Понятия

ТЕМА: Логико-математический анализ определений понятий
и объектов. Основные этапы их формирования.
Основные вопросы.
1. Понятие: содержание, объем понятий и связь между ними.
2. Определение понятий. Логико-математический анализ определений понятий и их
объектов.
3. Этапы формирования понятий.
Умения.
1. На основе систематизации теоретических знаний о видах и структуре определений
понятий и объектов и анализа школьных учебников математики раскрывать логикоматематическую структуру типичных для школьного курса математики понятий и
объектов.
2. Формулировать основные учебные задачи, которые необходимо решать при формировании математических понятий и объектов и адекватные или учебные действия.
3. Раскрывать на конкретных примерах основные этапы изучения математических понятий в школе.
4. Раскрывать математическую трактовку некоторых фундаментальных понятий курса
математики, подбирать из литературы или школьных учебников другие трактовки одних и тех же понятий.
5. Подбирать возможные средства, с помощью которых раскрывалась бы структура
определения.
Литература.
1. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для физико-математического факультета пединститутов.(Ю.М. Колягин., В.А.
Оганесян и др.) - М., Просвещение. 1980.
2. Болтянский В.Г. Использование логической символики при работе с определениями.(Математика в школе.1973 N 5 стр. 45-50)
3. Валейкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. . Определения в школьном курсе
математики и методика работы над ними.(Математика в шк. 1984. N 4/ c.43-47)
4. Современные проблемы методики преподавания математики: сб. статей. Учебное пособие для математики и физ-мат. спец. пединститутов. (сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев), М., Просвещение. 1985).
5. Груденов Л.И. Изучение определений, аксиом, теории. Пособие для учителей. - М.,
Просвещение 1981.
6. Груденов Л.И. Совершенствование методики работы учителя математики. Книга для
учителя. М., Просвещение. 1980.
7. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике. М., Просвещение,
1990.
Зачетные задания:
Срок сдачи зачета:
Практические задания
Умения
1. Актуализируйте знания о понятиях и их определениях
ответив на следующие вопросы:
 Что такое понятие, объект? В чем их сходство и
различие.
 Существенные и несущественные свойства понятий.
 Содержание и объем понятий связь между ними.
 Логическое действие “определение понятия”.
 Виды определений понятий.
 Основные требования к определениям понятий.
2. Приведите примеры 5-6 понятий. Выделите их содержание и объем.
3. Расширьте содержание понятия “параллелограмм”. Что
произойдет с объемом этого понятия? Каким образом изменится объем и содержание понятия при обобщении понятия “четырехугольник (например, до понятия “многоугольник”)?
4. Несмотря на большое многообразие понятий с точки зрения их содержания, число возможных отношений между
объемами понятий невелико. Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия могут быть равнозначимыми, пересекающимися и понятиями включения. Приведите примеры.
5. Сформулируйте в виде перечня действий (памятки, алгоритмического предписания) приемы учебной деятельности по усвоению математических понятий такие как:
а) наблюдение, анализ, сравнение, заключение по аналогии,
абстрагирование, обобщение, индуктивное умозаключение,
конкретизация;
б) определение понятий (через ближайший род и видовое
отличие), приведение контрпримеров,
выведение следствие из определения, подведение под понятие, доказательство равносильности различных определений, систематизация, классификация, специализация.
Выделение объема и содержания понятий, установление связи между ними.
Выделение объема и содержания понятий, установление связи между ними.
6. Проведите классификацию понятий
Классификация объема поня треугольник (по двум признакам);
тий.
 угол
1 7 11 3 6 3 2 21 8 5
 данных дробей: ; ; ; ; ; ; ; ; ; по двум
5 8 5 8 5 5 5 8 8 5
признакам: правильная и неправильная дроби и дробь со
знаменателем 5. Проиллюстрируйте классификацию круговыми схемами.
7. Проверьте правильность следующих классификаций:
 треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные, равносторонние и равнобедренные;
 ромбы могут быть равноугольными (квадратами) и
неравноугольными;
 прямоугольники могут быть равносторонними
(квадратами) и неравносторонними;
 треугольники по сравнительной длине их сторон
делятся на равносторонние, равнобедренные и разносторонние;
 параллелограммы делятся на прямоугольники, ромбы и квадраты;
 геометрические фигуры делятся на многоугольники
и окружности.
Проиллюстрируйте круговыми схемами.
