УМК Ю-200, ЮЗ-200 Комп. мет. реш. задач в юриспруд. Гончаров

ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при
Президенте Российской Федерации»
Волгоградский филиал
Кафедра информационных систем и математического моделирования
к. х. н. доц. Гончаров В. В, к.ф.-м.н. Лопухов Н.В.
(фамилия, инициалы автора (ов))
КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ЮРИСПРУДЕНЦИИ
___________________________________________________
(наименование учебной дисциплины)
Учебно-методический комплекс для студентов специальности
030501
(код специальности)
Юриспруденция
(наименование специальности ).
Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры
Протокол № ……..от «…..».........................2011г.
Подпись Заведующего кафедрой
…………………………Астафурова О.А.
Волгоград 2011
1
СОДЕРЖАНИЕ
РАЗДЕЛ 1. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ ................................ 3
1.1. ТРЕБОВАНИЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ«РОССИЙСКАЯ
ШКОЛА СУДЕБНОГО КРАСНОРЕЧИЯ ........................................................................................................... 3
1.2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРЕПОДАВАНИЯ КУРСА ................................................................................ 3
1.3. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................................... 4
1.4. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЮРИСПРУДЕНЦИЯ» ....................................... 5
1.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ......................................... 7
РАЗДЕЛ 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ................................................................................................. 11
2.1. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МАТЕРИАЛОВ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОГО
КОМПЛЕКСА............................................................................................................................................. 11
2.2. ПОЖЕЛАНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА ............................................................ 12
2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С ЛИТЕРАТУРОЙ ...................................................................... 12
2.4. СОВЕТЫ ПО ПОДГОТОВКЕ К ЗАЧЕТУ ..................................................................................... 12
РАЗДЕЛ 3. МАТЕРИАЛЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ ПО ОСНОВНЫМ
РАЗДЕЛАМ КУРСА. .............................................................................................................................. 12
РАЗДЕЛ 4. СЛОВАРЬ ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ (ГЛОССАРИЙ). ............................... 28
Раздел 5. Методические указания для выполнения контрольных, курсовых и
выпускных квалификационных работ …………………………………………….23
Раздел 6. Данные о мультимедийных лекциях…………………………………….24
2
РАЗДЕЛ 1. Рабочая программа учебной дисциплины.
1.1. Требования образовательного стандарта по учебной дисциплине»
Российская школа судебного красноречия.
В требованиях государственного стандарта перечислены следующие темы:
-
границы возможностей классических математических методов в юриспруден-
-
математические предпосылки создания компьютерной модели сложного про-
ции;
цесса (теория массового стандарта по специальности обслуживания; метод Монте-Карло;
структурный анализ и др.);
-
имитационная модель как источник ответа на вопрос: «что будет, если …?»;
-
планирование компьютерного эксперимента;
-
процесс создания двух взаимосвязанных моделей: функциональной структур-
ной и динамической имитационной;
-
автоматизированное конструирование моделей;
-
процессы финансирования и денежные потоки;
-
задачи планирования.
1.2. Цели и задачи преподавания курса.
Курс «Компьютерные методы решения задач в юриспруденции» показывает современные
возможности и перспективы оптимизации юридической деятельности на основе использования
компьютерных методов и средств.
Цель – изучение способов создания компьютерной модели сложного юридического процесса с использованием возможностей классических математических методов.
Построение и анализ математических моделей социальных процессов и явлений в настоящее время пока не стали традиционным методом исследования в деятельности юристов, поэтому и
требуют специального внимания к себе.
Основная задача курса
научить студентов автоматизированному конструированию
моделей реальных юридических и социальных явлений.
Основные функции компьютерного лабораторного практикума (КЛП) – поддержка
самостоятельной исследовательской деятельности. Так как, предлагаемый КЛП, предназначается
для будущих специалистов гуманитарного профиля, предпочтение при выборе инструментария
отдано, не требующим профессиональной подготовки для разработки программного обеспечения.
Из экономических соображений предпочтение отдано свободно распространяемым средствам
разработки моделей - используется возможности системы визуального моделирования Scilab, в
состав которой входит пакет Scicos (для моделирования динамических систем, которые включают
3
и непрерывные и дискретные подсистемы). В первом приближении система Scilab является
некоммерческим аналогом системы Matlab.
Курс «Компьютерные методы решения задач в юриспруденции» показывает современные
возможности и перспективы оптимизации юридической деятельности на основе использования
компьютерных методов и средств.
Цель – изучение способов создания компьютерной модели сложного юридического процесса с использованием возможностей классических математических методов.
