ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ 2 3 1 . R {( x, y )} ( R {( x, y, z )}) - множество всех упорядоченных пар чисел (x,y) (троек чисел (x,y,z)). R {( x1, x2 ,..., xn )} - множество всех упорядоченных наборов n n чисел ( x1, x2 ,..., xn ) . 2. Функция f n переменных сопоставляет по определенному правилу каждому n набору n чисел ( x1, x2 ,..., xn ) из области определения D R единственное значение u E R , что записывается в виде f : D E или u f ( x1 ,..., xn ), ( x1 ,..., xn ) D. В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) из области значений переменных z f ( x, y ) , ( x, y ) D R (u f ( x, y, z ), ( x, y, z ) D R ) . 3. Если (x,y) (или (x,y,z)) - декартовы координаты точки плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство). 0 0 0 4. - окрестность точки M 0 ( x1 , x2 ,..., xn ) - множество всех точек 2 3 M ( x1 , x2 ,..., xn ) , не совпадающих с точкой M 0 , расстояние до которых от точки M 0 меньше : 0 ( M , M 0 ) . Так, - окрестность точки M 0 ( x0 , y0 ) - множество точек ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 - шар радиуса без границы с выколотым центром M 0 . M(x,y), удовлетворяющих условию 0 5. Назовем точку внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать. 6. Область называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки. Пример 1. Найти и изобразить область определения функций: а) z 1 x 2 y 2 1 ; б) z x 2 4 y / ln(1 x 2 y 2 ) . а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую x 1, x 2 1, Следовательно, область 2 y 1. y 1; точек D ( x, y) 1 x 1, y 1 1 x 0, последовательно решаем) 2 y 1 0; 2 определения ( x, y) множество 1 x 1,1 y .Область определения изображена на рис. 9.1. б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе y неравенств 1 1 0 1 1 Рис. 9.1. x x 2 4 y 0, 2 2 1 x y 0, 1 x 2 y 2 1. Область определения получается пересечением множеств: y x 2 / 4 - множество точек “под” параболой y x 2 / 4 , включая саму параболу; x y 1 - внутренность круга 2 2 радиуса 1 с центром в точке O(0;0) , x y 0 - вся плоскость Oxy, исключая точку 2 2 147 y O(0;0) . Итак, D {( x, y ) y x 2 / 4, 0 1 x 2 y 2 1, ( x 0) 1 ( y 0)} (рис. 9.2). x 1 Рис. 9.2. Задачи для самостоятельного решения Найти области определения следующих функций: 2. z ln( y 4 x 8) . 3. z 1/ x y 1/ x y . 1. z 1 x / a y / b . 2 2 2 2 2 4. z arcsin(( y 1) / x) . 5. z 8. u 6. z ctg ( x y ) . 7. z ln x lnsin y . x y . R 2 x 2 y 2 z 2 1/ x 2 y 2 z 2 r 2 , R r. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция f ( M ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) определена на множестве D и точка M0 D . 1. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки M ( x1 , x2 ,...xn ) к точке M 0 ( x10 , x20 ,..., xn0 ) (или, другими словами, при xi xi0 , i 1,2,..., n) , если для любого, сколь угодно малого положительного найдется такая - окрестность точки M 0 , что для любой точки M из этой окрестности выполняется f ( M ) A и обозначается lim f ( M ) A . Этот предел не должен зависеть от M M 0 способа (“пути”) стремления к M М0. df Используя логические lim f ( M ) A 0 ( ) 0 символы MM0 M (0 ( M , M 0 ) f ( M ) A ) .Для функции двух переменных f (x,y) df lim f ( x, y ) A 0 ( ) 0 ( x, y ) (0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 x x0 , y y0 f ( x, y) A ) . 2. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M df к точке M0, если lim f ( M ) 0 0 ( ) 0 M M 0 M (0 ( M , M 0 ) f ( M ) ) . Практически, при вычислении lim f ( M ) M M 0 удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам. 2 xy , x 0 x y 2 y 0 Пример 2. Вычислить пределы: а) lim 2 б) lim( x y )e 2 2 ( x y ) x y 148 а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из x 0 следует y 0 и 2 xy 2 x kx 2k lim 2 . Пределы получаются разными при различных “k” 2 2 2 2 x 0 x y x 0 x k x 1 k y 0 lim 2 и не существует числа A, к которому значения f ( x, y) 2 xy (x y2 ) 2 становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при MM0(0,0) не существует. 2 2 ( x y ) б) lim( x y )e =находим предел вдоль луча y=kx (k>0, x [0; ) ) при x y применим x x e 2 2 x ( x ) 2(1 k ) 2 Лопиталя два раза= (1 k )lim . lim (1 k ) x x (1 k ) x e e(1 k ) x x= lim x (1 k )e 2 2 x (1 k ) (1 k )lim 2 x2 (1 k ) x правило 2(1 k 2 ) 1 lim 0 k 0, – предел существует и равен нулю. 2 x (1 k ) x (1 k ) e Задачи для самостоятельного решения Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям. x2 y 2 1 1 sin( x3 y 3 ) . . 10. lim 9. lim 2 2 2 2 x 0 x 0 x y x y y 0 y 0 12. lim(1 x y ) 2 x 0 y 0 9.3. 2 1 x2 y 2 2 2 e1/( x y ) 11. lim 4 . x 0 x y 4 y 0 x y . x x xy y 2 y . 13. lim 2 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 0 0 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 ( x1 ,..., xn ) , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M0 ; 2) существует lim f ( M ) ; 3) lim f ( M ) f ( M 0 ) . M M 0 M M 0 2. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U. 3 . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д. Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки M 1 U и M 2 U , что для любой точки M U выполняется неравенство f ( M 1 ) f ( M ) f ( M 2 ). 149 Пример 3. Найти точки разрыва функций: а) z 1/ ln(2 x y ); 2 2 б) u 1/( x y z ). 2 2 2 а) Область существования функции ln(2 x y 2 2) есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию 2 x y 0 или 2 x 2 y 2 2 - внутренность круга радиуса 2 2 с центром в точке O (0;0). Функция 1/ ln(2 x y ) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. ln(2 x 2 y 2 ) 0 , отсюда 2 x 2 y 2 1 или x 2 y 2 1 . Таким образом, функция 2 2 z(x,y) разрывна на окружности x y 1 . 2 2 б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции образуют поверхность x 2 y 2 z 2 0 – конус. Задачи для самостоятельного решения Найти точки разрыва функций двух переменных: 2 2 3 3 14. z 1/(( x 1) ( y 1) ). 15. z 1/ sin x sin y. 16. z ( x y ) /( x y ). Найти точки разрыва функций трех переменных: 17. u 1/ xyz. x2 y 2 z 2 1 . 2 2 2 a b c 18. u 1/ 19. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0: 2 2 2 2 2 2 1) f ( x, y) x y /( x y ), f (0,0) 0 . 2) f ( x, y) xy /( x y ), f (0,0) 0 . x3 y 3 , f (0,0) 0 . 3) f ( x, y ) 2 x y2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 1. Пусть M(x1,…,xk,…,xn) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции u f ( x1 ,..., xn ) и точка N ( x1 ,..., xk xk ,..., xn ) D. Если существует предел lim N M f ( N ) f (M ) f ( x1 ,..., xk xk ,..., xn ) f ( x1 ,..., xk ,..., xn ) lim , xk 0 MN xk то он называется частной производной первого порядка данной функции по переменной xk в точке M и обозначается u или f xk ( M ) , или f xk ( x1 ,..., xn ) . xk Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме xk , рассматриваются как постоянные. 2. Частными производными второго порядка функции u f ( x1 ,..., xn ) по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются: 2u xk2 u xk xk 150 2u u = f xk xk ( x1 ,..., xk ,...xn ) f 2 ( M ) , xk xk xl xl xk f xk xl ( M ) и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго. Теорема 9.2 Если смешанные производные f xk xl и f xl xk непрерывны, то они совпадают: f xk xl f xl xk . Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны. Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции z ln( x 2 y 2 ) . Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: z 1 2x 2 2 , 2 ( x y ) x x ( x y 2 ) x2 y 2 z 1 2y . Дифференцируя вторично, получим: 2 ( x 2 y 2 )y 2 2 y ( x y ) x y2 2 z z 2 x ( x2 y 2 ) x 2x x2 y 2 2 2 , x 2 x x x x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 ( x 2 y 2 )2 2 z z 2 x (2 y ) 4 xy 2 2x 2 2 , 2 2 2 2 2 xy y x y x y (x y ) (x y ) 2 z z 2y 2x 4 xy 2 2 y 2 , 2 2 2 2 2 2 yx x y x x y (x y ) (x y ) 2 z z 2y ( x 2 y 2 ) y (2 y ) x2 y 2 2 2 . y 2 y y y x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 ( x 2 y 2 )2 Задачи для самостоятельного решения Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций: xy 5 5 3 3 2 20. z x y 5 x y . 21. z xy y / x . 22. z xe . 23. z (cos y ) / x . 24. z y . x 25. Найти f x(3,2), f y(3,2), f xx (3,2), f xy (3,2), f yy (3,2) , если f ( x, y) x3 y xy 2 2 x 3 y 1 . ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 1. Полным приращением функции f ( x1 ,..., xn ) в точке M ( x1 ,..., xn ) , x1 , x2 ,..., xn , называется разность f ( x1 ,..., xn ) f ( x1 x1 ,..., xn xn ) f ( x1 ,..., xn ) . (5.1) соответствующим приращениям аргументов 2.Функция f называется дифференцируемой в точке М, если существуют такие числа A1 , A2 ,..., An , что всюду в окрестности точки М полное приращение функции можно представить в виде f ( x1 , x2 ,..., xn ) A1x1 A2 x2 ... An xn o( ) , где (x1 )2 (x2 ) 2 ... (xn ) 2 . Теорема 9.3 (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке M ( x1 , x2 ,..., xn ) D( f ) , то существуют 151 частные производные f ( M i ), i 1,2,..., n. xi Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если частные f , i 1,2,..., n существуют и непрерывны во внутренней точке xi M ( x1 , x2 ,..., xn ) D( f ) , то функция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в производные точке М функции f полное приращение f ( M ) f x1 (M ) x1 ... f xn (M )xn o( ) (5.2) 3. Дифференциалом df первого порядка функции f ( x1 ,..., xn ) в точке M ( x1 , x2 ..., xn ) называется главная часть полного приращения (5.2), линейная относительно x1 ,..., xn : (5.3) df (M ) f x1 (M ) x1 ... f xn (M ) xn . f 0, если l k , xl 1, если l k , l = 1,2,…,n и df ( x1 ,..., xn ) xk или dxk xk , k 1,2,..., n . Тогда дифференциал Подставив в (5.2) f ( x1 ,..., xn ) xk , k 1,2,..., n , получим функции f выражается через дифференциалы независимых переменных: df (M ) f x1 (M ) dx1 ... f xn (M ) dxn . (5.4) Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования: d (u v) du dv , d (uv) vdu udv , d (u / v) (vdu udv) / v 2 . (5.5) 4.Дифференциалом 2-го порядка d f функции f ( x1 ,..., xn ) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x1 ,..., xn при фиксированных (т.е. постоянных) dx1 ,..., dxn : 2 d 2 f d (df ) . Вообще, дифференциал m – го порядка функции f: d m f d (d m1 f ), m 2,3,... (5.6) Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функции f ( x, y ) xy в точке ( x, y ) . По формуле (5.1) f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y) 2 = ( x x)( y y ) xy y x 2 xy y x(y ) 2 yxy x(y ) . Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно x и y : df ( x, y) y 2x 2 xyy . 2 2 2 2 2 Пример 6. Найти дифференциал функции f ( x, y, z ) x y / z . 2 3 4 f 2 xy 3 f 3x 2 y 2 f 4 x2 y3 , , 5 , Первый способ. По формуле (5.4): x z y z4 z z 2 xy 3 3x 2 y 2 4 x2 y3 df ( x, y, z ) 4 dx 3 4 dy 5 dz xy 2 (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 . z z z Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5): 152 1 1 1 ) 4 d ( x 2 y 3 ) x 2 y 3d ( 4 ) ( y 3 2 xdx x 2 3 y 2dy) / z 4 + 4 z z z 2 3 5 2 x y (4dz / z ) xy (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 . Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f ( x, y) . По формуле (5.4): df f xdx f ydy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и df ( x, y, z ) d ( x 2 y 3 dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования): d 2 f d (df ) d ( f xdx f ydy) ( f xdx f ydy)x dx ( f xdx f ydy )y dy = f xx (dx) 2 f xy dxdy f yy (dy) ; 2 2 d 3 f d (d 2 f ) ( f xx (dx)2 2 f xy dxdy f yy (dy)2 )x dx ( f xx (dx)2 2 f xydxdy (dx)3 3 f xxy (dx)2 dy 3 f xyy dx(dy)2 f yyy (dy)3. f yy (dy)2 )y dy f xxx Задачи для самостоятельного решения Найти полное приращение и дифференциал функции z: 2 2 26. а) z x xy y , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 1,2. б) z lg( x y ) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 0,9. Найти дифференциал функций: 2 27. z ln( y 2 x2 y 2 ) . 29. z ln cos( x / y) . 28. z tg( y / x) . 2 30. Найти df(1,2,1), если f ( x, y, z ) z /( x y ) . Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков. 2 2 33. z 31. z x 3x y y . 32. z y / x x / y . 34. z ( x y )e . 35. u xy yz zx . 35. u e 3 2 3 xy x 2 2 xy . xyz . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 . Пусть u f ( x1 ,..., xn ) и в свою очередь, x1 1 (t ),.., xn n (t ) . Теорема 9.5. Если функции 1 (t ),...,n (t ) дифференцируемы в точке M ( x1 ,..., xn ) M (1 (t ),...,n (t )) , то для производной сложной функции переменной u f (1 (t ),...,n (t )) справедлива формула u(t ) f x1 (M ) 1(t ) ... f xn ( M ) n (t ) или du u dx1 u dx3 u dxn . ... dt x1 dt x2 dt xn dt В частности, если t совпадает, например, одной (6.1) с переменной x1 , то x2 2 ( x1 ),..., xn n ( x1 ) и “полная” производная функции и по x1 равна du u u dx2 u dxn ... . (6.2) dx1 x1 x2 dx1 xn dx1 2. Пусть u f ( x1 ,..., xn ) и, в свою очередь, x1 1 (t1 ,..., tm ) , xn n (t1 ,..., tm ) . 1 ,..., n дифференцируемы в точке N (t1 ,..., tm ) , а функция f дифференцируема в точке M ( x1 ,..., xn ) M (1 ( N ),..., n ( N )) , то сложная Теорема 9.6. Если функции 153 функция m переменных u f (1 (t1 ,..., tm ),...,n (t1 ,..., tm )) дифференцируема в точке N и справедливы формулы: u u x1 u x2 u xn (6.3) (l 1,2,..., m) , ... tl x1 tl x2 tl xn tl при этом частные производные функции u по xk (k 1,2,..., n) вычислены в точке М, а частные производные функций xk по tl (l=1,2,…,m) вычислены в точке N. Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала). du 2 , если u xyz , где x t 1, y ln t , z tg t . dt du u dx u dy u dz По формуле (6.1) имеем yz 2t xz (1/ t ) dt x dt y dt z dt xy sec2 t 2t lntg t (t 2 1) tg t ) / t (t 2 1)ln t sec2 t . t Пример 9. Найти производную функции u (t ) t . Пример 8. Найти Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной. Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при y подстановке в функцию f ( x, y ) x вместо x и y двух одинаковых функций переменой t: x (t ) t , y (t ) t . + f y( x, y ) (t ) получаем Тогда по формуле t x t y x (6.1): u(t ) f x( x, y ) (t ) 1 x y 1= y x y 1 x y ln x t t t 1 y + t ln t t (1 ln t ) . t t Пример 10. Найти z dz x и , если z y , где y = sin2x. x dx dz z z dy z = y x ln y . По формуле (6.2) получим x dx x y dx y x ln x 2 xy x1 cos2 x . z z Пример 11. Найти , , dz , если z f (u, v) , где u ln( x 2 y 2 ) , v xy 2 . x y 2 2 2 z f (ln( x y ), xy ) - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по z z u z v 2x формулам (6.3) получим: fu 2 fv y 2 ; 2 x u x v x x y z z u z v 2y z z fu 2 f v 2 xy ; dz du dv fudu f vdv , 2 y u y v y u v x y 2x 2y du ux dx uy dy 2 dx dy , dv vx dx vy dy y 2dx 2 xydy , 2 2 2 x y x y 2x 2y 2 dz fu 2 dx dy f v( y dx 2 xydy ) 2 2 2 x y x y Имеем 154 2x 2y 2 f y 2 f v)dx dx 2 f 2 xyf v dy . 2 u 2 u x y x y НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1. Пусть дифференцируемая в точке x0 функция y(x) задана неявно уравнением F ( x, y) 0 и y=y(x) - решение этого уравнения. Если функция F дифференцируема, то производная функции y=y(x) определяется формулой dy dx x x0 Fx( x0 , y0 ) Fy( x0 , y0 ) (6.4) при условии, что Fy( x0 , y0 ) 0 , где y0 = y (x0), F (x0,y0) = 0. 