Рекомендовано УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры правовой информатики, информационного права Учебно-методическим советом и естественнонаучных дисциплин ЦФ ФГБОУ ВПО «РАП» Протокол № 08 от « 25» марта 2014 г. Протокол № 07 от «26» марта 2014 г. Директор ____________ Е.А. Федосов ПРОГРАММА вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика» (письменный экзамен) направление подготовки 38.03.02 Менеджмент (квалификация академический «бакалавр») Воронеж 2014 2 1. ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ АБИТУРИЕНТОВ Программа вступительного испытания по общеобразовательному предмету «Математика» составлена на основе федерального компонента государственного стандарта основного общего образования и предназначена для абитуриентов, поступающих в Центральный филиал ФГБОУВПО «Российская академия правосудия» по направлению подготовки 080200.62 Менеджмент (квалификация (степень) «бакалавр»). Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но и элементом общей культуры, необходимым для усвоения значительной части учебных дисциплин по направлению Менеджмент. Поэтому вступительный экзамен по математике является профилирующим экзаменом для абитуриентов по данному направлению. Вступительный экзамен проводится в письменной форме по тестовым заданиям. Требования (умения), проверяемые заданиями, представлены ниже. Номер темы 1 2 3 Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы Уметь выполнять вычисления и преобразования: Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции Уметь решать уравнения и неравенства: Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы Уметь выполнять действия с функциями: Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций Вычислять производные и первообразные элементарных функций Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшее и наименьшее значения функции 3 Номер темы 4 5 6 Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами: Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами Уметь строить и исследовать простейшие математические модели: Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения Моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и статистики, вычислять в простейших случаях вероятности событий Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: Анализировать реальные числовые данные, информацию статистического характера; осуществлять практические расчеты по формулам; пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках Решать прикладные задачи, в том числе социально- экономического и физического характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения 4 2. СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ Тема 1. Алгебра Числа, корни и степени. Целые числа. Степень с натуральным показателем. Дроби, проценты, рациональные числа. Степень с целым показателем. Корень степени n 1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Свойства степени с действительным показателем. Основы тригонометрии. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла. Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Логарифмы. Логарифм числа. Логарифм произведения, частного, степени. Десятичный и натуральный логарифмы, число е. Преобразования выражений. Преобразования выражений, включающих арифметические операции. Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень. Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени. Преобразования тригонометрических выражений. Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования. Модуль (абсолютная величина) числа. Тема 2. Уравнения и неравенства Уравнения. Квадратные уравнения. Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Тригонометрические уравнения. Показательные уравнения. Логарифмические уравнения. Равносильность уравнений, систем уравнений. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений с двумя переменными и их систем. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений. Неравенства. Квадратные неравенства. Рациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Системы линейных неравенств. Системы неравенств с одной переменной. Равносильность неравенств, систем неравенств. Использование свойств и графиков функций при решении неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений неравенств с двумя переменными и их систем. Тема 3. Функции Определение и график функции. Функция, область определения функции. Множество значений функции. График функции. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Обратная функция. График об- 5 ратной функции. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат. Элементарное исследование функций. Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания. Четность и нечетность функции. Периодичность функции. Ограниченность функции. Точки экстремума (локального максимума и минимума) функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Основные элементарные функции. Линейная функция, ее график. Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график. Квадратичная функция, ее график. Степенная функция с натуральным показателем, ее график. Тригонометрические функции, их графики. Показательная функция, ее график. Логарифмическая функция, ее график. Тема 4. Начала математического анализа Производная. Понятие о производной функции, геометрический смысл производной. Физический смысл производной, нахождение скорости для процесса, заданного формулой или графиком. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Вторая производная и ее физический смысл. Исследование функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социальноэкономических, задачах. Первообразная и интеграл. Первообразные элементарных функций. Примеры применения интеграла в физике и геометрии. Тема 5. Геометрия Планиметрия. Треугольник. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Трапеция. Окружность и круг. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Многоугольник. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники. Вписанная окружность и описанная окружность правильного многоугольника. Прямые и плоскости в пространстве. Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых. Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства. Параллельность плоскостей, признаки и свойства. Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трех перпендикулярах. Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства. Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур. Многогранники. Призма, ее основания, боковые ребра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма. Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида. Сече- 6 ния куба, призмы, пирамиды. Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр). Тела и поверхности вращения. Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Шар и сфера, их сечения. Измерение геометрических величин. Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Угол между прямыми в пространстве; угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями. Длина отрезка, ломаной, окружности, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми, расстояние между параллельными плоскостями. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы. Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара. Координаты и векторы. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Формула расстояния между двумя точками; уравнение сферы. Вектор, модуль вектора, равенство векторов; сложение векторов и умножение вектора на число. Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем некомпланарным векторам. Координаты вектора; скалярное произведение векторов; угол между векторами. Тема 6. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей Элементы комбинаторики. Поочередный и одновременный выбор. Формулы числа сочетаний и перестановок. Бином Ньютона. Элементы статистики. Табличное и графическое представление данных. Числовые характеристики рядов данных. Элементы теории вероятностей. Вероятности событий. Примеры использования вероятностей и статистики при решении прикладных задач. 7 3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА И СТРУКТУРА ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ Вступительный письменный экзамен по математике проводится по потокам в следующем порядке: - абитуриенты к началу установленного расписанием времени занимают места в аудитории, и до них доводится порядок проведения экзамена. Члены экзаменационной подкомиссии собирают экзаменационные листы кандидатов и взамен выдают экзаменационные листы и листы для ответа; - каждый экзаменующийся заполняет титульный лист; - вся письменная работа, как в чистовом, так и в черновом варианте, выполняется только на специальных бланках ответа установленной формы, выдаваемых каждому абитуриенту членами приёмной комиссии (подписывать или делать на них какие-либо пометки, позволяющие установить её автора, не разрешается); - не разрешается на письменном экзамене пользоваться справочниками и другими учебно-методическими материалами; - не разрешается при выполнении письменной работы использовать ручки с красными чернилами или красной пастой, а также делать записи и выполнять рисунки карандашом; - для написания письменного экзамена отводится четыре астрономических часа (240 минут) с момента полной раздачи экзаменационных вариантов всему потоку; - после выполнения работы или по истечении времени, отведенного на письменный экзамен, бланки ответа сдаются членам экзаменационной подкомиссии, которые возвращают экзаменационные листы, предварительно сверив все данные, указанные в титульных листах; - по окончании экзамена все письменные работы передаются ответственному секретарю для шифровки; - зашифрованные титульные листы хранятся в сейфе у ответственного секретаря, а листы-вкладыши возвращаются председателю подкомиссии; - при обнаружении на листах-вкладышах подписи или других надписей, не относящихся к работе, письменная работа проверяется двумя членами экзаменационной подкомиссии в присутствии председателя (заместителя председателя, ответственного секретаря) приёмной комиссии; - проверка остальных письменных работ производится в специально выделенном для этой цели служебном помещении членами подкомиссии. Лица, не имеющие отношения к экзамену, к проверке указанных работ не допускаются; - оценка по