6. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ, ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ

6. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ,
ИССЛЕДУЕМЫЕ МЕТОДАМИ
ВЛОЖЕННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
И ЛИНЕЙЧАТЫХ ПРОЦЕССОВ
6.1. Система M/G/1/m < 
В системе M / G / 1 / m   некоторые требования теряются, т.е.
условия существования стационарного режима задаются неравенством
  a1   , где a – параметр входного потока, 1 – первый момент времени обслуживания. Такие же выводы можно получить, воспользовавшись теорией полумарковских процессов (см. п. 5.2).
Найдем стационарное распределение числа требований в этой СМО
p k  P{  k} , k  0, m  1 , в произвольные моменты времени, применяя
обозначения, принятые в разделе 5 и анализируя линейчатый процесс
((t ),  * (t )) . Аналогично тому, как это было сделано в п. 5.5, получаем
следующие уравнения, похожие на уравнения (5.21)–(5.23), но отличающиеся от последних учетом ограничения мест ожидания.
Pn ( x, t ) Pn ( x, t )

 (a  ( x)) Pn ( x, t )  (1   n, 1 ) aPn 1 ( x, t ), n  1, m ; (6.1)
t
x
t
P0 (t )
 aP0 (t )   P1 ( x, t ) ( x) dx ;
t
0
Pm 1 ( x, t ) Pm 1 ( x, t )

 ( x) Pm 1 ( x, t )  aPm ( x, t ) ;
t
x
(6.3)
t
Pn (0 , t )   Pn 1 ( x, t ) ( x)dx   n, 1 aP0 (t ), n  1, m ;

(6.2)
(6.4)
0
Pm 1 (0  , t )  0 .
(6.5)
В стационарном режиме ( t   ) имеем Pn ( x, t )  p n ( x) , Pn (t )  p n
и в этом случае из (6.1)–(6.5) получаем следующие уравнения:
 p n ( x)
 (a  ( x)) p n ( x)  (1   n, 1 ) apn 1 ( x), n  1, m ;
(6.6)
x

0  ap0   p1 ( x) ( x) dx ;
0
81
(6.7)
 p m 1 ( x)
 ( x) p m 1 ( x)  apm ( x) ;
x
(6.8)

p n (0)   p n 1 ( x) ( x) dx   n, 1 ap0 , n  1, m ;
0
p m 1 (0)  0 .
(6.9)
(6.10)
Очевидно, что

p n   p n ( x) dx, n  1, m  1,
0
и, кроме того, выполняется условие нормировки
m 1
 pn  1 .
n 0
Непосредственной подстановкой легко убедиться, что решение системы уравнений (6.6)–(6.10) имеет вид
n 1
(ax) i
 ax
p n ( x)  e [1  B( x)]  p n i (0)
, n  1, m ;
i
!
i 0
(6.11)
m
m
n 0
n 1
p m 1 ( x)  [1  B( x)]  p n (0)   p n ( x) .
Введем обозначение
1
 n (a )   (at) n e  at dB(t ), n  0, m  1 .
n! 0
Из формул (6.11) при n  1 находим

p (0)(1   0 (a ))
p1   p1 ( x)dx  1
,
a
0
откуда следует, что
p1 (0)  ap1 (1   0 (a)) .
(6.12)
Подставляя выражение для p1 ( x ) из формулы (6.11) в соотношение (6.7),
получаем
p 0  p1 (0)  0 (a) a ,
откуда следует, что
p1 (0)  ap 0  0 (a) .
(6.13)
Из соотношений (6.12) и (6.13) легко получить
p1 (0)  a ( p 0  p1 ) .
(6.14)
Из соотношения (6.9) при n  1 с учетом (6.14) получаем
82

ap1   p 2 ( x) ( x) dx .
0
Аналогичным образом в случае n  2, m из формулы (6.9) следует

