M-22_UC8-ch8

Глава 8
Функции и графики
§ 1 Переменные и зависимости между ними
Примеры и комментарии
1. Две величины x и y называются
прямо пропорциональными, если
их отношение постоянно, т. е. если
y
 k , где k – постоянное число,
x
не меняющееся с изменением
величин x и y. Коэффициент k
называется коэффициентом пропорциональности. Соотношение
прямой пропорциональности величин x и y можно записать так:
1
y = kx или x  y .
k
2. Две величины x и y называются
обратно пропорциональными, если их произведение постоянно,
т. е. если xy = k, где k – постоянное
число. Соотношение обратной
пропорциональности величин x и y
k
можно записать в виде y 
или
x
k
x .
y
3. Пусть газ находится в некотором резервуаре, объем которого
V мы можем менять. Одновременно будут меняться другие переменные, связанные с состоянием
газа, например, его температура T
и производимое им давление p.
Известен физический закон, по
которому эти три переменные V, T
и p связаны зависимостью
pV
 k , где k – некоторое посT
тоянное число. Можно зафиксировать одну из переменных и
изучать зависимость между двумя
другими.
Так при постоянной температуре
объем газа V и давление p
окажутся связанными обратно
пропорциональной зависимостью
(закон Бойля–Мариотта), а при
постоянном объеме давление
будет прямо пропорционально
температуре.
Движение является важнейшим примером процесса, в
котором участвуют различные связанные между собой
переменные величины, например, время, путь, скорость
и т. д.
Переменные величины, или просто переменные, будут
обозначаться буквами. Рассмотрим, например, движение
автомобиля. Обозначим через t – время, прошедшее от
начала движения, s – пройденный путь, v – его скорость.
Ясно, что эти три переменные зависят друг от друга.
Зависимость может быть выражена уравнением, т. е.
равенством, связывающим значения этих величин.
При равномерном движении автомобиля, т. е. при
движении с постоянной скоростью v, зависимость между
переменными t и s очень простая: s = vt. В более сложных
процессах число переменных может быть большим, и
зависимости между ними могут быть сложными.
Математика научилась следить одновременно за
изменением большого числа переменных, однако в
основе своей это умение основано на изучении
зависимостей между двумя переменными.
Выберем две переменные, которые обозначим через x и y.
Не будем заранее накладывать ограничения на то, какие
числовые значения они могут принимать. Приведем
примеры уравнений – зависимостей между переменными
x и y.
1. y = kx.
2. xy = k, k  0.
3. x2 + y2 = R2, R > 0.
4. ax + by + c = 0, a  0, b  0.
5. |x| + |y| = 1.
6. y2 = kx, k  0.
Проверь себя
1. Что
означает,
что
две
величины
прямо
пропорциональны?
2. Как
задается
обратно
пропорциональная
зависимость?
3. Что является графиком прямо пропорциональной
зависимости?
4. Какая
кривая
является
графиком
обратно
пропорциональной зависимости?
1
График зависимости
Зависимости между переменными x и y можно изобразить
графически. Выберем на плоскости декартову систему
координат и построим все точки P(x; y), координаты
которых x и y связаны данной зависимостью. Получится
график зависимости. Построим графики зависимостей для
приведенных нами примеров.
1. y = 2x
2. xy = 1
y
y
Примеры и комментарии
1. Если зависимость между переменными x и y задана уравнением,
то мы строим график этой зависимости, который представляет
собой некоторую кривую. В наших примерах это были прямая,
окружность, гипербола, парабола,
граница квадрата. Приведем еще
примеры.
1) x2 – y2 = 1
2
y
1
1
-1
0
x
1
0
x
1
-1
-1
График зависимости – прямая, проходящая через начало координат с угловым
коэффициентом k = 2.
3. x2 + y2 = 4
График зависимости называется равнобочной гиперболой.
4. x + 2y – 3 = 0
y
y
1
1
R
1
2
x
0
-1
x
1
0
График этой зависимости является
гиперболой. Его можно получить
1
из графика зависимости xy 
2
поворотом на угол 45 по часовой
стрелке.
2) y2 = x3
y
Q
P
0
-1
1
3
1
x
-1
0
x
1
-1
График зависимости – ок- График зависимости – пряружность с центром в точке мая, проходящая через точ0 и радиусом R = 2.
