Тема «Построение графика функций y=|f(x)|».

Построение графика функций 𝑦 = |𝑓 (𝑥 )|
1.
Построим
график
функции
𝑦 = |𝑓(𝑥)|
с
помощью
преобразования графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Если исходная функция f на всей области определения принимает
только неотрицательные значения, т.е. если f(x) ≥ 0, то |f(x)| = f(x).
Поэтому график функции 𝑦 = |f(x)| совпадает с графиком функции 𝑦 = f(x).
Для всех функций, изображенных на рисунке 1, график функции f(x)
совпадает с графиком функции |f(x)|.
Рис.1
Если же функция f принимает только отрицательные значения на всей
области определения, т.е. если f(x) < 0, то по определению модуля |f(x)| =
−f(x). Это значит, что график функции 𝑦 = |f(x)| совпадает с графиком
функции 𝑦 = −f(x),
то есть симметричен графику функции y = f(x)
относительно оси 𝑂𝑥 (рис.2).
Рис.2
2. Обычно функция f(x) принимает как неотрицательные, так и
отрицательные значения (рис.3). «Раскрыв» модуль, получаем, что
|𝑓(𝑥)| = {

𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) ≥ 0
(1)
−𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) < 0
Выполнение для некоторого значения аргумента 𝑥0 условия
𝑓(𝑥0 ) ≥ 0 означает, что точка графика (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) лежит в верхней
полуплоскости, т.е. выше оси абсцисс или на самой оси. Для всех таких
значений аргумента, они на рисунке 3 обозначены сплошной линией,
выполняется равенство |f(x)| = f(x). Это означает, что для этих значений
аргумента график функции y = |f(x)| совпадает с графиком функции y =
f(x), или другими словами, все части графика функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), лежащие
выше оси абсцисс, являются также частями графика функции y = |f(x)|.
Рис. 3

Теперь рассмотрим те значения аргумента функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), при
которых функция принимает отрицательные значения, т.е. f(x) < 0. На
рисунке они обозначены пунктирной линией. Соответствующие этим
значениям аргумента части графика функции 𝑦 = f(x) лежат ниже оси
абсцисс. Из формулы (1) следует, что при f(x) < 0 выполняется равенство
|f(x)| = −f(x) и поэтому для рассматриваемых значений аргумента график
функции y = |f(x)| совпадает с графиком функции y = −f(x). График этой
функции симметричен графику функции y = f(x) относительно оси 𝑂𝑥.
Из вышесказанного вытекает способ построения графика функции 𝑦 =
|f(x)| исходя из графика функции y = f(x):
𝒇(𝒙)
|𝒇(𝒙)|
Чтобы получить график функции |𝒇(𝒙)|
из графика функции 𝒇(𝒙) необходимо:
 оставить без изменений части графика функции 𝒇(𝒙), лежащие
выше оси абсцисс OX
 отразить
симметрично
относительно
оси
абсцисс
OX
части
графика функции 𝒇(𝒙), лежащие ниже этой оси
Таким образом, последовательность построения графика функции 𝑦 =
|f(x)| исходя из графика функции y = f(x), будет выглядеть следующим
образом:
Рис. 3
Отметим, что область определения функции 𝑦 = |𝑓(𝑥)|
совпадает с
областью определения функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), а множество значений составляет
множество чисел |𝑐|, где 𝑐 ∈ 𝐸(𝑓).
3. Пример 1. Построить график функции y = |x 2 − x − 2|.
Сначала построим график функции y = x 2 − x − 2 (рис.4). Затем
преобразуем его по описанному выше правилу: те
части
параболы,
которые лежат выше оси абсцисс Ox, оставим без изменений, а части,
лежащие ниже оси абсцисс, отразим симметрично относительно этой оси. В
результате получаем график функции y = |x 2 − x − 2| (рис.5).
Рис. 5
Рис. 4
Пример 2. Построить график функции y = ||x − 1| − 2|.
Используя правила построения графиков вида 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑏 и 𝑦 = |𝑓(𝑥)|,
последовательно построим графики функций y = 𝑥 − 1, y = |x − 1|, y =
|x − 1| − 2, y = ||x − 1| − 2| (рис.6).
b)
a)
Рис. 6
c)
d)
Упражнения
1. Постройте график функции.
a) 𝑦 = |2𝑥 − 1|
b) 𝑦 = |𝑥 2 − 2𝑥 − 3|
c) 𝑦 = |𝑥 3 |
d) 𝑦 = |1 − 𝑥|
e) 𝑦 = | − 𝑥 2 + 3|
f) 𝑦 =
1
|𝑥|
2.
На рисунке изображен график функции y = f(x). Начертите
схематически график функции y = |𝑓(𝑥)|.
3. Для каких функций 𝑦 = 𝑓(𝑥) выполняется равенство 𝑓(𝑥) = |𝑓(𝑥)| для
всех 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓)?
4. Постройте график функции.
a) 𝑦 = ||𝑥 + 1| − 1|
b) y = ||x 2 − x − 2| − 4|
5. Найти множество значений функции 𝑦 = |f(x)|, если известно
множество значений функции 𝑦 = f(x).
a) (−6; −2)
d) [−2; 5]
b) (−∞; 1]
e) (−6; −2) ∪ (1; 3)
c) (−∞; −2) ∪ (10; ∞)
f) (−5; −4) ∪ (1; 2]
6. Пусть функция 𝑦 = f(x) – периодическая с периодом 𝑇. Докажите, что
функция 𝑦 = |f(x)| тоже является периодической с периодом 𝑇.
Приведите пример, когда наименьший период функции 𝑦 = f(x) не
является наименьшим периодом функции 𝑦 = |f(x)|.
7. Будет ли обратимой функция 𝑦 = |f(x)|, если функция 𝑦 = f(x)
обратима?