Нахождение значений обратных тригонометрических выражений

Нахождение значений обратных тригонометрических выражений
Галия КАРИМОВА,
учитель математики Черемшанского лицея Черемшанского района
При решении тригонометрических уравнений и неравенств очень удачно
применяется числовая окружность. Геометрическая иллюстрация решений
уравнений, неравенств, систем неравенств помогает понять расположение
точек, облегчает сравнение значений выражений. А нахождение значений
обратных тригонометрических выражений в учебниках показано аналитическим
способом. В этой статье рассмотрены примеры геометрических иллюстраций
нахождения значений обратных тригонометрических выражений. Когда эти
примеры разбирали с учениками в классе аналитическим способом, не всем
было понятно решение, а когда показала геометрическую интерпретацию – это
вызвало удивление в простоте решения задания. Поэтому я хочу поделиться с
коллегами этим способом нахождения значений обратных тригонометрических
выражений.
Для
построения
рисунков
использована
программа:
1С.
«Математический конструктор». Версия 3.0.
Основываясь тем, что
а) геометрическая иллюстрация, представленная на рисунках №1а, б, в
делает достаточно наглядной формулу arcsin (–a) = –arcsin a; (на всех рисунках
выбран масштаб 10 клеток 1 единичный отрезок); [1]
б) геометрическая иллюстрация, в какой-то степени, объясняет термин
«арксинус»: arcus – по-латыни дуга (сравнить со словом арка); [1]
– показать практическое применение нахождения значений обратных
тригонометрических выражений геометрической иллюстрацией;
– применить к другим обратным тригонометрическим выражениям.
Пример 1. Вычислить: arсcos (cos5)
Решение: (слайд 2)
arсcos (cos5) =α.
По определению арккосинуса: cos α = cos 5, где 0 ≤ α ≤ π. Угол 5 радиан
находится в четвертой координатной четверти. Значит, на единичной числовой
окружности: cos 5 = АЕ, α = ‫ ے‬DAE.
‫ ے‬DAE =‫ ے‬CAE (так как ∆DAE =∆CAE по гипотенузе AD=AC и катету
AE). ‫ے‬CAE=‫ ے‬DAE=2π–5
Ответ: arсcos(cos5)= 2π–5.
Пример 2. Вычислить: arсsin(sin10)
Решение: (слайд 3)
arсsin(sin10)= α
По определению арксинуса: sin10 = sinα, где –π/2 ≤ α ≤ π/2
Угол 10 радиан находится в третьей координатной четверти.
ǀSin10| = FL, ‫ ے‬HFL = ‫ ے‬KFL (∆HFL =∆KFL по гипотенузе HF=KF и
катету FL). ‫ ے‬HFL=7π/2–10. Угол α = ‫ے‬GFK =– π/2 +‫ ے‬KFL= – π/2 +7π/2–
10=3π–10
Ответ: arсsin(sin10) = 3π–10
Пример 3. Вычислить: arсcos(sin 8)
Решение: (слайд 4)
arсcos(sin 8)= α
По определению арккосинуса: cos α =sin 8, где 0 ≤ α ≤ π.
Угол 8 радиан находится во второй координатной четверти, sin 8=AD
Отложим на оси OX отрезок AE=AD, AE= cos α, угол α = ‫ ے‬FAE
‫ے‬CAD=‫ ے‬FAE(так как ∆ACD=∆AFE, по гипотенузе AC=AF, и катету
AD=AE) ‫ے‬CAD =‫ ے‬EAC–‫ے‬DAE = (8 – 2π) –π/2=8 – 5π/2
Ответ: arсcos(sin 8)=8 – 5π/2.
Пример 4. Вычислить: arсcos(sin (–3))
Решение: (рисунок №5)
arсcos(sin (–3))= α
По определению арккосинуса: cosα =sin (–3), где 0 ≤ α ≤ π
Угол –3 радиан находится в третьей координатной четверти.
Угол α =‫ ے‬NGH, |Sin (–3)ǀ=GL. На оси OX отложим отрезок GM =GL
‫ ے‬KGL=‫ ے‬NGM (∆GKL=∆GNM по гипотенузе GN=GK, и катету GM=GL)
‫ ے‬KGL=3 – π/2, ‫ ے‬NGH=π–‫ے‬NGM=π – 3+π/2=3π/2 – 3
Ответ: arсcos(sin (–3)) =3π/2–3.
Пример 5. Вычислить: arсsin(cos(–14))
Решение: (слайд 6)
arсsin(cos(–14))= α,
По определению арксинуса: cos(–14) =sin α, где –π/2≤α ≤ π/2
Угол –14 радиан находится в четвертой координатной четверти.
Угол α=‫ے‬FAH
cos(–14)=AF. Отложим на оси OY отрезок AG=AF (так как ∆AFE=∆AGH
по гипотенузе AE=AH , и катету AF =AG). ‫ ے‬EAF=‫ ے‬HAG.
‫ ے‬EAF= │4π –14│=14 – 4π, ‫ ے‬FAH= π/2 – (14–4π)= –14+4π+π/2=9π/2 – 14
Ответ: arсsin(cos(–14))= 9π/2 – 14.
Пример 6. Вычислить: arctg(tg3)
Решение: (слайд 7)
arctg(tg3) = α
По определению арктангенса: tg 3 = tgα, где –π/2 < α < π/2.
Угол 3 радиан находится во второй координатной четверти. │tg 3│ = DM
Угол –α = ‫ے‬DCM=π–3, угол α =3–π.
Ответ: arctg(tg3) =3 – π.
Пример 7. Вычислить: arctg(ctg7)
Решение: (слайд 8)
arctg(ctg7) = α.
По определению арктангенса: ctg 7 =tg α, где –π/2<α<π/2
Угол 7 радиан находится в первой координатной четверти.
ctg 7 = CD, отложенный на линии котангенса. Отложим на линии тангенса
отрезок EB, равный CD. (∆ACD=∆ABE по катетам AB=AC и CD=BE)
‫ ے‬EAB=α. ‫ ے‬DAB=7 – 2π, ‫ ے‬EAB=π/2 – (7 – 2π)=π/2 – 7+2π=5π/2 – 7
Ответ: arctg(ctg7) =5π/2–7
Таким образом, геометрическая иллюстрация примера на числовой
окружности помогает правильно найти значения обратных тригонометрических
выражений.
Литература и программы.
1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала анализа. Часть 1.
Учебник 10 класс. Профильный уровень. – М.: Мнемозина, 2007.
2. Для
построения
рисунков
использована
программа:
1С
«Математический конструктор». Версия 3.0. Продюсер: Крупа Татьяна.
Разработчики: Анисимов А., Лебедева Н., Сергиевский Н. ООО «1С –
Паблишинг», 2008.