 3
ки P(3; 0), Q(1; 1), R  0;  .

2
2
5. |x| + |y| = 1
6. y = 4x
y
y
2
P
1
-1
0
1
x
0
1
График этой зависимости называют полукубической параболой.
2. Любую кривую на координатной плоскости можно считать графиком
зависимости
между
координатами точек этой кривой.
Уравнение
этой
зависимости
называется уравнением данной
кривой.
y
Пример
x
-1
P
1
-2
Q
График зависимости – квад- График этой зависимости
рат с вершинами в указан- называется параболой. Она
ных точках.
проходит
через
точки
P(1; 2) и Q(1; –2).
0
1
2
x
-1
Окружность радиуса 1 с центром в
точке P(1; 1) задается уравнением
(x – 1)2 + (y – 1)2 = 1.
2
§ 2 Функциональная зависимость
Примеры и комментарии
1. Задание функции формулой.
1) y = 2x + 3 – пример линейной
функции;
x-2
2) y 
– пример дробно-лиx 1
нейной функции;
3) y = x2 – 2x – пример квадратичной функции;
4) y  x – пример иррациональной функции.
Если функция задана формулой и
нет дополнительных указаний, то
ее областью определения считается множество всех чисел, для которых имеют смысл все действия
в этой формуле.
Областью определения первой и
третьей функций является множество всех вещественных чисел
R, во втором примере – множество
всех чисел, кроме x = –1, в
четвертом примере – множество
неотрицательных чисел x  0.
2. Из зависимости между двумя
переменными часто можно выразить одну из них как функцию от
другой.
Например,
из
соотношения
2x – 3y = 0 можно y выразить как
2
функцию от x: 3y = 2x  y  x .
3
Однако, если мы хотим считать
независимой переменной y, то
можно наоборот x выразить как
3
функцию от y: 2x = 3y  x  y .
2
3. Не всегда из зависимости
между двумя переменными любую из них можно выразить как
функцию другой. Так, из уравнения окружности x2 + y2 = 1
мы можем выразить y2 = 1 – x2,
но затем мы не можем однозначно найти y, так как, зная
его квадрат, при извлечении
квадратного корня из правой
части мы не будем знать, какой
знак взять у этого корня.
Из всех мыслимых зависимостей между переменными мы
выделим функциональные зависимости, или функции.
Такие зависимости описывают, как изменение одной
переменной (ее называют независимой переменной, или
аргументом) вызывает изменение другой, которая
оказывается тем самым зависимой от первой.
Определение. Пусть даны две переменные, обозначенные буквами x и y. Переменная y называется функцией
от переменной x, если задан способ, с помощью
которого для каждого значения переменной x можно
однозначно вычислить соответствующее значение
переменной y.
Функциональную зависимость переменной y от
переменной x записывают, используя букву f (первую
букву латинского слова functio):
y = f(x)
Множество чисел D, для которых задано правило
вычисления
функции,
называется
областью
определения функции.
Для того чтобы задать функцию, нужно:
1) указать правило вычисления ее значений;
2) описать ее область определения.
Правило вычисления значений функции может быть
задано:
2x
1) формулой; например, y = x2 + 2x, y 
;
x -1
2) словесным описанием; например, y равен наименьшему
целому числу, не превосходящему x;
3) таблицей; многие экспериментально полученные
зависимости имеют вид таблиц, в которых для значений
аргумента указываются значения функции;
4) программой; ряд важных функций «запрограммирован» – в вычислительном устройстве (калькуляторе, компьютере) записана программа, позволяющая вычислить
значение функции простым нажатием клавиши;
5) графиком; можно не только строить графики функции,
но и определять, задавать функцию с помощью графика;
6) любым другим способом, позволяющим для каждого
значения аргумента однозначно вычислить значение
функции.
3
График функции
Определение. Пусть дана функция y = f(x) с областью
определения D. Графиком функции f в системе
координат xOy называется множество точек с
координатами (x; f(x)), где x пробегает множество D.
Можно сказать, что точка P с координатами (x; y)
принадлежит графику функции f в том и только в том
случае, когда ордината этой точки, то есть число y, равна
значению функции f в точке x, то есть когда выполняется
равенство y = f(x). График функции – это совокупность
всех таких точек.