8. • Перечислите известные вам свойства параллелограмма
какие свойства принадлежат только параллелограмму.
 Перечислите не менее 12-ти свойств квадрата.
 Укажите свойства, которые принадлежат всем
(только некоторые) прямоугольникам.
 Найдите общие свойства трапеции и ромба, треугольника и параллелограмма, прямоугольника и круга.
 Найдите свойства, которые являются общими для
всех выпуклых многоугольников.
 Перечислите основные свойства прямоугольника и
ромба. Сравните полученные список свойств с основными свойствами квадрата.
 Укажите свойства общие для прямоугольника и
ромба. Сравните найденные свойства с основными свойствами:
а) квадрата
б) параллелограмма.
 Перечислите существенные признаки понятий:
ромб, прямоугольный треугольник, пирамида, параллелепипед.
 Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а такие несущественными:
а) две стороны трапеции параллельны;
б) оба угла при большем основании острые;
в) сумма углов трапеции прилежащих к одной боковой стороне равна 180°;
г) основание трапеции горизонтальны;
д) оба угла при меньшем основании тупые.
 По какому основанию имеет смысл сравнивать следующие пары математических понятий:
а) вертикальные и смежные углы;
б) круг и квадрат;
в) линейное и квадратное уравнение;
г) линейное уравнение и линейное неравенство;
д) линейное уравнение и тригонометрическое уравнение;
е) линейное уравнение и прямоугольник;
ж) прямоугольный треугольник и функция у = х2 ;
3
а 1
з) и
;
4
а 2
и) а2 + b2 и х3 + у3 ;
к) равенство и уравнение.
 Найдите общее свойство в последовательности чисел:
а) 1, 4, 9, 16 ... ;
б) 82, 97, 114, 133 ... .
9. В приведенных ниже определениях выделите название
определенного объекта (термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между признаками:
а) угол, смежный с каким- либо углом многоугольника
называется внешним углом этого многоугольника;
б) прямым углом называется угол равный 90°;
в) острым углом называется угол, меньший 90°;
г) треугольник называется прямоугольным, если один из его
Выделение общих и существенных свойств.
Усвоение родовых и видовых
признаков и связей между ними.
углов прямой;
д) пятиугольник - это многоугольник с пятью сторонами;
е) две различные прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся называются параллельными;
ж) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией;
з) два одноименных многоугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны углам другого, а
стороны заключающие равные углы, пропорциональны;
и) если точка О является серединой отрезка АВ, то точки А
и В называются симметричными точками, относительно
точки О;
к) числа, которые можно записать в виде обыкновенных
дробей, называются рациональными;
л) тождеством называется равенство, верное при любых
значениях переменной;
м) уравнение вида ах = b, где х - неизвестное, а и b - числа,
называется линейным уравнением с одним неизвестным;
н) значение неизвестного, которое обращает уравнение в
верное равенство называется корнем уравнения.
10. Укажите ближайшее родовое понятие для понятий:
а) квадрат
б) вертикальные углы
в) хорда
г) степень с натуральным
показателем
д) простое число
е) квадратный корень
ж) уравнение
з) неравенство.
Усвоение родовых и видовых
11. Назовите несколько видовых понятий для каждого из признаков и связей между ниданных: геометрическая фигура, многоугольник, функ- ми.
ция, уравнение.
12. Дополните определения:
а) Квадрат - это четырехугольник ... .
б) Квадрат - это параллелограмм ... .
в) Квадрат - это прямоугольник ... .
г) Квадрат - это ромб ... .
13. Подберите родовое понятие и дополните определения:
а) Прямоугольник - это ... , у которого противоположные углы прямые.
б) Прямоугольник - это ... , у которого четыре стороны и
углы прямые.
в) Треугольник - это ... , с наименьшим числом сторон.
14. Дайте различные определения понятий:
Определение понятий.
а) ромб
б) параллелограмм
в) прямой угол
г) уравнение.
15. Сформулируйте генетическое определение:
а) окружности
б) перпендикулярных прямых
в) конуса
г) арифметической прогрессии.
16. Выберите из школьных учебников по 2-3 определения
следующих видов:
а) формально-логическое;
б) конструктивное;
в) отрицательное
г) неявное определение исходных понятий.
17. Выполните логический анализ определений понятий из Логический анализ определеп. 16.
ний понятий.
