Тема: Объем куба, параллелепипеда и призмы.

Тема: Объем куба, параллелепипеда и призмы.
Цели:
1. Образовательные - выработка умений и навыков у учащихся в
решении задач на применение знаний формулы объема куба,
параллелепипеда и призмы, а также применение ранее изученного
материала о многогранниках и фигурах на плоскости, использование
межпредметных связей на уроке.
2. Развивающие – развитие мыслительных операций посредством
наблюдений, сравнений, сопоставлений, обобщений, конкретизаций,
сознательного восприятия учебного материала, развитие зрительной
памяти, развитие математической речи учащихся, потребности к
самообразованию, способствовать развитию творческой деятельности
учащихся.
3.Воспитательные - воспитание познавательной активности, чувства
ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания,
взаимоподдержки, уверенности в себе; воспитание культуры общения.
Тип урока: изучение нового материала, первичное закрепление
изученного.
Оборудование: учебник, доска, компьютер, интерактивная доска,
карточки, набор моделей многогранников (куб, параллелепипед,
призмы).
Ход урока
1.Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку.
Сообщение темы урока и формулировка ее целей.
2.Актуализация опорных знаний учащихся
Шесть учащихся работают по карточкам, все остальные учащиеся
участвуют во фронтальном опросе.
2.1.Фронтальный опрос
1.Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
2.Призма имеет в основании ромб. Как она называется?
3.Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани
перпендикулярны к плоскости основания?
4.В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
5.Чему равна площадь полной поверхности параллелепипеда?
6.Чему равна площадь боковой поверхности прямой и наклонной призмы?
7.Что называют периметром многоугольника?
2.2.Содержание карточек
Объем куба, параллелепипеда и призмы.
Ответьте на вопросы:
А) Какие многоугольники лежат в основании призмы?
1.Треугольники. 2.Четырехугольники. 3.Пятиугольники. 4.Шестиугольники.
5.Параллелограммы. 6.Ромбы. 7. Квадраты.
Б) Какими фигурами являются боковые грани призмы?
1.Треугольники. 2.Четырехугольники. 3.Пятиугольники. 4.Шестиугольники.
5.Параллелограммы. 6.Ромбы. 7. Квадраты.
В) Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?
1.Два. 2. Четыре. 3.Три. 4. Пять. 5. Шесть.
Г) Почему все высоты призмы равны между собой?
Д) Призма имеет 10 граней. Какой многоугольник лежит в основании грани?
1.Треугольник. 2.Четырехугольник. 3.Пятиугольник. 4.Шестиугольник.
5.Восьмиугольник. 6.Ромб. 7. Квадрат.
Сколько вершин и ребер имеет эта призма?
1.Два ребра, три вершины. 2. Четыре ребра, шесть вершин. 3.Шестнадцать вершин,
двадцать четыре ребра. 4. Восемь вершин, шестнадцать ребер.
5. Десять ребер, двенадцать вершин.
Е) Сколько диагоналей можно провести в четырехугольной призме?
1.Две. 2. Четыре. 3.Три. 4. Пять. 5. Шесть.
Приложение к карточкам ( рисунки многогранников )
3. Изучение нового материала
3.1. Понятие объема тела
– Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется
объемом этого тела.
3.2. Рассказ учителя о мерах объема
– В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел.
Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры
емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:





Бушель – 36,4 дм3
Галлон – 4,5 дм3
Баррель (сухой) – 115,628 дм3
Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
Английский баррель для сыпучих веществ - 163,65 дм3.
Меры когда-то, применявшиеся в России:


Ведро – 12 дм3
Бочка – 490 дм3
– Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются
правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила
для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки
еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий
определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу
интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода
площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной
математике.
На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с
вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том,
что объемы этих тел относятся как 3 : 2.
Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был
в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром
и цилиндром.
3.3.Постановка задачи
– Наша задача на уроке – найти для объема выражение в виде некоторого числа,
измеряющего эту величину.
Еще в школе вы уже знакомились с понятием объема прямоугольного
параллелепипеда, его объем равен произведению трех измерений, т.е. длины,
ширины и высоты. V = а · в · с. Объем куба V =а3. Объем призмы V = Sосн · h.
Сегодня мы с вами будем решать задачи на применение этих формул.
IV.Закрепление изученного материала
Решение задач по учебнику с использованием компьютера и интерактивной доски с
заранее заготовленными рисунками:
№ 649 (а), № 651, 659(а), 665(дополнительное задание).
№ 649 (а)
Найдите объем куба, АВСDA1B1C1D1 ,
если: а) АС = 12см.
Решение:
V = AB , так как нам дан куб, а его все
три измерения равны.
Найдем АВ из треугольника АВС по
теореме Пифагора:
3
АС 
АВ 
АВ 2  ВС 2  2 АВ 2  АВ 2
АС 12

 6  2см
2
2
V  (6  2 ) 3  216  2 2  432 2см 3
Ответ: 432 2 см3.
№ 651
Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25см, 12см и
6,5см. Плотность кирпича равна 1,8г/см3. Найдите его массу.
Решение:
V = а · в · с, масса тела равна произведению его объема на плотность
m = V ·ρ,найдем объем: V =8· 12· 18 =1728см3.
m =1728 ·1,8= 3110,4г =3,1104кг.
Ответ: m =3,1104кг.
№ 659 (а)
Найдите объем прямой призмы АВСА1В1С1, если: а) ВАС  120 0 , АВ = 5см,
АС = 3см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35см2.
Решение:
Наибольшая боковая грань
лежит напротив угла
ВАС  120 0 , т.е. это
ВВ1С1С. И так как призма
прямая, то боковые грани
будут прямоугольниками.
А мы знаем, что площадь
прямоугольника равна
произведению двух его
сторон с общей вершиной.
S (ВВ1С1С) = 35см2.
S (ВВ1С1С) = ВC · ВВ1
V = Sосн · h, h = ВВ1,
ВВ1 = S (ВВ1С1С)/ ВС
Sосн = 1/2 · АВ · АС · sin ВАС . Найдем ВС по теореме косинусов
ВС 2  АВ 2  АС 2  2 АВ  АС cos BAC  25  9  2  5  3 cos120 0  34  15  49
ВС = 7см. ВВ1 = 35 : 7 = 5см. Sосн = 1/2 · 5 · 3 · sin 120° = 6,5см2.
V =6,5 · 5 = 32,5 см3.
Ответ: V = 32,5 см3.
№ 665
Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8см и
составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.
Решение:
Очевидно, что наибольшая диагональ – это АВ. Тогда ее проекцией на
основание будет АС. В правильном
шестиугольнике радиус описанной окружности
равен стороне основания. Из треугольника АВС:
ВС  АВ  cos 30 0  8 
3
 4
2
3,а
площадь основания будет равна Sосн = 6 · S ΔOAD,
2
S ΔOAD= 1/2a ·sin60° =
Sосн = 6 · а
1
1
AB 2  BC 2 
64  48  2см . V
a = ½ AC =
2
2
2
4
=
3
=
а2 3
4
3 а2  3
2
3 а2  3
2
·4 ·
. Поэтому
. V = Sосн ·BC,
3=
18 · 4 = 72см3.
Ответ: V = 72см3.
V. Итог урока
Итак, подведем итоги урока.
1. Что чувствовали сегодня на уроке?
2. С какими трудностями вы встретились?
3. Что взяли с урока? Кому и в чем помог разобраться сегодняшний урок?
Выставление оценок.
VI. Домашнее задание: п.75 п.76. № 656. (Уч. Атанасян Л.С. и др. 10–11).