2. Пусть дифференцируемая в точке M ( x1 ,..., xn ) функция u ( x1 ,..., xn ) задана 0 0 0 неявно уравнением F ( x1 , x2 ,..., xn , u ) 0 и u = u ( x1 ,..., xn ) - решение этого уравнения. Если F дифференцируема, то частные производные функции u = u ( x1 ,..., xn ) в точке М 0 определяются по формулам u xk M M 0 Fxk ( M 0 , u 0 ) Fu( M 0 , u 0 ) (k 1,2,...,n) (6.5) при условии, что Fu( M , u ) 0 , где u u ( M ), F ( M , u ) 0 . 0 0 0 0 0 0 Пример 12. Найти y(0) , если y 1 xe . y F ( x, y) y xe y 1 0 и по формуле (6.4) получаем y( x) Fx( x, y) Fy( x, y) ey = . В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка 1 xe y принадлежит графику функции, т.е. N ( x0 , y0 ) N (0;1) F ( x0 , y0 ) F (0;1) ( x xe y 1) x 0 y 1 0 . Поэтому y(0) e1 e . 1 0 e1 z z , , если x3 2 y3 z 3 3xyz 2 y 3 0 . x y Левую часть данного уравнения обозначим F ( x, y, z ) . По формуле (6.5) x Fx( x, y, z ) 3x 2 3 yz x 2 yz получим: , 2 y Fz( x, y, z ) 3z 3xy xy z 2 F ( x, y, z ) z 6 y 2 3xz 2 . y y Fz( x, y, z ) 3( z 2 xy ) Задачи для самостоятельного решения dz 2 x3 y 37. Найти , если z e , где x tgt , y t 2 1 . dt dz y 38. Найти , если z x , где x = ln t, y = sin t. dt Пример 13. Найти 155 du t 2 , если u yz / x, где x e , y ln t , z t 1 . dt z dz x y 3 40. Найти и , если z ln(e e ) , где y x x / 3 . x dx x 1 z dz ( x 1)2 41. Найти и , если z arctg , где y e . x dx y 2 2 2 42. Найти zx , z y , если z u ln v , где u y / x, v x y . 39. Найти 43. Найти dz, если z u v v u , где u x sin y, v y cos x . 2 44. Найти zx , zy , если z f (u, v) , где u 2 y /( z y ), v x 3 y . 2 2 45. Найти dz, если z f (u, v) , где u sin( x / y), v x/ y . dy 2 2y 2 2x , если: а) x e y e 0 , б) y sin x cos( x y ) 0 . dx dy d 2 y 47. Найти , 2 , если: а) x y e x y , б) x y arctg y 0 . dx dx 3 2 48. Найти z x и zy в точке (1,-2,2), если z 4 xz y 4 0 . 46. Найти 2 2 2 49. Найти z x и zy , если: а) z ln( x z ) xy / z 0 , б) F ( x y z, x y z ) 0 . Рекомендация. Ввести u x y z, v x y z . 2 2 2 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ Для дифференцируемой функции f ( x1 ,..., xn ) при достаточно малом (x1 ) 2 ... (xn ) 2 из формул (5.1) – (5.3) следует f df или, что то же самое, f ( x1 x1 ,..., xn xn ) f ( x1 ,..., xn ) df ( x1,..., xn ) . Пример 14. Вычислить приближенно (7.1) (4,05) 2 (3,07) 2 . Искомое число будем рассматривать как значение функции f ( x, y ) x 2 y 2 при x x0 x и y y0 y , если x0 4, y0 3, x 0,05, y 0,07 . Точка M (4;3) выбрана из соображений близости ее к точке N (4,05; 3,07) и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y . Находим f ( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 ) x2 y 2 M (4,3) y x2 y 2 5, M (4,3) f x( x0 , y0 ) 2 . Следовательно, 5 x x2 y 2 M (4,3) 4 , 5 (4,05) 2 (3,07) 2 5 (4 0,05 3 0,07) / 5 5 0,08 5,08 . 156 КАСАТЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0 (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид: а) к поверхности F(x,y,z) = 0: (7.2) Fx(M 0 )( x x0 ) Fy(M 0 )( y y0 ) Fz(M 0 )( z z0 ) 0 , 1. б) к поверхности z f ( x, y ) : z z0 f x( x0 , y0 )( x x0 ) f y( x0 , y0 )( y y0 ) . 2. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеют вид: а) к поверхности F ( x, y, z ) 0 : x x0 Fx(M 0 ) t , y y0 Fy(M 0 ) t , z z0 Fz(M 0 ) t ; (7.3) б) к поверхности z f ( x, y ) : x x0 f x( x0 , y0 ) t , y y0 f y( x0 , y0 ) t , z z0 t . Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x y 2 z 2 8x 4 y 6 z 20 0 в точке М(2,4,6). Обозначив через F ( x, y, z ) левую часть уравнения поверхности, найдем Fx( x, y, z ) 2 x 8, Fy( x, y, z ) 2 y F4z( x, , y, z ) 2 z 6, Fx(2,4,6) 4, Fy(2,4,6) 12, Fz(2, 4,6) 6. По формуле (7.2) имеем уравнение касательной 4( x 2) 12( y 4) 6( z 6) 0 или 2 x 6 y 3z 38 0 . По плоскости 2 формулам уравнения нормали в параметрической форме x 2 4t , y 4 12t , z 6 6t , отсюда можно получить канонические уравнения нормали (7.3) находим x2 y4 z 6 . 2 6 3 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ Пусть M 0 ( x0 , y0 ) - внутренняя точка области определения функции f ( x, y) . Точка M 0 называется точкой минимума (максимума) функции f, если существует такая окрестность V( M 0 ) точки M 0 , что для любой точки M ( x, y ) V( M 0 ) выполняется f ( M ) f ( M 0 ) ( f ( M ) f ( M 0 )) . Точка M 0 называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или точкой максимума этой функции. Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если M 0 ( x0 , y0 ) - точка экстремума функции, то каждая частная производная f x( M 0 ) и f y( M 0 ) либо равна нулю, либо не существует. Точка M 0 называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f. Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) M 0 - критическая точка функции f, б) существуют и непрерывны производные f x, f y, f xx, f xy , f yy в точках M 0 ( x0 , y0 ) и M ( x, y ) V( M 0 ) , в) f xx (M 0 ) f yy (M 0 ) ( f xy (M 0 ))2 .Тогда: 1) если 157 0 и f xx ( M 0 ) 0 ( f yy (M 0 ) 0, )то M 0 - точка минимума функции f ; 2) если 0 и f xx ( M 0 ) 0 ( f yy (M 0 ) 0,) то M 0 - точка максимума функции f ; 3) если 0 , то M 0 не является точкой экстремума; 4) если 0 , то требуется дополнительное исследование. Отметим, что в случае 0 существуют такие две прямые, проходящие через точку M 0 , что при движении точки M по первой из этих прямых значения функции f ( M ) сначала уменьшаются, затем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке M 0 достигают максимума, затем уменьшаются. В этом случае точку M 0 называют седловой. Пример 16. Исследовать на экстремум функцию z x y 3xy . Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему 3 zx 3 x 2 3 y 0, 2 zy 3 y 3 x 0, 3 решая которую получаем критические точки M 1 (0;0), M 2 (1;1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим zxx ( x, y) 6 x, zxy ( x, y) 3, zyy ( x, y) 6 y . В точке M 1 (0;0) : zxx ( M 1 ) 0 , zxy ( M1 ) 3 , zyy ( M1 ) 0 , z xx z yy ( z xy ) 2 M1 (0;0) 9 0 . Следовательно, M 1 (0;0) - седловая точка. В точке M 2 (1;1) : zxx ( M 2 ) 6, zxy ( M 2 ) 3 , zyy ( M 2 ) 6 , 6 6 (3)2 27 0 , zmin z (M 2 ) 1 . поэтому M 2 (1;1) - точка минимума функции z; НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция f ( x, y) , непрерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной Г= 1 2 ... m , достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом. 1. Находим критические точки, принадлежащие U. 2. На каждом звене k ломаной Г сводим функцию f к функции f k одной переменной и выделяем на k критические точки функции f k . 3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г. 4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми. Пример наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y) x 4 xy 5 y 13x в области D, заданной неравенствами y 2 x 4 . 2 17. Найти 2 Область D ограничена частью параболы x y и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции: 2 f x 2 x 4 y 13 0, Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая f 4 x 10 y 0. y точка M 1 (32,5; 13) не принадлежит D. 158 1 x 4, y [2,2] . Функция f ( x, y) сводится к функции одной переменной f1 ( y) f (4, y) 5 y 2 16 y 36, f1 ( y ) : f1( y ) 10 y 16 0, y [2,2] .Находим критические точки функции y1kp 1,6 . На 1 x = 4 и точки M 2 (4; 1,6) 1 . б) На линии 2 x y 2 , y [2;2] . 2) Исследуем функцию на границе. а) На участке f ( x, y) сводится к функции f 2 y 4 4 y 3 8 y 2 , y [2;2] . Находим 3 2 2 критические точки функции f 2 ( y ) : f 2( y ) 4 y 12 y 16 y 0 , y( y 3 y 4) 0 , ( y2 kp 0) [2;2] , ( y3kp 1) [2,2] , ( y4 kp 4) [2,2] . На 2 x y 2 и получаем точки M 3 (0;0) 2 , M 4 (1;1) 2 . 3) Вершины ломаной в точках M 5 (4; 2) и M 6 (4;2) . 4) Вычисляем значения функции f f ( M 3 ) 0 , f ( M 4 ) 3 , f ( M 5 ) 48 , в точках M 2 M 6 :f(M 2 ) 48,8, f ( M 6 ) 16 . Итак, f наиб. f (4;2) 16 , f наим. f (4; 1,6) 48,8 . Функция ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ. Если функция f ( x, y) дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности U ( M 0 ) точки M 0 ( x0 , y0 ) , то для всякой точки M ( x, y ) U ( M 0 ) справедлива формула Тейлора f (M ) f (M 0 ) 1 1 1 df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 ) ... d n f ( M 0 ) Rn (x, y) 1! 2! n! или, записав несколько членов в развернутом виде, 1 1 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y) ( f xx ( x0 , y0 )( x) 2 1! 2! 1 ( x0 , y0 )(x)3 (7.4) 2 f xy ( x0 , y0 )xy f yy ( x0 , y0 )(y)2 ) + ( f xxx 3! ( x0 , y0 )(x)2 x 3 f xyy ( x0 , y0 )x(y)2 f yyy ( x0 , y0 )(y)3 ) …+ 3 f xxy Rn (x, y ) . Здесь x x x0 , y y y0 , Rn (x, y ) - остаточный член в формуле Тейлора порядка n. При этом Rn (x, y) n (x, y) ((x) (y) ) ,где n бесконечно малая функция при x 0 и y 0 , вид которой зависит от функции f и 2 точки M ( x, y ) . В форме Пеано Rn (x, y ) o( ) , где n 2 n/2 (x) 2 (y ) 2 . При x0 y0 0 формула (7.4) называется формулой Маклорена. Пример 18. Функцию f ( x, y ) x 5 x xy y 10 x 5 y 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1). Имеем f (2, 1) 2 . Вычислим последовательно частные производные данной 3 функции: f x( x, y) 3x 10 x y 10, 2 f xx ( x, y) 6 x 10, производные f xy (( x, y) 1, тождественно равны 2 2 f y( x, y) x 2 y 5 , ( x, y) 6 . Все последующие f yy ( x, y) 2, f xxx нулю. Значения производных в точке(2,-1): f x(2, 1) 3, f y(2, 1) 1, f xx (2, 1) 2, f xy (2, 1) 1, f yy (2, 1) 2, (2, 1) 6 . По формуле (7.4) получаем искомое разложение f xxx f ( x, y) 2 3( x 2) ( y 1) ( x 2) 2 ( x 2)( y 1) ( y 1) 2 ( x 2)3 . 159 Пример 19. Функцию f ( x, y ) arctg ( y / x) разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно. Имеем f (1;1) arctg1 / 4 . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1). f x y /( x2 y 2 ), f y x /( x2 y 2 ), f xx 2 xy /( x 2 y 2 )2 , f xy 2( y 2 x2 ) /( x2 y 2 )2 , f y 2 xy /( x2 y 2 )2 ; f x(1,1) 1/ 2 , f y(1,1) 1/ 2 , f xx (1,1) 1/ 2, f xy (1,1) 0, f yy (1,1) 1/ 2 . По формуле (7.4) имеем arctg ( y / x) / 4 ( x 1) / 2 ( y 1) / 2 ( x 1) 2 / 4 ( y 1) 2 / 4 o( 2 ) , где ( x 1) 2 ( y 1) 2 . Задачи для самостоятельного решения Вычислить приближенно: 50. (2,01) 3,03 . 51. (1,02)3 (1,97)3 . 52. sin 28 ;cos61 . 53. ln( 3 1,03 4 0,98 1) . Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок l=1 дм . Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана. 55. В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10см, высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, r – на 3 мм и h уменьшить на 1мм. 56 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках: x cos y а) z sin x cos y в точке / 4, / 4,1/ 2 ; б) z e в точке (1, ,1/ e) ; 54. в) x( y z )( xy z ) 8 0 в точке (2,1,3); г) 2 x/ z 2 y / z 8 в точке (2,2,1); д) z 4 z x 0 в точках пересечения с осью Oz. 57. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности z arctg ( x / y) в точке (1,1, /4) c осями координат. Найти экстремумы функций 2-х переменных: 2 2 58. z x xy y 3x 6 y . 2 2 ( x 0, y 0) . 59. z xy (1 x y ) 60. z xy 50/ x 20/ y ( x 0, y 0) . 2 61. z x 3xy 15 x 12 y . 3 2 62. z (2 x y )e 2 2 ( x2 y 2 ) . 63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y xy x y в области x 0, y 0, x y 3 . 64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy в области 2 2 x2 y 2 1. 65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z e ( x2 y 2 ) (2 x 2 3 y 2 ) в круге x y 4 . 66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H. 2 2 160 67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала. 3 3 68. Функцию f ( x, y) x 2 y 3xy разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1). 69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию f ( x, y) e y cos x . 70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию f ( x, y ) y / x . 71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию z ( x, y) , определяемую уравнением z 3 3 yz 4 x 0 , если z (1;1) 1 . Ответы к задачам главы 9 2 1. x / a y / b 1. 2. y 4 x 8 . 3. x y 0, x y 0 - внутренняя часть правого вертикального угла, образованного биссектрисами координатных углов. 4. 1 x y 1 x ( x 0), 1 x y 1 x ( x 0) (при x = 0 функция не 2 2 2 2 5. x 0, y 0, x y . 6. Вся плоскость за исключением прямых x y n (n 0, 1, 2,...) . 7. x 0; 2 n y 2(n 1) (n – целое число). 2 определена). 8. Часть пространства, заключенная между сферами x y z r и 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 R 2 , включая поверхность внешней сферы и исключая – внутренней сферы. 9.0. 10. 0. 11. 0. 12. 1. 13. 0. 14. (1,-1). 15. Линии разрыва – прямые x k и y m , где k , m Z . 16. О(0,0)- точка бесконечного разрыва; точки прямой x y 0 ( x 0) - устранимые точки разрыва. 17. Поверхности разрыва – координатные плоскости x 0, y 0, z 0 . 18. Поверхность разрыва – эллипсоид x / a y / b z / c 1 . 19. 1) непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по x и y в отдельности; 3) непрерывна. Перейти к полярным координатам. 4 2 3 3 3 4 3 2 2 2 20. zx 5 x 15 x y , zy 5 y 15x y , zxx 20 x 30 xy , zxy 45x y , 2 2 2 2 2 2 zyy 20 y3 30 x3 y . 2 3 2 21. zx y y / x , zy x 1/ x , zx 2 y / x , zxy 1 1/ x , zyy 0 . 22. zx (1 xy )e xy , zy x e 2 xy , zxx y ( xy 2)e xy , zxy x( xy 2)e xy , zyy x3e xy . 23. zx (cos y ) / x , zy 2( y sin y ) / x , zxx 2(cos y ) / x , zxy 2( y sin y ) / x , 2 2 2 2 3 2 2 zyy (2sin y 2 4 y 2 cos y 2 ) / x . 24. zx y ln y , zy xy x 1 , zxx y ln y , zxy y 26. а) =0,33, dz = 0,3; б) z = 0,0187, dz = 0,0174. ( x ln y 1) , zyy x( x 1) y x2 . 25. f x(3,2) 56, f y(3,2) 42, f xx (3,2) 36, f xy (3,2) 31, f yy (3,2) 6 . x 2 1/ 2 27. dz ( x y ) 2 x 2 x 1 ( y x 2 y 2 ) 1 xdx ( x 2 y 2 ) 1/ 2 dy . 161 2 2 28. dz x cos ( y / x) y(2 xdy ydx). 2 2 29. dz y tg ( x / y )( xdy ydx) . 30. df (1,2,1) (5dz 2(dx 2dy )) / 25 . 31. dz 3x( x 2 y)dx 3( x y )dy, 2 2 d 2 z 6 x y dx 2 xdxdy y(dy) 2 . 2 32. dz (1/ x 1/ y )( xdy ydx), 2 2 d 2 z 2( y(dx)2 / x3 (1/ y 2 1/ x 2 )dxdy x(dy)2 / y 2 ) . 2 1/ 2 33. dz ( x 2 xy ) (( x y)dx xdy) , 2 2 3/ 2 d z ( x 2 xy) ( y 2 (dx)2 2 xydxdy x 2 (dy)2 ) . xy 2 2 34. dz e (( y xy 1)dx ( x xy 1)dy ) , d 2 z e xy ( y( y 2 xy 2)(dx)2 2( x y)( xy 2)dxdy x( x 2 xy 2)(dy)2 ) . 2 35. du ( y z )dx ( x z )dy ( x y)dz , d u 2(dxdy dydz dxdz ) . xyz 36. du e ( yzdx zxdy xydz ) , d 2u e xyz (( yzdx xzdy xydz )2 2( zdxdy xdydz ydzdx)) . 2 x 3 y 37. z(t ) e (2sec2 t 3(2t 1)) . 38. dz / dt x y ( y / tx (ln x)cos t ) . 2 t 2 39. dz / dt ( x( z 2 yt ) yzte ) / tx . x x y x y 2 x y 40. zx e /(e e ), dz / dx (e e ( x 1)) /(e e ) . 2 2 2 2 2 41. zx y /( y ( x 1) ), dz / dx y(1 2( x 1) ) /( y ( x 1) ) . 2 42. zx 2u(ux / v ( y ln v) / x ), zy 2u((ln v) / x uy / v) . 43. dz ((2uv v )sin y (u 2uv) y sin x)dx 2 2 ((2uv v 2 ) x cos y (u 2 2uv)cos x)dy . 2 2 44. zx 2 xf v(u, v) 2 yfu(u, v) /( x y ) , zy 2 xfu(u, v) /( x y) 3 f v(u, v) . 45. dz y (cos( x / y) fu(u, v) 2 y / x f v(u, v) / 2)( ydx xdy) . 46. a) y ( y e xe2 y ) /( x 2e2 y ye2 x ) , б) y ( y cos x sin( x y )) /(sin( x y ) sin x) . 2 47. a) y ( x y 1) /( x y 1), y 4( x y) /( x y 1) . 2 2 2 5 б) y (1 y ) / y , y 2(1 y ) / y . 