Основная задача курса научить студентов автоматизированному конструированию моделей реальных юридических и социальных явлений.
1.3. Требования к уровню освоения дисциплины.
Данный курс находится на стыке теории права и информатики. Опирается на методы математики, статистики, структурного анализа.
Полученные навыки и знания будут использоваться при организации автоматизации своего
труда в практике юриста.
В результате изучения предмета «Компьютерные методы решения задач в юриспруденции» студент должен обучающийся должен:
знать:
основные закономерности
создания и функционирования информационных процессов в правовой сфере; основы
ственной политики в области информатики; методы и средства поиска,
работки правовой информации;
уметь:
онные технологии для поиска и обработки
ских
документов и проведения
правовой информации,
статистического анализа
сбора и обработки информации,
вых норм в соответствующих сферах
│ применять современные
государ-
систематизации и обинформациоформления юридиче-
информации владеть навыками:
имеющей значение для
реализации право-
профессиональной деятельности.
Обладать следующими компетенциями1:
 способен понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе,
соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты
государственной тайны (ОК-10);
 способен работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-12);
1
В данном пункте указывается содержание и код компетенции
4
1.4. Тематический план по специальности «Юриспруденция».
на 2011-2012 учебный год
Очное
№
само-
п
Наименование тем
п/п
лек(ч)
сем(ч)
стоятельная
всего
работа
4 семестр
1
Построение модели на основе
2
2
2
2
пакета
2
Scicos системы Scilab.
Построение математической модели скорости роста числа правонару3
шителей. Исследование предложенной
модели.
Использование возможности си-
2
стем визуального моделирования ( Sci4
cos ), для решения дифференциальных
уравнений.
Использование возможности си-
2
2
стем визуального моделирования (Sci5
cos), для решения системы дифференциальных уравнений.
Построение модели на основе
2
пакета Scicos системы Scilab с использованием
6
известных формул и алгоритмов в инженерно технических экспертизах(1).
Построение модели на основе
2
пакета
Scicos системы Scilab с исполь7
зованием известных формул и алгорит-
5
мов в инженерно технических экспертизах(2).
8
Метод динамики средних.
2
Ознакомление с моделью дина-
2
мики преступности, построенной на
накопленном
9
огромном материале за
закономерностями воспроизводства
различных видов преступлений.
1
ВСЕГО:
1
Форма контроля
0
16
0
16
6
зачет
зачет
7
Заочная форма обучения
Заочное
№
само-
п
Наименование тем
п/п
лек(ч)
сем(ч)
стоятельная
всего
работа
4 семестр
1
Построение модели на основе
2
2
2
2
пакета
2
Scicos системы Scilab.
Построение математической модели скорости роста числа правонару3
шителей. Исследование предложенной
модели.
Использование возможности си-
2
стем визуального моделирования ( Sci4
cos ), для решения дифференциальных
уравнений.
5
Использование возможности си-
2
2
6
стем визуального моделирования (Scicos), для решения системы дифференциальных уравнений.
Построение модели на основе
2
пакета Scicos системы Scilab с использованием
6
известных формул и алгоритмов в инженерно технических экспертизах(1).
Построение модели на основе
2
пакета Scicos системы Scilab с использованием
7
известных формул и алгоритмов в инженерно технических экспертизах(2).
8
Метод динамики средних.
2
Ознакомление с моделью дина-
2
мики преступности, построенной на
накопленном
9
огромном материале за
закономерностями воспроизводства
различных видов преступлений.
1
ВСЕГО:
1
Форма контроля
0
16
0
16
6
зачет
зачет
7
1.5. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины.
Семинарские занятия
Тема 1. Пример формирования простой модели на основе пакета Scicos системы Scilab.
Тема 2. Построение математической модели скорости роста числа правонарушителей
Тема 3. Использование возможности систем визуального моделирования (Scicos), для решения дифференциальных уравнений.
Тема 4. Система уравнений Лотки-Вольтерра, адаптированная на моделирование криминальных ситуаций.
Тема 5. Задача об охлаждении тела, адаптированная на моделирование криминальных ситуаций.
7
Тема 6. Уравнение теплового баланса, адаптированное на моделирование криминальных
ситуаций.
Тема 7. Метод динамики средних. Задача класса «Хищник-Жертва».
Тема 8. Ознакомление с моделью динамики преступности.
Литература.
1.
Гаврилов О.А. Курс правовой информатики. Учебник для вузов. – М: Издательство
НОРМА, 2000, 432с.
2.
Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для
вузов / Б. П. Демидович, В. А Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО
«Издательства АСТ», 2004. – 654 с.
3.
Гультяев А.К. Имитационное моделирование в среде Windows: практическое пособие. –
СПб: КОРОНА принт, 1999, 288 с.
4.
Дьяконов В. MATLAB: учебный курс. — СПб: Питер, 2001, 560 с.
5.
Калянов Г. Н. CASE структурный системный анализ (автоматизация и применение). – М:
Издательство «Лори», 1996, 242 с.
6.
Потемкин В.Г. Инструментальные средства MATLAB 5.X. – М: Диалог – МИФИ, 2000,
336 с.
7.
Информатика и математика для юристов: Учеб. пособие для вузов/Под ред.
проф.Х.А.Андриашина, проф. С.Я.Казанцева.-М.:ЮНИТИ-ДАНА,Закон и право,2002.463с.
8.
Рассолов М.М., Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Элементы высшей математики для юристов:
Учеб. пособие. - М.:Юристъ,199.-184с.
9.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях.-М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1987.-160с.
10.