письменной работе проставляется на последней странице чистового листа бланка ответа и заверяется подписью проверяющего (проверяющих), одновременно оценка проставляется в экзаменационную ведомость с занесением в неё девиза (шифра) кандидата; - при проверке письменных работ разрешается использовать «олимпиадную» систему, при которой один член подкомиссии проверяет во всех работах 8 один и тот же номер задания с выставлением за него оценки под роспись. Всю работу в этом случае оценивает председатель подкомиссии на основании выставленных членами комиссии баллов; - по окончании проверки все письменные работы и экзаменационные ведомости передаются ответственному секретарю для расшифровки и выставления набранной суммы баллов в экзаменационные листы кандидатов. Структура письменных экзаменационных работ по математике аналогична структуре письменных тестов при сдаче единого государственного экзамена (ЕГЭ) по данному предмету и состоит из двух частей. Часть 1 содержит 14 заданий (В1-В14) с кратким ответом (в виде целого числа или конечной десятичной дроби) базового уровня по материалу курса математики. Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1-С6) по материалу курса математики. При их выполнении надо записать полное решение и записать ответ. Каждый вариант письменной экзаменационной работы содержит 20 заданий, из них: заданий по алгебре и началам анализа 14, по геометрии 6. Заданий базового уровня сложности 14, повышенного 4, высокого 2. Предполагается, что аналогичные задания в различных вариантах равноценны. Общий план экзаменационной работы, максимальные баллы за выполнение конкретного задания, а также примерное время их выполнения представлены ниже. Максимальный Проверяемые элементы содержабалл за выния и виды деятельности полнение задания Базовый уровень сложности задания Примерное время выполнения задания (мин.) Задание В1. Дроби, проценты, рациональные числа. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и в повседневной жизни 2 2 Задание В2. Графическое представление данных. Анализ данных. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и в повседневной жизни 2 2 Задание В3. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора. Декартовы координаты на плоскости. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 2 3 9 Проверяемые элементы содержания и виды деятельности Задание В4. Табличное представление данных. Прикладные задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Задание В5. Уравнения. Уметь решать уравнения и неравенства Задание В6. Планиметрия. Треугольник, трапеция, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Окружность и круг. Угол. Нахождение элементов и величин в различных геометрических фигурах. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Задание В7. Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений. Уметь выполнять вычисления и преобразования Задание В8. Графики функции, производных функций. Исследование функций. Уметь выполнять действия с функциями Задание В9. Многогранники. Измерение геометрических величин. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Задание В10. Элементы теории вероятностей. Уметь строить и исследовать простейшие математические модели Задание В11. Многогранники. Тела вращения. Прямые и плоскости в пространстве. Измерение геометрических величин. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами Задание В12. Прикладные задачи. Осуществление практических расчетов по формулам. Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Максимальный балл за выполнение задания Примерное время выполнения задания (мин.) 2 3 3 7 3 5 3 3 3 5 3 5 3 10 3 10 3 10 10 Проверяемые элементы содержания и виды деятельности Максимальный балл за выполнение задания Задание В13. Составление уравнений и неравенств по условию задач. Их решение. Уметь 3 строить и исследовать простейшие математические модели Задание В14. Исследование функций. Применение 3 производной функции. Уметь выполнять действия с функциями Повышенный уровень сложности задания Задание С1. Уметь решать уравнения и неравен8 ства Задание С2. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векто8 рами Задание С3. Уметь решать уравнения и неравен9 ства Задание С4. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векто9 рами Высокий уровень сложности задания Задание С5. Уметь решать уравнения и неравен14 ства Задание С6. Уметь строить и исследовать про14 стейшие математические модели Примерное время выполнения задания (мин.) 5 5 20 25 25 25 30 40 Общее количество баллов составляется начислением их в зависимости от точности и полноты ответов, распределенных по частям В и С, и может достигнуть максимальных 100 баллов. Выставление максимального количества баллов осуществляется только после повторной проверки работы председателем предметной экзаменационной комиссии, или, в спорных случаях, комиссией, назначаемой председателем Приемной комиссии. Аналогичным образом выставляется количество баллов, не превышающее низшего порогового значения. Критерии проверки и оценки выполнения заданий. Задания части 1 считаются выполненными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Оценки заданий части 2 зависят от полноты решения и правильности ответа. 