apn   p n 1 ( x)( x)dx  p n (0) ,
0
откуда окончательно имеем
p1 (0)  a( p 0  p1 ) ; p n (0)  ap n , n  2, m .
(6.15)
Вероятность p m 1 найдем из так называемого условия равновесия,
которое можем представить в виде
1  p0
 (1  p m 1 ) a .
(6.16)
1
Равенство (6.16) означает, что в стационарном режиме математическое ожидание числа требований, обслуженных в системе в единицу
времени, равно математическому ожиданию числа требований, которые
в течение единицы времени поступили в систему и не были потеряны
(заметим, что величина p m 1 играет роль стационарной вероятности потери требования). Из соотношения (6.16) следует, что
p m 1  1  (1  p 0 )  ,
(6.17)
где   a1 .
Соотношения (6.12)–(6.17) определяют следующий алгоритм вычисления вероятностей p n , n  0, m  1 .
1. Вычисляем величины
1
 n (a )   (at) n e  at dB(t ), n  0, m  1 .
n! 0
2. Вычисляем величины  n (a ) ( n  0, m  1 ), пользуясь следующими
соотношениями:
 0 (a)  1   0 (a ) ;
 n (a )   n 1 (a )   n (a), n  1, m  1.
3. Вычисляем величины S n ( n  0, m  1 ):
S 0  1  0 (a) ;
83
1 n 1
Sn 
  ni (a)S i , n  1, m  1 .
 0 (a ) i 0
4. Вычисляем p 0 :
1
m 1


p 0  1    S i  .
i 0


5. Вычисляем p n ( n  1, m  1), пользуясь соотношениями
p1  p 0 ( S 0  1) ;
p n  p 0 S n 1 , n  2, m , если m  1 ;
p m 1  1  (1  p 0 )  .
Вероятности p n ( n  0, m  1 ), следовательно, полностью определены в том случае, если возможно точное вычисление интегралов  n (a ) ,
n  0, m  1 . Имеются алгоритмы приближенного вычисления p n .
6.2. Система GI/M/n/
В СМО GI / M / n /  входной поток является рекуррентным или рекуррентным с запаздыванием. Пусть A(t ) – ФР промежутков времени
между моментами поступления требований в систему. Будем считать,
что существует конечный первый момент ФР A(t ) , который обозначим

как  1   t dA(t ) ; введем также обозначение   1  1 . Пусть  – пара0
метр экспоненциального распределения времени обслуживания. Для
анализируемой СМО случайный процесс (t ) , где (t ) – число требований, находящихся в системе в момент времени t, очевидно, не является
марковским в том случае, если распределение промежутков времени
между моментами поступления требований в систему отлично от экспоненциального. Однако мы можем анализировать эту СМО с помощью
линейчатого марковского процесса ((t ),  * (t )) , где  * (t ) – длительность промежутка времени от последнего перед моментом t момента поступления требования до момента t.
Если в качестве 0-моментов возьмем моменты  m , m  1, 2, ... , поступления требований в систему, а в качестве  m примем  m  ( m ) , то
84
получим вложенную в процесс (t ) ЦМ  m , m  1, 2, ... . Множеством ее
состояний X является множество всех неотрицательных целых чисел.
Найдем вероятности перехода pi j , i, j  0, 1, ... , этой цепи. Для этого
необходимо анализировать четыре возможных случая.
1. i  1  j . В этом случае, очевидно, pi j  0 .
2. j  i  1  n . В этом случае между двумя соседними моментами
поступления требований все требования, находящиеся в системе,
обслуживались, причем j обслуживаемых требований в указанном промежутке не успели обслужиться полностью, а i  j  1 завершили свое обслуживание. Тогда из формулы полной вероятности следует, что

 i  1  t j
 e
pi j   
(1  e t ) i  j 1 dA(t ) .
(6.18)
j

0
3. n  j  i  1 . В этом случае между двумя моментами поступления
требований все n ОП были заняты обслуживанием. Поэтому поток требований, завершивших обслуживание в указанном промежутке, является простейшим с параметром n . Следовательно,
вероятность того, что в указанных условиях в течение t единиц
времени будет обслужено i  j  1 требований, равна
(n t ) i  j 1 n t
, откуда следует, что
e
(i  j  1) !