48. zx 1, zy 1/ 2. 2 2x 49. а) zx ( yz ( z x) z ) /( z 2 xy( x z )), zy xz ( x z ) /( z 3 2 xy( x z )) ; б) zx ( Fu(u , v) 2 xFv(u , v)) /( Fu(u , v) 2 zFv(u , v)) , zy ( Fu(u, v) 2 yFv(u, v)) /( Fu(u, v) 2 zFv(u, v)) . 3 3 50. 8,29. 51. 2,95. 52. 0,227. 53. 0,005. 54. 8,2 м3. 55. Увеличится на 617,5см3. 56. а) x y 2 z 1 0; x / 4 t , y / 4 t , z 1/ 2 2t . б) x ez 2 0; x 1 t , y , z et 1/ e . в) 2 x 7 y 5 z 4 0; x 2 2t , y 1 7t , z 3 5t . г) x y 4 z 0; x 2 t , y 2 t , z 1 4t . д) В точке (0,0,0): z = 0; x = 0, y = 0, z = t. В точке (0,0,-4): z = -4; x = 0, y = 0, z = -4+t. 162 57. cos 1/ 6 , cos 1/ 6, cos 2 / 6 . 58. zmin 9 при x 0, y 3 . 59. zmax 1/ 64 при x 1/ 4, y 1/ 2 . 60. zmin 30 при x 5, y 2 . zmax 28 при x 2, y 1 . В критических 61. zmin 28 при x 2, y 1 ; точках(1;2), (-1;-2) экстремумов нет. 1 62. zmin 0 при x y 0; zmax 2e при x 1, y 0 . В критических точках (0; 1) экстремумов нет. 63. zнаиб. 6 в точках (3; 0) и (0; 3); zнаим. 1 в точке (1; 1). 64. zнаиб. 1/ 2 в точках (1/ 2;1/ 2) и ( 1/ 2; 1/ 2) ; zнаим. 1/ 2 в точках (1/ 2; 1/ 2) и (1/ 2;1/ 2) . 65. zнаим. 0 в точке (0; 0); zнаиб. 3/ e в точках (0; 1) и (0; -1). 66. 2 2 R / 3, 2 2 R / 3, H / 3 . 67. x y z 3 V 2 . 68. f ( x, y) 12 15( x 2) 6( x 2) 3( x 2)( y 1) 6( y 1) 2 2 ( x 2)3 2( y 1)3 . 69. f ( x, y ) 1 y ( y x ) / 2! ( y 3x y) / 3! o( ) , где 2 2 3 2 2 x2 y 2 . 70. f ( x, y) 1 ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( x 1)( y 1) ( x 1) 2 3 ( x 1)2 ( y 1) o( 3 ) , где ( x 1) 2 ( y 1) 2 . 71. z 1 2( x 1) / 3 ( y 1) / 2 2( x 1) / 9 ( y 1) /8 o( ) , где 2 2 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 . ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ 2 3 1. R {( x, y )} ( R {( x, y, z )}) - множество всех упорядоченных пар чисел (x,y) (троек чисел (x,y,z)). R {( x1, x2 ,..., xn )} - множество всех упорядоченных наборов n n чисел ( x1, x2 ,..., xn ) . 2. Функция f n переменных сопоставляет по определенному правилу каждому n набору n чисел ( x1, x2 ,..., xn ) из области определения D R единственное значение u E R , что записывается в виде f : D E или u f ( x1 ,..., xn ), ( x1 ,..., xn ) D. В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) из области значений переменных z f ( x, y ) , ( x, y ) D R (u f ( x, y, z ), ( x, y, z ) D R ) . 3. Если (x,y) (или (x,y,z)) - декартовы координаты точки плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство). 0 0 0 4. - окрестность точки M 0 ( x1 , x2 ,..., xn ) - множество всех точек 2 3 M ( x1 , x2 ,..., xn ) , не совпадающих с точкой M 0 , расстояние до которых от точки M 0 меньше : 0 ( M , M 0 ) . Так, - окрестность точки M 0 ( x0 , y0 ) - множество точек ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 - шар радиуса без границы с выколотым центром M 0 . M(x,y), удовлетворяющих условию 0 163 . 5. Назовем точку внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать. 6. Область называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки. Пример 1. Найти и изобразить область определения функций: а) z 1 x y 2 1 ; б) z x 2 4 y / ln(1 x 2 y 2 ) . 2 а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую x 1, Следовательно, область y 1. D ( x, y) 1 x 1, y 1 2 x 1, 2 y 1; 1 x 0, последовательно решаем) 2 y 1 0; 2 определения ( x, y) множество точек 1 x 1,1 y .Область определения изображена на рис. 9.1. б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе y неравенств 1 1 1 0 x 1 x 2 4 y 0, 2 2 1 x y 0, 1 x 2 y 2 1. Область определения получается пересечением множеств: y x 2 / 4 - множество точек Рис. 9.1. “под” параболой y x / 4 , включая саму параболу; 2 y x 2 y 2 1 - внутренность 0 1 1 x 1 круга радиуса 1 с центром в 2 2 точке O(0;0) , x y 0 вся плоскость Oxy, исключая точку O(0;0) . Итак, D {( x, y ) y x 2 / 4, x 2 y 2 1, ( x 0) ( y 0)} (рис. 9.2). Задачи для самостоятельного решения Найти области определения следующих функций: 1. z 1 x / a y / b . 2 2 2 2 4. z arcsin(( y 1) / x) . 5. z 8. u 2. z ln( y 4 x 8) . 3. z 1/ x y 1/ x y . 2 x y . 6. z ctg ( x y ) . 7. z ln x lnsin y . R 2 x 2 y 2 z 2 1/ x 2 y 2 z 2 r 2 , R r. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 164 Пусть функция f ( M ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) определена на множестве D и точка M0 D . 1. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки M ( x1 , x2 ,...xn ) к точке M 0 ( x10 , x20 ,..., xn0 ) (или, другими словами, при xi xi0 , i 1,2,..., n) , если для любого, сколь угодно малого положительного найдется такая - окрестность точки M 0 , что для любой точки M из этой окрестности выполняется f ( M ) A и обозначается lim f ( M ) A . Этот предел не должен зависеть от M M 0 способа (“пути”) стремления к M М0. df Используя логические lim f ( M ) A 0 ( ) 0 символы MM0 M (0 ( M , M 0 ) f ( M ) A ) .Для функции двух переменных f (x,y) df lim f ( x, y ) A 0 ( ) 0 ( x, y ) (0 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 x x0 , y y0 f ( x, y) A ) . 2. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M df к точке M0, lim f ( M ) 0 0 если ( ) 0 M M 0 M (0 ( M , M 0 ) f ( M ) ) . Практически, при вычислении lim f ( M ) M M 0 удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам. 2 xy , x 0 x 2 y 2 y 0 Пример 2. Вычислить пределы: а) lim б) lim( x y )e 2 2 ( x y ) x y а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из x 0 следует y 0 и 2 xy 2 x kx 2k lim . Пределы получаются разными при различных “k” 2 x 0 x 2 y 2 x 0 x 2 k 2 x 2 1 k y 0 lim и не существует числа A, к которому значения f ( x, y) 2 xy (x y2 ) 2 становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при MM0(0,0) не существует. 2 2 ( x y ) б) lim( x y )e =находим предел вдоль луча y=kx (k>0, x [0; ) ) при x y применим x x e x ( x 2 ) 2(1 k 2 ) 2 Лопиталя два раза= (1 k )lim . lim (1 k ) x x (1 k ) x e e(1 k ) x x= lim x (1 k )e 2 2 x (1 k ) (1 k 2 )lim x2 (1 k ) x правило 165 2(1 k 2 ) 1 lim 0 k 0, – предел существует и равен нулю. (1 k ) 2 x e(1 k ) x Задачи для самостоятельного решения Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям. x2 y 2 1 1 sin( x3 y 3 ) 9. lim 10. lim . . 2 2 2 2 x 0 x 0 x y x y y 0 y 0 12. lim(1 x y ) 2 2 1 x2 y 2 x 0 y 0 9.3. 2 2 e1/( x y ) 11. lim 4 . x 0 x y 4 y 0 x y . x x 2 xy y 2 y . 13. lim НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 0 0 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M 0 ( x1 ,..., xn ) , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M0 ; 2) существует lim f ( M ) ; 3) lim f ( M ) f ( M 0 ) . M M 0 M M 0 2. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U. 3 . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д. Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки M 1 U и M 2 U , что для любой точки M U выполняется неравенство f ( M 1 ) f ( M ) f ( M 2 ). Пример 3. Найти точки разрыва функций: а) z 1/ ln(2 x y ); 2 2 б) u 1/( x y z ). 2 2 2 а) Область существования функции ln(2 x y 2 2) есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию 2 x y 0 или 2 x 2 y 2 2 - внутренность круга радиуса 2 2 с центром в точке O (0;0). Функция 1/ ln(2 x 2 y 2 ) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. ln(2 x 2 y 2 ) 0 , отсюда 2 x 2 y 2 1 или x 2 y 2 1 . Таким образом, функция 2 2 z(x,y) разрывна на окружности x y 1 . б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции образуют поверхность x 2 y 2 z 2 0 – конус. Задачи для самостоятельного решения Найти точки разрыва функций двух переменных: 2 2 3 3 14. z 1/(( x 1) ( y 1) ). 15. z 1/ sin x sin y. 16. z ( x y ) /( x y ). Найти точки разрыва функций трех переменных: 166 x2 y 2 z 2 18. u 1/ 2 2 2 1 . b c a 17. u 1/ xyz. 19. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0: 2 2 2 2 2 2 1) f ( x, y) x y /( x y ), f (0,0) 0 . 2) f ( x, y) xy /( x y ), f (0,0) 0 . 3) f ( x, y ) x3 y 3 , f (0,0) 0 . x2 y 2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ 1. Пусть M(x1,…,xk,…,xn) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции u f ( x1 ,..., xn ) и точка N ( x1 ,..., xk xk ,..., xn ) D. Если существует предел lim N M f ( N ) f (M ) f ( x1 ,..., xk xk ,..., xn ) f ( x1 ,..., xk ,..., xn ) lim , xk 0 MN xk то он называется частной производной первого порядка данной функции по переменной xk в точке M и обозначается u или f xk ( M ) , или f xk ( x1 ,..., xn ) . xk Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме xk , рассматриваются как постоянные. 2. Частными производными второго порядка функции u f ( x1 ,..., xn ) по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, = f xk xk ( x1 ,..., xk ,...xn ) f 2 ( M ) , xk они обозначаются: 2u u xk xl xl xk 2u xk2 u xk xk f xk xl ( M ) и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго. Теорема 9.2 Если смешанные производные f xk xl и f xl xk непрерывны, то они совпадают: f xk xl f xl xk . Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны. Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции z ln( x 2 y 2 ) . Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: z 1 2x , 2 ( x 2 y 2 )x 2 2 x ( x y ) x y2 z 1 2y 2 2 . Дифференцируя вторично, получим: 2 ( x y ) y y ( x y 2 ) x2 y 2 2 z z 2 x ( x2 y 2 ) x 2x x2 y 2 2 2 , 2 x 2 x x x x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 ( x y 2 )2 167 2 z z 2 x (2 y ) 4 xy 2 2x 2 2 , 2 2 2 2 2 xy y x y x y (x y ) (x y ) 2 z z 2y 2x 4 xy 2 2 y , 2 2 2 2 2 2 yx x y x x y 2 (x y ) (x y ) 2 z z 2y ( x 2 y 2 ) y (2 y ) x2 y 2 2 2 . y 2 y y y x 2 y 2 ( x 2 y 2 )2 ( x 2 y 2 )2 Задачи для самостоятельного решения Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций: xy 5 5 3 3 2 20. z x y 5 x y . 21. z xy y / x . 22. z xe . 23. z (cos y ) / x . 24. z y . x 25. Найти f x(3,2), f y(3,2), f xx (3,2), f xy (3,2), f yy (3,2) , если f ( x, y) x3 y xy 2 2 x 3 y 1 . ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 1. Полным приращением функции f ( x1 ,..., xn ) в точке M ( x1 ,..., xn ) , x1 , x2 ,..., xn , называется разность f ( x1 ,..., xn ) f ( x1 x1 ,..., xn xn ) f ( x1 ,..., xn ) . (5.1) соответствующим приращениям аргументов 2.Функция f называется дифференцируемой в точке М, если существуют такие числа A1 , A2 ,..., An , что всюду в окрестности точки М полное приращение функции можно представить в виде f ( x1 , x2 ,..., xn ) A1x1 A2 x2 ... An xn o( ) , где (x1 )2 (x2 ) 2 ... (xn ) 2 . Теорема 9.3 (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке M ( x1 , x2 ,..., xn ) D( f ) , то существуют частные производные f ( M i ), i 1,2,..., n. xi Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если частные f , i 1,2,..., n существуют и непрерывны во внутренней точке xi M ( x1 , x2 ,..., xn ) D( f ) , то функция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в производные точке М функции f полное приращение f ( M ) f x1 (M ) x1 ... f xn (M )xn o( ) 3. Дифференциалом df первого порядка функции (5.2) f ( x1 ,..., xn ) в точке M ( x1 , x2 ..., xn ) называется главная часть полного приращения (5.2), линейная относительно x1 ,..., xn : df (M ) f x1 (M ) x1 ... f xn (M ) xn . (5.3) f 0, если l k , xl 1, если l k , l = 1,2,…,n и df ( x1 ,..., xn ) xk или dxk xk , k 1,2,..., n . Тогда дифференциал Подставив в (5.2) f ( x1 ,..., xn ) xk , k 1,2,..., n , получим функции f выражается через дифференциалы независимых переменных: 168 df (M ) f x1 (M ) dx1 ... f xn (M ) dxn . (5.4) Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования: d (u v) du dv , d (uv) vdu udv , d (u / v) (vdu udv) / v 2 . (5.5) 2 4.Дифференциалом 2-го порядка d f функции f ( x1 ,..., xn ) называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x1 ,..., xn при фиксированных (т.е. постоянных) dx1 ,..., dxn : d 2 f d (df ) . Вообще, дифференциал m – го порядка функции f: d m f d (d m1 f ), m 2,3,... (5.6) Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функции f ( x, y ) xy в точке ( x, y ) . По формуле (5.1) f ( x, y) f ( x x, y y) f ( x, y) 2 = ( x x)( y y ) xy y x 2 xy y x(y ) 2 yxy x(y ) . Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно x и y : df ( x, y) y 2x 2 xyy . 2 2 2 2 2 Пример 6. Найти дифференциал функции f ( x, y, z ) x y / z . 2 3 4 f 2 xy 3 f 3x 2 y 2 f 4 x2 y3 , , 5 , Первый способ. По формуле (5.4): x z y z4 z z 3 2 2 2 3 2 xy 3x y 4x y df ( x, y, z ) 4 dx 3 4 dy 5 dz xy 2 (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 . z z z Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5): 1 1 1 ) 4 d ( x 2 y 3 ) x 2 y 3d ( 4 ) ( y 3 2 xdx x 2 3 y 2dy) / z 4 + 4 z z z 2 3 5 2 x y (4dz / z ) xy (2 yzdx 3xzdy 4 xydz ) / z 5 . Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции f ( x, y) . По формуле (5.4): df f xdx f ydy . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и df ( x, y, z ) d ( x 2 y 3 dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования): d 2 f d (df ) d ( f xdx f ydy) ( f xdx f ydy)x dx ( f xdx f ydy )y dy = f xx (dx) 2 f xy dxdy f yy (dy) ; 2 2 d 3 f d (d 2 f ) ( f xx (dx)2 2 f xy dxdy f yy (dy)2 )x dx ( f xx (dx)2 2 f xydxdy (dx)3 3 f xxy (dx)2 dy 3 f xyy dx(dy)2 f yyy (dy)3. f yy (dy)2 )y dy f xxx Задачи для самостоятельного решения Найти полное приращение и дифференциал функции z: 2 2 26. а) z x xy y , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 1,2. б) z lg( x y ) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 0,9. Найти дифференциал функций: 2 2 169 27. z ln( y x2 y 2 ) . 29. z ln cos( x / y) . 28. z tg( y / x) . 2 30. Найти df(1,2,1), если f ( x, y, z ) z /( x y ) . Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков. 2 2 33. z 31. z x 3x y y . 32. z y / x x / y . 34. z ( x y )e . 35. u xy yz zx . 35. u e 3 2 3 xy x 2 2 xy . xyz . ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ И НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ СЛОЖНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 . Пусть u f ( x1 ,..., xn ) и в свою очередь, x1 1 (t ),.., xn n (t ) . Теорема 9.5. Если функции 1 (t ),...,n (t ) дифференцируемы в точке M ( x1 ,..., xn ) M (1 (t ),...,n (t )) , то для производной сложной функции переменной u f (1 (t ),...,n (t )) справедлива формула u(t ) f x1 (M ) 1(t ) ... f xn ( M ) n (t ) или du u dx1 u dx3 u dxn . ... dt x1 dt x2 dt xn dt В частности, если t совпадает, например, одной (6.1) с переменной x1 , то x2 2 ( x1 ),..., xn n ( x1 ) и “полная” производная функции и по x1 равна du u u dx2 u dxn . (6.2) ... dx1 x1 x2 dx1 xn dx1 2. Пусть u f ( x1 ,..., xn ) и, в свою очередь, x1 1 (t1 ,..., tm ) , xn n (t1 ,..., tm ) . 1 ,..., n дифференцируемы в точке N (t1 ,..., tm ) , а функция f дифференцируема в точке M ( x1 ,..., xn ) M (1 ( N ),..., n ( N )) , то сложная функция m переменных u f (1 (t1 ,..., tm ),...,n (t1 ,..., tm )) дифференцируема в точке N и Теорема 9.6. Если функции справедливы формулы: u u x1 u x2 u xn (l 1,2,..., m) , (6.3) ... tl x1 tl x2 tl xn tl при этом частные производные функции u по xk (k 1,2,..., n) вычислены в точке М, а частные производные функций xk по tl (l=1,2,…,m) вычислены в точке N. Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала). du 2 , если u xyz , где x t 1, y ln t , z tg t . dt du u dx u dy u dz По формуле (6.1) имеем yz 2t xz (1/ t ) dt x dt y dt z dt xy sec2 t 2t lntg t (t 2 1) tg t ) / t (t 2 1)ln t sec2 t . t Пример 9. Найти производную функции u (t ) t . Пример 8. Найти Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной. Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при 170 подстановке в функцию f ( x, y ) x вместо x и y двух одинаковых функций переменой t: y x (t ) t , y (t ) t . + f y( x, y ) (t ) Тогда по формуле t x t получаем y x (6.1): u(t ) f x( x, y ) (t ) 1 x y 1= y x y 1 x y ln x t t t 1 y + t ln t t (1 ln t ) . t t Пример 10. Найти z dz x и , если z y , где y = sin2x. x dx z dz z z dy = y x ln y . По формуле (6.2) получим x dx x y dx y x ln x 2 xy x1 cos2 x . z z Пример 11. Найти , , dz , если z f (u, v) , где u ln( x 2 y 2 ) , v xy 2 . x y 2 2 2 z f (ln( x y ), xy ) - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по z z u z v 2x формулам (6.3) получим: fu 2 fv y 2 ; 2 x u x v x x y z z u z v 2y z z fu 2 f 2 xy ; dz du dv fudu f vdv , v 2 y u y v y x y u v 2x 2y du ux dx uy dy 2 dx dy , dv vx dx vy dy y 2dx 2 xydy , 2 2 2 x y x y 2x 2y 2 dz fu 2 dx dy f v( y dx 2 xydy ) 2 2 2 x y x y Имеем 2x 2y f y 2 f v)dx dx 2 f 2 xyf v dy . 2 2 u 2 u x y x y НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 1 . Пусть дифференцируемая в точке x0 функция y(x) задана неявно уравнением F ( x, y) 0 и y=y(x) - решение этого уравнения. Если функция F дифференцируема, то производная функции y=y(x) определяется формулой dy dx x x0 Fx( x0 , y0 ) Fy( x0 , y0 ) (6.4) при условии, что Fy( x0 , y0 ) 0 , где y0 = y (x0), F (x0,y0) = 0. 2. Пусть дифференцируемая в точке M ( x1 ,..., xn ) функция u ( x1 ,..., xn ) задана 0 0 0 неявно уравнением F ( x1 , x2 ,..., xn , u ) 0 и u = u ( x1 ,..., xn ) - решение этого уравнения. Если F дифференцируема, то частные производные функции u = u ( x1 ,..., xn ) в точке М 0 определяются по формулам u xk M M 0 Fxk ( M 0 , u 0 ) Fu( M 0 , u 0 ) (k 1,2,...,n) (6.5) 171 при условии, что Fu( M , u ) 0 , где u u ( M ), F ( M , u ) 0 . 0 0 0 0 0 0 Пример 12. Найти y(0) , если y 1 xe . y F ( x, y) y xe y 1 0 и по формуле (6.4) получаем y( x) Fx( x, y) Fy( x, y) ey = . В нашем случае x0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка 1 xe y принадлежит графику функции, т.е. N ( x0 , y0 ) N (0;1) F ( x0 , y0 ) F (0;1) ( x xe 1) y x 0 y 1 e1 0 . Поэтому y(0) e . 1 0 e1 z z , , если x3 2 y3 z 3 3xyz 2 y 3 0 . x y Левую часть данного уравнения обозначим F ( x, y, z ) . По формуле (6.5) x Fx( x, y, z ) 3x 2 3 yz x 2 yz получим: , 2 y Fz( x, y, z ) 3z 3xy xy z 2 Fy( x, y, z ) z 6 y 2 3xz 2 . y Fz( x, y, z ) 3( z 2 xy ) Задачи для самостоятельного решения dz 2 x3 y 37. Найти , если z e , где x tgt , y t 2 1 . dt dz y 38. Найти , если z x , где x = ln t, y = sin t. dt du t 2 39. Найти , если u yz / x, где x e , y ln t , z t 1 . dt z dz x y 3 40. Найти и , если z ln(e e ) , где y x x / 3 . x dx x 1 z dz ( x 1)2 41. Найти и , если z arctg , где y e . x dx y 2 2 2 42. Найти zx , z y , если z u ln v , где u y / x, v x y . Пример 13. Найти 43. Найти dz, если z u v v u , где u x sin y, v y cos x . 2 44. Найти zx , zy , если z f (u, v) , где u 2 y /( z y ), v x 3 y . 2 2 45. Найти dz, если z f (u, v) , где u sin( x / y), v x/ y . dy 2 2y 2 2x , если: а) x e y e 0 , б) y sin x cos( x y ) 0 . dx dy d 2 y 47. Найти , 2 , если: а) x y e x y , б) x y arctg y 0 . dx dx 3 2 48. Найти z x и zy в точке (1,-2,2), если z 4 xz y 4 0 . 46. Найти 172 49. Найти z x и zy , если: а) z ln( x z ) xy / z 0 , б) F ( x y z, x y z ) 0 . 2 2 2 Рекомендация. Ввести u x y z, v x y z . 2 2 2 ПРИЛОЖЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ Для дифференцируемой функции f ( x1 ,..., xn ) при достаточно малом (x1 ) 2 ... (xn ) 2 из формул (5.1) – (5.3) следует f df или, что то же самое, f ( x1 x1 ,..., xn xn ) f ( x1 ,..., xn ) df ( x1,..., xn ) . Пример 14. Вычислить приближенно (7.1) (4,05) 2 (3,07) 2 . Искомое число будем рассматривать как значение функции f ( x, y ) x 2 y 2 при x x0 x и y y0 y , если x0 4, y0 3, x 0,05, y 0,07 . Точка M (4;3) выбрана из соображений близости ее к точке N (4,05; 3,07) и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y . Находим f ( x0 , y0 ) f y( x0 , y0 ) x2 y 2 M (4,3) y x y 2 5, 2 M (4,3) f x( x0 , y0 ) 2 . Следовательно, 5 x x2 y 2 M (4,3) 4 , 5 (4,05) 2 (3,07) 2 5 (4 0,05 3 0,07) / 5 5 0,08 5,08 . КАСАТЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Касательной плоскостью к поверхности в ее точке M 0 (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеет вид: а) к поверхности F(x,y,z) = 0: (7.2) Fx(M 0 )( x x0 ) Fy(M 0 )( y y0 ) Fz(M 0 )( z z0 ) 0 , 1. б) к поверхности z f ( x, y ) : z z0 f x( x0 , y0 )( x x0 ) f y( x0 , y0 )( y y0 ) . 2. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеют вид: а) к поверхности F ( x, y, z ) 0 : x x0 Fx(M 0 ) t , y y0 Fy(M 0 ) t , z z0 Fz(M 0 ) t ; (7.3) б) к поверхности z f ( x, y ) : x x0 f x( x0 , y0 ) t , y y0 f y( x0 , y0 ) t , z z0 t . Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности x y 2 z 2 8x 4 y 6 z 20 0 в точке М(2,4,6). 2 173 Обозначив F ( x, y, z ) левую часть уравнения поверхности, найдем Fx( x, y, z ) 2 x 8, Fy( x, y, z ) 2 y F4z( x, , y, z ) 2 z 6, Fx(2,4,6) 4, Fy(2,4,6) 12, Fz(2, 4,6) 6. По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости 4( x 2) 12( y 4) 6( z 6) 0 или 2 x 6 y 3z 38 0 . По формулам через уравнения нормали в параметрической форме x 2 4t , y 4 12t , z 6 6t , отсюда можно получить канонические уравнения нормали (7.3) находим x2 y4 z 6 . 2 6 3 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ Пусть M 0 ( x0 , y0 ) - внутренняя точка области определения функции f ( x, y) . Точка M 0 называется точкой минимума (максимума) функции f, если существует такая окрестность V( M 0 ) точки M 0 , что для любой точки M ( x, y ) V( M 0 ) выполняется f ( M ) f ( M 0 ) ( f ( M ) f ( M 0 )) . Точка M 0 называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или точкой максимума этой функции. Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если M 0 ( x0 , y0 ) - точка экстремума функции, то каждая частная производная f x( M 0 ) и f y( M 0 ) либо равна нулю, либо не существует. Точка M 0 называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f. Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) M 0 - критическая точка функции f, б) существуют и непрерывны производные f x, f y, f xx, f xy , f yy в точках M 0 ( x0 , y0 ) и M ( x, y ) V( M 0 ) , в) f xx (M 0 ) f yy (M 0 ) ( f xy (M 0 ))2 .Тогда: 1) если 0 и f xx ( M 0 ) 0 ( f yy (M 0 ) 0, )то M 0 - точка минимума функции f ; 2) если 0 и f xx ( M 0 ) 0 ( f yy (M 0 ) 0,) то M 0 - точка максимума функции f ; 3) если 0 , то M 0 не является точкой экстремума; 4) если 0 , то требуется дополнительное исследование. Отметим, что в случае 0 существуют такие две прямые, проходящие через точку M 0 , что при движении точки M по первой из этих прямых значения функции f ( M ) сначала уменьшаются, затем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке M 0 достигают максимума, затем уменьшаются. В этом случае точку M 0 называют седловой. Пример 16. Исследовать на экстремум функцию z x y 3xy . Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему 3 zx 3 x 2 3 y 0, 2 zy 3 y 3 x 0, 3 решая которую получаем критические точки M 1 (0;0), M 2 (1;1) . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим zxx ( x, y) 6 x, zxy ( x, y) 3, zyy ( x, y) 6 y . В точке M 1 (0;0) : zxx ( M 1 ) 0 , 174 zxy ( M1 ) 3 , zyy ( M1 ) 0 , z xx z yy ( z xy ) 2 M1 (0;0) 9 0 . Следовательно, M 1 (0;0) - седловая точка. В точке M 2 (1;1) : zxx ( M 2 ) 6, zxy ( M 2 ) 3 , zyy ( M 2 ) 6 , 6 6 (3)2 27 0 , zmin z (M 2 ) 1 . поэтому M 2 (1;1) - точка минимума функции z; НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция f ( x, y) , непрерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной Г= 1 2 ... m , достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом. 1. Находим критические точки, принадлежащие U. 2. На каждом звене k ломаной Г сводим функцию f к функции f k одной переменной и выделяем на k критические точки функции f k . 3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г. 4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми. Пример наибольшее и наименьшее значения функции f ( x, y) x 4 xy 5 y 13x в области D, заданной неравенствами y 2 x 4 . 2 17. Найти 2 Область D ограничена частью параболы x y и отрезком прямой x = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции: 2 f x 2 x 4 y 13 0, Решение системы: x =32,5, y = –13. Найденная критическая f 4 x 10 y 0. y точка M 1 (32,5; 13) не принадлежит D. 2) Исследуем функцию на границе. а) На участке 1 x 4, y [2,2] . Функция f ( x, y) сводится к функции одной переменной f1 ( y) f (4, y) 5 y 2 16 y 36, f1 ( y ) : f1( y ) 10 y 16 0, y [2,2] .Находим критические точки функции y1kp 1,6 . На 1 x = 4 и точки M 2 (4; 1,6) 1 . б) На линии 2 x y 2 , y [2;2] . f ( x, y) сводится к функции f 2 y 4 4 y 3 8 y 2 , y [2;2] . Находим 3 2 2 критические точки функции f 2 ( y ) : f 2( y ) 4 y 12 y 16 y 0 , y( y 3 y 4) 0 , ( y2 kp 0) [2;2] , ( y3kp 1) [2,2] , ( y4 kp 4) [2,2] . На 2 x y 2 и получаем Функция точки M 3 (0;0) 2 , M 4 (1;1) 2 . 3) Вершины ломаной в точках M 5 (4; 2) и M 6 (4;2) . 4) Вычисляем значения функции f M 2 M 6 :f(M 2 ) 48,8, f ( M 3 ) 0 , f ( M 4 ) 3 , f ( M 6 ) 16 . Итак, f наиб. f (4;2) 16 , f наим. f (4; 1,6) 48,8 . в точках f ( M 5 ) 48 , ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ 2-Х ПЕРЕМЕННЫХ. Если функция f ( x, y) дифференцируема n+1 раз в некоторой окрестности U ( M 0 ) точки M 0 ( x0 , y0 ) , то для всякой точки M ( x, y ) U ( M 0 ) справедлива формула 175 Тейлора f (M ) f (M 0 ) 1 1 1 df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 ) ... d n f ( M 0 ) Rn (x, y) 1! 2! n! или, записав несколько членов в развернутом виде, 1 1 f ( x, y ) f ( x0 , y0 ) ( f x( x0 , y0 )x f y( x0 , y0 )y) ( f xx ( x0 , y0 )( x) 2 1! 2! 1 ( x0 , y0 )(x)3 (7.4) 2 f xy ( x0 , y0 )xy f yy ( x0 , y0 )(y)2 ) + ( f xxx 3! ( x0 , y0 )(x)2 x 3 f xyy ( x0 , y0 )x(y)2 f yyy ( x0 , y0 )(y)3 ) …+ 3 f xxy Rn (x, y ) . Здесь x x x0 , y y y0 , Rn (x, y ) - остаточный член в формуле Тейлора порядка n. При этом Rn (x, y) n (x, y) ((x) (y) ) ,где n бесконечно малая функция при x 0 и y 0 , вид которой зависит от функции f и 2 точки M ( x, y ) . В форме Пеано Rn (x, y ) o( ) , где n 2 n/2 (x) 2 (y ) 2 . При x0 y0 0 формула (7.4) называется формулой Маклорена. Пример 18. Функцию f ( x, y ) x 5 x xy y 10 x 5 y 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1). Имеем f (2, 1) 2 . Вычислим последовательно частные производные данной 3 функции: f x( x, y) 3x 10 x y 10, 2 f xx ( x, y) 6 x 10, производные f xy (( x, y) 1, тождественно равны 2 2 f y( x, y) x 2 y 5 , ( x, y) 6 . Все последующие f yy ( x, y) 2, f xxx нулю. Значения производных в точке(2,-1): f x(2, 1) 3, f y(2, 1) 1, f xx (2, 1) 2, f xy (2, 1) 1, f yy (2, 1) 2, (2, 1) 6 . По формуле (7.4) получаем искомое разложение f xxx f ( x, y) 2 3( x 2) ( y 1) ( x 2) 2 ( x 2)( y 1) ( y 1) 2 ( x 2)3 . Пример 19. Функцию f ( x, y ) arctg ( y / x) разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно. Имеем f (1;1) arctg1 / 4 . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1). f x y /( x2 y 2 ), f y x /( x2 y 2 ), f xx 2 xy /( x 2 y 2 )2 , f xy 2( y 2 x2 ) /( x2 y 2 )2 , f y 2 xy /( x2 y 2 )2 ; f x(1,1) 1/ 2 , f y(1,1) 1/ 2 , f xx (1,1) 1/ 2, f xy (1,1) 0, f yy (1,1) 1/ 2 . По формуле (7.4) имеем arctg ( y / x) / 4 ( x 1) / 2 ( y 1) / 2 ( x 1) 2 / 4 ( y 1) 2 / 4 o( 2 ) , где ( x 1) 2 ( y 1) 2 . Задачи для самостоятельного решения Вычислить приближенно: 51. (2,01) 3,03 . 51. (1,02)3 (1,97)3 . 52. sin 28 ;cos61 . 53. ln( 3 1,03 4 0,98 1) . 54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок l=1 дм . Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана. 176 56. В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10см, высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, r – на 3 мм и h уменьшить на 1мм. 56 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках: x cos y а) z sin x cos y в точке / 4, / 4,1/ 2 ; б) z e в точке (1, ,1/ e) ; в) x( y z )( xy z ) 8 0 в точке (2,1,3); г) 2 x/ z 2 y / z 8 в точке (2,2,1); д) z 4 z x 0 в точках пересечения с осью Oz. 59. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности z arctg ( x / y) в точке (1,1, /4) c осями координат. Найти экстремумы функций 2-х переменных: 2 2 60. z x xy y 3x 6 y . 2 2 59. z xy (1 x y ) ( x 0, y 0) . 60. z xy 50/ x 20/ y ( x 0, y 0) . 2 61. z x 3xy 15 x 12 y . 3 2 62. z (2 x y )e 2 2 ( x2 y 2 ) . 63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x y xy x y в области x 0, y 0, x y 3 . 64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z xy в области 2 2 x2 y 2 1. 65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z e ( x2 y 2 ) (2 x 2 3 y 2 ) в круге x y 4 . 72. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H. 73. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала. 3 3 74. Функцию f ( x, y) x 2 y 3xy разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1). 75. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию f ( x, y) e y cos x . 76. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию f ( x, y ) y / x . 77. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию z ( x, y) , определяемую уравнением 2 2 z 3 3 yz 4 x 0 , если z (1;1) 1 . Ответы к задачам главы 9 2 1. x / a y / b 1. 2. y 4 x 8 . 3. x y 0, x y 0 - внутренняя часть правого вертикального угла, образованного биссектрисами координатных углов. 4. 1 x y 1 x ( x 0), 1 x y 1 x ( x 0) (при x = 0 функция не 2 2 определена). 2 2 5. x 0, y 0, x y . 6. Вся плоскость за исключением прямых 2 177 x y n (n 0, 1, 2,...) . 7. x 0; 2 n y 2(n 1) (n – целое число). 8. Часть пространства, заключенная между сферами x y z r и 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 R 2 , включая поверхность внешней сферы и исключая – внутренней сферы. 9.0. 10. 0. 11. 0. 12. 1. 13. 0. 14. (1,-1). 15. Линии разрыва – прямые x k и y m , где k , m Z . 16. О(0,0)- точка бесконечного разрыва; точки прямой x y 0 ( x 0) - устранимые точки разрыва. 17. Поверхности разрыва – координатные плоскости x 0, y 0, z 0 . 18. Поверхность разрыва – эллипсоид x / a y / b z / c 1 . 19. 1) непрерывна; 2) разрывна; непрерывна по x и y в отдельности; 3) непрерывна. Перейти к полярным координатам. 4 2 3 3 3 4 3 2 2 2 20. zx 5 x 15 x y , zy 5 y 15x y , zxx 20 x 30 xy , zxy 45x y , 2 2 2 2 2 2 zyy 20 y3 30 x3 y . 21. zx y y / x , zy x 1/ x , zx 2 y / x , zxy 1 1/ x , zyy 0 . 2 22. zx (1 xy )e xy 3 , zy x e 2 xy 2 , zxx y ( xy 2)e xy , zxy x( xy 2)e xy , zyy x3e xy . 23. zx (cos y ) / x , zy 2( y sin y ) / x , zxx 2(cos y ) / x , zxy 2( y sin y ) / x , 2 2 2 2 3 2 2 zyy (2sin y 2 4 y 2 cos y 2 ) / x . 