11 Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым ответом: решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены, из него должен быть понятен ход рассуждений абитуриента. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальный балл. Члены комиссии проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают. В критериях оценивания конкретных заданий, приведенных ниже, содержатся общие требования к выставлению баллов. Задание С1 С2 С3 С4 Критерии оценивания выполнения заданий Баллы Обоснованно получен правильный ответ 8 Верно найдены нули числителя, но или не произведен от5 бор найденных решений, или допущены ошибки в отборе Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0 численных выше Обоснованно получен правильный ответ 8 Способ нахождения искомого угла правильный, но полу5 чен неверный ответ или решение не закончено Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0 численных выше Обоснованно получен правильный ответ 9 Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного 6 только конечным числом значений x Ответ неверен, но решение содержит переход от исходно3 го неравенства к верной системе рациональных неравенств Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0 численных выше Рассмотрены все возможные геометрические конфигура9 ции и обоснованно получен правильный ответ Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая 6 конфигурация, в которой обоснованно получено правильное значение искомой величины Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая 3 конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неверное из-за арифметической ошибки Решение не соответствует ни одному из критериев, пере0 численных выше 12 Задание С5 С6 Критерии оценивания выполнения заданий Обоснованно получен правильный ответ Получен правильный ответ. Решение в целом верное, но либо недостаточно обоснованное, либо содержит вычислительные погрешности Верно получены необходимые условия на значения a, однако в проверке достаточных условий допущены ошибки Получены только необходимые условия на значения a Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Обоснованно получен правильный ответ Получена система необходимых и достаточных условий на пару искомых чисел и найдено её решение, но недостаточно обоснована его единственность Составлено верное уравнение в натуральных числах, из которого сделаны существенные выводы для нахождения искомой пары чисел, уравнение до конца не решено, но верный ответ приведен Составлено, но не решено верное уравнение в натуральных числах, верный ответ приведен Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше Баллы 14 10 6 3 0 14 10 6 3 0 При выполнении задания экзаменуемый может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации, а также пользоваться черновиком. Обращаем Ваше внимание, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы. Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они даны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха! 13 4. ПРИМЕР ТЕСТОВОГО ЗАДАНИЯ Примерный вариант письменной экзаменационной работы взят из [1] и приведен ниже. Часть 1 Ответом на задания В1-В14 должно быть целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак минус и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно. В1 Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%? В2 На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия) в Ярославле по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев, когда средняя температура в Ярославле была отрицательной. В3 Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. В4 Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой? Поставщик А Стоимость пеноблоков (руб./м3) 2 600 Стоимость Дополнительные условия додоставки ставки (руб.) 10 000 Нет Б 2 800 8 000 В 2 700 8 000 При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная В5 Найдите корень уравнения log 3 ( x 3) 2 . В6 Треугольник ABC вписан в окружность с центром О. Найдите угол ВОС, если угол ВАС равен 32°. В7 Найдите sin а , если cos a = 0,6 и < а < 2 . 14 В8 На рисунке изображён график дифференцируемой функции y f (x) . На оси абсцисс отмечены девять точек: х1, х2, х 3 , . . . , х 9 . Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y f (x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек. В9 Диагональ АС основания правильной четырёхугольной пирамиды SАВСD равна 6. Высота пирамиды SО равна 4. Найдите длину бокового ребра SВ. В10 В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах. В11 Объём первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания в два раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра (в м3). В12 Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота, на которой он 2 находится, описывается формулой h(t ) 5t 18t , где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 метров. В13 Весной катер идёт против течения реки в 1 2 раза медленнее, чем по течению. Летом 3 течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 1 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). 