переменных. Целевая функция. Математическая модель задач. Решение симплексных таблиц. Правила построения первой таблицы. Разрешающий столбец, разрешающая строка, разрешающий элемент. Расчет всех элементов новой симплекс-таблицы. Определение целевой функции. 3.4. Алгоритм улучшения опорного плана. Признаки оптимальности плана. Необходимость улучшения опорного плана. Признаки оптимальности плана в задачах на максимум и минимум целевой функции. Особенности решения задач с искусственным базисом симплексным методом. 3.5. Анализ решений общих задач линейного программирования. Анализ основных и дополнительных переменных, попавших в базис. Анализ основных и дополнительных переменных, не вошедших в базис. Коэффициенты замещения. Устойчивость оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции. Тема 4. Методы подготовки и статистической обработки информации для моделирования и регрессионного анализа. 4.1. Основные элементы и стадии экономико-статистического моделирования. Понятие экономико-статистической модели. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение формы связи переменных, параметров модели, оценка степени 4 4 1 4 2 4 4 Сам. Сам. 7 соответствия модели изучаемому процессу. 14. 4.2. Виды производственных функций и способы их представления. Значение производственных функций в гостиничном хозяйстве и туризме. Способы представления функций. Виды производственных функций. 15. 4.3. Расчет параметров производственных функций. Основные понятия и определения. Принцип наименьших квадратов. Системы нормальных уравнений для основных видов производственных функций. Применение линейных моделей регрессии. 16. 4.4. Оценка производственных функций с использованием методов корреляционно-регрессионного анализа. Понятие коэффициентов корреляции и корреляционного отношения и их вычисление. Оценка погрешностей их определения. Коэффициент детерминации. Корреляционный анализ результатов решения. 17. Тема 5. Теория матричных игр в планировании производства. Основные понятия. Типы решаемых задач. Теория Неймана. Алгоритм решения. Анализ результатов. 18. Тема 6. Динамическое программирование. Основы динамического программирования. Типы решаемых задач. Метод функциональных уравнений Беллмана. Алгоритм решения. Анализ результатов. ИТОГО Сам. Сам. Сам. Сам. 4 36 6 8 3.2. Практические занятия, их наименование, содержание и объем в часах Поряд ковый номер 1. . Наименование темы практического занятия Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. 2. . Математическая модель задачи. Задачи на максимум и минимум целевой функции. Допустимое решение задачи. Составление экономико-математической модели a. 3 транспортной задачи. Заполнение распределительной . таблицы. Решение транспортной задачи закрытого типа на 3. максимум целевой функции. Решение транспортной задачи закрытого типа на 4. минимум целевой функции. Составление экономико-математической модели. 5. Графическая интерпретация. Решение задачи оптимизации выпуска продукции 6. симплексным методом. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение 7. формы связи переменных, параметров модели, оценка степени соответствия модели изучаемому процессу. Метод функциональных уравнений Беллмана. Алгоритм 8. решения. ИТОГО Количество часов ОФО ЗФО 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 Тема 1. 2.1-2.4 2.5. 3.1-3.5 4 4. 4 36 6. 6 3.3.Лабораторные занятия, их наименование и объем в часах Учебным планом лабораторные занятия не предусмотрены. 9 3.4. Содержание и объем самостоятельной работы студентов Разделы, темы, перечень заданий примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы. Сроки выполнения и объем в часах Темы рабочей программы самостоятельного изучения Тема 1. Основы экономико-математического моделирования. 1.2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования. Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов и моделей в туризме и гостиничном хозяйстве. Тема 2. Методы математического программирования в решении экономических задач. 2.1. Понятие распределительного метода и особенности решения транспортной задачи. Преимущества решения. Постановка распределительных задач. Исходная информация. Переменные задачи. Целевая функция. Распределительная таблица. 2.2. Базовая модель задачи. Методы составления опорного плана и его улучшения. Сбор исходной информации. Переменные задачи. Математическая модель задачи. Задачи на максимум и минимум целевой функции. Допустимое решение задачи. 