18. В каких из приведенных ниже определений математических понятий имеются ошибки, исправьте их, если воз-
можно:
 биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам;
 касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности;
 ромбом называется параллелограмм, две смежные
стороны которого равны;
 сложением называется действие, при котором числа
складываются;
 равносторонним треугольником называется треугольник у которого равны все стороны и все его углы;
 параллелограммом называется многоугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны;
 диаметром круга называется наибольшая хорда,
проходящая через центр;
 ромбом называется равносторонний неправильный
четырехугольник;
 прямые называются параллельными, если они не
пересекаются, сколько бы их не продолжали;
 медианой треугольника называется отрезок, делящий его сторону пополам;
 угол образованный двумя хордами называется вписанными;
 равнобедренный треугольник - это когда две стороны равны;
 пропорциональное число - это 1) неизвлекаемый
корень; 2) бесконечная десятичная дробь.
19. Установите эквивалентность следующих определений:
Установление эквивалентности
1. а) Две пересекающих плоскости называется перпенди- определений
кулярными, если третья плоскость перпендикулярная прямой перечисления этих плоскостей пересекает их по перпендикулярным прямым.
б)
Две
плоскости
называются
взаимноперпендикулярными, если в каждой из них через любую
точку проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости.
2. а) угол в 90° называется прямым.
б) прямым углом называют половину развернутого угла.
3. а) равенство содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением.
б) равенство, содержащее неизвестное, называется
уравнением.
20. Какие следствия можно вывести из факта, что данный
ромб ADCD
Практические задания.
1. Актуализируйте и систематизируйте знания по понятиям и их определениями, ответив на следующие вопросы:
 Что такое понятие, объект? В чем их сходство и различие.
 Существенные и несущественные свойства понятий. Приемы их установления.
 Содержание и объем понятия. Связь между ними.
 Логическое действие “определение понятий”. Дефиниция.
 Виды определений понятий и объектов, которые чаще всего встречаются в
школе.
 Структура определений понятий и объектов.
 Основные требования к определениям понятий.
2. Приведите примеры 5-6 понятий. Выделите их содержание и объем.
3. Расширьте содержания понятия “параллелограмм”. Что произойдет с объемом этого
понятия? Каким образом изменится объем и содержание понятия при обобщении понятия” четырехугольник” (например до понятия “многоугольник”).
Сформулируйте логический закон соотношения содержания объема и
понятия.
4. Несмотря на большое многообразие понятий с точки зрения их содержания, число
возможных отношений между объемами понятий невелико. Сравнимые понятия подразделяются на совместимые и несовместимые. Совместимые понятия могут быть
равнозначными, пересекающимися и понятиями включения. Приведите примеры
каждого из перечисленных видов понятий.
5. Составьте классификационную схему понятий
 комплексное число
 параллелограмм
 функция

Формальнологические определения
Ромб (8кл.)
Конструктивные
определения
Отрицательные
определения
Модульные числа (
6 кл.)
Иррациональные
числа (8 кл.)
Неявное определение исходных понятий
Точка, прямая
( 7 кл.)
Выберите из школьных учебников алгебры, математики, геометрии по 2-3 определения
названных в таблице видов. Результаты вместите в таблицу.
7. Выполните логический анализ определений понятий из таблицы
8. В каких из приведенных ниже определений математических понятий имеются
ошибки? Исправьте их, если возможно:
 Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам;
 диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга;
 касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности;
 ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны;
 сложением называется действие, при котором числа складываются;
 равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все его углы;
 параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны.

9. Установите эквивалентность следующих определений объектов.
а) Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
б) две плоскости называются взаимно-перпендикулярными, если в каждой из них через
любую точку проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости.
а) угол в 90 называется прямым
б) прямым углом называют половину развернутого угла
в) угол называют прямым если его градусная мера равна 90
а) равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением
б) равенство содержащее переменную, называют уравнением
10. Какие следствия можно вывести из факта, что данный ромб
принадлежит к теоретическому объекту - ромбу?
Выполните действия получения следствий из факта принадлежности конкретного объекта теоретическому.
11. Выполните действия подведения под определение объекта для следующих определений:
 линейная функция
 симметричные точки
 скрещивающиеся прямые
 убывающая функция
 геометрическая прогрессия
Результаты действий занесите в таблицу (см. лекцию)
12. Раскройте основные этапы формирования определений следующих математических
объектов
 медиана треугольника
 функция
 арифметический квадратный корень.