Кружок по математике, 218 школа, 8 класс

Кружок по математике, 218 школа, 8 класс
27 декабря 2003 г.
МАТДРАКА.
1. (5 ударов) По кругу выписаны 10 чисел. Известно, что сумма любых трех подряд идущих чисел
равна 7. Найдите сумму всех чисел.
2. (удар Миши) На каждой перемене в школе Миша съедает по 2 конфеты. Сколько конфет он съел на
переменах за неделю с понедельника по субботу, если всего было 35 уроков?
3. (двойной удар) Докажите, что x2 + y2 – 2x + 2y – 2xy + 10.
4. (7 ударов) Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если
Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот станет крайним слева.
В каком порядке они сидят?
5.
(5 ударов) Можно ли клетки квадратной таблицы 3*3 заполнить числами так, чтобы сумма всех
чисел была положительна, а сумма чисел в любом квадрате 2*2 – отрицательна?
6.
(10 ударов) Можно ли в 12-угольнике провести некоторые диагонали так, чтобы из каждой
вершины выходило ровно 5 диагоналей? (сторона 12-угольника диагональю не является).
7. (5 ударов) Есть ли среди натуральных чисел такое, что если сумму его цифр умножить на
произведение его цифр, то получится 218?
8. (n ударов) При каких натуральных значениях n можно так покрасить конечное число клеток
бесконечного клетчатого листа, чтобы каждая покрашенная клетка имела ровно n покрашенных
соседей? (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону).
9.
(11 ударов) Средний рост 11 футболистов на поле – 180 см. Одного игрока удалили. Средний рост
(оставшихся) изменился на 1 см. Какой рост у удаленного игрока?
10. (15 ударов) Незнайка отметил на плоскости 15 точек и утверждает, что какое бы натуральное число
от 1 до 7 ему ни назвали, он может указать прямую, на которой лежит ровно столько отмеченных
точек. Прав ли он?
11. (10 ударов) Можно ли числа 1, 2, 3, …, 10 расставить по кругу так, чтобы разность любых двух
соседей была равна 2 или 3?
12. (9 ударов) Пусть P(x) - произведение цифр натурального числа x, а S(x) – сумма цифр числа x.
Найдите все двузначные корни уравнения P(x) + S(x) = x.
13. (удар Нирамаса) По цирковому кругу под руководством атамана Нирамаса бегают 24 лошади. Они
бегут в одном направлении с одинаковыми скоростями и равными интервалами. Сколько лошадей
надо добавить, чтобы при той же скорости уменьшить интервалы между ними на 20%?
x
14. (5 ударов) Существуют ли числа x и y такие, что x+y=xy= ?
y
15. (натуральное число ударов) В однокруговом школьном футбольном турнире участвовали 6 команд.
За победу в матче начислялось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0. В итоге турнира команды
набрали (в порядке занятых мест): 13, 10, 7, 5, 3 и 2 очка. Сколько матчей закончилось вничью?
16. (натуральное число ударов) Найдите наименьшее натуральное число, кратное 11, сумма цифр
которого равна 11.
17. (5 ударов) Братья Пилоты играют в классики. На земле нарисованы 10 квадратов в ряд. Пилоту
Шефу надо пропрыгать по всем квадратам по разу и снова вернуться на первый, причем прыгать с
любого квадрата на соседний нельзя, а перепрыгнуть через три (например, со 2 на 6) или больше
квадратов ему не хватит сил. Как Шефу выполнить задание?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
18. (удар доской (по ушам)) На шахматной доске стоят 10 белых фигур. Докажите, что можно
поставить черного коня так, чтобы он ни на кого не напал.