Минаев В.А., Курушин В.Д., Захаров Д.В. Математическое моделирование криминологических процессов. Новосибирск.1992.
11.
Б. Андриевский, А. Фрадков "Элементы математического моделирования в программных
средах MATLAB 5 и Scilab" СПб.: Наука, 2001. 286 с.
Организация самостоятельной работы студентов
Самостоятельная работа студентов по дисциплине «Компьютерные методы решения задач в
юриспруденции» включает следующие виды работ:
№
п/п
Тема
Вопросы, выносимые на
СРС
Содержание
СРС
Форма контроля СРС
Учебнометодическое
обеспечение
8
1
1
2
2
3
Построение математической модели скорости роста числа
правонарушителей.
Исследование предложенной модели.
Использование
возможности систем визуального
моделирования (
Scicos ), для решения дифференциальных уравнений.
Построение моде- Построение модели
ли на основе пакета
на основе пакета
Scicos системы Scilab
Scicos системы
с использованием изScilab с использовестных формул и
ванием известных
алгоритмов в инжеформул и алгоритнерно технических
мов в инженерно
экспертизах(1).
технических экспертизах(2).
4
УМ, СК
5
КО
6
ОЛ3, ОЛ5, ДЛ7
УМ, СК
КО
ОЛ3, ОЛ5, ДЛ7
Темы, выносимые на самостоятельное изучение:
1.Понятие о статистическом моделировании (методе Монте-Карло).
2. Методы определение объема выборки для получения достоверных оценок.
3. Разработка модели класса «Хищник-Жертва» на основе пакета Scicos системы Scilab
Темы рефератов.
1.Компьютерные технологии статистической обработки данных в правоохранительных органах.
2.Основные направления использования современных компьютерных технологий в раскрытии расследовании преступлений.
Литература.
1. Информатика и математика для юристов: Учеб. пособие для вузов/Под ред. проф.
Х.А.Андриашина, проф. С.Я.Казанцева.-М.:ЮНИТИ-ДАНА,Закон и право,2002.-463с.
2. Гаврилов О.А. Курс правовой информатики. Учебник для вузов. – М:
Издательство НОРМА, 2000, 432с.
3. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/Под ред. проф.
Н.Ш.Кремера.-М.: ЮНИТИ,2003.-407 с.
4. Рассолов М.М., Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Элементы высшей математики для юристов:
Учеб. пособие. - М.:Юристъ,1999.-184с.
9
5. http://scilabsoft.inria.fr/books.html
Вопросы к зачету
1.
Дайте понятие модели и моделированию. Какие достоинства и недо-
статки имеет моделирование?
2.
Перечислите этапы математического моделирования.
3.
В каком виде можно записать математическую модель скорости роста
числа правонарушителей?
4.
Понятие о дифференциальных уравнениях. Какие дифференциальные
уравнения адаптированы на моделирование криминальных ситуаций?
5.
Что
характеризуют
в
рассматриваемой
(
вопрос
3.)модели
коэффициенты  и  ?
6.
Что характерно для уравнения логистического роста?
7.
Чему равно предельное значение роста числа правонарушителей с
увеличением времени?
8.
Особенности моделирования в среде Scicos системы Scilab
9.
Специализированные библиотеки блоков Scicos системы Scilab
10.
Возможности пакета Scicos системы Scilab по построению сложных
систем.
11.
Моделирование случайного процесса по методу Монте-Карло.
12.
Методы определение объема выборки для получения достоверных
оценок.
13.
Разработка модели класса «Хищник-Жертва» на основе пакета Scicos
системы Scilab
14.
Модели типа вход-выход: последовательные, параллельные, последо-
вательно-параллельные.
Список рекомендуемой литературы
1.
Гаврилов О.А. Курс правовой информатики. Учебник для вузов. – М: Издательство
НОРМА, 2000, 432с.
2.
Гультяев А.К. Имитационное моделирование в среде Windows: практическое пособие. –
СПб: КОРОНА принт, 1999, 288 с.
3.
Дьяконов В. MATLAB: учебный курс. — СПб: Питер, 2001, 560 с.
10
4.
Калянов Г. Н. CASE структурный системный анализ (автоматизация и применение). – М:
Издательство «Лори», 1996, 242 с.
5.
Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях.-М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы,1987.-160с.
6.
Минаев В.А., Курушин В.Д., Захаров Д.В. Математическое моделирование криминологических процессов. Новосибирск.1992.
7.
Б. Андриевский, А. Фрадков "Элементы математического моделирования в программных
средах MATLAB 5 и Scilab" СПб.: Наука, 2001. 286 с.
8.
Потемкин В.Г. Инструментальные средства MATLAB 5.X. – М: Диалог – МИФИ, 2000,
336 с.
Материалы текущего, промежуточного и итогового контроля:
Вопросы для проведения внутрисеместровой аттестации:
1. 1.Особенности моделирования в среде Scicos системы Scilab
2. Специализированные библиотеки блоков Scicos системы Scilab
3. Возможности пакета Scicos системы Scilab Simulink по построению сложных систем.
4. Решить предложенную задачу методами визуального моделирования.
(Образец:
dx
  x(5 x  2) ).
dt
РАЗДЕЛ 2. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины для
студентов
2.1. Рекомендации по использованию материалов учебно-методического
комплекса.
При работе с настоящим учебно-методическим комплексом особое внимание следует обратить на то, что приступать к выполнению практических заданий следует только после подробного
изучения и хорошего усвоения теоретической части каждой темы курса.
Перед выполнением практических заданий необходимо создать на диске, указанном преподавателем, папку с названием группы и собственным именем и помещать в нее файлы с выполненными заданиями.
11
Практические задания рекомендуется выполнять в той последовательности, в которой они
указаны в пособии, поскольку задания расположены в пособии в порядке возрастания их сложности.
2.2. Пожелания к изучению отдельных тем курса
Перед выполнением заданий семинаров 2–7 следует повторить раздел курса высшей математики «Дифференциальные уравнения» (см. список литературы, [2]).
2.3. Рекомендации по работе с литературой