Что означает выражение: построить график функции?
Если функция f задана на числовом промежутке D, то
построить график, исходя из его определения, невозможно, так как нельзя перебрать все точки x из множества
D – их бесконечно много. Однако некоторого конечного
количества точек будет достаточно наглядно определять
форму графика. При этом чем больше точек мы построим,
тем точнее будем представлять себе график функции.
На рисунке изображен график некоторой функции y = f(x).
y
Можно указать несколько важнейших
x
P 0
R
свойств этого графика, знания которых
обычно достаточно,
Q
чтобы
построить
примерный
его
M
эскиз.
1) Точки пересечения с осями: P(–1; 0), Q(0; –3), R(3; 0).
2) Ось симметрии x = 1.
3) Самая нижняя точка графика M(1; –4).
4) Характер движения по графику: убывание до x = 1 и
возрастание после этой точки.
Такого рода свойства вместе составляют схему
исследования функции, которая позволяет приближенно
построить ее график. Этой схеме будет посвящен
отдельный параграф.
Примеры и комментарии
1. График сам по себе может служить способом задания функции.
2. Часто на практике функция
задается не формулой, а таблицей
значений. Например, в таблице
приведены значения курса доллара в рублях за 6 первых дней
месяца. Независимой переменной
x является номер дня (от 1 до 6), а
функцией y – число, показывающее курс доллара в день с номером x. Так мы построим функцию
y = f(x), заданную для конечного
множества значений x. Графиком
такой функции будет конечный
набор их 6 точек. Для наглядности
эти точки соединяют отрезками и
ломаную считают графиком курса
доллара.
x
y
1
2
3
4
5
6
25,95 26,0 26,25 26,0 26,0 25,95
Обратите внимание, что по оси y
отложены значения от 25,8 до
26,3. Разумеется, начало оси y тем
самым находится не в точке O, а
гораздо ниже. Аналогично и по
оси x откладывают номера дня
так, чтобы первый из них
приходился на O (наш график
сдвинут вправо на 1). Заметьте,
что масштабы по осям x и y
выбраны так, чтобы было удобно
наносить точки.
4
§ 3 Стандартные функции
Примеры и комментарии
1.
k>0
y
2
P
y = 2x
0
k<0
2.
1
x
y
k>0
1
y=-1 x
2
0
2 x
y
2
2
y= x
1
0
1
x
2. y 
y
k<0
1
-1
0
1
x
-1
y= - 1
x
3.
a>0
К стандартным, наиболее часто встречающимся
функциям мы отнесем функции следующих трех видов:
k
y = kx, y  , y = ax2. Первые две происходят от прямой и
x
обратно пропорциональной зависимостей, третья описывает простейшую квадратичную зависимость.
1. y = kx, k  0.
Функция определена при всех значениях x. Она имеет
такой смысл: переменная y прямо пропорциональна
переменной x с коэффициентом пропорциональности k.
Графиком функции y = kx является прямая, проходящая
через начало координат. Коэффициент k определит ее
наклон к оси x. Часть этой прямой, находящаяся в
верхней полуплоскости, составляет при k > 0 острый угол
с положительным направлением оси абсцисс и тупой угол
при k < 0. Для построения прямой достаточно построить
еще одну точку, кроме начала координат, например,
P(1; k).
y
y = 2x 2
k
, k  0.
x
Функция определена при всех x  0. Она имеет такой
смысл: переменная y обратно пропорциональна
переменной x с коэффициентом пропорциональности k.
k
Графиком функции y 
будет кривая, называемая
x
гиперболой. Она расположена в первой и третьей
четвертях при k > 0 и во второй и четвертой четвертях
при k < 0.
1
0
a<0
1
y
x
y = -x 2
0
1
-1
x
3. y = ax2, a  0.
Функция определена при всех значениях x. Она имеет
такой смысл: переменная y квадратично зависит от
переменной x, т. е. y пропорциональна квадрату
переменной x с коэффициентом пропорциональности a.
Графиком функции y = ax2 является кривая, называемая
параболой. Она расположена в верхней полуплоскости
при a > 0 и в нижней при a < 0.
5
Симметрия
Графики стандартных функций симметричны: графики
прямой и обратно пропорциональной зависимостей
имеют центр симметрии – начало координат, график
квадратичной зависимости – ось симметрии, ось ординат.