2.4. Анализ оптимального решения на основе экономической интерпретации потенциалов. Открытая модель транспортной задачи. Введение дополнительных ограничений. Фиктивные поставки и фиктивное потребление. Вырожденность плана. Нулевые поставки. Анализ полученных решений. 2.5. Общие задачи линейного программирования. Геометрическое представление задач. Характеристика Перечень домашних заданий и вопросов для самостоятельног о изучения Объе Сроки м выполне часов ния ОФО Анализ лекционного материала Конспектировани е дополнительной литературы сентябрь 6 10 Конспектировани е дополнительной литературы Подбор и анализ примеров сентябрь 6 10 Составление плана – конспекта Подбор и анализ примеров сентябрь 6 10 Составление плана – конспекта Подбор и анализ примеров октябрь 6 10 Составление плана – конспекта Подбор и анализ октябрь 6 15 Объе м часов ЗФО 10 решаемых задач. Требования к задачам. Алгоритм решения. Построение выпуклого многоугольника. Геометрическое решение. Двойственные задачи линейного программирования. Понятие двойственной задачи и схема ее построения. Решение двойственной задачи. Сопоставление оптимальных решений прямой и двойственной задач. Теорема двойственности Тема 3. Экономико-математический анализ на основе оптимальных решений 3.5. Анализ решений общих задач линейного программирования. Анализ основных и дополнительных переменных, попавших в базис. Анализ основных и дополнительных переменных, не вошедших в базис. Коэффициенты замещения. Устойчивость оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции. Тема 4. Методы подготовки и статистической обработки информации для моделирования и регрессионного анализа. 4.1. Основные элементы и стадии экономикостатистического моделирования. Понятие экономико-статистической модели. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение формы связи переменных, параметров модели, оценка степени соответствия модели изучаемому процессу. примеров Составление плана – конспекта Подбор и анализ примеров Составление плана – конспекта Подбор и анализ примеров октябрь ноябрь 6 10 6 15 4.2. Виды производственных функций и способы их представления. Значение производственных функций в гостиничном хозяйстве и туризме. Способы представления функций. Виды производственных функций. Составление плана – конспекта Подбор и анализ примеров ноябрь 6 11 4.3. Расчет параметров производственных функций. Основные понятия и определения. Принцип наименьших квадратов. Системы нормальных уравнений для основных видов производственных функций. Применение линейных моделей регрессии. Составление плана – конспекта Конспектировани е дополнительной литературы ноябрь 6 11 4.4. Оценка производственных функций с использованием методов корреляционнорегрессионного анализа. Понятие коэффициентов корреляции и корреляционного отношения и их вычисление. Оценка погрешностей их определения. Коэффициент детерминации. Составление плана – конспекта Конспектировани е дополнительной литературы декабрь 8 15 11 Корреляционный анализ результатов решения. Тема 5. Теория матричных игр в планировании производства. Основные понятия. Типы решаемых задач. Теория Неймана. Алгоритм решения. Анализ результатов. Тема 6. Динамическое программирование. Основы динамического программирования. Типы решаемых задач. Метод функциональных уравнений Беллмана. Алгоритм решения. Анализ результатов. ИТОГО Составление плана – конспекта Конспектировани е дополнительной литературы декабрь 8 11 Составление плана – конспекта Конспектировани е дополнительной литературы декабрь 8 10 78 138 Организация и методика текущего и итогового контроля знаний Перечень контрольных работ 1. Контрольная работа «Составление экономикоматематической модели распределительной задачи» 2. Контрольная работа «Транспортная задача открытого, закрытого типов, с вырожденным и невырожденным планом, на максимум и минимум целевой функции» 3. Контрольная работа «Составление экономикоматематических моделей с графической интерпретацией» 4. Контрольная работа «Решение оптимизационных задач симплексным методом» 5. Контрольная работа «Производственная функция с линейной зависимостью» (аналит. и графическое решение) 6. Контрольная работа «Производственная функция с гиперболической зависимостью» (аналит. и граф. решение) 7. Контрольная работа «Матричные игры» 8. Контрольная работа «Метод функциональных уравнений Беллмана» Сроки проведения контроля сентябрь Темы рабочей программы сентябрь 1, 2 октябрь 1, 3 октябрь 1,3 ноябрь 4 ноябрь 4 декабрь декабрь 5 6 1, 2 3.5. Курсовой проект, его характеристика, примерная тематика По учебному плану предусмотрена курсовая работа. Характеристика, примерная тематика и методика выполнения курсовой работы представлены в методическом пособии по выполнению курсовой работы. 