pi j
(n t ) i  j 1  n t

e
dA(t ) .
(i  j  1) !
0
(6.19)
4. j  n  i  1 . Предположим, что промежуток времени между соседними моментами поступления требований равен t. Это означает, что в течение некоторого промежутка времени y  [0; t ] работали все ОП и в этом промежутке было завершено обслуживание
i  n  1 требований. За последующее время t  y из оставшихся в
системе непосредственно после указанного промежутка времени
длительности y требований (число этих требований равно n) некоторые численностью n  j обслужились полностью, а остальные j не успели завершить своего обслуживания. Поскольку сум85
марная длительность времени между моментами окончания обслуживания первых i  n  1 требований при условии, что при
этом одновременно работали все ОП, подчиняется, очевидно,
распределению Эрланга порядка i  n  1 с параметром n , окончательно получаем
t
(n y ) i  n  n y  n   j t  y 
 e
p i j    n
e
(1  e  (t  y ) ) n  j dy dA(t ) 
(i  n) !
 j
00
n
 (n) i  n 1 
t
j

 j t
(6.20)

e
y i  n (e  y  e  t ) n  j dy dA(t ) .


(i  n) ! 0
0
Таким образом, все переходные вероятности анализируемой ЦМ
определены. Как следует из теории ЦМ (см. п. 4.1), в случае выполнения
неравенства    (n)  1 существует единственное стационарное распределение этой ЦМ  k , k  0, 1, ... , которое не зависит от начальных
условий:
 k  lim P{ m  k}, k  0 .
m 
Система уравнений для вероятностей  k имеет вид
k 

  l plk ,
k  1.
(6.21)
l  k 1
В случае k  n вероятности перехода имеют вид (6.19), поэтому из соотношения (6.21) следует, что


(n t ) l  k 1  n t
 k   l 
e
dA(t ) , k  n .
(6.22)
l  k 1 0 (l  k  1) !
Решение системы (6.22) будем искать в виде
 k  C k , k  n  1 .
(6.23)
Подставляя выражение (6.23) в формулу (6.22), после сокращения левой
и правой части на C k 1 получаем


i


(n t ) l k 1  n t
l  k 1
i ( n t )
  
e
dA(t )    
e n t dA(t ) 


(l  k  1) !
i!
l  k 1
i 0
0 0
0

  e ( n n) t dA(t )  (n(1  )),
0
где (q) – ПЛС ФР A(t ) . Следовательно, постоянная  является корнем
уравнения
  (n(1  )) .
(6.24)
86
Можно доказать, что это уравнение в случае   1 имеет единственный корень  , такой что 0    1 .
Найдем теперь постоянную C и вероятности  i , i  0, n  2 . С учетом соотношения (6.23) систему (6.21) можно представить в виде
k 
n2

  i pi k   C i pi k , k  1.
i  k 1
i  n 1
n 1
Введем обозначение Rk   k (C
ставляется в виде
Rk 
n2
 Ri pi k 
i  k 1
(6.25)
) . Тогда формула (6.25) пред-

  i n1 pi k ,
i  n 1
откуда находим
n2



(6.26)
Rk 1   Rk   Ri pi k    i n 1 pi k  p k 1 k , k  1, n  1.
i k
i  n 1


Отношение (6.26) вместе с начальным условием
Rn 1  1
(6.27)
определяет рекуррентную процедуру вычисления величин Rk ,
k  0, n  2 . Постоянную C найдем из условия нормировки

