1, 2 «Задачи планиметрии

Задачи, рекомендованные для подготовки к ЕГЭ по
математике 2014 г.
1. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.
a) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 20.
2. Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке P.
a) Докажите, что CP = AB.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 6, BC = 7.
3. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, К и M – основания перпендикуляров,
опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
a) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника BKM, если известно, что AC = 10, BC = 6, AB = 8.
4. На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD отмечены точки K, L, M и N
соответственно, причем
=
=
=
.
a) Докажите, что четырехугольник KLMN – параллелограмм, а его центр совпадает с центром
параллелограмма ABCD.
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN и ABCD, если известно, что
= 2.
5. Точки B1 и C1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника АВС, причем АB1: B1С =
АC1: C1В. Прямые BB1 и CC1 пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.
б) Найдите отношение площади четырехугольника АB1ОC1 к площади треугольника АВС, если
известно, что АB1 : B1С = АC1 : C1В = 1 : 3.
6. На катетах АС и BC прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты
ACDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK.
а) Докажите, что CM ⊥ DK.
б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 130 и 312.
7. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М –
середина стороны АВ.
а) Докажите, что CM =
DK.
б) Найдите расстояния от точки М до центров квадратов, если АС = 6, BC = 10 и ∠ АСВ = 30°.
8. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит
через точку пересечения диагоналей параллелограмма.
a) Докажите, что AВCD - ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону АВ в точке М, причем АМ : МВ = 2:1. Найдите диагональ АС,
если известно, что AD = .
1
9. Дан выпуклый четырехугольник ABCD со сторонами АВ = 9, BC = CD = 11, AD = 15 и
диагональю АС =16.
а) Докажите, что около него можно описать окружность.
б) Найдите диагональ BD.
10. Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Окружность большего радиуса с центром
О1 также вписана в этот угол и проходит через точку О.
а) Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
б) Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности
равен 2
.
11. Дан треугольник АВС со сторонами АВ = 4, BC = 5, АС = 6.
а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной
окружности, параллельна стороне ВС.
б) Найдите длину биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А.
12. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, СН – высота
трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН.
б) Найдите диагональ АС, если известно, что средняя линия трапеции равна , а ∠ AОD = 135°, где
O – центр окружности, вписанной в трапецию, а AD – большее основание.
13. Окружность с центром O касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС,
продолжения боковой стороны АС и продолжения основания BC в точке N. Точка M – середина
основания ВС.
а) Докажите, что AN = ОМ.
б) Найдите ОМ, если стороны треугольника АВС равны 13, 13 и 24.
14. Окружности с центрами О1 и О2 разных радиусов пересекаются в точках A и В. Хорда АС
большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам.
а) Докажите, что проекция отрезка О1О2 на прямую АС в четыре раза меньше АС.
б) Найдите О1О2, если известно, что радиусы окружностей равны 5 и 17, а АС = 16.
15. Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности
касаются в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D,
прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что AD ∥ ВC.
б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 9.
16. Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их
линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру
наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.
2