При изучении курса учебной дисциплины особое внимание следует обратить на следующие
литературные источники:
1. Демидович Б. П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для
вузов / Б. П. Демидович, В. А Кудрявцев. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО
«Издательства АСТ», 2004. – 654 с.
2. Гаврилов О.А. Курс правовой информатики. Учебник для вузов. – М: Издательство
НОРМА, 2000, 432с.
3. Андриевский Б., Фрадков А. "Элементы математического моделирования в программных
средах MATLAB 5 и Scilab" СПб.: Наука, 2001. 286 с.
2.4. Советы по подготовке к зачету
При подготовке к зачету особое внимание следует обратить на следующие моменты:
 необходимо знать определения основных терминов по дисциплине;
 разобрать простые практические задания по вопросам к зачету.
Опыт приема зачета выявил, что наибольшие трудности при проведении зачета возникают
по следующим темам: «Система уравнений Лотки-Вольтерра», «Уравнение теплового баланса»,
где показаны решения данных задач традиционным методом. При ответах на вопросы, связанных
с этими темами, студентам следует акцентировать внимание на получение результата методами
визуального моделирования.
РАЗДЕЛ 3. Материалы практических заданий по основным разделам курса.
Семинар 1.
Пример1. Этот пример покажет Вам, как строить модель, используя многие из
принятых в Scicos команды и действия Данная модель отображает на экране гармонические колебания. Диаграмма блока модели приведена на рисунке.
12
Чтобы создать эту модель, необходимо выполнить ряд операций работая в Scilab, поэтому
сначала вызовите Scilab и напечатайте - > scicos ();
Это открывает главное окно Scicos с пустой диаграммой (чтобы загрузить существующую
диаграмму, имя файла, содержащего диаграмму должно использоваться как параметр). Это окно
остается открытым в течение полного Scicos сеанса.
Чтобы создать эту модель, сначала просмотрите библиотеку Scicos (см., например, следующий рисунок).
13
Затем выберите кнопку New. Scicos откроет новое "безымянное" окно. Далее Вы должны,
по мере необходимости, копировать блоки в модель из следующих библиотек блока Scicos:
Sources, Sinks, Linear, Non-linear, Events и пр. Чтобы открыть библиотеку выберите Palettes в меню Edit, и выберите имя библиотеки среди предложенных.
Библиотека содержит набор Scicos блоков. Эти блоки могут быть скопированы в окно Scicos, которое нужно использовать для построения диаграммы Scicos. Итак, перетащите выбранный
блок в Ваше "безымянное" окно, выбирая блок нажатием левой клавиши мыши. По аналогии скопируйте остальные блоки из соответствующих библиотек в "безымянное" окно. Вы можете перемещать блоки внутри "безымянного" окна, (для чего выберите Move в меню Edit), Блочные позиции
могут быть прекрасно настроены так, чтобы порты ввода и вывода (чтобы быть связан) были выровнены, используя Align (Выравнивающийся) в меню Edit.
Со всеми блоками, скопированными в "безымянное" окно, модель должна выглядеть следующим образом (см. рисунок).
14
Приступим к подключению блоков. Чтобы ввести режим связи, выберите Link в меню Edit.
Связь можно осуществить, нажимая на порт вывода (удерживая левую кнопку мыши) перемещая
курсор на входной порт. Теперь отпустите кнопку мыши. Блоки связаны.
Обратите внимание, что связи, связанные с сигналами активации, по умолчанию, красны, и
связи, связанные с регулярными сигналами, черными. Эти заданные по умолчанию цвета могут
быть изменены, используя Default Link Color (Заданный по умолчанию Цвет Связи) в меню Misc.
Как только все порты ввода и вывода связаны, диаграмма Scicos закончена и может моделироваться. Однако прежде чем это осуществить, блочные параметры, возможно, придется изменить.
После выполнения всех действий по подключению остальных блоков модель должна иметь
вид в соответствии со следующим рисунком.
15
Теперь установите параметры моделирования. Через меню Simulate вызовите Setup, в
открывшемся окне установите время окончания моделирования (Final integration time) равным 33. Затем в окне настройки графопостроителя установите длительность развертки (Refresh period) равную 30.
Выберите Run в меню Simulate и наблюдайте процесс моделирования. Моделирование может быть остановлено, нажимая на кнопку
на вершине главного окна Scicos.
Для того чтобы сохранить диаграмму, необходимо вызвать из меню File пункт Save as.…В
открывшемся диалоговом окне задаем имя файла и указываем расширение .cos. В случае, когда
сохраняем получившийся график, указываем расширение .scg.
16
Семинар 2.
По алгоритму, примененному в примере 1, продолжим рассматривать задачи, решаемые с
помощью математических моделей.
Пример 2.
При изучении динамики роста количества преступлений можно воспользоваться известной в
математике теорией "логистического роста", которая была разработана и применялась в биологии
для оценки скорости роста некоторой популяции в естественных условиях, когда присутствует пара
"жертва — хищник".
С учетом этой теории будем считать, что скорость роста количества правонарушителей происходит условно за счет "межвидовой конкуренции" - "правонарушители — сотрудники правоохранительной системы".
Будем также считать, что средний рост количества правонарушителей выражается положительной постоянной  , не зависит от времени и уровня преступности x(t ) . Допустим также, что
среднее снижение количества правонарушителей пропорционально их числу и, следовательно,
равно x(t ) , где  — положительная постоянная. Тогда математическую модель скорости роста
числа правонарушителей можно записать:
dx
 x(β  δx)
dt
(1)
Разделим переменные:
dx
 dt
x(   x)
(2)
Преобразуем формулу (2):
dx 
 1