 k
 1 , т.е.
k 0
n2
C n 1  Rk  C n 1
k 0

  k n1  1,
k  n 1
откуда следует, что
1
1 n 
n2

1
(6.28)
C   
  Rk  .
1


k 0


Соотношения (6.23), (6.24), (6.26)–(6.28) позволяют однозначно
определить стационарные вероятности  k , k  0 , вложенной ЦМ для
СМО GI / M / n /  . Сформулируем алгоритм вычисления вероятностей
 k , принимая во внимание соотношения (18)–(20) для переходных вероятностей p ik .
1. Определяем  с помощью уравнения (6.24).
2. Полагая Rn 1  1 , с помощью формулы (6.26) последовательно
определяем величины Rn2 , ..., R0 , т. е. в обратной последовательности находим Rk , k  0, n  2 (считаем при этом, что
87
n2
 Ri pik = 0). С помощью соотношения (6.28) вычисляем посто-
i  n 1
янную C.
3. Для всех k  0, n  1 определяем вероятности  k с помощью соотношения  k  Rk C n 1 .
4. Для всех k  n определяем вероятности  k , пользуясь соотношением (6.23).
Найдем теперь ФР W (t ) стационарного времени ожидания анализируемой СМО в случае, если очередность обслуживания соответствует
дисциплине FIFO. Вероятность того, что поступившее требование не
будет ожидать обслуживания, равна
n 1
n 1
W (0)    k  C n 1  Rk .
k 0
(6.29)
k 0
В том случае, если в рассматриваемой СМО требование в момент
своего поступления находит в системе k  n других требований, то оно
будет ожидать окончания обслуживания k  n  1 требований, которые
поступили раньше. Поскольку при этом все n ОП работают без перерыва,
то время ожидания для такого требования подчиняется распределению
Эрланга порядка k  n  1 с параметром n . Из формулы полной вероятности следует, таким образом, что
t
k n

k n( n x )
W (t )  W (0)  C   
e  n x dx 
( k  n) !
k n
0
(6.30)
t
 W (0)  C n  n e  n x (1  ) dx .
0
Тогда, воспользовавшись соотношениями (6.28)–(6.30), получаем

W (t )  1 
e  n (1  ) t , t  0.
n2
1  (1  )  Rk
(6.31)
k 0
Первый момент стационарного времени ожидания w1 можно вычис
лить, пользуясь формулой w1   t dW (t ) . Можно также его вычислить
0
иным способом. Действительно, если поступившее требование застает в
88
системе k  n других требований, то оно ожидает завершения обслуживания k  n  1 требований, среднее значение промежутков между моментами окончания обслуживания которых равно 1 ( n) . Тогда стационарное среднее время ожидания находим как безусловное математиче
1
ское ожидание w1   (k  n  1) k , где  k  C k , откуда получаем
k n n
C n
.
w1 
n(1  ) 2
6.3. Система GI/M/1/
СМО GI / M / 1 /  является частным случаем системы GI / M / n / 
при n  1. Все вероятности  k в этом случае имеют вид (6.23), т. е.
 k  C k , где в силу соотношения (6.28) имеем C 1   . Следовательно,
в данном случае
 k  (1  )  k , k  0, 1, ... ,
где  – корень уравнения
  (   ) .
Величины  k являются здесь стационарными вероятностями вложенной
ЦМ  m  ( m ) , где  m – моменты поступления требований в систему,
m  1, 2, ... . Пусть p k  P{  k} , k  0, 1, ..., – вероятности того, что в
стационарном режиме (считаем, что выполняется условие      1 ) в
системе в произвольный момент времени находится k требований.
Найдем вероятности p k .
Пусть k  0 . Известно (см. п. 2.7, теорема 3), что в стационарном
режиме длительность промежутка времени от момента поступления последнего требования до произвольного момента времени имеет распределение с ФР
t
G (t )    (1  A(u )) du .
0
Предположим, что в последний перед произвольным моментом времени момент поступления в системе находилось l требований, где
l  k  1 . Тогда, для того чтобы в этот момент в системе находилось k
требований, необходимо, чтобы в указанном промежутке было обслужено l  k  1 требований. Поскольку поток моментов окончания обслужи89
вания в данных условиях является простейшим, получаем, пользуясь
формулой полной вероятности,


(t ) l  k 1 t
pk   l  
e (1  A(t )) dt 
(
l

k

1
)!
l  k 1
0
 (1  ) 
k 1

e
  t (1 )
(1  A(t )) dt 
0
(1  (   ))
 (1  )  k 1, k  1 ,
(1  )
где     . Вероятность p 0 найдем из условия нормировки