Эти свойства наглядны геометрически. Выясним, как они
выражаются с помощью формул.
1) Центральная симметрия
Точкой, симметричной точке P(x; y) относительно начала
координат, будет точка P, у которой обе координаты
равны координатам точки P, взятым с противоположным
знаком: P(–x; –y).
2) Осевая симметрия
Точкой, симметричной точке P(x; y) относительно оси
ординат, будет точка P, абсцисса которой равна абсциссе
точки P, взятой с противоположным знаком, а ордината
совпадает с ординатой точки P: P(–x; y).
Отсюда ясно, как проверить наличие симметрии у
произвольной функции y = f(x). Ее график будет
центрально
симметричным
относительно
начала
координат, если вместе с любой точкой P(x; y) этого
графика точка P(–x; –y) также принадлежит графику.
Иными словами, при замене x на –x значение функции
должно быть взято противоположным: f(–x) = –y, т. е. f(–
k
y
x) = –f(x). Ясно, что функции y = kx и
x
k
k
- .
удовлетворяют этому условию: k(–x) = –kx и
-x
x
График функции y = f(x) будет иметь симметрию
относительно оси ординат, если он вместе с точкой P(x; y)
содержит точку P(–x; y). Иными словами, при замене x на
–x значение функции не должно меняться: f(–x) = y, или
f(–x) = f(x). Ясно, что функции y = ax2 обладают этим
свойством: a(–x)2 = ax2.
Функции, графики которых симметричны относительно
начала координат, называют нечетными функциями.
Функции, графики которых симметричны относительно
оси ординат, называют четными функциями.
k
Итак, функции y = kx и y  нечетны, а функция y = ax2
x
четна.
Примеры и комментарии
1. Точки P(2; 1) и P(–2; –1) симметричны относительно начала
координат.
y
P(2; 1)
1
-2
0
1
2
x
-1
P (- 2; -1)
2. Точка P(–2; 1) симметрична
точке P(2; 1) относительно оси ординат. Точка P(2; –1) симметрична ей относительно оси абсцисс.
y
P
P
1
-2
0
1
-1
2 x
P
3. Построим график функции
1
y  . Для построения графика
x
полезно составить таблицу значений для нескольких значений
аргумента.
Приведем
такую
таблицу для k = 1.
x
1
y
x
0,1
10
0,5
2
1
1
2
0,5
10
0,1
Из таблицы видно, что у точек с
близкими к нулю абсциссами
ординаты быстро растут (скажем,
если x = 0,001, то y = 1000) и
наоборот (если x = 1000, то
y = 0,001).
Строим график, плавно соединяя
построенные точки, а затем строим вторую часть графика, симметричную первой относительно начала координат. График функции
k
y  при k < 0 симметричен граx
-k
фику функции y 
относиx
тельно оси ординат.
Проверь себя
1. Графики каких стандартных
функций вы знаете?
2. Дан график функции y = f(x).
Как построить графики функций:  y = f(–x),
 y = –f(x),
 y = –f(–x)?
6
§ 4 Схема исследования функции
Примеры и комментарии
1. Запишем области определения
D некоторых функций.
1) y = 2x – 1, D = R;
1
2) y 
, D: x  1;
x -1
3) y  1 - x , D: x  1;
4) y = –x2, D = R.
2. Область определения может
задаваться отдельным указанием и
отличаться
от
естественной
области определения. Например,
может встретиться такая запись:
y = x2, x  0.
3. Нахождение промежутков знакопостоянства тесно связано с
нахождением нулей функции. Часто бывает так, что проходя через
нуль, функция меняет знак. Эти
случаи изображены на графике.
1
Функции y = x2 и y  дают приx
меры, когда промежутки знакопостоянства не связаны с нулями
функции. Первая из них обращается в нуль при x = 0, но проходя
через эту точку, функция знака не
меняет. Вторая меняет знак при
переходе через x = 0, но в этой
точке функция не определена.
y
0
x
y
0
x
1. Исследование функции начинается с явного описания
ее области определения. Напомним, что если функция
задана формулой и нет дополнительных указаний, то ее
областью определения считается (по умолчанию)
множество всех вещественных чисел, при которых можно
выполнить все операции, входящие в формулу, и
вычислить ее значение.
