класс производственных функций с переменной

Горбунов В.К., Львов А.Г.
Ульяновский государственный университет, г. Ульяновск
Построение трехфакторных производственных функций с переменной
эластичностью замещения1
1. Производственная функция (ПФ), адекватная производственному объекту,
позволяет выполнить глубокий количественный экономический анализ: расчитывать
предельные производительности факторов и факторные эластичности, строить функции
факторного спроса и предложения продукта, функции прибыли и издержек, исследовать
свойства замещения факторов [7]. Последнее свойство является наиболее
содержательным и сложным для изучения. За десятилетия развития метода ПФ
определился набор стандартных ПФ – двухфакторных и многофакторных, обладающих
известными свойствами: Кобба-Дугласа, постоянной эластичности замещения (CES),
Солоу и других.
Количественные меры замещения были впервые введены Дж. Хиксом [9, 10] для
двухфакторных функций как предельная норма замещения (ПНЗ) и эластичность
замещения, позже обобщенные на случай любого количества факторов [7]. Эти
характеристики наиболее полно исследуются в случае положительной однородности ПФ,
когда они являются функциями от пропорций соответствующих пар факторов.
Эластичность замещения факторов реальных объектов не является постоянной, поэтому
важно расширить класс используемых ПФ. Аналитическое описание класса однородных
функций с переменной эластичностью замещения для двух факторов найдено впервые для
частного случая линейной зависимости эластичности замещения от пропорции факторов
Н. Реванкаром [11], и в общем двухфакторном случае – Р. Сато и Р. Гофманом [8, 12]. Отметим, что в представлении Сато-Гофмана требуется задавать зависимость эластичности
замещения, что затрудняет построение ПФ для реальных объектов. Для функций с числом
факторов более двух аналитическое представление ПФ с переменной эластичностью замещения оставалось неизвестным.
В.К. Горбуновым в [1, 2] построено аналитическое представление класса положительно однородных вогнутых функций произвольной размерности через вогнутые функции, заданные на стандартном симплексе. Эластичность замещения для таких функций,
используемых в качестве производственных, является в общем случае переменной [3].
Она является не определяющей, а вычисляемой характеристикой для каждой функции. В
данной работе это представление используется для построения трехфакторных ПФ с переменной эластичностью замещения по статистическим данным методом наименьших
квадратов (МНК). К преимуществам МНК (относительно непараметрического метода Африата-Вэриана [13]) относится обеспечение дифференцируемости искомой функции, необходимой для вычисления предельных характеристик, и простота статистических данных (не требуются цены).
2. Рассмотрим дифференцируемую n – факторную ПФ f ( x1 , x2 ,..., xn ) . В качестве
ПНЗ фактора xi фактором x j мы принимаем величину2
Sij ( x) =
f ( x) f ( x)
.
:
xi
x j
(1)
1
Исследование поддерживается АВЦП Минобрнауки "Развитие научного потенциала высшей школы (20092010)", проект 2.1.3/6763.
2
В литературе по микроэкономике встречаются и обратные определения.
1
Далее мы рассматриваем однородные ПФ степени   0 , когда ПНЗ зависит от пропорций использования факторов  ji = x j / xi , i  j [3, 5]:
x
f ( x) = xi f  1 ,
 xi
,
xi 1
x
, 1, i 1 ,
xi
xi
,
xn 
,
xi 
 i = (1i ,
, i 1,i , i 1,i ,
, ni ) ,
 ( i )   i ,  ( i )
  ij ( i ).
i
 ( )/ ji
Рассмотрим для произвольного i систему из ( n  1) уравнения
 ( i ) = f (1i , ,  i 1,i , 1,  i 1,i ,,  ni ), Sij ( i ) =
 ij ( i )  Sij , j  1, n  j  i ,
(2)
относительно ( n  1) переменных  i . Эластичность замещения фактора xi фактором x j
определим формулой3
S  ji  ln  ji
 ij ( i ) = ij
=
.
(3)
 ji S ij  ln S ij
Для двухфакторного случая  12   21 . В многофакторном случае свойство симметричности не выполняется [7]. Величина (3) является эластичностью относительно S ij скалярной функции  ji ( S i1 ,..., S i 1,i , S i 1,i ,..., S in ) , определяемой вместе со всеми компонентами
вектора  i системой (2) как обратная (векторная) функция. Для вычислений (3) требуются
только частные производные этой функции. Они определяются системой линейных уравнений в вариациях, получаемой дифференцированием по S ij системы (2), где  ji 
 ji ( Si1 ,..., S i 1,i , Si 1,i ,..., Sin ) :
 ij ( i )  ri 1, k  j ,