(1  ) 
k 1


k 1
k 1
1  p 0   p k  p 0   (1  )  k 1  p 0   ,
откуда следует, что p 0  1   .
Следовательно, стационарное распределение числа требований в системе GI / M / 1 /  в произвольный момент времени имеет вид
p 0  1   ; p k  (1  )  k 1 , k  1.
Из соотношения (6.31) следует, что ФР стационарного времени ожидания для анализируемой СМО выглядит так же, как и в случае СМО
M / M / 1 /  (см. п. 5.8), если  заменить на  :
W (t )  1   e  (1  ) t , t  0.
6.4. Системы M/G/n/0 и M/G/∞
В системе M / G / n / 0 может находиться не более n требований в
любой момент времени, причем все находящиеся в системе требования
обслуживаются. Пусть a – параметр входного потока, B(t ) – ФР времени
обслуживания. Обозначим через (t ) число требований в системе в мо
мент времени t. Пусть y  a1 , где 1   tdB(t ) – первый момент време0
ни обслуживания. Очевидно, для существования стационарного режима
анализируемой СМО величина y должна быть конечной ( y   ). В дальнейшем для простоты будем считать, что существует плотность b(t )
времени обслуживания. Введем обозначения
b( x )
Pk (t )  P{(t )  k} , p k  lim Pk (t ) , k  0, n ; ( x) 
.
t 
1  B( x)
90
Очевидно, в общем случае процесс (t ) не является марковским.
Обозначим через  *i (t ) длительность промежутка времени от начала обслуживания i-го требования, находящегося в системе в момент времени t,
до момента t, i  1, (t ) . При этом будем полагать, что способ нумерации
находящихся в системе требований не зависит ни от очередности их поступления в систему, ни от нумерации имеющихся в системе ОП, т. е.
требования занумерованы одним из (t ) ! возможных способов, каждый
из которых может быть выбран с одинаковой вероятностью 1 (t ) !. Легко показать, что процесс ((t ),  *i (t ), i  1, (t )) является марковским.
Этот процесс представляет собой обобщение введенного нами в п. 5.2
линейчатого процесса. Будем его также называть (многомерным) линейчатым процессом. Интересно заметить, что размерность вектора
((t ), 1* (t ), ...,  *(t ) (t )) зависит от числа требований в системе в момент t
и равна (t )  1 (заметим, что в случае (t )  0 составляющие  *i (t ) отсутствуют).
Введем функцию
Pi ( x1 , ..., xi , t ) dx1 ... dxi  P{(t )  i, *j (t ) [ x j ; x j  dx j ), j  1, i} , i  1, n .
Учитывая особенности метода нумерации требований в системе,
приходим к выводу, что функции Pi ( x1 , ..., xi , t ) симметричны относительно перестановок переменных x j , j  1, i .
Введем обозначение pi ( x1 , ..., xi )  lim Pi ( x1 , ..., xi , t ) , i  1, n . Очеt 
видно, что


pi   ... pi ( x1 , ..., xi ) dx1 ...dxi , i  1, n .
0
(6.32)
0
Анализируя изменения, происходящие в промежутке времени
[t; t  t ) , получаем с учетом симметричности функций Pi ( x1 , ..., xi , t )
следующие разностные уравнения, которые для простоты выпишем, полагая, что n  2 :
t
P0 (t  t )  P0 (t ) (1  at )  t  P1 ( x, t ) ( x) dx  o(t ) ;
0
t
P1 ( x  t , t  t )  P1 ( x, t )[1  (a  ( x))t ]  2t  P2 ( x, u, t ) (u ) du  o(t ) ;
0
P2 ( x1  t , x 2  t , t  t )  P2 ( x1 , x 2 , t ) [1  (( x1 )  ( x 2 )) t ]  o(t ) ;
91
t
 P1 (u, t  t )du  aP0 (t )t  o(t ) ;
0
t
2  P2 ( x  t , u, t  t ) du  aP1 ( x, t )t  o(t ) .
0
Обычным образом, переходя в этих уравнениях к пределу при
t  0 , получаем следующую систему:
t
dP0 (t )
 aP0 (t )   P1 ( x, t ) ( x) dx ;
dt
0
t
 P1 ( x, t )  P1 ( x, t )