24. zx y ln y , zy xy x 1 , zxx y ln y , zxy y 26. а) =0,33, dz = 0,3; б) z = 0,0187, dz = 0,0174. ( x ln y 1) , zyy x( x 1) y x2 . 25. f x(3,2) 56, f y(3,2) 42, f xx (3,2) 36, f xy (3,2) 31, f yy (3,2) 6 . x 2 1/ 2 27. dz ( x y ) 2 2 2 x 2 x 1 ( y x 2 y 2 ) 1 xdx ( x 2 y 2 ) 1/ 2 dy . 28. dz x cos ( y / x) y(2 xdy ydx). 2 2 29. dz y tg ( x / y )( xdy ydx) . 30. df (1,2,1) (5dz 2(dx 2dy )) / 25 . 31. dz 3x( x 2 y)dx 3( x y )dy, 2 2 d 2 z 6 x y dx 2 xdxdy y(dy) 2 . 2 32. dz (1/ x 1/ y )( xdy ydx), 2 2 d 2 z 2( y(dx)2 / x3 (1/ y 2 1/ x 2 )dxdy x(dy)2 / y 2 ) . 2 1/ 2 (( x y)dx xdy) , 33. dz ( x 2 xy ) d 2 z ( x 2 2 xy)3/ 2 ( y 2 (dx)2 2 xydxdy x 2 (dy)2 ) . xy 2 2 34. dz e (( y xy 1)dx ( x xy 1)dy ) , d 2 z e xy ( y( y 2 xy 2)(dx)2 2( x y)( xy 2)dxdy x( x 2 xy 2)(dy)2 ) . 2 35. du ( y z )dx ( x z )dy ( x y)dz , d u 2(dxdy dydz dxdz ) . xyz 36. du e ( yzdx zxdy xydz ) , d 2u e xyz (( yzdx xzdy xydz )2 2( zdxdy xdydz ydzdx)) . 2 x 3 y (2sec2 t 3(2t 1)) . 38. dz / dt x y ( y / tx (ln x)cos t ) . 37. z(t ) e 178 39. dz / dt ( x( z 2 yt ) yzte ) / tx . 2 t 2 x x y x y 2 x y 40. zx e /(e e ), dz / dx (e e ( x 1)) /(e e ) . 41. zx y /( y ( x 1) ), dz / dx y(1 2( x 1)2 ) /( y 2 ( x 1) 2 ) . 2 42. zx 2u(ux / v ( y ln v) / x ), zy 2u((ln v) / x uy / v) . 2 2 43. dz ((2uv v )sin y (u 2uv) y sin x)dx 2 2 ((2uv v 2 ) x cos y (u 2 2uv)cos x)dy . 2 2 44. zx 2 xf v(u, v) 2 yfu(u, v) /( x y ) , zy 2 xfu(u, v) /( x y) 3 f v(u, v) . 45. dz y (cos( x / y) fu(u, v) 2 y / x f v(u, v) / 2)( ydx xdy) . 46. a) y ( y e xe2 y ) /( x 2e2 y ye2 x ) , б) y ( y cos x sin( x y )) /(sin( x y ) sin x) . 2 47. a) y ( x y 1) /( x y 1), y 4( x y) /( x y 1) . 2 2 2 5 б) y (1 y ) / y , y 2(1 y ) / y . 48. zx 1, zy 1/ 2. 2 2x 3 3 49. а) zx ( yz ( z x) z ) /( z 2 xy( x z )), zy xz ( x z ) /( z 3 2 xy( x z )) ; б) zx ( Fu(u , v) 2 xFv(u , v)) /( Fu(u , v) 2 zFv(u , v)) , zy ( Fu(u, v) 2 yFv(u, v)) /( Fu(u, v) 2 zFv(u, v)) . 50. 8,29. 51. 2,95. 52. 0,227. 53. 0,005. 54. 8,2 м3. 55. Увеличится на 617,5см3. 56. а) x y 2 z 1 0; x / 4 t , y / 4 t , z 1/ 2 2t . б) x ez 2 0; x 1 t , y , z et 1/ e . в) 2 x 7 y 5 z 4 0; x 2 2t , y 1 7t , z 3 5t . г) x y 4 z 0; x 2 t , y 2 t , z 1 4t . д) В точке (0,0,0): z = 0; x = 0, y = 0, z = t. В точке (0,0,-4): z = -4; x = 0, y = 0, z = -4+t. 57. cos 1/ 6 , cos 1/ 6, cos 2 / 6 . 58. zmin 9 при x 0, y 3 . 59. zmax 1/ 64 при x 1/ 4, y 1/ 2 . 60. zmin 30 при x 5, y 2 . zmax 28 при x 2, y 1 . В критических 61. zmin 28 при x 2, y 1 ; точках(1;2), (-1;-2) экстремумов нет. 1 при x 1, y 0 . В критических точ62. zmin 0 при x y 0; zmax 2e ках (0; 1) экстремумов нет. 63. zнаиб. 6 в точках (3; 0) и (0; 3); zнаим. 1 в точке (1; 1). 64. zнаиб. 1/ 2 в точках (1/ 2;1/ 2) и ( 1/ 2; 1/ 2) ; zнаим. 1/ 2 в точках (1/ 2; 1/ 2) и (1/ 2;1/ 2) . 65. zнаим. 0 в точке (0; 0); zнаиб. 3/ e в точках (0; 1) и (0; -1). 66. 2 2 R / 3, 2 2 R / 3, H / 3 . 67. x y z 3 V 2 . 68. f ( x, y) 12 15( x 2) 6( x 2) 3( x 2)( y 1) 6( y 1) 2 2 ( x 2)3 2( y 1)3 . 69. f ( x, y ) 1 y ( y x ) / 2! ( y 3x y) / 3! o( ) , где 2 2 3 2 2 x2 y 2 . 179 70. f ( x, y) 1 ( x 1) ( y 1) ( x 1) ( x 1)( y 1) ( x 1) 2 3 ( x 1)2 ( y 1) o( 3 ) , где ( x 1) 2 ( y 1) 2 . 71. z 1 2( x 1) / 3 ( y 1) / 2 2( x 1) / 9 ( y 1) /8 o( ) , где 2 2 2 ( x 1) 2 ( y 1) 2 . КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА x1 , x2 ,...xm “ объема” v(E) задана ограниченная функция f ( x1 , x2 ,...,x m ) ; 2) E1 , E2 ,..., En - разбиение Пусть : 1) в ограниченной замкнутой области E R области E n m на подобласти Ei с объемами Ei (v( E ) Ei i 1 n Ei ) и диаметрами i 1 d i , d supd i - диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки M (1i , i2 ,...,im ) Ei , i 1,2,..., n ; 4) построим интегральную сумму n I n f ( M i ) Ei . i 1 Определение. Конечный предел I интегральной суммы I n при d 0 называется m- кратным интегралом от функции f по области E и обозначается I ... f ( x1 , x2 ,..., xm )dE E I ... f ( x1 , x2 ,..., xm )dx1 dx2 ... dxm . или (1.1) E Таким образом, по определению, n I ... f ( x1 , x2 ,..., xm )dE lim f (1i , i2 ,..., im ) Ei n E ( d 0) (1.2) i 1 В этом случае функция f ( x1 ,..., x m ) называется интегрируемой в E. При m=2 (m=3) для ограниченной функции f в замкнутой области S R ( x, y ) (V R ( x, y, z )) кратный интеграл (1.1) называется двойным 2 3 (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид n I f ( x, y )dS f ( x, y )dxdy lim f ( i , i ) S i ,где точка M i (i , i ) Si , n S i 1 S ( I f ( x, y, z )dV f ( x, y, z )dxdydz lim V n f (i , i , i )Vi , n i 1 V где точка M i ( i , i , i ) Vi ) . 14.2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 14.2.1. ОБЛАСТИ НА ПЛОСКОСТИ Определение. Область S R x, y назовем правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1). 2 180 14.3 Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции 1 ( x ) и 2 ( x) , определенные и непрерывные на [a;b] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: a x b, 1 ( x) y 2 ( x) ; тогда символически можно записать: ( S ) : a x b; 1 ( x) y 2 ( x). (2.1) Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции 1 ( y ) и 2 ( y ) , определенные и непрерывные на [c;d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d (рис.14.2); тогда символически S : {c y d , 1 ( y ) x 2 ( y )} . (2.2) Рис.14.1. Рис.14.2. y y (x) y= d x= (y) 1 c 2 S y= 0 a (x) x= (y) S 2 x 0 1 b x Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy. Пример 1. Область S задана уравнениями границы: y x / 2, y x, x 2 . Изобразить указанную область и записать как правильную. OA : y x / 2, OB : y x, Область S – треугольник, ограниченный прямыми y L AB : x 2 (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2). а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую OA : y x / 2 и прямую OB : y x . Поэтому в силу A (2.1) область задается системой неравенств: S : 0 x 2; x / 2 y x. 0 x б) Эта же область является 2 правильной и в y направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо B область S разбить на две части S и S (рис.14.4). 1 2 L 2 Выразим в уравнениях границы x через S2 независимую переменную y : OB: x=y, OA: x=2y. Для определения границ изменения переменной y A S1 L 1 параллельные оси Ox. проведем прямые, Прямая L1 пересекает прямую OB: x=y и прямую 0 x OA: x=2y; прямая L2 пересекает прямую OB: x=y Рис. 14.4 и прямую AB: x=2. Итак, S ( S1 ) ( S 2 ), и в силу (2.2) S1 : 0 y 1; y x 2 y , B S 2 : 1 y 2; y x 2. Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству x y ax (a>0) , 2 2 181 т.е. D :{x y ax} . Изобразить данную область и записать как правильную. 2 2 Преобразуя неравенство x y ax , получим ( x a / 2) y a / 4 . Геометрически область D есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения 2 x 2 y 2 ax границы 2 2 2 y ax x 2 следует 2 или x (a / 2) (a 2 / 4) y 2 .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность OKL : y ax x 2 и полуокружность OML: y ax x 2 (рис. 14.5)), в силу (2.1) D : { 0 x a; ax x 2 y ax x 2 } . Рис. 14.5 y Рис.14.6 y M D 0 M a _ 2 L a -2 D a x a_ 2 0 - K L _a 2 x K Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность KOM : x (a / 2) (a 2 / 4) y 2 и полуокружность KLM : x (a / 2) + (a 2 / 4) y 2 (рис. 14.6)), и в силу (2.2): ( D) :{a / 2 y a / 2; (a / 2) (a 2 / 4) y 2 x (a / 2) (a 2 / 4) y 2 } Задачи для самостоятельного решения Изобразить указанные области и записать как правильные в направлении Oy. 1. S – параллелограмм со сторонами x=3, x=5, 3x-2y+4=0, 3x-2y+1=0. 2. Область D задана неравенствами y x , y 4 x . 3. Область D – треугольник со сторонами y x, y 2 x, x y 6 . 2 2 14.2.2. ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ b Определение. Повторный интеграл dx f ( x, y)dy a первообразной F(x,y) для f ( x, y) переменному “x” , т.е. b y2 ( x ) b a y1 ( x ) a dx f ( x, y)dy F ( x, y) Определение. Повторный y2 ( x ) есть приращение y1 ( x ) по переменному “y”, проинтегрированное по y y2 ( x ) y y1 ( x ) dx F (x, y (x)) F (x, y (x))dx . интеграл b 2 1 a d x2 ( y ) c x1 ( y ) dy f ( x, y)dx есть приращение 182 первообразной Ф(x,y) для f(x,y) по переменному “x”, проинтегрированное по переменному “y”, т.е. d x2 ( y ) d c x1 ( y ) c dy f ( x, y)dx = Ф( x, y) x x2 ( y ) x x1 ( y ) dy Ф( x ( y), y) Ф( x ( y), y)dy . d 2 1 c 2 x2 1 x Пример 3. Вычислить повторный интеграл dx ( x 2 y )dy . 2 x2 1 x dx ( x 2 y )dy интегрируя внутренний интеграл по “y”, полагаем “x” x2 2 2 x2 x x2 постоянным= dx x dy 2 ydy x y x 2 y / 2 x 1 x x 1 2 = x( x 2 2 x) ( x 4 x )dx ( x 2 2 1 3 x 4 )dx x 4 / 4 x 5 / 5 1 dx 12 49 / 20 . Задачи для самостоятельного решения Вычислить повторные интегралы. 1 4. 1 1 x 2 dx ( x y)dy . 5. dx xy dy 0 0 x2 0 ( x, y) . f ( x, y) Fxy 6. 2 a A B 0 0 a b 2 2 d sin d . 7. dx f ( x, y )dy , если 14.2.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Теорема 14.1 Если : 1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: {a x b, y1 ( x) y y2 ( x)} , т.е. существует двойной интеграл b y2 ( x) a y1 ( x ) f ( x, y )dS , 2) существует повторный интеграл dx f ( x, y )dy , то S y2 ( x ) b f ( x, y)dS dx f ( x, y)dy S a (2.3) y1 ( x ) Теорема 14.2. Если :1) функция f(x,y) интегрируема в правильной в направлении S : { c y d , x1 ( y ) x x2 ( y )} , т.е. существует двойной интеграл Ox области d x2 ( y ) f ( x, y )dS , 2) существует повторный интеграл dy f ( x, y)dx , то S d c x2 ( y ) c x1 ( y ) x1 ( y ) f ( x, y)dS dy f ( x, y)dx . S (2.4) Из вышеприведенных теорем следует, что при вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования. Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле 1 2 y 0 y dy f ( x, y)dx . 183 1 2 y 0 y Так как из (2.4) имеем dy f ( x, y )dx f ( x, y )dxdy , то правильная в направлении D Ox область D ограничена линиями x=y, x=2-y, y=0, y=1 (линия y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB границы состоит из отрезков прямых OA : y x, x [0;1] и AB : y 2 x, x [1,2] , то y D D1 D2 , где (см. (2.1)) A 1 D1 : {0 x 1; 0 y x}, D 0 0 y fdxdy = fdxdy fdxdy x 2 D D1 D2 1 x 2 2 x 0 0 1 0 = dx f ( x, y )dy dx 2 y D2 : {1 x 2; 0 y 2 x} . Итак, dy fdx = B 1 Рис.14.7 1 D1 D2 f ( x, y)dy . Пример 5. Вычислить I ( x y )dxdy по области D, ограниченной линиями 2 D yx и y 2 x. Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол y x и y 2 x x x 4 x, x 4 x 0, x( x 1)( x 2 x 1) 0 , откуда имеем действительные корни x1 0 , x2 1 . Таким образом, параболы пересекаются в точках O(0;0), A(1;1) ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy решаем уравнение x 2 (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) D :{0 x 1; x y x} . По формуле (2.3) Рис.14.8 а) 2 y 2 y=x A 0 1 y= __ x 1 x 0 x2 I ( x y )dxdy dx ( x y 2 )dy 2 D y x 3 y = dx x y 3 2 0 yx 1 1 8 5/ 2 x4 x7 33 4 3 1 6 3 x x x 3 x dx 15 x 4 21 140 0 0 x 1 . Если область D рассматривать как правильную в направлении Ox (рис.14.8б), то (см. (2.2)) D : { 0 y 1; y x 2 1 y 0 y2 y }. По формуле (2.4) I ( x y )dxdy dy ( x y 2 )dx 2 D 184 ис.14.8.б x y 2 1 x 2 = y y 5 / 2 3 y 4 dy dy y x 2 0 2 2 2 0 x y 1 1 y2 2 7/2 3 5 33 = . y y 10 0 140 4 7 Задачи для самостоятельного решения Изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах: 1 8. dy 0 y f ( x, y )dx . e y ln x 1 0 10. dx f ( x, y)dy . 2 rx x 2 r 9. dx f ( x, y)dy . 0 x sin x 0 0 11. dx Перейти от двойного интеграла f ( x, y)dy . f ( x, y )dxdy по конечной области D к повторному D интегралу и расставить пределы интегрирования: 12. Область D – параллелограмм со сторонами x 3, x 5, 3x 2 y 4 0, 3x 2 y 1 0 . 13. D : {x y 1; x 0; y 0} . 14. D : {( x 2) ( y 3) 4} . 15. D - треугольник со сторонами y x, y 2 x, x y 6 . 2 2 2 2 16. D : y 2 x 0; 2 y x 0, xy 2. 17. D - треугольник с вершинами O(0;0), A(2;1), B(2;1) . 18. D – сегмент, ограниченный линиями y x , y 1 . Вычислить двойные интегралы: 2 19. e x y dxdy, D : 0 x 1; 0 y 2. 20. x 3 y 2 dxdy, D - круг x 2 y 2 R 2 . D D 21. 2 2 ( x y)dxdy, D - область, ограниченная линиями y x , y x . 2 D x2 dxdy, D - область, ограниченная линиями x 2, y x, xy 1 . 2 y D 23. cos(x y ) dxdy, D - область, ограниченная линиями x 0, y , y x . 22. D 24. 1 x y dxdy, D - четверть круга x y 1 , лежащая в первом квадранте. 2 2 2 2 D 25. 2 2 xy dxdy, D - область, ограниченная параболой y 2 px и прямой x p / 2 . D 26. 2 y dxdy , если D ограничена осью абсцисс и первой аркой циклоиды D x a(t sin t ) , y a(1 cost ) , 0 t 2 . 185 14.2.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. Пусть функции x x(u, v), y y(u, v) осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости O1uv на область S плоскости Oxy . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение u u ( x, y) , v v( x, y) области S на область P, если якобиан преобразования J (u, v) D( x, y ) xu = D(u, v) xv yu 0 (u , v) P . y v Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий. Теорема 14.3. Пусть x x(u, v), y y(u, v) есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости O1uv на область S из плоскости Oxy . Тогда справедливо равенство (2.5) f ( x, y)dS f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv. S P Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий. Переход в двойном интеграле к полярным координатам Формулы (2.6) x cos, y sin преобразуют полярные координаты , точки в декартовы координаты этой точки и P0 : 0 2; 0 переводят область (или область P0 : ; 0 ) на всю плоскость Oxy. Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по 0, при y 0, 2 2 формулам: x y , arcctg x / y ( y ), ( y ) 1, при y 0. Фиксируя в последних формулах и , получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке O(0;0) и луч, исходящий из точки O(0;0) . Якобиан преобразования J (, ) D( x, y ) x D(, ) y x cos sin y sin cos и формула (2.5) принимает вид: f ( x, y)dxdy f ( cos , sin )dd. S (2.7) P Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация x y . В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от , декартовых координат к эллиптическим полярным координатам (0 , 0 2 ( )) по формулам (2.8) x a cos , y b sin 2 2 186 Ри 14.10 a, b - постоянные, a 0, b 0 . Тогда J ab , dxdy abdd (2.9) Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством x y R (круг радиуса R с центром в 2 2 2 точке O(0;0) ). Перейдем от декартовых координат x, y к полярным , по формулам x cos , и y в исходное неравенство, получим: y sin . Подставим x 0 R . На координату дополнительных ограничений не накладывается, поэтому 0 2 (или ). 2 cos2 2 sin 2 R 2 или В полярной системе координат круг записывается неравенствами: P : 0 2; 0 R. Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную x2 y2 R2 , линиями y k1 x , y k 2 x ( y 0 ), k1 , k 2 - постоянные, k1 0, k 2 0 . Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами x cos , y sin : 1) x y R 2 2 2 2 cos2 2 sin 2 R 2 , R ; 2) y k1 x sin k1 cos , tg k1 , arctg k1 ; 3) y k 2 x sin k 2 cos , tg k 2 , arctg k 2 . Область S Oxy переходит в область y 2 2 2 y= k x x + y =R P O . 