2. Полезно сразу найти нули функции, т. е. значения
аргумента, при которых функция обращается в нуль.
Найти нули функции y = f(x) – это то же самое, что
решить уравнение f(x) = 0.
3. Важным элементом исследования является нахождение
промежутков, на которых функция сохраняет постоянный
знак – промежутки знакопостоянства. Для этого надо
решить неравенства f(x) > 0, f(x) < 0. Ясно, что достаточно
решить одно из этих неравенств.
Далее надо обратиться к исследованию того, как
меняются значения функции при значениях аргумента,
движущихся по области определения «слева направо»,
т. е. в порядке их возрастания.
4. При таком движении аргумента функция может то
убывать, то возрастать. При этом, как правило, всю
область определения можно разбить на некоторое
количество промежутков, на каждом из которых
сохраняется характер изменения функции, или как
говорят, ее монотонность – на таком промежутке
функция или убывает, или возрастает.
5. Наконец, следует найти наибольшее и наименьшее
значения функции на всей области определения. Для
многих функций они оба или одно из них могут не
существовать. Например, ясно, что функция y = x
принимает любые значения, среди которых нет ни
набольшего, ни наименьшего.
6. Завершается исследование описанием множества
значений функции, которое тесно связано с нахождением
наибольших и наименьших значений.
Сведем пункты исследования функции y = f(x) в одну
схему.
7
1.
Примеры и комментарии
Чтение графика
Область определения
на графике – это
проекция графика на
ось абсцисс.
a
y
y
y = f(x )
y x
b
0
x
0
D: x  0
D(f) = [a; b]
2.
y
Нули функции – это
точки пересечения ее
графика
с
осью
абсцисс.
y
Промежутки знакопостоянства – это
промежутки на оси x,
где
f(x) > 0
или
f(x) < 0.
x
0
y
5.
6.
Промежутки монотонности – это промежутки на оси x,
где f(x) либо убывает
(), либо возрастает
().
Наибольшее и наименьшее значения –
для их нахождения
надо найти самую
высокую и самую
низкую точки графика.
Множество значений
функции – это проекция графика на ось
ординат.
-1
0
1
x
f(x) = 0  x = 1
y
y = - x 2- 2x
-2
-1
x2
x1
a
0
b
0
x
x
f(x) > 0: –2 < x < 0
f(x) < 0: x < –2; x > 0
f(x) > 0: [a; x1), (x2; b]
f(x) < 0: (x1; x2)
4.
y = x2 - 1
x2
x1
f(x) = 0  x = x1, x = x2
3.
x
y
y
y = 1x
-1
m1
a
m2
0
b
0
x
f : [m1; m2]
f : [a; m1], [m2; b]
x
1
y : (–; 0), (0; +)
y
y
y = x2 - 1
M
0
x
m
-1
0
1
-1
y = M – наибольшее значение,
y = m – наименьшее значение
y
y = –1 – наименьшее значение,
наибольшего значения нет
1
0
0
y = - x 2- 2x
y
M
a
x
m
b
x
x
Множество значений: x  1.
Множество значений: [m; M]
8
§ 5 Движение графика функции
1. Параллельный перенос вдоль оси ординат
Сравним графики функций y = f(x) и y = f(x) + 1.
Построить графики функций.
x 1
1
Пусть точка P(a; b) лежит на графике первой функции,
1. y 
1
x
x
т. е. b = f(a). Тогда точка P(a; b + 1) лежит на графике
1
График функции y 
сдвигаем второй функции.
x
Вывод: график функции y = f(x) + 1 получается из графика
на 1 вверх.
функции y = f(x) подъемом этого графика вверх на 1, т. е.
y
параллельным переносом на 1 вдоль оси ординат.
2
Примеры и комментарии
y
y = f( x) + 1
1
0
1
x
+1
y = f( x)
2. y = x2 – 4
График функции y = x2 опускаем
вниз на 4. Отмечаем нули
функции.
y
2
0
x
В общем виде график функции y = f(x) + y0 получается из
графика функции y = f(x) параллельным переносом на y0
вдоль оси ординат. Если y0 > 0, движение графика
происходит вверх, если y0 < 0, то вниз.
1
2. Параллельный перенос вдоль оси абсцисс
Сравним графики функций y = f(x) и y = f(x – 1).
