Высказывания.

Высказывания.
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий
строение (форму, структуру) сложных математических высказываний и способы
установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Таким образом, основным элементом алгебры логики является понятие высказывания.
Высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно
однозначно сказать истинное или ложное утверждение оно содержит.
Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Высказывания могут выражаться с помощью математических, химических и прочих
знаков. Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения –
является ли оно истинным или ложным.
Быть одновременно и тем и другим оно не может.
Употребление в обычной речи слова и словосочетания “не”, “и”, “или”, “если то”,
“тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые
высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок,
называются составными.
Высказывания, не являющиеся составными называются элементарными.
Высказывания бывают общими, частными или единичными.
Общее высказывание начинается (или можно начать) со слов: все, всякий, каждый,
ни один.
Частное высказывание начинается (или можно начать) со слов: некоторые,
большинство и т.п.
Во всех других случаях высказывание является единичным.
Так, например, из элементарных высказываний
“Петров - ученик”
“Петров - отличник”
при помощи связки “и” можно получить составное высказывание
“Петров – ученик и Петров – отличник”,
понимаемое как
“Петров – ученик, учащийся на отлично”.
При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное
высказывание:
“Петров – ученик или отличник”,
понимаемое в алгебре логики как
“Петров или ученик, или отличник,
или
и ученик и отличник одновременно”.
С точки зрения русского языка - это предложения с однородными членами, а с точки
зрения алгебры логики - это сложные высказывание.
Приведем еще примеры.
1. “Солнце - самая яркая звезда”
“Солнце - центр солнечной системы”
С помощью связок “и”, “или” можно составить различные высказывания.
“Солнце - самая яркая звезда и центр солнечной системы”
“Солнце или самая яркая звезда или центр солнечной системы
ИЛИ
и центр солнечной системы и самая яркая звезда одновременно”.
Если говорить о типе высказывания (общее, частное, единичное), то высказывания “Солнце
- самая яркая звезда” и “Солнце - центр солнечной системы” являются частными.
2. “Все рыбы умеют плавать”
В этом высказывании нет логических связок, следовательно, высказывание простое. По
типу - это общее высказывание.
3. “ Буква А - гласная”.
В этом высказывании нет логических связок, следовательно высказывание простое. По
типу - это единичное высказывание.
Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит
от истинности или ложности элементарных высказываний.
Задачи
№1
Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
1. Число 6 -четное.
2. Посмотрите на доску.
3. Все роботы являются машинами.
4. У каждой лошади есть хвост.
5. Внимание!
6. Кто отсутствует?
7. Есть кошки, которые дружат с собаками.
8. Не все то золото, что блестит.
9. Х2 >=0.
10. Некоторые люди являются художниками.
11. Выразите 1 час 15 минут в минутах.
12. Всякий моряк умеет плавать.
№2
Какие из следующих предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
1. Наполеон был французским императором.
2. Чему равно расстояние от Земли до Марса?
3. Внимание! Посмотрите направо.
4. Электрон - элементарная частица.
5. Не нарушайте правил дорожного движения!
6. Полярная Звезда находится в созвездии Малой медведицы.
№3
Какие из приведенных высказываний являются общими?
1. Не все книги содержат полезную информацию.
2. Кошка является домашним животным.
3. Все солдаты храбрые.
4. Ни один внимательный человек не совершит оплошность.
5. Некоторые ученики двоечники.
6. Все ананасы приятны на вкус.
7. Мой кот страшный забияка.
8. Любой неразумный человек ходит на руках.
№4
Какие из приведенных высказываний являются частными?
1. Некоторые мои друзья собирают марки.
2. Все лекарства неприятны на вкус.
3. Некоторые лекарства приятны на вкус.
4. А - первая буква в алфавите.
5. Некоторые медведи - бурые.
6. Тигр - хищное животное.
7. У некоторых змей нет ядовитых зубов.
8. Многие растения обладают целебными свойствами.
9. Все металлы проводят тепло.
№5
Определите истинность высказывания.
1. Все ребята умеют плавать.
2. Киев - столица Украины.
3. Некоторые кошки не любят рыбу.
4. Человека все может.
5. Невозможно создать вечный двигатель.
6. Каждый человек - художник.
7. Прямоугольник есть геометрическая фигура.