 ri
Sik 0, k  j ,
r i
j  1, n  j  i.
(4)
Формулы (2), (4) позволяют вычислять эластичность (3) для любого числа факторов. Легко убедиться, что для n  2 решением (4) будет
 ji
1

,
S ij  ij ( ji ) /  ji
а в случае n  3
 ji
i
i
 it ( i )   ij ( )  it ( i )  ij ( )  it ( i ) 

:

,
Sij
ti
ti
ti
 ji 
  ji
t  i , j.
(5)
Известен общий вид однородных многофакторных ПФ с постоянной (для всех пар
факторов) эластичностью замещения  (CES):


 n
 
f  ( x) = b  i xi   , b  0, i > 0,  i i  1,  1 <   0.
 i =1

Здесь все эластичности (3) равны  = 1 /(1   ). Функция Кобба – Дугласа
3
(6)
Это соответствует формуле (1.52) из [6].
2
n

f 0 ( x) = axi i ,  i  0 ,
(7)
i =1
является предельным случаем функции (6) при   0 . Для этой функции степень
однородности  =  i  i и  = 1 . Обобщением (6) является неоднородная (в общем
случае) функция Солоу

 n

f ( x)  b   i xii  .
 i 1

(8)
Представление Горбунова [1, 2] положительно однородных степени  > 0
неотрицательных на ортанте Rn вогнутых функций имеет вид
f ( x) = x  x / x ,