2 В14 Найдите наибольшее значение функции y 2 cos x 3x 3 3 на отрезке x [0; ] . 2 Часть 2 Для записи решений и ответов на задания С1-С6 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания (С1, С2 и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. С1 x; 2 а) Решите уравнение 2 cos x 1 cos б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ 5 ; ). 2 15 С2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна вания призмы. 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью осно- С3 4 x 9 2 x 22, Решите систему неравенств x 1 2 log ( x x 2 ) 1 log . 3 3 x2 С4 На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС. С5 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции С6 f ( x) 2ax x 2 8 x 7 больше 1. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Ответы на задания примерного варианта письменной экзаменационной работы и образец оформления ответов на задания части 2 приведены ниже. Задание В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 В11 В12 В13 В14 С1 С2 С3 С4 С5 С6 Ответ 5 5 18 192000 12 64 -0,8 3 5 0,92 9 2,4 5 1 а) n , (1) k k , n Z , k Z . 6 о 30 (2; log 2 11] 1 или 7 1 ; 4 6 2 а) 44; б) отрицательных; в) 17 б) 2 , 11x , 7 x . 6 6 16 Задание С1. а) Решите уравнение 2 cos x 1 cos x ; б) Найдите все 2 5 корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ; ) . 2 Решение. а) Так как 2 cos x 1 2 sin 2 x , cos x sin x , то 1 2 sin 2 x 1 sin x , 2 1 2 sin 2 x sin x 0 , sin x(sin x ) 0 . 2 Корни уравнения: n , (1) k k , n Z , k Z . 6 б) Корни уравнения sin x 0 изображаются точками 1 А и В, а корни уравнения sin x точками С и D, про2 5 ; изображается жирной дугой (см. межуток 2 рис.). В указанном промежутке содержатся три корня 11x x 7x уравнения: 2 , 2 x ,x . 6 6 6 6 11x 7 x Ответ: а) n , (1) k k , n Z , k Z . б) 2 , . , 6 6 6 Другие решения пункта б). 5 ; , отберем по графику б) Корни, принадлежащие промежутку 2 y sin x . Прямая у = 0 (ось Ох) пересекает график в единственной точке 2 , 0 , абсцисса которой принадлежит промежутку 5 ; . 2 5 4 7 Тогда 2 n n n 1. 2 6 3 12 11 5 ; : x Корень, принадлежащий промежутку . 6 2 5 2 n , n Z . Пусть x 6 5 5 x 5 11 2 n x n n 1 . Тогда 2 6 3 12 7 5 ; x : x Корень, принадлежащий промежутку . 6 2 11x 7 x 5 ; x принадлежат корни 2 , Промежутку . , 2 6 6 17 Задание С2. Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2, а диагональ боковой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1BC и плоскостью основания призмы. Решение. Обозначим Н середину ребра ВС (см. рисунок). Так как треугольник АВС равносторонний, треугольник А1ВС – равнобедренный, отрезки АН и А1Н перпендикулярны ВС. Следовательно, А1НА – линейный угол двугранного угла с гранями ВСА и ВСА1. Из треугольника А1АВ найдём: АА1 = 1. Из треугольника АНВ найдём: АН = 3 . АА1 1 Из треугольника НАА1 найдём: tg А1HА = . АН 3 Искомый угол равен 30о. Ответ: 30о. Возможны другие формы записи ответа. Например: 1 а) ; б) рад; в) arctg и т.п. 6 6 3 Возможны другие решения. Например, с использованием векторов или метода координат. 4 x 9 2 x 22, Задание С3. Решите систему неравенств x 1 2 log ( x x 2 ) 1 log . 3 3 x2 Решение. 1. Неравенство 4 x 9 2 x 22 2 x 9 2 x 22 0 . Относительно t 2 x неравенство имеет вид: t 2 9 t 22 0 , откуда получаем: (t 2)(t 11) 0 , 2 t 11 . Значит, 2 2 x 11 , x log 2 11 . ( x 1)( x 2) 0, 2. Второе неравенство системы определено при т.е. при x 1 0 , x2 x 1 и x 2 . При допустимых значениях переменной получаем: x 1 x 1 , log 3 (( x 1)( x 2)) log 3 log 3 ( x 2 x 2) 1 log 3 1, x2 x2 С учётом области допустимых значений переменной получаем решение второго неравенства системы: 2 x 2 3 . 2 3. Сравним log 2 11 и 2 3. Так как 2 3 3,5 log 2 (8 2 ) log 2 (8 1,4) log 2 (11,2) log 2 11 , log 2 11 2 3 . 3 2,25 1,5 , то следовательно, 18 Решение системы неравенств (2; log 2 11] . Ответ: (2; log 2 11] . Комментарий. Если обоснованно получены оба ответа: x log 2 11 и 2 x 2 3 , после чего лишь сказано, но никак не обосновано, что log 2 11 2 3 , то такое решение оценивается в 6 баллов. Задание С4. На стороне ВА угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности. Заметим, что точка O не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и В = 30о нахо2 3 дим, что PE . 3 Так как ОА = R и АР = 1, получаем: OP R 2 1 , следовательно, 2 3 . OE R 2 1 3 Из прямоугольного треугольника OQE, в котором Е = 60о, находим: 3 3 R OQ OE R2 1 1. 2 2 В результате получаем уравнение: 19 3 R2 1 . 2 Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R 2 8R 7 0 , решая которое находим два корня: R1 1 , R2 7 . Если радиус равен 1, то центром окружности является точка Р (см. рисунок б). Ответ: 1 или 7. R 1 Другое решение. Пусть точка Q касания окружности с прямой BC лежит на луче BC (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей BQ 2 BA BD ( BD DA) BD (1 2) 1 3 , откуда BQ 3 . Пусть O – точка пересечения луча BA и перпендикуляра к BC, проведённого через точку Q. Из прямоугольного треугольника BQO находим: BQ BO 2 , тогда AO OD 1 и cos30 0 1 OQ BO 1 . 