2 y =k x 1 Рис. 14.9 Рис.14.9 0 x В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: P : arctg k1 arctg k 2 ; 0 R. Пример 8. Вычислить двойной интеграл I ( y 2)dxdy , S - множество S точек, неравенству y удовлетворяющих Границей области или ( x 2) y 4 центром в C (2;0) (рис. 14.10). 2 2 является - x 2 y 2 4x . x2 y 2 4x линия окружность точке 0 радиуса 2 2 с x Наличие в уравнении границы комбинации x y наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам , по формулам x cos , y sin , dxdy dd . Уравнение 2 2 границы x y 4 x 0 переходит в уравнение cos sin 4 cos 0 2 2 2 2 2 2 или ( 4 cos) 0 . Отсюда =0 (соответствует полюсу O) и 4 cos - уравнение окружности. Так как всегда 0 (по смыслу ), то из 4 cos следует cos 0 , 187 (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в 2 2 полярных координатах область интегрирования есть P : ; 0 4 cos . 2 2 отсюда получаем Тогда по формуле (2.7) /2 4 cos / 2 0 I ( y 2)dxdy ( sin 2)dd d ( 2 sin 2)d S P 4 cos 3 d sin 2 3 / 2 0 /2 /2 64 cos3 sin 16 cos2 d / 2 3 /2 /2 64 / 2 16 3 cos d cos 8 (1 cos2)d cos4 3 / 2 3 / 2 / 2 1 8( sin 2) 2 /2 8. / 2 Пример 9. Вычислить I D y bx / a} . y dxdy , где D : {1 x 2 / a 2 y 2 / b 2 2; y 0; x Область D ограничена линиями: x / a y / b 1 – эллипс с полуосями a и b, 2 2 2 2 x 2 / 2a 2 y 2 / 2b 2 1 – эллипс с полуосями a 2 и b 2 , y=0 – прямая (ось Ox), y bx / a – прямая (рис. 14.11). Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): x a cos, y b sin , dxdy abdd . Уравнения границы области в координатах , будут: 1) x / a y / b 1 1 , 2 2 2 2 2) x 2 / 2a 2 y 2 / 2b 2 1 2 , 3) y 0 0 , 4) y bx / a / 4 . Итак, область интегрирования в координатах , есть P : 0 / 4; 1 2 . Тогда y b sin I dxdy abdd x a cos D P 4.11 /4 2 2 /4 sin b d d b 2 (ln cos ) 0 ( 2 / 2) (b 2 ln 2) / 4 . 1 0 cos 0 2 Задачи для самостоятельного решения Перейти в двойном интеграле f ( x, y ) dxdy к полярным координатам , и расставить D пределы интегрирования в порядке: внешнее – по , внутреннее - по : 188 27. D – область, ограниченная окружностями x y 4 x , x y 8 x и прямыми 2 2 2 2 y x , y 2x . 28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов x y ax и x y by . 29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая x y 2 рассекает круг 2 2 2 2 x2 y2 4 . 30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли ( x y ) a ( x y ) . 2 2 2 2 2 2 31. D: {x 0, y 0, ( x y ) 4a x y } . 2 2 3 2 2 2 x2 y2 1 .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам. 32. D: 4 9 2 2 2 2 33. D - область, ограниченная линией ( x y / 3) x y . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам. 2R 2 Ry y 2 R/2 0 dy 34. f ( x, y )dx . 2 x 3 0 x 35. dx f ( x y )dy . 2 2 1 x2 0 0 36. dx f ( x, y )dy . С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы: 37. R R2 x2 0 0 dx 39. ln(1 x 2 y 2 )dy . (h 2 x 3 y)dxdy . D: x 2 y 2 R 2 2 2 2 R x y dxdy . D: x 2 y 2 Rx 2 2 38. 40. y 2 2 arctg x dxdy , D - часть кольца x y 1, D x y 9 , y x / 3, y x 3 . 41. 2 2 2 2 2 2 sin x y dxdy, D : { x y 4 }. D Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы: x2 y2 42. xydxdy, D : 2 2 1, x 0, y 0 . b D a 2 2 4 43. xy dxdy, D - область, ограниченная линией (( x / 2) ( y / 3)) xy 6 . D 14.3. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 14.3.1. ОБЛАСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Определение. Область V R назовем правильной в направлении Oz (правильной в направлении Ox, правильной в направлении Oy), если прямая, проходящая через внутреннюю точку области V параллельно оси Oz (параллельно оси Ox, параллельно оси Oy) пересекает границу области ровно в двух точках. Область V будет правильной в направлении Oz, если существуют функции z1 ( x, y ) 3 и z 2 ( x, y ) , заданные в S и такие, что координаты точек, принадлежащих V, удовлетворяют условиям: ( x, y ) S , z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) . Тогда символически записывают: V : ( x, y ) S , z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) (3.1) 189 Если, в свою очередь, область S - правильная в направлении Oy, то (см.(2.1)) V : a x b, 1 ( x) y 2 ( x), z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ). (3.2) Если область S правильная в направлении Ox, то (см.(2.2)) V : c y d , 1 ( y ) x 2 ( y ), z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ). (3.3) Задания. 1. Записать символически правильную в направлении Oy область V R , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область. 3 2. Записать символически правильную в направлении Ox область V R , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область. 3 Пример 10. Область V ограничена поверхностями x y ( z 2) и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox. Область V - круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением 2 2 2 конической поверхности x y ( z 2) , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 14.12).Область V - правильная 2 2 2 во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения x y ( z 2) 2 z 2 2 имеем x 2 y 2 2 2 - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения M x 2 y 2 ( z 2) 2 имеем z 2 x 2 y 2 . Для точек области 0 V 0 z 2 x 2 y 2 . Проекция имеем: области V на плоскость Oxy есть S : x y 4 (рис. V : {( x, y) S ; 14.13), поэтому в силу (3.1) y 2 2 0 z 2 x 2 y 2 } ,где S : x 2 y 2 4 .Так как S - x Рис.14.12 правильная область, то (см.(2.1)) (см.(2.2)) S : {2 y 2; S : {2 x 2; 4 x 2 y 4 x 2 } или 4 y 2 x 4 y 2 }. Поэтому требуемая запись будет (см. (3.2)) V : {2 x 2; 4 x 2 y 4 x 2 ; 0 z 2 x 2 y 2 } или (см. (3.3)) V : {2 y 2; 4 y x 4 y ; 0 z 2 x y } . б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения 2 2 2 2 x 2 y 2 ( z 2) 2 имеем x ( z 2) 2 y 2 . Линии пересечения плоскости Oyz и y -2 конической поверхности находятся из решения системы 2 уравнений: x 0, x y ( z 2) 0 ; в результате S имеем 0 -2 Рис.14.13 2 2 2 x 0, - прямые в плоскости Oyz. Итак, z y 2 , проекцией V на плоскость Oyz является область D 2 x треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14.14), 190 поэтому в силу (3.1) V : {( y, z ) D; ( z 2) 2 y 2 x ( z 2) 2 y 2 } , где D : z y 2, z y 2, z 0 . Так как область D – правильная, то рассматривая z ее как правильную в направлении Oy, имеем 2 M D : {0 z 2, z 2 y z 2} , а потому 0 z 2, z 2 y z 2, V : ( z 2) 2 y 2 x ( z 2) 2 y 2 . D Рис.14.14 -2 0 y 2 Задачи для самостоятельного решения Изобразить указанные ниже области V R 3 ( x, y, z )и записать как правильные: а) в направлении Oz, б) в направлении Ox. 44. Область V ограничена поверхностями x 2 y 3z 6, z 0, y 0, x 0 . 45. Область V ограничена поверхностями x y ( z R ) R . 2 2 2 2 46. Область V ограничена поверхностями z x y , z 4 . 14.3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Пусть правильная в направлении Oz область V ограничена снизу и сверху непересекающимися поверхностями z z1 ( x, y ) и z z 2 ( x, y ) , а с боков – цилиндрической поверхностью F(x,y)=0 c образующими, параллельными оси Oz, т.е. V : ( x, y ) S ; z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) , где S- проекция V на плоскости Oxy. 2 2 Теорема 14.4. Пусть:1) в области V : ( x, y ) S ; z1 ( x, y ) z z 2 ( x, y ) задана функция f(x,y,z), интегрируемая по Риману, т.е. существует тройной интеграл fdV ; 2) V существует повторный интеграл dS S z2 ( x , y ) fdz . Тогда справедлива формула z1 ( x, y ) f ( x, y, z )dV dS V S z 2 ( x, y ) f ( x, y, z )dz. (3.4) z1 ( x, y ) Замечание. Цилиндрическая поверхность F ( x, y ) 0 , ограничивающая V, может частично или полностью вырождаться в пространственную линию. Задания. Записать формулы, связывающие тройной интеграл с повторным, в случаях, когда: 1) область V правильная в направлении Ox проецируется на плоскость Oyz; 2) область V правильная в направлении Oy проецируется на плоскость Oxz. Пример 11. Вычислить I ( x 2 y 2 z )dV , где область V ограничена V поверхностями: y x , x y , z y, z 0 . 2 2 191 y x 2 и x y 2 есть параболические цилиндры с образующими, параллельными Oz; z y, z 0 - плоскости. Область V – правильная в направле Поверхности нии Oz, а потому 0 z y для точек, принадлежащих V (рис.14.15). y z x=y 2 V .14.15 S 1 Ри y с.14.16 1 y=x2 1 0 x Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями x y x2 и x y 2 (рис.14.16), а потому, например (см.(2.1)), S : {0 x 1; x 2 y x} и в силу V : {0 x 1, x 2 y x , 0 z y}. (3.2) Тогда по формуле (3.4) y I ( x 2 y 2 z )dV = dxdy ( x 2 y 2 z )dz = V S z y 2 = dxdy( xz 2 yz z ) S 1 x 0 x2 z 0 0 =см. (2.3)= 1 y x 1 2 3/ 2 5 6 dx ( xy 3 y )dy dx( xy / 2 y ) y x2 = ( x / 2 x x / 2 x )dx 2 2 3 0 = (x / 6 2x 3 5/ 2 0 1 / 5 x 6 / 12 x 7 / 7) 143 / 420 0 Задачи для самостоятельного решения Вычислить интегралы: e1 47. e x 1 x y e ln( z x y ) dx dy ( x e)( x y e) dz . 0 0 e dxdydz , - область, ограниченная плоскостями x 0, y 0, z 0 , ( x y z 1) 3 x y z 1. 49. xydxdydz , V – область, ограниченная гиперболическим параболоидом z xy и 48. V плоскостями x y 1, z 0 ( z 0) . 50. y cos(z x)dxdydz V плоскостями , V – область, ограниченная цилиндром y x и y 0, z 0 и x z / 2 . 192 2 2 xyzdxdydz , V – область, ограниченная поверхностями y x , x y , 51. V z xy, z 0 . 14.3.3 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ Пусть функции x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z (u, v, w) осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение u u ( x, y, z ), v v( x, y, z ), w w( x, y, z ) области V на область , если якобиан преобразования xu J (u , v, w) xv xw yu yv y w zu zv 0 z w (u, v, w) . Величины u,v,w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей. Теорема 14.5. Пусть x x(u, v, w) , y y (u, v, w) , z z (u, v, w) есть дифференцируемое преобразование области из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда f ( x, y, z )dxdydz f ( x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) J (u, v, w) dudvdw . V (3.5) Замечание. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях. ПЕРЕХОД В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ x cos , y sin , z z преобразуют цилиндрические Формулы координаты ,, z точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат 0 : 0 , 0 2, z (или 0 : 0 , , z ) на все пространство Oxyz. Геометрически: - радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; - угол между Ox и OP; zапz=const z Рис. 14.17. пликата точки M (рис. 14.17). Обратное преобразование задается M формулами: =const =const 0 P x y x x 2 y 2 , arcctg ( y), z z, ( y) y 1 Фиксируя в последних формулах ,, z , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осью Oz , полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, 193 параллельную плоскости Oxy (рис.14.17). x y z Якобиан преобразования J (, , z ) x y y z z sin cos 0 . z z 0 0 1 xz cos sin 0 При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (3.5) примет вид0 f ( x, y, z )dxdydz f ( cos , sin , z )dd , (3.6) V где - область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz. Переход к сферическим координатам Формулы x r cossin , y r sin sin , z r cos преобразуют сферические координаты r, , точки M в декартовы координаты этой точки и 0 : 0 r , 0 2, 0 (или 0 : {0 r , , 0 } ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz. переводят область Геометрически: r - радиус-ветор OM точки M; - угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора r на плоскость Oxy; - угол между осью Oz и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18). Обратное преобразование имеет вид x r x 2 y 2 z 2 , arcctg ( y) , y 0 при y 0, z arccos , ( y ) 1 при y 0. x2 y2 z 2 Фиксируя в последних формулах r, , , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования xr J (r , , ) x x z M y r y y z r z r 2 sin . z При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула: OM=r f ( x, y, z )dxdydz f (r cos sin , r sin sin , r cos)r 2 sin Рис.14.18 V 0 x , (3.7) y где - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz. Пример 12. Вычислить тройной интеграл I zdxdydz , где V V : { x 2 y 2 z 2 R; z x 2 y 2 } . Область V ограничена полусферой x y z R и полуконусом z x y (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам: x r cos sin , y r sin sin , z r cos , при этом 2 2 2 2 2 194 dxdydz r 2 sin drd d . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а) x 2 y 2 z 2 R r 2 R 2 , 0 r R; б) z x 2 y 2 r cos r sin , tg 1, 0 / 4 . Так как нет ограничений на , то 0 2 . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть : 0 2; 0 ; 0 r R (этот же результат 4 можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле 2 /4 R 0 0 0 (3.7) I zdxdydz r cosr 2 sin drdd d cos sin d r 3dr =повторн V ый интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов = = 2 0 sin 2 / 4 r 4 2 0 4 R 0 R 4 . 8 Пример 13. Вычислить тройной интеграл I 2 2 z ( x y )dxdydz , где V V ограничена полусферой z R x y , цилиндром x y R и плоскостью 2 2 z a (a 0) . 2 2 2 2 Тело V и проекция его на плоскость Oxy S : x y R - круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам ,, z по формулам x cos , y sin , z z, dxdydz dddz . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) 2 2 2 z R 2 x 2 y 2 z R 2 2 , б) x 2 y 2 R 2 R , в) z=a . Так как нет ограничений на координату , то 0 2 (или ) .Область : {0 2, интегрирования в цилиндрических координатах есть 0 R, R 2 2 z a}. z y 0 x Рис.14.20 Рис.14.19 Тогда по формуле x 0 y (3.6) I z ( x 2 y 2 )dxdydz V = z dddz 2 = 195 z2 a 2 R = 1 d (a 2 R 2 )3 5 d = 3 3 d d = d d zdz 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 R R R 1 2 4 2 2 2 2 4 6 = 0 (a R ) / 4 / 6 = R (3a R ) . 0 2 2 R 2 a R Задачи для самостоятельного решения Перейти в тройном интеграле f ( x, y , z ) dxdydz к цилиндрическим координатам V ,, z или сферическим координатам r, , и расставить пределы интегрирования: 52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями x 2 y 2 R 2 , z 0, z 1, y x, y x 3 . 53. V – область, ограниченная поверхностями x y 2 x, z 0, z x y . 2 2 2 2 54. V : {x y z R ; x 0; y 0; z 0} . 2 2 2 2 55. V : {x y z R ; x y ( z R ) R } . Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы: 2 2 56. dx 2 x x2 0 dy 0 60. 2 a 2 2 2 2 R 2 R 0 a2 y2 2 dy z x y dz . 57. dx 0 a 2 58. 2 ( x2 y 2 ) / a dx y 2 dy x 2 y 2 dz . 59. dx a 0 ( x 2 y 2 )dz . 0 R2 x2 a R2 x2 y 2 R2 x2 a2 x2 a2 x2 dy a dz h( x2 y 2 ) / a x y 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x y )dxdydz , где V : {z 0, R1 x y z R2 } . V 61. V 62. dxdydz x 2 y 2 ( z 2) 2 dxdydz , где V : {x 2 y 2 1; 1 z 1} . 2 2 2 x y z dxdydz , где область V ограничена поверхностью V x y2 z2 z . 