Пусть f(a) = b, т. е. точка P(a; b) лежит на графике первой
функции. Чтобы получить для второй функции то же
-4
значение b, надо взять x = a + 1: f(a + 1 – 1) = f(a) = b. Это
3. y = (x – 1)2
График функции y = x2 сдвигаем означает, что точка P(a; b) на графике функции y = f(x)
отвечает точке P(a + 1; b) на графике функции y = f(x –
на 1 вправо.
y
1).
Вывод: график функции y = f(x – 1) получается из графика
1
функции y = f(x) сдвигом вправо на 1, т. е. параллельным
переносом на 1 вдоль оси абсцисс.
x
0
1
-2
0
1
2 x
y
1
4. y 
x 1
y = f( x)
1
1
График функции y 
сдвигаем
x
на 1 влево.
y
1
1
0
x
y = f( x-1)
0
x
В общем виде график функции y = f(x – x0) получается из
графика функции y = f(x) параллельным переносом на x0
вдоль оси абсцисс. Если x0 > 0, график движется вправо,
если x0 < 0, то влево.
9
Симметрия
1. Симметрия относительно оси абсцисс
Сравним графики функций y = f(x) и y = –f(x).
y
Точка (a; b) первого графика соответствует точке
(a; –b) второго. Это озна0
чает, что графики функций
y = f(x) и y = –f(x) симметричны относительно оси
абсцисс.
Примеры и комментарии
Построить графики функций.
1. y = –(x + 1)2
Строим график функции y = x2,
сдвигаем его влево на 1 и отражаем относительно оси абсцисс.
y = f( x)
y
x
2
1
y = -f( x)
2. Симметрия относительно оси ординат
Сравним графики функций y = f(x) и y = f(–x).
y
Точка (a; b) первого граy = f( x)
фика соответствует точке
(–a; b) второго. Это означает, что графики функций
0
b
a
y = f(x) и y = f(–x) симметx
y = f(- x)
ричны относительно оси
ординат.
Обратим внимание на то, что области определения
функций y = f(x) и y = f(–x) симметричны друг другу и
могут оказаться различными. Если первая функция
определена на промежутке [a; b], то вторая – на
промежутке [–b; –a].
3. Центральная
симметрия
относительно
начала
координат
Сравним графики функций y = f(x) и y = –f(–x).
y
Точке P(a; b) графика первой
y = f( x)
функции можно сопоставить
точку P(–a; –b), которая лежит
на графике второй. Это ознаx
0
чает, что график функции
y = –f(–x) получается из граy = - f( - x)
фика y = f(x) симметричным
отражением относительно начала координат. Это не
является удивительным, так как смена знака у x означает
симметрию относительно оси x, а смена знака у y –
симметрию относительно оси y. Последовательное
выполнение этих двух симметрий и дает центральную
симметрию.
0
1
x
-1
x
x -11
1

1
x -1
x -1
x -1
График функции получится из
1
графика функции y 
двумя
x
параллельными переносами вдоль
координатных
осей.
Сначала
можно сдвинуть вдоль оси y на 1 в
положительном направлении, а
затем вдоль оси x на –1 в
отрицательном (т. е. на +1 в
положительном).
2. y 
y
1
-1
0
1
2
x
-1
3. y = x2 – 2x + 3
x2 – 2x + 3 = (x – 1)2 + 2
Для построения графика можно
последовательно
сделать
два
параллельных переноса графика
функции y = x2: вдоль оси x на +1
и вдоль оси y на +2.
y
2
1
0
1
x
-1
10
§ 6 Решение уравнений и неравенств по графику
Примеры и комментарии
1. Исследовать корни уравнения
x2 + 2x – a = 0 в зависимости от
параметра a.
Для решения начертим график
функции y = x2 + 2x. Чтобы найти
корни уравнения x2 + 2x – a = 0,
перепишем его в виде x2 + 2x = a и
проведем прямую y = a, параллельную оси абсцисс.
y = x 2+ 2 x
Корни уравнения f(x) = 0 – это нули функции y = f(x).
y
y = f( x)
x1
x2 0
x
y
y= a>1
1
-1
0
1
x1, x2 – корни уравнения f(x) = 0.
x
y = a < -1
В зависимости от a эта прямая
либо совсем не будет пересекать
график функции y = x2 + 2x, либо
касаться его в одной точке, либо
пересекать его в двух точках.