12 3.6. Примерный перечень вопросов к зачёту по дисциплине «Математические методы и модели в экономике» 1 Понятие модели и моделирования. Классификация математических моделей. Определение модели, моделирования, объекта, явления, процесса. Свойства модели. Типы моделей: геометрические, физические, математические. Классификация математических моделей и их характеристики: корреляционные модели и производственные функции; балансовые модели; оптимизационные модели. Детерминированные и стохастические модели. 2. Методы математического моделирования и программирования, стадии моделирования. Классические методы дифференциального исчисления. Методы математического программирования. Стадии программирования. Необходимость и возможность применения математических методов и моделей в туризме и гостиничном хозяйстве. 3. Понятие распределительного метода и особенности решения транспортной задачи. Преимущества решения. Постановка распределительных задач. Исходная информация. Переменные задачи. Целевая функция. Распределительная таблица. 4. Базовая модель задачи. Методы составления опорного плана и его улучшения. Сбор исходной информации. Переменные задачи. Математическая модель задачи. Задачи на максимум и минимум целевой функции. Допустимое решение задачи. 5. Метод аппроксимации (метод Фогеля) и метод потенциалов. Основные понятия методов. Алгоритм. Потенциал строки, столбца. Характеристика свободной клетки. Построение прямоугольного контура. Получение оптимального решения целевой функции. Анализ результата. Дополнительные ограничения задачи. Корректура оптимального плана. Правила оптимальности задач на максимум и минимум целевой функции. Улучшение опорного решения. Несбалансированные задачи. Задачи с дополнительными условиями 6. Анализ оптимального решения на основе экономической интерпретации потенциалов. Открытая модель транспортной задачи. Введение дополнительных ограничений. Фиктивные поставки и фиктивное потребление. Вырожденность плана. Нулевые поставки. Анализ полученных решений. 7. Общие задачи линейного программирования. Геометрическое представление задач. Характеристика решаемых задач. Требования к задачам. Алгоритм решения. Построение выпуклого многоугольника. Геометрическое решение. Двойственные задачи линейного программирования. Понятие двойственной задачи и схема ее построения. Решение двойственной задачи. Сопоставление оптимальных решений прямой и двойственной задач. Теорема двойственности. 8. Постановка экономико-математической задачи, определение переменных и ограничений. Этапы информационного обеспечения. Выбор переменных. Технико-экономические 13 коэффициенты. Целевая функция. Запись ограничений. Моделирование системных ограничений, формирование ресурсных ограничений. Основные, дополнительные, вспомогательные ограничения. Приемы формирования ограничений. Ресурсные ограничения: трудовые, технические, материальные, денежные. 9. Приведение задачи к каноническому виду. Первое опорное решение. Определение канонической формы. Необходимость приведения задачи к канонической форме. Введение дополнительных переменных в ограничения. Искусственные переменные в задачах на максимум и минимум целевой функции. Экономический смысл первого опорного решения. 10. Понятие симплексного метода решения экономических задач, моделирование экономических процессов. Основные переменные. Система ограничений. Область допустимых значений переменных. Целевая функция. Математическая модель задач. Решение симплексных таблиц. Правила построения первой таблицы. Разрешающий столбец, разрешающая строка, разрешающий элемент. Расчет всех элементов новой симплекс-таблицы. Определение целевой функции. 11. Алгоритм улучшения опорного плана. Признаки оптимальности плана. Необходимость улучшения опорного плана. Признаки оптимальности плана в задачах на максимум и минимум целевой функции. Особенности решения задач с искусственным базисом симплексным методом. 12. Анализ решений общих задач линейного программирования. Анализ основных и дополнительных переменных, попавших в базис. Анализ основных и дополнительных переменных, не вошедших в базис. Коэффициенты замещения. Устойчивость оптимального решения при изменении коэффициентов целевой функции. 