1

  dt
 dx

x(   x)
 x  (   x) 
(3)
Проинтегрируем обе части
1

 x dx    (   x) dx   dt
(4)
Получим в результате интегрирования:
17
1

ln x 
  1
   ln(   x)  t  C
 
(5)
Преобразуем формулу (5):
1

(ln x  ln(   x)) 
 x 
  t C
ln 
    x 
1
(6)
Считая, что x0 есть начальное значение числа правонарушителей, тогда постоянная интегрирования C будет вычислена по формуле:
C
 x0 

ln 
    x0 
1
(7)
Подставим формулу (7) в уравнение (5) и затем, преобразовав полученное выражение, в итоге
будем иметь для x(t ) следующее соотношение:
x(t )(   x0 )
 e t
x0 (   x(t ))
(8)
Отсюда определим значение x(t ) :
x(t ) 
x0 et
.
  x0  x0e t
(9)
Это и есть уравнение логистического роста, для которого характерно то, что с увеличением времени рост числа правонарушителей приближается к некоторому предельному значению:
limx(t )  lim
t 
t 
x0  e  t
x 
 0 
t
   x0   x0e
x0 
так как
(10)
при t   e  t  0
Кривая логистического роста числа правонарушителей изображена на рис. 1.
x(t)


x0
Рис. 1
t
18
Итак, математическую модель скорости роста числа правонарушителей можно записать в
виде:
dx
 x(β  δx)
dt
(1)
Уравнение (1) традиционно решается интегрированием, поэтому и в «визуальной» модели,
при решении данной задачи выберите из библиотек и скопируйте в «безымянное» окно.
блок интегратор
блок сумматор
блок умножитель
блок с константой
блок красные часы (предназначены для синхронизации средств отображения)
блок, с помощью которого наблюдается процесс
моделирования
Соедините соответствующие блоки линиями между собой так, чтобы модель имела вид,
определенный уравнением (1) в соответствии со следующим рисунком.
19
рис. 1
Теперь установите параметры моделирования:
1) в блоке постоянного коэффициента  установите любое значение от 0.1 до 0.01 (нажмите левую клавишу мышки на графическое изображение этого блока, в открывшемся окне задайте
указанное значение).
2) аналогично в блоке постоянного коэффициента  установите любое значение от 0.01 до
0.001.
3) параметр интегратора установите равным 1.
Чтобы получить представленную на рис. 1 зависимость, необходимо через меню Simulate
вызвать Setup, в открывшемся окне установите время окончания моделирования (Final integration
time) равным 100, вызвать окно настройки графопостроителя и ввести параметры: Y(min)=0,
Y(max)=12. Установите также длительность развертки (Refresh period) равную 100.
Выберите Run в меню Simulate и наблюдайте процесс моделирования. Моделирование может быть остановлено, нажимая на кнопку
на вершине главного окна Scicos.
При анализе и прогнозирования уровня преступности x(t ) имейте в виду что факторы, влияющие на динамику, изучаемого процесса действуют как сложная совокупность, в которой
направление и характер взаимодействия одного фактора обусловлено его связью с другими.
Например, благоприятные экономические условия способствуют уменьшению уровня преступно-
20
сти, но при этом больше проявляется расслоение общества и это способствует обратному процессу.
Исследуйте влияние коэффициентов  и  на уровень преступности x(t ) .
Семинар 3, 4
Ознакомьтесь с примером 3.
Пример 3. Изменение численности правонарушений по одному из видов преступлений выражается формулой
dx  (0,1x  0,01x 2 )dt . (1)
Используя возможности систем визуального моделирования (Scicos), найти решение при
начальных условиях x0  10 . Чему равно предельное значение численности правонарушений
lim
x(t ) ? Сделайте вывод.
t
1) Чтобы создать эту модель, изобразите её на бумаге (в тетради), используя обозначения
блоков модели, которые приняты в Scicos. Покажите рисунок преподавателю.
2) Создайте эту модель, выполнив ряд необходимых операций, работая в Scilab.
3) Выполните задания примера 3.
В соответствии с логистическим уравнением (1), описывающим рост числа правонарушителей от начального уровня x 0 и времени t 0 до значения x(t ) в любой момент времени t , этот
рост имеет определенный устойчивый предел: lim x(t ) 
t 