Точку касания найти легко – это
вершина параболы P(–1; –1). По
графику мы видим, что при a < –1
уравнение не имеет корней, при
a = –1 оно имеет один корень
x = –1, при a > –1 оно имеет два
корня.
По графику можно получить дополнительную информацию о корнях уравнения (когда их два, т. е.
когда a > –1). Например, видно,
что пока a < 0 оба корня будут
отрицательны, а при a > 0 они
будут разных знаков. Впрочем,
для этого простого примера эту
информацию можно получить и из
теоремы Виета, зная, что произведение корней равно –a, а их
сумма отрицательна (равна –2).
1
2. Не решая уравнение
 2 x  1,
x
найти количество корней.
y
Строим граy = 2x + 1
2
фики функ1
y= x
1
1
ций y  и
0 1
x
x
y = 2x + 1.
По графику
видно, что уравнение имеет два
корня.
Корни уравнения f(x) = a – это абсциссы точек
пересечения графика функции y = f(x) с прямой y = a.
y
y = f ( x)
a
x1
0 x2
x
x1, x2 – корни уравнения f(x) = a.
Корни уравнения f(x) = g(x) – это абсциссы точек
пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x).
y
y = f( x)
y = g( x)
x1
0
x2
x
x1, x2 – корни уравнения f(x) = g(x).
11
Неравенства
Для того чтобы графически решить неравенство вида
f(x) > 0, надо найти точки, где функция меняет знак.
Прежде всего, это может быть в нулях этой функции, а
также в точках, где функция не определена.
y
y = f( x)
Примеры и комментарии
1. Решить графически неравенство
2x – 5 > 1 – x.
Строим прямые y = 2x – 5 и y =
= 1 – x и находим точку их
пересечения: 2x – 5 = 1 – x 
3x = 6, x = 2.
y
y = 2x - 5
1
x1
a x2
0
2
x
0
x
1
y=1 - x
f(x) > 0 при x1 < x < a и x > x2
Для графического решения неравенства вида f(x) > a надо Ответ: x > 2. Разумеется, этот
найти точки пересечения графика с прямой y = a.
ответ
можно
получить
и
y
вычислением: 2x – 5 > 1 – x 
y = f( x)
2x + x > 1 + 5  3x > 6  x > 2,
a
x1
x2 0
x3
x
f(x) > 0 при x1 < x < x2 и x > x3
Для графического решения неравенство вида f(x) > g(x)
надо найти точки пересечения графиков функций y = f(x)
и y = g(x).
y
y = f( x)
однако часто графики построить
легче.
2. Решить графически неравенство
1
4x – x2 > .
x
Строим графики функций y =
1
= 4x – x2 и y = .
x
y
4
x1
0
x2
2 3 x3
x
y = g( x)
-3
x1
x2 0
x3
f(x) > g(x) при x1 < x < x2 и x > x3
x
По графику видно, что кривые
пересекаются в трех точках,
причем x1  (–1; 0), x2  (0; 1),
x3  (x3; x4). Надо также учесть
1
точку x = 0, где функция y =
не
x
определена.
Ответ: x1 < x < 0 и x2 < x < x3.
12
Беседа 10 Развитие понятия функции
История
Ферма
1601 – 1665
Галилей
1564 – 1642
Ньютон
1643 – 1727
Лейбниц
1646 – 1716
Идея функциональной зависимости также восходит к
древним источникам, однако явное применение понятия
функции нужно отнести к XVII веку. Важнейшей новой
идеей, которая возникла в это время, является идея
переменных, с которой в математику пришло движение,
изменение, процессы, наблюдаемые во времени. Развитие
этой идеи связано с великими именами Декарта, Ферма,
Галилея, Ньютона и Лейбница. Все эти имена уже
появлялись в нашем курсе, и мы еще неоднократно будем
обращаться к ним впредь.
Cogito, ergo sum –
Мыслю, следовательно, существую.
Эти великие слова сказал почти
четыреста лет назад французский
ученый Рене Декарт.
Рене Декарт родился 31 марта 1596 г.
в дворянской семье. Он воспитывался и получил
образование в колледже, находившемся в ведении
католического монашеского ордена иезуитов.