2 Таким образом, точка O удалена от точек A, D и Q на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, О – центр искомой окружности, а её радиус равен 1. Пусть теперь точка Q касания окружности с прямой BC лежит на продолжении BC за точку B (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку Q перпендикулярно BC, пересекает прямую AB в точке H, а окружность вторично – в точке T. Тогда BQ BA BD 3 , HBQ = ABC = 30о, BQ 1 BH 2, HQ BH 1. 0 cos30 2 Если R – радиус окружности, то QT = 2R. По теореме о двух секущих HQHT=HAHD, то есть 1(1 + 2R 3, откуда находим, что R = 7. Ответ: 1 или 7. Возможны другие формы записи ответа. Например: А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1. Задание С5. Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции f ( x) 2ax x 2 8 x 7 больше 1. 20 Решение. Функция f(x) имеет вид: а) при x 2 8 x 7 0 : f ( x) x 2 2(a 4) x 7 , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x 4 a ; б) при x 2 8 x 7 0 : f ( x) x 2 2(a 4) x 7 , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках: Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 2) Наименьшее значение функция f(x) может принять только в точках x 1 или x 7 , а если 4 – а [1; 7], то в точке х = 4 – а. 3) Наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда 1 a , 2 2a 1, f (1) 1, 1 a , 14a 1, f (7) 1, 14 2 2 2 a ( 4 a ) a 9 1 f (4 a) 1 2 2 a 8a 1 a 9 0 a 3, a 3, 2 4 6 a 4 6 3 a 4 6 a 8a 10 0 1 1 1 a 3, a3 a 3 , 2 2 2 4 40 4 40 3a 2 8a 8 0 a 3 3 1 a4 6. 2 1 Ответ: ; 4 6 . 2 Задание С6. На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно 8. а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? 21 в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Решение. Пусть среди написанных чисел k положительных, l отрицательных и m нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому 4k 8l 0 m 3(k l m) а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4. Поэтому k l m количество целых чисел делится на 4. По условию 40 k l m 48 , поэтому k l m 44 . Таким образом, написано 44 числа. б) Приведём равенство 4k 8l 3(k l m) к виду 5l 7k 3m . Так как m 0 , получаем, что 5l 7k , откуда l k . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. k l m 44 воценка) Подставим в правую часть равенства 4k 8l 3(k l m) : 4k 8l 132 , откуда k 2l 33 . Так как k l 44 , получаем: 3l 33 44 , 3l 77 , l 25 , k 2l 33 17 ; то есть положительных чисел не более 17. впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число –8 и два раза написан 0. 4 17 8 25 68 200 Тогда 3 , указанный набор удовлетворяет всем усло44 44 виям задачи. Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17. Дополнительная рекомендация. Для проверки личной подготовленности к решению заданий базовой части экзамена рекомендуем воспользоваться открытым банком экзаменационных заданий (http://mathege.ru), заданий повышенного и высокого уровня сложности – порталом «РЕШУ ЕГЭ» или официальными сборниками для подготовки к экзамену. 22 5. ЛИТЕРАТУРА Нормативная литература 1. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2013 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ: Утв. директором ФГБНУ «ФИПИ» 31.10.2012. – Режим доступа: http://fipi.ru/view/sections/226/docs/627.html. Учебная и научная литература 2. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для учащихся 10 кл. с углубл. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 1999. – 238 с. 3. Александров А.Д. Геометрия. 10-11 кл. (базовый и профильный уровни): учеб. / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2006. – 240 с. 4. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и др. – М.: Просвещение, 2012. – 464 с. 5. Алимов Ш.А. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – М.: Просвещение, 2007. – 385 с. 6. Атанасян Л.С. Геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с. 7. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 классов. – М.: Просвещение, 1992. – 351 с. 8. Башмаков М.И. Математика. 10 класс (базовый уровень): учеб. / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 304 с. 9. Башмаков М.И. Математика. 11 класс (базовый уровень): книга для учителя : методическое пособие / М.И. Башмаков. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 128 с. 10. Башмаков М.И. Математика. 11 класс (базовый уровень): учеб. / М.И. Башмаков. – М.: Академия, 2012. – 320 с. 11. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / М.И. Башмаков. – М.: Просвещение, 12. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый уровень): учеб. / М.И. Башмаков. – М.: Дрофа, 2008. – 288 с. 13. Берендс Э. Математические пятиминутки / Э. Берендс. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 368 с. При подготовке к экзамену можно пользоваться и другими учебниками и учебными пособиями, входящими в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации. 23 14. Виленкин Н.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. (профильный уровень): учеб. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. – 352 с. 15. Виленкин Н.Я. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. (профильный уровень): учеб. / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2011. – 304 с. 16. Вольфсон Г.И. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра. Рабочая тетрадь / Г.И. Вольфсон, М.