2 14.4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры S Oxy s dS dxdy . S (4.1) S б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы. 2. Объем тела V: (( x, y ) S xy ; f1 ( x, y ) z f 2 ( x, y ) ( S xy - проекция V на плоскость Oxy): v f 2 ( x, y) f1 ( x, y)dxdy (4.2) S xy или v dV dxdydz . V (4.3) V 3. Масса. а) Если ( x, y) - поверхностная плотность массы плоской фигуры S Oxy , то 196 m ( x, y )dS . (4.4) S б) если ( x, y, z ) - объемная плотность массы тела V Oxyz , то m ( x, y, z )dV . (4.5) V Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице. 4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры S Oxy c плотностью ( x, y) и массой m статические моменты относительно координатных осей: M y xdS , M x ydS ; S S координаты центра тяжести: yc M x / m . xc M y / m , б) Для тела V с плотностью ( x, y, z ) и массой m статические моменты относительно координатных плоскостей M yz xdV , M xz ydV , M xy zdV ; V V V координаты центра тяжести: xc M yz / m , y c M xz / m , z c M xy / m . Пример14. Найти массу пластинки D : {1 x / 9 y / 4 2; y 0, y 2 / 3x} с поверхностной плотностью y / x . 2 По формуле (4.4) m 2 ( x, y )dxdy ( y / x)dxdy . Область D и подынтегральная D D функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при a 3, b 2 ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому m (b ln 2) / 4 и при b 2 m ln 2 . 2 Пример 15. Найти массу тела. V : объемная плотность az x 2 y 2 z 2 R; z x 2 y 2 , если (a 0) . По формуле (4.5) m ( x, y, z )dV a zdxdydz a I . Тройной интеграл I по V V данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, I R / 8 , и потому 4 m aR 4 / 8 . Пример 16. Найти объем тела V : r1 x y z r2 ; 2 2 2 2 2 ( x 2 y 2 ) / a 2 z ( x 2 y 2 ) / b 2 ; k1 x y k 2 x , (a, b, k1 , k 2 0) . Из формулы (4.3) V dxdydz . Тело V ограничено сферами, полуконусами и V плоскостями (рис.14.21). 197 a) Рис.14.21 Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам r , , по формулам: x r cos sin , y r sin sin , z r cos . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:1) x y z r1 r r1 ; 2 2 2 2 2) x y z r2 r r2 ; 2 2 2 2 3) z ( x y )a tg a или 2 2 2 arctga ; 4) z ( x 2 y 2 )b 2 tg b, arctgb ; 5) y k1 x arctg k1 ; 6) y k 2 x arctg k 2 . Рис.14.21 в) Область изменения сферических координат точек области V есть : r1 r r2 ; arctg k1 arctg k 2 ; arctg b arctg a . Тогда в силу формулы (3.7) v dxdydz r sin drdd = 2 V arctg k2 r2 2 arctg a 1 3 (r2 r13 )(arctg k 2 arctg k1 )(cos(arctg a) = d r dr arctg k r arctg b 3 1 1 cos(arctgb)) . Задачи для самостоятельного решения Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями: 63. z x y 1, x 4, y 4 . 64. y 2 2 x , y 2 x , z 0, x z 6 . 65. z 9 y , x 0, y 0, z 0, 3x 4 y 12 ( y 0) . 2 66. 2 y x, x / 4 y / 2 z / 4 1, z 0 . 67. x / 4 y 1, z 12 3x 4 y, z 1. 2 2 2 198 68. z x y - гиперболический параболоид, z 0, x 3 . 2 2 69. z ( x 1) y , z 2 x 2 . 70. z x y , 2 2 2 71. x y z 4, 2 2 2 2 z x y. x 2 y 2 3z . 72. x 2 y 2 z 2 1, x 2 y 2 z 2 16, x 2 y 2 z 2 , x 0, y 0, z 0 ( x 0, y 0, z 0) . 73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен 0 в центре квадрата. Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми: 74. ay x , x y 2a (a 0) . 2 75. x y a , y 0, x 0 . 76. ( x y ) 2a xy ( x 0, y 0) . 77. a(1 cos) - кардиоида, 0 . Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями: 78. x 0, y 0, z 0, x 2, y 4, x y z 8 (усеченный параллелепипед). 2 2 2 2 79. z y / 2, x 0, y 0, z 0, 2 x 3 y 12 0 . 2 80. z ( x y ) / 2a, 2 x 2 y 2 z 2 3a 2 ( z 0) . 2 14.5. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 14.5.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА (КИ-1) Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства R x, y , z определена ограниченная 3 скалярная функция f ( x, y, z ); 2) l1 , l2 ,...,ln - произвольное разбиение кривой l на элементарные дуги l i с длинами l i ; 3) M i ( i , i , i ) li (i 1,2,..., n) - произвольный набор 4) I n точек; n f ( i , i , i ) li - интегральная сумма, соответствующая i 1 данному разбиению кривой l и выбору точек M i . Определение. Конечный предел интегральной ( sup{li }) , не зависящий ни от способа разбиения кривой l, ни от выбора точек M i , называется криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по кривой l: lim I n f ( x, y, z )dl . n суммы In при l Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: x x(t ), y y (t ), z z (t ), t1 t t 2 , где x(t ), y (t ), z (t ) - непрерывно дифференцируемые по t функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство t2 2 2 2 f ( x, y, z )dl f ( x(t ), y(t ), z (t )) xt yt zt dt . l (5.1) t1 Следствия. а) Если плоская кривая l задана явно: y y ( x), a x b , и f f ( x, y ) , то 199 b 2 f ( x, y)dl f ( x, y( x)) 1 y( x) dx . l (5.2) a б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах: (), 1 2 , то 2 2 2 f ( x, y)dl f (() cos, () sin ) d . (5.3) 1 l Некоторые приложения КИ-1 1. Масса материальной линии. Пусть ( x, y, z ) , ( x, y, z ) l - линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии есть: m ( x, y, z )dl . (5.4) l 2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: L dl . l 3. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской линии l Oxy c плотностью ( x, y) и массой m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox: M y xdl , M x ydl ; l l координаты центра тяжести: xc M y / m , yc M x / m . б) Для пространственной линии l c плотностью ( x, y, z ) и массой m статические моменты относительно плоскостей Oyz, Oxz и Oxy: M yz xdl , M xz ydl , M xy zdl ; l l координаты центра тяжести: xc M yz / m , l z c M xy / m . y c M xz / m , Пример 17. Вычислить КИ-1: I ( x 2 y )dl , где l – прямолинейный отрезок, 2 2 l соединяющий точки A(0;2) и B(3;4) . Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме: x xA y yA t, xB x A y B y A x y2 t или x 3t , y 2t 2, 0 t 1 . Тогда dl xt 2 yt 2 dt 13dt и из 3 2 I ( x 2 2 y 2 )dl (5.1) имеем 3t 2(2t 2) 13dt 13 t / 8 8t 8t 47 1 2 2 0 3 2 1 0 1 AB 13 t 2 16t 8 dt 0 13 / 3 . Замечание. В случае явного задания отрезка прямой AB : y 2 x / 3 2, 0 x 3 следует воспользоваться формулой (5.2). 200 Пример 18. Вычислить КИ-1: I x y dl , где l – кривая, заданная 2 2 l уравнением x y 2 y при условии x 0 . 2 2 Для построения кривой l преобразуем уравнение ее к виду x ( y 1) 1 ; таким образом, l есть полуокружность с центром в точке C (0;1) радиуса 1, расположенная слева от оси Oy (рис. 14.22). 2 2 Наличие комбинации x y в подынтегральной функции и в уравнении l наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами 2 y L 2 x cos , y sin ( x 2 y 2 2 ) . C Тогда: из x y 2 y получаем Рис. 14.22 2 sin – уравнение l в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий x 0 , y 0 , 0) следует: 2 x 0 ; 2 2 x 2 y 2 2 sin , dl 2 2 d = = 4 sin 2 4 cos 2 d = 2d , и из (5.3) I x 2 y 2 dl ( L) 4 sin d 4cos / 2 4 . /2 Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии L : x R cost , y R sin t , z at (рис. 14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат. 2 1 По условию задачи плотность k ( x y z ) 2 2 k ( R 2 cos2 t R 2 sin 2 t + a 2t 2 ) 1 = k ( R 2 a 2t 2 ) 1 , где k – коэффициент пропорциональности, k 0 . Для одного витка 0 t 2 . Из формул (5.4) и (5.1) имеем: m ( x, y, z )dl dl z L = xt yt zt dt 2 L 2 2 R 2 sin 2 t R 2 cos2 t a 2t 2 dt R 2 a 2 dt k R 2 a 2 0 x Рис.14.23. 2 0 dt R a t 2 2 2 2 2 2 y k R a arctg at = Ra R 0 (k R 2 a 2 / Ra)arctg (2a / R) . Задачи для самостоятельного решения Вычислить криволинейные интегралы первого рода: 81. dl x y , где l – отрезок прямой y x / 2 2 , заключенный между точками A(0;2) и l 201 B(4;0) . 82. xydl , где l – контур прямоугольника с вершинами: A(0;0), B(4;0), C (4;2), l D(0;2) . 83. 2 2 ydl , где l – дуга параболы y 2 px , отсеченная параболой x 2 py . l 84. 2 y dl , где l – первая арка циклоиды x a(t sin t ), y a(1 cost ) . l 85. 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y dl , где l- половина лемнискаты ( x y ) a ( x y ) ( x 0) . l y dl , где l – часть спирали Архимеда 2 , заключенная внутри круга x l радиуса R с центром в точке O(0;0) . 86. arctg 87. (2 z x 2 y 2 )dl , где l – первый виток конической винтовой линии x t cos t , l y t sin t , z t . 88. ( x y )dl , где l –четверть окружности x y z R , x y , лежащая в 2 2 2 2 l первом октанте. 89. xydl , где l – дуга гиперболы x a ch t , y a sh t (0 t t 0 ) . l 90. ( x 4/3 y 4 / 3 )dl , где l – дуга астроиды x 2 / 3 y 2 / 3 a 2 / 3 в первом квадранте. l 91. Найти массу первого витка винтовой линии x a cost , y a sin t , z bt , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки. 92. Найти массу линии x e cos t , y e sin t , z e , от точки, соответствующей t=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке (1;0;1) равна единице. t t t 93. Найти массу дуги параболы y 2 px (0 x p / 2) , если линейная плотность в 2 текущей точке равна y . Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой : 94. y ch( x / a) , от точки A(0; a) до точки B(b; h) . 95. x a(t sin t ), y a(1 cost ) (0 t ) . 96. x a cost , y a sin t , z bt (0 t ) . 14.5.2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (КИ-2) Пусть : 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства R {( x, y, z )} определены ограниченные скалярные функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) ; 3 2) {l1 , l2 ,..., ln } - произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги li с длинами li и проекциями xi xi xi 1 , yi yi yi 1 , zi zi zi 1 на соответствующие оси координат; 3) M i ( i , i , i ) (i 1,2,...,n) - произвольный набор точек; 202 n I n P(i , i , i ) xi Q(i , i , i ) yi R(i , i , i ) zi - 4) интегральная i 1 сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек. Определение. Конечный предел интегральной суммы I n при supli , не зависящий ни от способа разбиения AB , ни от выбора точек M i , называется криволинейным интегралом второго рода от функций P, Q, R по пути AB: lim I n P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz . 0 AB Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы F P, Q, R, точка приложения которой описывает кривую AB. Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: x x(t ), y y (t ), z z (t ), t1 t t 2 , где x(t ), y (t ), z (t ) непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от t1 к t 2 кривая описывается именно от точки A к точке B, то P( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz AB t2 [ P( x(t ), y (t ), z (t )) xt Q( x(t ), y (t ), z (t )) yt R( x(t ), y (t ), z (t )) zt ]dt , t1 (5.5) причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл. Следствия. а) Для плоской линии AB: x x(t ), y y (t ), t1 t t 2 и функций P( x, y ), Q( x, y) , t2 ( x, y ) AB : P( x, y )dx Q( x, y )dy [ P( x(t ), y (t )) xt Q( x(t ), y (t )) yt ] dt . AB t1 б) Для заданной явно плоской линии AB : y y ( x), a x b b P( x, y)dx Q( x, y)dy [ P( x, y( x)) Q( x, y( x)) yx ]dx . AB (5.6) a Независимость КИ-2 от пути интегрирования Теорема 14.8. Если функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения: 1) Pdx Qdy Rdz 0 , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V; l 2) Pdx Qdy Rdz не зависит от выбора пути интегрирования; l 3) Pdx qdy Rdz есть полный дифференциал некоторой однозначной функции ( x, y, z ) , заданной в точках V; 4) выполняются равенства: P Q P R R Q . , , y x z x y z 203 Функция ( x, y, z ) может быть найдена, например, по формуле ( x, y, z ) ( x, y , z ) x y xo yo d( x, y, z ) P ( x, y, z )dx Q(xo , y, z )dy ( xo , y o , z o ) (5.7) z R ( xo , yo , z )dz c , zo где ( xo , yo , z o ) - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная. Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы , , . Тогда Pdx Qdy Rdz ( P cos Q cos R cos )dl . AB AB Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции P( x, y ), Q( x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области G Oxy ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область S G , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула: Q P Pdx Qdy x y dxdy . l S Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочногладким контуром l, равна 1 xdy ydx . 2l s xdy ydx l l Пример 20. Вычислить КИ-2: I ydx ( y x )dy , где L – дуга параболы 2 l y 2 x x , проходимая от точки A(2;0) до точки O(0;0) . 2 Кривая l представлена на рис.14.24. По формуле (5.6) имеем I ydx ( y x )dy 2 l xO 0 = (2 x x 2 )dx (2 x x 2 x 2 )(2 2 x)dx x A 0 3 0 2 = ( x x ) 2 Рис.14.24 4 . Пример 21. Вычислить КИ-2: I ydx xdy zdz , где l – замкнутый контур, z l полученный пересечением сферы x y z R и 2 2 2 2 цилиндра x y Ry ( R 0, z 0) , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25). Для вычисления КИ-2 представим l в 2 0 x y 2 204 параметрической форме. x 2 y 2 Ry запишем Поверхность в виде x 2 ( y R / 2) 2 ( R / 2) 2 .Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, x ( R / 2) sin t , y ( R / 2)(1 cost ) , 0 t 2 . Тогда из уравнения сферы z 2 R2 x2 y2 = имеем = R ( R / 4) sin t ( R / 4)(1 cos t ) ( R 2 / 2)(1 cos t ) = = R 2 sin 2 (t / 2) . Отсюда, помня, что z R sin(t / 2) . Итак, 0 t 2 , имеем z 0, R R t R R l : x sin t , y (1 cost ), z R sin , t [0;2] ; xt cost , yt sin t , 2 2 2 2 2 R t I ydx xdy zdz По формуле (5.5) zt cos . 2 2 l 2 2 = 2 2 R 2 R 2 R t R R t [ 2 (1 cost ) 2 cost 2 sin t ( 2 sin t ) R sin 2 2 cos 2 ]dt 0 2 R 2 2 R2 2 R = (1 cost sin t )dt 4 (t sin t cost ) 0 2 . 4 0 Пример 22. Найти первообразную функции u ( x, y, z ) , если du (6 x 7 yz )dx (6 y 7 xz )dy (6 z 7 xy )dz . По формуле (5.7) при xo yo z o 0 получим x y z 0 0 0 u ( x, y, z ) (6 x 7 yz )dx 6 ydy 6 zdz y x x (3x 2 7 xyz ) x 0 3 y 2 0 z 3z 2 0 c 3( x 2 y 2 z 2 ) 7 xyz c . Задачи для самостоятельного решения Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 97. xdy , где l – отрезок прямой x / a y / b 1 от точки пересечения ее с осью Ox до l точки пересечения с осью Oy. 2 2 ( x y )dy , 98. где l – контур прямоугольника с вершинами A(0;0), B(2;0), l C (4;4), D(0;4) , указанными в порядке обхода l. (1;1) xydx ( y x)dy 99. вдоль линий: 1) y x , 2) y x , 3) y x , 4) y x . 2 2 3 ( 0;0) 100. ydx xdy , l – эллипс x a cost , y b sin t , обходимый в положительном l направлении. 101. (2a y )dx (a y )dy , где l – первая от начала координат арки циклоиды l x a(t sin t ) , y a(1 cost ) . 205 102. xdx ydy ( x y 1)dz , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4). l 103. yzdx zxdy xydz , где l – дуга винтовой линии x R cost , y R sin t , z at / l (0 t 2) . 104. 2 2 2 y dx z dy x dz , где l – линия пересечения сферы x2 y 2 z 2 R2 и l цилиндра x y Rx ( R 0, z 0 ) , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани). Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2: 2 2 ( 2,1) 2 xy x dy . 105. 2 (5,12 ) 106. ( 0, 0 ) (5,3,1) 108. (3, 4) zxdy xydz yzdx ( x yz ) 2 ( 7, 2,3) xdx ydy x2 y2 (3, 2,1) . 107. yzdx zxdy xydx . (1, 2,3) (контурное интегрирование не пересекает поверхность z x / y) . Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу: 109. du 4( x y )( xdx ydy ) . 2 2 110. du (2 x cos y y sin x)dx (2 y cos x x sin y )dy . 2 2 ey dy . dx 1 111. du 1 x2 (1 x 2 ) 2 2 2 2 112. du ( x 2 yz )dx ( y 2 xy )dy ( z 2 xy )dz . 2 x(1 e y ) 113. du x x 1 y dx dy dz dy xy dz. . 114. du 1 dx z y2 x yz y z z2 С помощью формулы Грина вычислить КИ-2: 115. 2 2 2 2 2 xy dy x ydx , где l – окружность x y R . l 116. ( x y )dx ( x y ) dy , где l – эллипс x / a y / b 1 . 