где
(9)
x = i 1 xi ,  ( y ) – некоторая вогнутая и неотрицательная на симплексе Sn =
y  0 :
n
y = 1 базовая функция. Эластичность замещения для таких функций переменная
[3]. Ниже данное представление используется для базовых функций Солоу (8) и вогнутой
квадратичной функции
(10)
 ( x) =   c, x  Qx, x
с отрицательно определённой матрицей Q = {qij }.
3. Приводимые ниже численные результаты получены с помощью программного
пакета "Mathematica". Критериями качества построенных ПФ были приняты: значения
суммы квадратов остатков нелинейной регрессии  (w) , где w – вектор оцениваемых
параметров, показатель некореллированности остатков Дарбина-Уотсона DW [6] (в
идеале 2) и коэфициент детерминации R 2 .
В Таблице 1 представлены статистические данные, выраженные в индексах к базисному периоду ( t0  1960 г), германского рынка услуг, включенных в German National
Accounts (VGR).
Таблица 1. Выпуск qt , капитал x1 , труд x 2 , энергия x3 .
Год
1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
qt
1.000
1.058
1.108
1.149
1.250
1.320
1.366
1.369
1.414
1.509
1.574
1.655
1.758
x1
1.000
1.082
1.171
1.265
1.364
1.478
1.599
1.720
1.824
1.934
2.057
2.195
2.342
x2
1.000
1.001
0.999
0.985
1.004
0.992
0.988
0.953
0.940
0.926
0.921
0.932
0.925
x3
1.000
1.061
1.279
1.505
1.475
1.530
1.566
1.555
1.682
1.930
1.973
2.063
2.250
Год
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
qt
1.756
1.840
1.930
2.015
2.104
2.144
2.138
2.125
2.180
2.250
2.282
2.376
2.465
x1
2.795
2.908
3.041
3.195
3.373
3.575
3.778
3.963
4.127
4.308
4.486
4.659
4.837
x2
0.843
0.857
0.843
0.848
0.853
0.865
0.857
0.856
0.843
0.846
0.834
0.838
0.840
x3
2.118
2.279
2.244
2.400
2.517
2.270
2.140
1.994
2.027
2.133
2.248
2.379
2.318
3
1973
1974
1.811
1.781
2.505
2.675
0.912
0.882
2.344
2.153
1988
1989
2.595
2.748
5.026
5.256
0.861
0.878
2.273
2.170
Источник: Lindenberger, D. http://www.ewi.uni-koeln.de/ewi/content/e266/e283/e281/Ewiwp0302_ger.pdf , 2003.
Задача нелинейного МНК с ограничениями на вектор параметров w для указанных
параметрических классов требует хорошего начального приближения w 0 , поэтому она
решалась последовательно с передачей полученных параметров в качестве начальных для
более сложной функции. На первом этапе строились оценки функций Кобба – Дугласа (7),
затем CES (6), и затем Солоу (8). В качестве начального приближения для нелинейной
оценки параметров Кобба – Дугласа разумно взять вектор линейной оценки этих
параметров, получаемой с помощью логарифмирования функции (7). Решение задачи
нелинейного оценивания без логарифмирования улучшает оценку этих параметров. Так
как функция CES (6) является обобщением функции Кобба – Дугласа, то разумным
начальным приблежением здесь будет нелинейная оценка параметров функции (7).
Аналогичные рассуждения справедливы и для функции Солоу (8). Здесь в качестве
начального приблежения следует взять оценки параметров функции CES. Получены
следующие результаты:
1) Функция Кобба-Дугласа (7). Начальное приближение (линейная оценка) w0 :
a 0 =0.973818, 10 =0.587435, 20 =0.835221, 30 =0.178873 ,  (w0 )  0.032, DW=0.684
R 2  0.995124. Оценки нелинейного МНК: â = 0.952518, ˆ1 = 0.599456, ˆ 2 = 1.06035,
ˆ 3 = 0.230437, ̂  1.86407,  (w)  0.028, DW = 0.779, R 2  0.995.
2) Функция CES (6): b̂ = 0.961207 , ˆ = 0.286873 , ˆ = 0.575669 , ˆ = 0.121529 ,
1
2
3
̂ = -0.133834, ̂  1.86407,  (w)  0.0277, DW = 0.853, R  0.995. Для этой функции
  1.154 .
3) Функция Солоу (8): bˆ  0.90889, ˆ1 = 0.276431 , ˆ 2 = 0.607415 , ˆ3 = 0.121529,
ˆ1 = 0.17001, ˆ 2 = 0.159934, ˆ 3 = 0.193101, ˆ = 11.0737,  (w)  0.0276, DW = 0.875, R 2 
2
0.995.
Второй этап вычислительного эксперемента заключался в решении задачи МНК
для нового класса (9), где в качестве базовых функций брались функция Солоу (8) и
квадратичная функция (10). Получены следующие результаты:
4) Функция VesS (9) с базовой функцией (8): bˆ  0.90889, ˆ = 0.276431 ,
1
ˆ 2 = 0.607415 ,
ˆ3 = 0.121529,
ˆ1 = 0.170018,
ˆ 2 = 0.159937,
ˆ 3 = 0.193102,
ˆ = 11.0737, ˆ  1.8534,  (w)  0.0286, DW = 0.825, R 2  0.995.
5)
Функция
VesQ
(9)
с
базовой
функцией
(10):
̂ = 2.40864,
ĉ = - 2.21515, - 2.15161, - 2.40934, ̂  1.98697,
0.0224333 -0.0693464 
 -0.21811