. И этот устойчивый предел обеспечи
вается в обществе определенными условиями.
Но если общество обеспечивает правоохранительным силам соответствующие условия по их
нейтрализации, то здесь данную ситуацию можно рассматривать как две взаимоисключающие силы.
Математическая модель их взаимодействия может быть получена путем некоторого обобщения логистического уравнения, позволяющего проследить некоторые тенденции роста каждой противоборствующей стороны.
Ознакомьтесь с примером 4.
Пример 4. Рассмотрим две категории людей: правонарушителей и сотрудников ОВД, количественные значения которых обозначим соответственно x(t ) и y (t ) в текущий момент времени. Обобщая
уравнение (1), будем считать, что скорость изменения численности каждой рассматриваемой составляющей ограничивается их допустимой численностью. Такое обобщение приводит к уравнениям
под названием уравнений Лотки-Вольтерра:
dx
 x(m  nx  ky ) ; (2)
dt
21
dy
 y (b  cx) .
dt
(3)
Считаем, что в уравнениях (2) и (3) все коэффициенты m, n, k , b, c положительны. Скорость
роста значения x(t ) положительна, если nx  ky  m , равна нулю, если nx  ky  m , и отрицательна, если nx  ky  m ,. Такие же условия характерны и для другой составляющей - y (t ) . При
равенстве нулю
dx dy