13. Основные элементы и стадии экономико-статистического моделирования. Понятие экономико-статистической модели. Стадии процесса моделирования: экономический анализ, сбор и обработка статистических данных, определение формы связи переменных, параметров модели, оценка степени соответствия модели изучаемому процессу. 14. Виды производственных функций и способы их представления. Значение производственных функций в гостиничном хозяйстве и туризме. Способы представления функций. Виды производственных функций. 15. Расчет параметров производственных функций. Основные понятия и определения. Принцип наименьших квадратов. Системы нормальных уравнений для основных видов производственных функций. Применение линейных моделей регрессии. 16. Оценка производственных функций с использованием методов корреляционнорегрессионного анализа. Понятие коэффициентов корреляции и корреляционного отношения и их вычисление. Оценка погрешностей их определения. Коэффициент детерминации. Корреляционный анализ результатов решения. 17. Теория матричных игр в планировании производства. Основные понятия. Типы решаемых задач. Теория Неймана. Алгоритм решения. Анализ результатов. 18. Динамическое программирование. Основы динамического программирования. Типы решаемых задач. Метод функциональных уравнений Беллмана. Алгоритм решения. Анализ результатов. 14 4. Учебно-методические материалы по дисциплине «Математические методы и модели в экономике» 4.1. Основная и дополнительная литература: 1. Основная литература: 1. ЭБС «Айбукс» Красс, М. С. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учеб. пособие/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. — СПб.: Питер, 2010. — 496 с. - Режим доступа: http://ibooks.ru/ 2 1. Дополнительная литература: Беданоков, М.К. Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине "Математические методы и модели в экономике" для специальности 190603 "Сервис и техническая эксплуатация транспортных и технологических машин и оборудования"/ М.К. Беданоков, Г.В. Шамбалева, Л.Н. Мамадалиева. - Майкоп: Магарин О.Г., 2010. - 59 с. 2. Математические методы и модели в экономике и управлении (типовые расчеты): учеб. пособие/ сост. Беданоков М.К., Шамбалева Г.В.. – Майкоп: Качество, 2007. 3. Орехов Н.А. Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие/ Н.А. Орехов, А.Г. Левин, Е.А. Горбунов; под ред. Н.А. Орехова. – М.: ЮНИТИ, 2004. – 302 с. 15 4.2.Перечень методических указаний к проведению учебных занятий и самостоятельной работы студентов № 1. 2. 3. Наименование работы, её вид Выходные данные Задачи по математическому Майкоп: МГТИ, 2000 моделированию. Типовые расчеты Математические методы и модели в Майкоп: ООО экономике и управлении (типовые «Качество», 2007 расчеты) Пособие по линейному Майкоп: ОАО программированию «Полиграфиздат «Адыгея», 2007 Авторы Беданоков М.К., Шамбалева Г.В. Беданоков М.К., Шамбалева Г.В. Захарова Е.Н., Титаренко Е.А., Шевякова О.П. 4.3.Перечень обучающих, контролирующих компьютерных программ, диафильмов, кино- и телефильмов, мультимедиа и т.п. Обучающая компьютерная программа matrix для вычисления определителей, 1. решения систем линейных уравнений. Обучающая компьютерная программа Simplex для решения задач линейного 2. программирования симплексным методом. Использование электронных таблиц Microsoft Excel: 3. а) в методах оптимальных решений в информационных технологиях, а именно в методах линейной оптимизации сетевого планирования и управления; б) в игровых методах в информационных технологиях; в) в методах нелинейной и векторной оптимизации. 4. Компьютерный класс (ауд. 2-45). 16 Дополнения и изменения в рабочей программе за ________/________ учебный год В рабочую программу ________________________________________________________ (наименование дисциплины) для специальности (тей) ______________________________________________________ (номер специальности) вносятся следующие дополнения и изменения: Дополнения и изменения внес ___________________________________________________ (должность, Ф.И.О., подпись) Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ___________________ _____________________________________________________________________________ (наименование кафедры) 17 «____»___________________200_г. Заведующий кафедрой __________________ _____________ (подпись) (Ф.И.О.) 18