Qˆ =  0.0224333 -0.0231541 -0.0032806  ,
 -0.0693464 -0.0032806 -0.0272495 


2
 (w)  0.0264, DW = 0.965, R  0.996.
На третьем этапе рассчитаны эластичности замещения (3) в окрестностях
некоторых точек x t  ( x1t , x 2t , x3t ) , соответствующих определенному уровню выпуска qt , с
использованием формул (2), (5). Результаты представлены в Таблицах 2, 3.
4
Таблица 2. Значения эластичностей замещения  ij ( i ) для функции VesS.
 ij ( i ) \ ( x1t , x2t , x3t )
 12 ( 21 ,  31 )
 13 ( 21 ,  31 )
 21 (12 ,  32 )
 23 (12 ,  32 )
 31 (13 ,  23 )
 32 (13 ,  23 )
(1.599, 0.988,
1.566)
(2.505, 0.912,
2.344)
(4.127, 0.843,
2.027)
1.1904
1.1865
1.1835
1.2261
1.2199
1.2293
1.2017
1.1986
1.1960
1.2148
1.2078
1.2168
1.2253
1.2224
1.2267
1.19123
1.1840
1.1861
Таблица 3. Значения эластичностей замещения  ij ( i ) для функции VesQ.
 ij ( i ) \ ( x1t , x2t , x3t )
 12 ( 21 ,  31 )
 13 ( 21 ,  31 )
 21 (12 ,  32 )
 23 (12 ,  32 )
 31 (13 ,  23 )
 32 (13 ,  23 )
(1.599, 0.988,
1.566)
(2.505, 0.912,
2.344)
(4.127, 0.843,
2.027)
1.4139
1.2428
0.9959
1.8771
1.1704
1.6479
1.5864
1.2113
0.7535
1.7046
1.2019
1.8903
1.9227
1.1539
0.7386
1.3683
1.2594
1.9052
Таким образом, новый класс ПФ (9) позволяет выявлять непостоянство эластичности замещения. Отметим, что эластичность замещения чувствительна относительно выбора класса базовых функции. Поэтому от исследователя требуется глубокое понимание
технологических процессов замещения между факторами для каждого исследуемого производственного объекта.
Список литературы
1. Горбунов В.К. О представлении линейно однородных функций полезности // Ученые
записки УлГУ. Сер. ''Фунд. пробл. матем. и механики''. Вып. 1 (6), Ульяновск: УлГУ,
1999.
2. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса: Теория и прикладной
потенциал. – М.: Экономика, 2004.
3. Горбунов В.К. Ледовских А.Г. Производственные функции многих переменных с переменной эластичностью замещения // Соврем. технологии. Системный анализ. Моделирование: Спец. выпуск. – Иркутск: ИрГУПС, 2008.
4. Горбунов В.К. Львов А.Г. Построение двухфакторных производственных функций с
постоянной и переменной эластичностью замещения // Информац. - матем. технологии в экономике, технике и образовании. Вып. 5. – Екатеринбург: УГТУ – УПИ, 2009.
5. Горбунов В.К. Львов А.Г. Построение трёхфакторной производственной функции с
переменными эластичностями замещения // Тр. Средневол. матем. общества. 2009.
Т. 11. № 1.
6. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып.2. – М.: Статистика, 1977.
5
7. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. – М.: Финансы и статистика. 1986.
8. Клейнер Г.Б., Сирота Б.Н. О производственных функциях с постоянными и переменными эластичностями замены факторов // ЭММ. 1975. Т. XI. Вып.3.
9. Hicks J. The Theory of Wages. – London: Macmillan, 1932.
10. Hicks J. Value and Capital. – Oxford: Clarendon Press, 1939.
11. Revankar N.S. A Class of Variable Elasticity of Substitution Production Functions // Econometrica. 1971. V. 39. No1.
12. Sato R., Hoffman R.F. Production Functions with Variable Elasticity of Factor Substitution:
Some Analysis and Testing // The Review of Economics and Statistics.1968. V. 50. No. 4.
13. Varian H. The nonparametric approach to production analysis // Econometrica, 1984. V.52.
No 3.
6