 0 модель будет находиться в равновесном состоянии и система уравнеdt dt
ний в э т о м случае будет иметь вид:
x(m  nx  ky )  0
y (b  cx)  0 .
Анализ уравнения показывает, что мы имеем сразу два очевидных решения:
m
m
и y  0, тогда x  ;
k
n
1.
1) x  0 , тогда y 
2.
2) x  0 тогда y  0
,
Эти крайние точки показывают, что при отсутствии одной из противоборствующих сторон
каждая из них будет достигать своего равновесного состояния (конкретной численности). Третья
равновесная точка - когда обе силы активно противостоят друг другу, и они существуют в количественном отношении. Правда, здесь следует сразу оговориться, что третья равновесная точка рассматривается только при воздействии на правонарушителей только сотрудников ОВД. Эта третья
точка получается в результате решения системы из двух уравнений:
nx  ky  m
cx  b
(5)
И если определитель этого уравнения   kc  0 , то можно найти значения:
x
 kb b
 ;
 kc c
y
nb  kc
(6)
kc
При x  0 и y  0 две противоборствующие силы сосуществуют и сохраняют количественные значения.
1) Чтобы создать эту модель, изобразите её в тетради, используя обозначения блоков модели, которые приняты в Scicos. Покажите рисунок преподавателю.
2) Создайте эту модель, выполнив ряд необходимых операций, работая в Scilab.
3) Выполните задания примера 4.
Семинар 5.
22
Для
модели)
связанный
еще
большего
рассмотрим
с
еще
понимания
один
финансированием
решения
пример
(5)
мероприятий
такого
из
рода
задач
(разработки
правоохранительной
по
борьбе
с
практики,
экономически
ми преступлениями.
Пример5. Предположим, что преступления, совершаемые в финансовой сфере, тождественны
изъятию из экономики государства определенной части денег, условно обозначим это через y1 , и
математически это будет выражаться следующим образом: y1 
1
, что означает: чем меньше проx
тиводействия этому виду преступлений со стороны правоохранительных сил, тем масштабней такого рода правонарушения.
Государство в свою очередь для выполнения правоохранительных мероприятий в этой области выделяет также некоторую сумму денег, условно обозначенную y 2 , и будем считать, что эта
расходная статья имеет показательную зависимость: y 2  kx при k  1, y 2  x . В этой ситуации
очевидным для государства является то, что эти две условные "расходные статьи" изъятия из
бюджета должны быть минимальными, т. е. y min  y3  y1  y 2 
1
 x.
x
1) Используя возможности систем визуального моделирования (Scicos), решите эту задачу графически и определите эту оптимальную (минимальную) точку расходов.
2) Чтобы создать эту модель, изобразите её на бумаге (в тетради), используя обозначения
блоков модели, которые приняты в Scicos. Покажите рисунок преподавателю.
3) Создайте эту модель, выполнив ряд необходимых операций, работая в Scilab.
4) Выполните задания примера 5.
Семинар 6
Ознакомьтесь с примером.
Пример 6. При обходе парка отдыха два патрульных милиционера обнаружили в глухой тенистой
аллее труп мужчины.
Осмотр показал, что выстрел убийцы был точным и человек убит наповал. Рядом с убитым
лежал портфель с огромной суммой денег, возможно, кто-то спугнул убийцу, и он не успел взять
деньги. Рассудив, далее, что убийца должен вернуться за добычей, патрульные решили дождаться
его, укрывшись недалеко от того места, где лежал труп. Вскоре показался человек, прямо
направлявшийся к убитому. Задержанный неизвестный всячески отрицал свою причастность к
убийству. Однако у милиции уже были косвенные улики его виновности, но для ее полного
доказательства следовало еще уточнить время, когда был убит мужчина.
23
Это удалось сделать с помощью закона излучения тепла. Согласно этому закону скорость
охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой
воздуха, т. е.
dx
  k ( x  a ),
dt
(1)
где x - температура тела в момент времени t , a - температура воздуха, k - положительный
коэффициент пропорциональности.
Решение задачи связано с исследованием соотношения, получающегося в результате интегрирования дифференциального уравнения (1). При этом следует учитывать, что после того, как
человек был убит, температура воздуха могла оставаться неизменной, а могла и меняться с течением времени. В случае, когда температура воздуха меняется со временем, закон охлаждения тела
запишется в виде линейного неоднородного дифференциального уравнения
dz
 kx  ka(t ),
dt
(2)
где a(t ) - температура воздуха в момент времени t.
1)
Используя возможности систем визуального моделирования ( Scicos ), найдите ре-
шение уравнения (1) при начальных условиях: в момент задержания неизвестного температура трупа x была равна 31˚C, спустя час составляла 29˚C а температура воздуха оставалась неизменной 21˚C ( при таких условиях k  0, 22314 ), и, считая, что в момент выстрела
в человека его температура x 0 была 37˚C, полагая также t  0 временем задержания неизвестного, определите время выстрела.
2)
Чтобы создать эту модель, изобразите её на бумаге (в тетради), используя обозначе-
ния блоков модели, которые приняты в Scicos. Покажите рисунок преподавателю.
3)
Создайте эту модель, выполнив ряд необходимых операций, работая в Scilab.
4)
Используя блок MUX, найдите искомое время, помня, что температура воздуха
оставалась неизменной 21˚C.
Семинар7
Ознакомьтесь с примером 7.
Пример 7.
В кафе совершено преступление. Подозреваемых двое – это посетители кафе - Анатолий и
Владимир. Преступление мог совершить один из них, тот, кто отходил от стола хотя бы на короткое
время. Задержали их, когда они собирались уйти, не допив кофе.
Каждый утверждал, что это его сосед по столику выходил позвонить по телефону.
Например, Владимир, рассказал, что они заказали в кафе кофе и сливки. Когда им одновременно подали по чашке одинаково горячего кофе и сливки, Анатолий добавил в кофе немного сливок,
24
накрыл чашку бумажной салфеткой и вышел позвонить по телефону. Владимир сразу же накрыл чашку
бумажной салфеткой, а добавил то же количество сливок только через 10 мин, когда вернулся Анатолий.
То же только с точностью наоборот, рассказал Анатолий. Других свидетелей не было.
Тогда один из милиционеров достал из кармана термометр (который, после случая с трупом в
парке, всегда носил с собой) и определил что кофе более горячий в чашке Анатолия, который и
был арестован по подозрению в совершении преступления, а Владимир был отпущен, т.к. пр ошла его версия. Как удалось это доказать?
Задачу будем решать с учетом естественных предположений, которые отражают физическое содержание происходящих процессов и заключаются в следующем. Считаем, что теплообмен через поверхность стола и салфетки намного меньше теплообмена через боковые стенки чашек; температура пара
в чашке над поверхностью жидкости равна температуре жидкости.
Выведем сначала соотношение, показывающее, как с течением времени изменялась температура
кофе в чашке Владимира до смешивания кофе со сливками.
В соответствии с принятыми допущениями на основе известного закона физики количество теплоты, полученное воздухом от чашки Владимира, определяется соотношением
dQ  
T 
Sdt (1)
l
где Т — температура кофе в момент времени t ,  — температура воздуха в кафе,  — теплопроводность материала чашки, l — толщина стенок чашки, s — площадь боковой поверхности стенок
чашки. С другой стороны, количество теплоты, отданное кофе, находим из равенства
dQ  cmdT , (2)
где c - удельная теплоемкость кофе, m - масса кофе в чашке.
Рассматривая теперь вместе уравнения (1) и (2), приходим к уравнению

T 
sdt  cmdt ,
l
которое, разделяя переменные, можно переписать в виде
dT
dT
s
s

dt или
( T  ) (3)
 
dt
T 
lcm
lcm
Обозначая начальную температуру кофе через T0 и интегрируя дифференциальное уравнение (3), находим, что
T    (T0   )e

s
lcm
(4)
Формула (4) и есть аналитическое описание закона, по которому изменялась температура
кофе в чашке Владимира до смешивания кофе со сливками.
25
Посмотрим теперь, какой будет закон изменения температуры кофе после того, как Владимир добавил в чашку сливки. Для этого воспользуемся уравнением теплового баланса, которое в
нашем случае запишется в виде
cm(T   b )  c1 m1 ( b  T1 ) , (5)
где
 в температура смеси в момент времени t , T1 - температура сливок,
 удельная теплоемкость
сливок, m 1 - масса сливок добавленная в кофе.
Из уравнения (5) находим, что
В 
где a 
c1m1
cm
T1 
T или  В  kT1  aT (6),
cm  c1m1
cm  c1m1
c1 m1
cm
; k
.
cm  c1m1
cm  c1 m1
Принимая во внимание равенство (4), формулу (6) можно переписать в виде
s