 (a  ( x)) P1 ( x, t )  2 P2 ( x, u, t ) (u ) du ;
t
x
0
P2 ( x1 , x 2 , t ) P2 ( x1 , x 2 , t ) P2 ( x1 , x 2 , t )


 (( x1 )  ( x 2 )) P2 ( x1 , x 2 , t ) ;
t
 x1
 x2
P1 (0, t )  aP0 (t ) ;
2 P2 ( x, 0, t )  aP1 ( x, t ) .
В случае произвольного числа n ОП соответствующая система уравнений, очевидно, приобретает следующий вид:
t
dP0 (t )
 aP0 (t )   P1 ( x, t ) ( x) dx ;
(6.33)
dt
0
i


Pi ( x1 , ..., xi , t ) i Pi ( x1 , ..., xi , t )

  a   ( x j ) Pi ( x1 , ..., xi , t ) 
t
x j
j 1
j 1


t
(6.34)
 (i  1)  Pi 1 ( x1 , ..., xi , u , t ) (u ) du, i  1, n  1;
0
n
Pn ( x1 , ..., x n , t ) n Pn ( x1 , ..., x n , t )

  ( x j ) Pn ( x1 , ..., x n , t ) ; (6.35)
t
x j
j 1
j 1
P1 (0, t )  aP0 (t ) ;
(6.36)
iPi ( x1 , ..., xi 1 , 0, t )  aPi 1 ( x1 , ..., xi 1 , t ) , i  2, n .
В стационарном режиме ( t   ) уравнения (6.33)–(6.36) принимают
следующий вид:

0   ap0   p1 ( x) ( x) dx ;
0
i


pi ( x1 , ..., xi )


a


 x
 ( x j ) pi ( x1 , ..., xi ) 
j 1
j 1
j


i
92
(6.37)

 (i  1)  pi 1 ( x1 , ..., xi , u ) du, i  1, n  1;
(6.38)
0
n
 p n ( x1 , ..., x n )



 ( x j ) p n ( x1 , ..., xn ) ;

x
j 1
j 1
j
p1 (0)  ap0 ;
n
(6.39)
ip i ( x1 , ..., xi 1 , 0)  api 1 ( x1 , ..., xi 1 ), i  2, n .
К этим уравнениям необходимо добавить условие нормировки
n 

p 0    ... pi ( x1 , ..., xi ) dx1 ... dxi  1 .
i 1 0
(6.40)
(6.41)
0
Непосредственной подстановкой легко проверить, что решение
уравнений (6.37)–(6.41) имеет вид
1
i
 n yj 
ai
pi ( x1 , ..., xi ) 
p 0  [1  B( x j )] , p 0     .
(6.42)
i!
j
!
j

0
j 1


Заметим, что решение это оказалось столь простым только благодаря симметричности функций pi ( x1 , ..., xi ) .
Из соотношений (6.32) и (6.42) следует, что

i
(a1 )i
ai
pi  p0   [1  B( x j )] dx j  p0
,
i!
i
!
j 1 0
или окончательно
n
yi
yi
(6.43)
pi 
 .
i ! j 0 j !
Это – знаменитые формулы Эрланга, обладающие тем интересным
свойством, что стационарное распределение числа требований в системе
M / G / n / 0 в силу этих соотношений зависит только от параметра входного потока и первого момента времени обслуживания, и не зависит от
вида ФР B(t ) (т. е. не зависит от типа распределения) времени обслуживания. В формулах Эрланга величина p n имеет, очевидно, смысл вероятности потери требования.
Стационарное распределение числа требований в системе M / G / 
можно найти, очевидно, воспользовавшись предельным переходом при
n   в формуле (6.43):
yk y
pk 
e , k  0, 1, ... ,
k!
где y  a1 .
93