rabotaVAx

Методическая разработка урока
по алгебре и началам анализа
«Решение тригонометрических уравнений»
для учащихся 10 класса
Автор разработки: Яицкая В. А.
Челябинск, 2015г.
Цели урока:
Образовательные:
- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при
решении задач вариантов ЕГЭ;
- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
Развивающие:
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
Воспитательные:
- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Технические средства, дидактический материал: проектор, интерактивная доска, рабочие карточки.
Структура урока:
1. Организационный момент.
2. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой заданий).
3. Решение заданий № 15 из КИМ ЕГЭ 2015.
4. Информация о домашнем задании.
5. Подведение итогов урока.
Ход урока
Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Решение тригонометрических уравнений».
Цель урока сегодня - вспомнить общие подходы к решению тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить
умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомиться с новыми способами решения некоторых
тригонометрических уравнений.
В начале урока учащимся предлагается выполнить самостоятельно 2 задания
(на выполнение отводится 5 минут, затем выполняется проверка):
1. Изобразите на числовой окружности:
точку −
точку
4𝜋
3
2𝜋
3
точку −
точку
𝜋
4
4𝜋
3
точку
7𝜋
6
точку −
3𝜋
4
2. Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют неравенству:
𝜋
3
+ 2𝜋𝑘 ≤ 𝑥 ≤
2𝜋𝑘 ≤ 𝑥 ≤
5𝜋
4
7𝜋
6
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
4
+ 2𝜋𝑘 ≤ 𝑥 ≤
−
5𝜋
4
2𝜋
3
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
𝜋
3
+ 2𝜋𝑘 ≤ 𝑥 ≤ − + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
Учитель: Давайте вспомним как решаются простейшие тригонометрические уравнения вида 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎, 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑎,
𝑡𝑔𝑥 = 𝑎, 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑎, а также вспомним два основных метода решения тригонометрических уравнений и алгоритм решения
однородных тригонометрических уравнений (презентация). Для того чтобы закрепить пройденный материал, выполните
в парах следующие задание (на работу отводится 5 минут, затем выполняется проверка):
Установите соответствие между простейшими тригонометрическими уравнениями и их решениями:
1) 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
2) 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
1
а) 𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2
√3
2
б) 𝑥 = ±
1
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
в) 𝑥 = (−1)𝑛+1 6 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
√2
2
г) 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
5) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
6) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −1
7) 𝑡𝑔𝑥 =
4
𝜋
3) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = − 2
4) 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −
3𝜋
𝜋
д) 𝑥 = ± 3 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝜋
е) 𝑥 = (−1)𝑛 3 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
√3
3
и) 𝑥 =
𝜋
6
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍
Учитель: Хорошо, мы с вами вспомнили все необходимое и теперь переходим к решению более сложных
тригонометрических уравнений (учащиеся работают вместе с учителем).
Задание 1
𝜋
а) Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − √2 sin ( − 𝑥) + 1 = 0
2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4𝜋; −
Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение:
5𝜋
2
].
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 − √2 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 0
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − √2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ (2𝑐𝑜𝑠𝑥 − √2) = 0.
Значит, или 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0, откуда 𝑥 =
𝜋
2
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍, или 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
√2
,
2
откуда 𝑥 =
𝜋
4
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [−4𝜋; −
−
15𝜋
4
;−
7𝜋
2
;−
Ответ: а) 𝑥 =
б) −
15𝜋
4
;−
7𝜋
2
5𝜋
2
𝜋
2
.
+ 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍; 𝑥 =
;−
𝜋
4
𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍; 𝑥 = − + 2𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍.
4
5𝜋
2
Задание 2
а) Решите уравнение
5𝑐𝑜𝑠𝑥 +4
4𝑡𝑔𝑥−3
=0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4𝜋; −
Решение:
5𝜋
2
].
𝜋
+ 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, или 𝑥 = − + 2𝜋𝑚, 𝑚 ∈ 𝑍.
4
5𝜋
2
]. Получим числа:
4
𝑐𝑜𝑠𝑥 = − ,
5𝑐𝑜𝑠𝑥 +4
5
а)
=0 ↔ {
3
4𝑡𝑔𝑥−3
𝑡𝑔𝑥 ≠ .
4
4
4
4
5
5
5
Из уравнения 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − получаем, что 𝑥 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍, или 𝑥 = 𝜋 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
С учетом условия 𝑡𝑔𝑥 ≠
3
4
4
получаем решение исходного уравнения: 𝑥 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
5
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [−4𝜋; −
4
Получим число −3𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 .
5
4
4
5
5
Ответ: а) 𝑥 = 𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. б) −3𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 .
Задание 3
5sin    x 
2

4
7
б) Найти все корни на промежутке  5 ; 
2 

2
а) Решить уравнение: 26sin x  2
Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение:
2
26sin x  2
5sin    x 
2

4
5𝜋
2
].
6𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2
6 ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0
6 − 6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0
−6𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 0
1
2𝜋
2
3
Значит или 𝑐𝑜𝑠𝑥 = − , 𝑥 = ±
или 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
4
3
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
, корней нет.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  5 ;

Получим число −
Ответ: а) 𝑥 = ±
14𝜋
2𝜋
3
3
+ 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍 б) −
14𝜋
3
.
7 
.
2 
Задания для домашней работы учащихся:
𝜋
1) а) Решите уравнение 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + sin ( + 𝑥) + 1 = 0
2
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−
5𝜋
2
; −𝜋]
2) а) Решите уравнение 16𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 24𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 9 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2𝜋; 3𝜋]
Учитель: Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии
способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из
вас справится. Урок окончен. До свидания!
Список литературы:
1) Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на
ЕГЭ. Учебное пособие./ А. В. Семенов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса – Москва:
Интеллект – Центр, 2015.
2) Математика. Профильный уровень ЕГЭ -2015. Тренажёр по тригонометрии: учебно – методическое пособие / Под
ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на Дону: Легион, 2014.