Я. Пратусевич, С. Е. Рукшин и др. – М.: МЦНМО, 2013. – 80 с. 17. Глейзер Г.Д. Геометрия (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / Г.Д. Глейзер. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 224 с. 18. Гордин Р.К. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия. Рабочая тетрадь / Р.К. Гордин, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2013. – 176 с. 19. Гусев В.А. Геометрия (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / В.А. Гусев, Е.Д. Куланин, А.Г. Мякишев и др. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. – 311 с. 20. Дорофеев Г.В. ЕГЭ 2012. Математика. Сдаем без проблем! / Г.В. Дорофеев, Е.А. Седова, С.А. Шестаков, С.В. Пчелинцев. – Ростов н/Д: Легион-М, 2011. – 288 с. 21. Козко А.И. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С5. Задачи с параметрами / Козко А.И., В.С. Панферов, И.Н. Сергеев, В.Г. Чирский. – М.: МЦНМО, 2013. – 180 с. 22. Козлов В.В. Математика, Алгебра и геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / В.В. Козлов В.В., A.A. Никитин, B.C. Белоносов и др.; под ред. В.В. Козлова и A.A. Никитина. М.: Русское слово, 2011. 23. Калинин А.Д. Геометрия (профильный уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.Д. Калинин, Д.А. Терёшин. М.: МЦНМО, 2011. – 640 с. 24. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.Н. Колмогоров, A.M. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. М.: Просвещение, 2008. – 384 с. 25. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. М.: Мнемозина, 2009. – 368 с. 26. Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова и др.; под ред. А.Б. Жижченко. М.: Просвещение, 2010. – 336 с. 24 27. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 1: учебник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. М.: Мнемозина, 2009. – 160 с. 28. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 10 кл. Часть 2: задачник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. М.: Мнемозина, 2009. – 348 с. 29. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): 11 кл. Часть 1: учебник / А.Г. Мордкович, П.В. Семёнов. М.: Мнемозина, 2009. – 160 с. 30. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). Часть 1: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2009. – 399 с. 31. Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл. (базовый уровень): учеб. / Г.К. Муравин. М.: Дрофа, 2008. – 288 с. 32. Муравин Г.К. Алгебра и начала математического анализа. 11 кл. (базовый уровень): учеб. / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. М.: Дрофа, 2010. – 256 с. 33. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников и др. М.: Просвещение, 2009. 430 с. 34. Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / С.М. Никольский, М.К. Потапов, H.H. Решетников и др. М.: Просвещение, 2009. – 464 с. 35. Нелин Е.П. Алгебра и начала математического анализа. 10 кл.: учеб. / Е.П. Нелин, В.А. Лазарев. М.: Илекса, 2011. – 480 с. 36. Погорелов A.B. Геометрия (базовый и профильный уровни): учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учрежд. / А.В. Погорелов. М.: Просвещение, 2009. – 175 с. 37. Потоскуев Е.В. Геометрия. 10 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. М.: Дрофа, 2008. – 224 с. 38. Потоскуев Е.В. Геометрия. 11 кл. (углубленное и профильное обучение): учеб. / Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич. М.: Дрофа, 2004. – 368 с. 39. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / М.Я. Пратусевич, K.M. Столбов, А.Н. Головин. М.: Просвещение, 2009. – 422 с. 40. Пратусевич М.Я. Алгебра и начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / М.Я. Пратусевич, K.M. Столбов, А.Н. Головин. М.: Просвещение, 2010. – 160 с. 41. Семенов А.Л. ЕГЭ 2013. Математика. Типовые тестовые задания / А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: Экзамен, 2013. – 55 с. 42. Сергеев И.Н. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С3. Уравнения и неравенства. Рабочая тетрадь / И.Н. Сергеев, В.С. Панфёров, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2013. – 72 с. 25 43. Смирнов В.А. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия. Рабочая тетрадь / В.А. Смирнов, А.Л. Семенов, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2013. – 128 с. 44. Смирнова И.М. Геометрия (базовый и профильный уровни). 10-11 кл.: учеб. / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. М.: Мнемозина, 2008. – 288 с. 45. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10-11 кл. (базовый уровень): учеб. / И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2012. – 208 с. 46. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 10 кл. общеобразоват. учрежд. / М.И. Шабунин, A.A. Прокофьев. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 424 с. 47. Шабунин М.И. Математика. Алгебра. Начала математического анализа (профильный уровень): учеб. для 11 кл. общеобразоват. учрежд. / М.И. Шабунин, A.A. Прокофьев. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. – 384 с. 48. Шестаков С.А. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С1. Уравнения и системы уравнений. Рабочая тетрадь / С.А. Шестаков, П.И. Захаров, А.Л. Семенов. – М.: МЦНМО, 2013. – 176 с.