t
c1m1
cm

lcm
В 
T1 
T   (T0   )e  . (7)
cm  c1m1
cm  c1m1 

Равенство (7) и задает закон изменения температуры кофе после добавления в чашку Владимира сливок.
Для вывода закона изменения температуры кофе в чашке Анатолия снова воспользуемся
уравнением теплового баланса, которое в данном случае принимает вид
cm(T0   0 )  c1 m1 ( 0  T1 ) , (8)
где  0 - температура смеси. Из равенства (8) получаем, что
0 
c1 m1
cm
T1 
T0 .
cm  c1 m1
cm  c1 m1
А тогда, воспользовавшись уравнением (4), где роль начальной температуры играет уже
 0 , а произведение cm заменяется суммой cm  c1 m1 , окончательно получаем, что закон изменения температуры
 А кофе в чашке Анатолия аналитически задается формулой:
dT
s
( T  ) или
 
dt
l (cm  c1 m1 )
s
t
 cm
 
cm
 А     1 1 T1 
T0    e l ( cm  c1m1 ) . (9)
cm  c1 m1
 cm  c1 m1

Таким образом, для ответа на поставленный в задаче вопрос остается лишь обратиться к
формулам (7) и (9) и провести численные расчеты, имея в виду, что c1  3,9  10 Дж/(кгК),
3
26
с  4,1 Дж/(кгК),   0,6 В/(мК), и полагая для определенности m1  2  10 2 кг, m  8  10 2 кг,
T1  20 ºС,   20 ºС, T0  80 ºС, s  11  10 3 м2, l  2  10 3 м. Вычисления показывают, что более горячий кофе пил Анатолий.
Проверьте это.
1)Используя возможности систем визуального моделирования (Scicos), найдите:
а) решение  В  kT1  aT (6),.используя
dT
s
( T  ) при начальных условиях, при
dt
lcm
веденных выше. Для этого предварительно вычислите a 
б)
решение
c1 m1
cm
и k
;
cm  c1m1
cm  c1 m1
dT
s
( T  ). Предварительно вычислите
 
dt
l (cm  c1 m1 )
 0 - температуру
смеси по формуле:
0 
c1 m1
cm
T1 
T0 .
cm  c1 m1
cm  c1 m1
используя также начальные условия, приведенные выше.
2) Чтобы создать эти модели, изобразите их на бумаге (в тетради), используя обозначения блоков
модели, которые приняты в Scicos. Покажите рисунок преподавателю.
3) Создайте эти модели, выполнив ряд необходимых операций, работая в Scilab.
4) Используя блок Mux, пронаблюдайте законы изменения температуры кофе в чашке Анатолия
и Владимира, сделайте вывод.
27
РАЗДЕЛ 4. Словарь основных терминов (глоссарий).
Алгоритм – это строгий порядок действий, точное предписание о последовательности операций для решения всех задач данного типа.
Генератор случайных чисел — специальная программа на ЭВМ, моделирующая' псевдослучайные числа, имеющие вероятностное распределение на отрезке [0, 1].
Гипотеза статистическая — различного рода предположения относительно характера
или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.
Дискретная случайная величина — множество возможных значений случайной величины,
число которых конечно или счетно.
Дифференциальное уравнение – уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функцию y и ее производные различных порядков по x .
Зависимая переменная — в регрессионной модели некоторая переменная У, являющаяся
функцией регрессии с точностью до случайного возмущения.
Задачи регрессионного анализа — установление формы зависимости между переменными,
оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.
Закон больших чисел — общий принцип, согласно которому, по формулировке академика
А.Н. Колмогорова, совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая. Другими словами,
при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может
быть предсказан с большой степенью определенности.
Закон распределения случайной величины — всякое соотношение, устанавливающее связь
между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями..
Интегральная кривая – график решения дифференциального уравнения.
Интеллектуальные системы и технологии – компьютерные программы, способные решать творческие задачи.
Информация — совокупность сведений с определенными свойствами.
Испытание — наблюдение того или иного явления (события) при осуществлении определенного комплекса условий (наблюдение того же явления в других условиях считается другим испытанием).
Математическая модель социального процесса – это формулировка таких его сторон,
свойств и качеств, которые могут быть выражены количественно при помощи методов и средств
современной математики
Математическая статистика - прикладная наука, занимающаяся разработкой методов
28
сбора, описания и обработки результатов наблюдений (испытаний) с целью изучения закономерностей
Модель — преднамеренно упрощенная схема (имитация) некоторой части реальной действительности, с помощью которой исследователь получает рекомендации к решению реальных
проблем; система элементов, воспроизводящих определенные стороны, связи, функции объекта
исследования.
Модель математическая — модель, при описании которой используется язык математики; формализованное описание с помощью математического аппарата взаимосвязей между элементами изучаемой системы.
Моделирование – способ теоретического или практического опосредованного познания, в
процессе которого используется некоторый вспомогательный объект – модель.
Моделирование имитационное — воспроизведение с помощью ЭВМ поведения исследуемой системы и ее описание по результатам процесса имитации.
Программа — созданная пользователем последовательность команд для выполнения компьютером.
29