В колледже он заинтересовался естествознанием, географией и математикой. Вот что позже писал сам Декарт:
«Как только возраст мне позволил … я совершенно
оставил изучение наук и решил не искать новой науки,
кроме той, которую мог бы обрести в самом себе и в
великой книге природы. Я использовал оставшиеся молодые годы на то, чтобы путешествовать, видеть дворы и
армии, изучать людей различных характеров…». Желая
осуществить мечту о путешествиях, Декарт поступает в
голландскую армию и принимает участие в Тридцатилетней войне. Закончив военную службу, он пробыл некоторое время в Париже.
В 1629 г. Декарт переселился в Голландию, где написал
важнейшие свои труды. Наряду с выдающимися математическими исследованиями он открыл один из основных
законов оптики, сформулировал закон сохранения
количества движения, разработал новую гипотезу о
происхождении планет, создал теорию кровообращения и
сделал значительный вклад в области философии.
Вышедшее в 1637 г. в Лейдене (Голландия) его философское произведение «Рассуждение о методе» содержало основы новой математической науки – аналитической геометрии, базирующейся на методе координат. Этот
год по праву считают началом современной математики.
13
Определение функции
Термин «функция» стал употребляться Лейбницем и его
учеником Иоганном Бернулли с 1698 года. Определение
функции, данное И. Бернулли, выглядит в переводе так:
«Функцией переменной величины называется количество,
образованное каким угодно способом из этой переменной
и постоянных».
Некоторое время понятие функции сближалось с
понятием формулы. Так Л. Эйлер в 1748 году, уточняя
определение Бернулли, пишет: «Функция переменного
количества есть аналитическое выражение, составленное
каким-то образом из этого количества и чисел».
Замечательный русский математик Н. И. Лобачевский,
чье имя мы всегда связываем с открытием «геометрии
Лобачевского», «неевклидовой геометрии», незадолго
вслед за Эйлером (в районе 1755 года) писал: «Общее
понятие требует, чтобы функцией от x называть число,
которое дается для каждого x и вместе с x постепенно
изменяется. Значение функции может быть дано или
аналитическим выражением, или условием, которое
подает средства испытывать все числа и выбирать одно из
них…».
Мы сейчас пользуемся определением, которое было дано
еще в 1837 году немецким математиком Дирихле: «y есть
функция переменной x, если каждому значению x
соответствует совершенно определенное значение y,
причем безразлично, каким образом установлено это
соответствие – аналитической формулой, графиком,
таблицей либо даже просто словами».
Развитие понятия функции не остановилось в XVIII веке,
хотя мы, прежде всего, используем определения функции,
близкие к приведенному. В конце XIX века
сформировалось понятие отображения, развивающее
понятие числовой функции. Отображение – закон, по
которому каждому элементу x некоторого заданного
числового множества X сопоставляется однозначно
определенный элемент y другого заданного множества Y
(при этом множества X и Y могут совпадать, например,
X = Y = R). Такое соотношение между элементами x  X и
y  Y стали записывать в дальнейшем y = f(x). Говорят,
что отображение f действует из X в Y и пишут f: X  Y
f
или X  Y.
Леонард Эйлер
1707–1783
Леонард
Эйлер
родился
в
Швейцарии, но большую часть
жизни прожил и проработал в
России, женился на русской, опубликовал в России большинство
своих трудов, умер и похоронен в
Петербурге.
Классический труд Эйлера «Введение в анализ бесконечных»
переиздается до сих пор. Именем
Эйлера названы десятки теорем,
формул и понятий из всех
областей математики.
Мы столкнемся с именем Эйлера
повсюду – в геометрии (прямые
Эйлера в треугольнике, формула
Эйлера e + f = k + 2, связывающая
число вершин, граней и ребер
многогранника), теории чисел
(функция Эйлера (n) – число
натуральных чисел до n, взаимно
простых с n), теории графов
(эйлеровы пути – конфигурации,
которые можно начертить, не
проходя дважды по одному участку),
математическом
анализе
(впечатляющая формула Эйлера
ei= –1, соединяющая знаменитые
числа), в тригонометрии (ему принадлежит большинство современных обозначений в теории тригонометрических функций), комбинаторике – задача Эйлера о 36
офицерах и т. д.
14