2 2 2 l 117. Вычислить xdy ydx , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в l положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат. 118. В каждой точке эллипса x / a y / b 1 приложена сила F , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу F при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса. 119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по 2 2 2 2 206 окружности x cost , y 1, z sin t от точки M (1;1;0) до точки N (0;1;1) . Указание. kx ky . F 2 , , 0 2 2 2 x y x y 14.6. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 14.6.1. ДВУСТОРОННИЕ ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ОРИЕНТАЦИЯ Гладкая поверхность называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется. Совокупность всех точек поверхности с приписанными в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности. Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона. Если задана неявным уравнением F ( x, y, z ) 0 , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов n o n / n , n Fx , Fy , Fz , (6.1) Если задана явным уравнением n Fx2 Fy2 Fz2 . z z ( x, y) , ( x, y) S xy , то сторона o характеризуется одним из векторов n : n o n / n , n { z x , zy ,1} , n 1 z x2 z y2 . (6.2) 14.6.2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА (ПИ-1) Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности из пространства R x, y, z , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена 3 ограниченная скалярная функция f ( x, y, z ) ; 2) 1 , 2 ,..., n - произвольное разбиение на n частей i с площадями i и диаметрами d i ; 3) M i ( i , i , i ) i (i 1,2,.., n) - произвольный набор точек; 4) I n n f (i , i , i ) i - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению i 1 поверхности и выбору точек M i . Определение. Конечный предел интегральной суммы In при 0 ( supd i ) ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности , ни от выбора точек M i , называется поверхностным интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по поверхности : lim I n f ( x, y, z )d . n Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность задана неявным уравнением F ( x, y, z ) 0 и z z ( x, y) есть решение этого уравнения при ( x, y ) S xy y y ( x, z ) - решение уравнения при ( y, z ) S yz , или x x( y, z ) -решение уравнения при ( y, z ) S yz , где S xy , S xz , S yz - проекции на плоскости Oxy, Oxz, Oyz или 207 соответственно, 2) между точками и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то dxdy dxdz f ( x, y, , z )d f ( x, y, z ( x, y )) cos f ( x, y ( x, z ), z ) cos S xy f ( x( y, z ), y, z ) S yz S xz dydz , cos (6.3) причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы. Здесь cos, cos, cos координаты вектора n и находятся по формулам (6.1). ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности. Следствие. При явном задании : z z ( x, y ), ( x, y ) S xy в силу (6.2) из (6.3) o получим f ( x, y, z)d f ( x, y, z( x, y)) 1 z x2 z y2 dxdy . (6.4) S xy Некоторые приложения ПИ-1 1. Масса материальной поверхности. Пусть ( x, y, z ) - поверхностная плотность материальной поверхности площади s. Тогда масса этой поверхности m ( x, y, z )d . 2. Площадь искривленной поверхности . Если принять в предыдущей формуле ( x, y, z ) 1 , то масса поверхности числено равна площади s , т.е. s d . 3. Статические моменты материальной поверхности с поверхностной плотностью ( x, y, z ) и массой m относительно плоскостей Oxy, Oxz, Oyz соответственно равны: M xy zd , M xz yd , M yz xd . 4. Координаты центра тяжести материальной поверхности : xc M yz / m, y M xz / m, zc M xy / m . Задания 1. Записать линейные свойства ПИ-1. 2. Записать свойство аддитивности для ПИ-1. Пример 23. Вычислить ПИ-1 I zd , где - часть плоскости x / a y / b z / c 1, x 2 y 2 R 2 (рис.14.26). z x a y -R C o вырезанная цилиндром o b y R x 208 Рис. 14.26 Поверхность проецируется на плоскость Oxy в круг S : x y R I zd z ( x, y ) 1 z x2 z y2 dxdy . (6.4) Из 2 2 2 . По формуле уравнения S следует z x c / a, z c(1 x / a y / b) , z y c / b, 1 z x2 zy2 1 c 2 / a 2 c 2 / b 2 k ; тогда 0 2, x cos, , y sin , S P : I ck (1 x / a y / b)dxdy 0 R = S dxdy dd, x 2 y 2 R 2 R, = ck (1 P R 2 1 1 1 1 cos sin )dd ck d (1 cos sin )d a b a b 0 0 2 R R 1 1 = c k d( sin cos) 2c k d R 2 c 1 c 2 / a 2 c 2 / b 2 . a b 0 0 0 Пример 24. Вычислить ПИ-1 I xd , где - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью x y z 1. Полная поверхность тетраэдра складывается из его граней: 1 2 3 4 ,где 1 AOB , 2 AOC , 3 BOC , 4 ABC (рис.14.27). Выпишем уравнения поверхностей i и вычислим для них элементы d : z а) 1 : z 0, d 1 z x z y dxdy dxdy ; 2 1 C 2 б) 2 : y 0, d 1 yx yz dxdz dxdz ; 2 в) 3 : x 0, d 1 xy xz dydz dydz ; 2 o A x 1 Рис.14.27 B 7 1 y 2 2 г) 4 : x 1 z y, d 1 xy xz dydz 3dydz . Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; Di 2 2 области, на которые проецируются i . I xd xdydx xdxdz 0dydz 1 2 3 4 D1 D2 D3 . По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции f ( x, y, z ) независимые переменные (переменные из области Di ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а d заменить выражением, полученным выше, причем D3 D4 . Находим: 209 D 1 1 x 1 1 0 x 1 2 3 xdxdy D : xdx dy x ( 1 x ) dx ( x / 2 x / 3 ) 1/ 6 ; 1 0 0 y 1 x D1 0 0 0 0 x 1 xdxdz D : 1/ 6 , так как области D1 и D2 переходят одна в другую 2 0 y 1 z D2 заменой " y" на "z" ; 0dydz 0 ; D3 1 1 y 0 y 1 (1 y z ) 3dydz D4 : 0 z 1 y 3 dy (1 y z )dz D4 D3 0 0 1 = ( 3 / 2) (1 y z ) 0 2 z 1 y z 0 1 dy ( 3 / 2) (1 y ) 2 dy 0 1 3 3 (1 y )3 . 0 6 6 I 1 / 6 1 / 6 0 3 / 6 (2 3 ) / 6 . Задачи для самостоятельного решения Вычислить поверхностные интегралы первого рода: 120. xyzd , где - часть плоскости x y z 1, лежащая в первом октанте. 121. xd , где - часть сферы x y z R , лежащая в первом октанте. yd , где - полусфера z 2 2 2 2 122. R2 x2 y 2 . 123. 124. полусфера z 2 2 2 R x y d , где - d r 2 R2 x2 y 2 . , где - цилиндр x y R , ограниченный плоскостями z 0, z H , а 2 2 2 r –расстояние от точки поверхности до начала координат. 125. ( xy yz zx )d , часть конической поверхности z где - x2 y2 , вырезанная поверхностью x y 2ax . 126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы. 2 2 127. Найти массу параболической оболочки z ( x y ) / 2 (0 z 1) , плотность которой меняется по закону z . 2 128. Найти массу полусферы x y z a 2 2 2 2 2 ( z 0) , плотность которой в каждой ее точке равна z / a . 129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности z x2 y2 , вырезанной поверхностью x y ax . 2 2 14.6.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА (ПИ-2) Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности 210 задана ограниченная функция f ( x, y, z ) ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) 1 , 2 ,..., n - разбиение на n частей i с площадями i и диаметрами d i ; 4) M i ( i , i , i ) i (i 1,2,..., n) - произвольный набор точек; 5) xy Si - проекция элемента i на плоскость Oxy (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком n “+” или “–“ ); 6) I n f ( i , i , i ) xy S i i 1 интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек. Определение. Конечный предел I n при 0 ( supd i ) называется поверхностным интегралом второго рода от f ( x, y, z ) по определенной стороне поверхности : lim I n f ( x, y, z )dxdy (здесь dxdy напоминает о проекции i на Oxy и содержит знак). При проецировании ориентированной поверхности на плоскости Oyz и Oxz получаем ПИ-2: f ( x, y, z )dydz, f ( x, y, z )dxdz . Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность задана явно. Тогда а) если : z z ( x, y ), ( x, y ) S xy , то f ( x, y, z )dxdy f ( x, y, z ( x, y ))dxdy ; S xy f ( x, y, z )dxdz f ( x, y ( x, z ), z )dxdz ; б) если : y y ( x, z ), ( x, z ) S xz , то (6.5) в) если : x x( y, z ), ( y, z ) S yz , то S xz f ( x, y, z)dydz f ( x( y, z), y, z)dydz . S yz Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация характеризуется нормалью n cos , cos , cos = n / n , P( x, y, z ), O( x, y, z ), R( x, y, z ) - функции, определенные и непрерывные на , то (6.6) Pdydz Qdxdy Rdxdy ( P cos Q cos R cos )d . Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью с положительной внешней стороной. Справедлива формула P Q R Pdydz Qdxdz Rdxdy x y z dxdydz . V Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”. Пример 25. Вычислить ПИ-2: 2 2 x y zdxdy , где : x 2 y 2 z R 2 - положительная (внешняя) сторона сферы. 211 Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на 1 с уравнением z z _o n1 1 (6.2) положительная сторона 1 характеризуется нормальным поверхности вектором y Рис.14.28 тупой. ибо угол между n1 и положительным направлением Oz, т.е. ( n1 ,Oz), – острый, а положительная сторона _ no2 x ( n2 ,Oz)- z R 2 x 2 y 2 (рис.14.28). Тогда на основании n1{ zx , zy ,1} , S 2 R 2 x 2 y 2 и 2 с уравнением Проекция поверхностности 2 - вектором n2{zx zy ,1} , ибо угол каждой из поверхностей 1 и 2 есть область S : {x 2 y 2 R 2}- круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому по формуле I x 2 y 2 R 2 x 2 y 2 dxdy + x 2 y 2 ( R 2 x 2 y 2 )(dxdy) (6.5) S = 2 x y S R 2 x 2 y 2 dxdy переходим к полярным координатам : x cos, 2 2 S S P : 0 2; 0 R= y sin , dxdy dd , = 2 sin cos R dd = 5 2 2 2 2 P R 2 0 0 2 5 R 2 2 d sin 2 cos2 d =двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов= 2 I1 I 2 ; R I1 0 5 R 2 2 t, 2 R 2 t 1R 4 2 2 2 2 = R d R d ( R ) 20 t н R 2 , tв 0 2 2 1 0 2 ( R t ) 2 t dt 8R 7 / 105 ; = 2 2 R 2 1 2 I 2 sin cos d (1 cos4)d / 4 . 80 0 2 2 Итак, I 2 I1 I 2 4R / 105 . 7 z Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: I 2 y 2 dydz x 2 dxdz 4 z 2 dxdy , где 2 внешняя сторона конической поверхности z x 2 y 2 , ограниченной плоскостью z =2. Внешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой S x o _ y no 212 .29 угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29), а потому n z x , z y ,1 x x 2 y 2 ,1 , n xx2 z y2 1 = x2 y2 y , x 2 /( x 2 y 2 ) y 2 /( x 2 y 2 ) 1 2 . Тогда n{cos , cos , cos } , cos x 2 x2 y 2 , cos y 2 x2 y 2 , cos 1 . 2 Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6) I 2 y 2 dydz x 2 dxdz 4 z 2 dxdy (2 y 2 cos x 2 cos 4 z 2 cos )d = 1 2 y 2 x x 2 y 2 4 z d . Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. 2 x2 y2 = Проекция радиуса : z x 2 y 2 на плоскость Oxy есть область S : {x 2 y 2 22} - круг 2 с центром в начале координат. Так как d 1 zx2 zy2 dxdy dxdy / cos 2dxdy , то по формуле (6.3) (или (6.4)) 1 2 y 2 x x 2 y 2 2 4 ( x y ) 2dxdy =переходим к полярным координатам 2 S x2 y2 x cos, y sin S P : 0 2; 0 R= dxdy dd I = 2 sin cos sin cos 4 )dd = 2 2 2 2 2 P 2 2 = d (2 sin cos cos sin 4)d 3 0 2 0 4 2 4 2 2 cos3 2 3 = 32 . sin 4 3 3 0 0 Задачи для самостоятельного решения Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода: 130. xdydz ydxdz zdxdy , где - положительная сторона куба, составленного плоскостями x 0, y 0, x 1, y 1, z 1. 131. 2 2 x y zdxdy , где - положительная сторона нижней половины сферы 2 x y z2 R2. 2 213 2 z dxdy , где - внешняя сторона эллипсоида 132. xzdxdy xydydz yzdxdz , 133. x2 a2 y2 b2 z2 c2 1. где - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями x 0, y 0, z 0, x y z 1. Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность ограничивает конечную область (тело) V и cos , cos , cos - направляющие косинусы внешней нормали к : 3 3 3 x dydz y dzdx z dxdy . 134. x cos y cos z cos 136. x y z 2 R 2 2 Q 135. yzdydz zxdzdx xydxdy . d . P Q R P y z cos z x cos x y cos d . 2 2 y zdxdy xzdydz x ydxdz , где - внешняя сторона 137. 138. поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида z x y , цилиндра 2 2 x 2 y 2 1 и координатных плоскостей. 139. Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаусса – Остроградского. Ответы 3x 1 3x 4 2 2 y . 2. D : 2 x 2 ; x y 4 x . 2 2 3 2 3. D : 0 x 2; x y 2 x; 2 x 3; x y 6 x. 4. 1. 5. 1/ 40. 6. a / 3 . 1. S : 3 x 5; 7. F ( A, B) F ( A, b) F (a, B) F (a, b) . y r dy 0 1 e 0 ey f ( x, y )dx . 10. dy fdx . r r2 y2 5 (4 3x) / 2 6, 5 ( 2 y 1) / 3 3 (3 x 1) / 2 5 1 1 x 2 0 0 12. dx 13. dx x 0 x2 8. dx arcsin y 0 arcsin y 11. dy 3 6, 5 ( 2 y 4) / 3 1 1 y 2 4 3 4 x x 2 0 0 0 3 4 x x 2 fdx dy fdy dy fdx . 14. dx 5 8 ( 2 y 4) / 3 3 6 x 3 y 4 6 y 0 x 2 x 0 3 1 2x 2 2/ x 1 y/2 2y 2 y/2 2/ y 0 x/2 1 x/2 0 1 y/2 fdx . 5 2 6 y y 2 5 1 2 6 y y 2 5 fdy dy 2x 16. dx 9, 5 fdx dy 2 15. dx fdy dx 9. fdy . ( 2 y 1) / 3 f ( x, y )dy . 1 8 fdy dy 1 fdx . fdy dy fdx dy fdx . fdy dx fdy dy fdx dy fdx . y/2 214 17. 0 1 2 1 1 2y 2 x / 2 0 x/2 0 2 y dx fdy dx fdy dy fdx . 19. (e 1) . 2 20. 0. 26. 35a / 12 . 4 5 25. p / 21 . arctg ( a / b ) 28. b sin d 0 0 /2 29. /2 31. 1 1 1 x2 0 arctg 2 8 cos /4 4 cos 27. y 24. / 6 . 23. –2. 22. 9/4. y dx fdy dy fdx . 18. d f ( cos, sin )d . a cos /2 f ( cos, sin )d d f ( cos, sin )d . arctg ( a / b ) 2 d 0 21. 33/140. 1 f ( cos, sin )d . 30. 2 sec( / 4) a sin 2 0 /4 a cos 2 / 4 0 d f ( cos, sin )d . d f ( cos, sin )d . 0 0 2 1 0 0 32. x 2 cos, y 3 cos, I 6 d f (2 cos,3 sin )d . 33. I 3 d 3 cos 2 sin 0 /2 34. d /6 36. 0 2 R sin f ( cos, sin )d . 35. ( R cos ec) / 2 /4 sec 0 sin sec2 3 d 38. R h . 2 f ( cos, 3 sin )d . f ( cos, sin )d . 39. R ( 4 / 3) / 3 . /3 2 sec /4 0 d f ()d . 37. [(1 R ) ln(1 R ) R ] / 4 . 2 40. / 6 . 2 2 41. 6 . 2 2 2 2 42. a b / 8 . 43. 1/ 4 6 . 44. а) V : ( x, y ) S , 0 z (6 x 2 y ) / 3, S : x 0, y 0, x 2 y 6; б) V : ( x, y ) D, 0 x 6 2 y 3 z, D : y 0, z 0, 2 y 3 z 6. 45. а) V : ( y, z ) D; V : ( x, y) S ; R R 2 x 2 y 2 z R R 2 x 2 y 2 , S : x 2 y 2 R 2 ; б) 2 46. а) V : ( x, y) S ; x y z 4 , S : x y 4 ; 2 б) V : ( x, y ) D; 47. 2e 5 . 2 Rz z 2 y 2 x 2 Rz z 2 y 2 , D : y 2 z 2 2 Rz 0 . 2 2 z y2 x z y2 , D : z y2, z 4 . 48. (ln 2 5 / 8) / 2 . 49. 1/180. 50. 8 / 16 . 2 51. 1 / 96 . 215 1 /3 R 0 /4 0 52. dz d f ( cos, sin , z )d . 2 2 cos /2 53. d d f ( cos, sin , z )dz . / 2 /2 54. 0 /2 R d sin d f (r cos sin , r sin sin , r cos)dr . / 2 0 2 55. 0 R 3/2 d 0 0 R 2 2 d 0 f ( cos, sin , z )dz R R 2 2 2 /3 R 0 0 0 2 2 /2 2 R cos 0 0 0 d sin d f r dr d sin d или f r 2 dr , где f f (r cos sin , r sin sin , r cos ) . 57. 4R / 15 . 2 5 56. 8a / 9 . 4 58. a / 8 . 60. 4( R2 R1 ) . 59. 4ah / 3 . 5 5 2 1 / 10 3 2 8] . 62. /10 . 63. 560/3. 64. 48 6 / 5 . 67. 22 . 68. 27. 69. / 3 . 70. / 8 . 71. 19 / 6 и 15 / 2 . 2 72. 21( 2 2 ) / 4 . 73. 0 a [ 2 2 ln(1 2 )] / 3 . 74. xc a / 2, yc 8a / 5 . 75. xc yc a / 5 . 76. xc yc a / 8 . 77. xc 5a / 6, yc 16 a / 9 . 78. xc 14 / 15, yc 26 / 15, z c 8 / 3 . 79. xc 6 / 5, yc 12 / 5, z c 8 / 5 . 61. [3 10 ln 65. 45. 66. 81/5. 80. xc yc 0, z c 5a (6 3 5) / 83 . 84. 4a a . 85. 2a 3 5 ln 2 . 81. 86. [( R 4) 2 2 / 3. 3/ 2 83. p (5 5 1) / 3 . 2 82. 24. 8] / 12 . 87. 2 2[(1 2 2 ) 3 / 2 1] / 3 . 88. R 2 3 89. a (ch 2. t 92. (1 e ) 3 . 3/ 2 2t 0 1) / 6 . 90. a 93. 2 p (2 2 1) / 3 . 2 7/3 91. ( 2a 8 b / 3) a b . 2 . 99. 1/3. 100. 2ab . 106. ln(13 / 5) . 105. 4. 110. u x cos y y cos x c . 2 101. a . 2 108. –9/2. 107. 0. 2 3 117. 1) 0; 2) 2 . 121. R / 4 . 3 126. R . 2 3 102. 13. 97. ab / 2 . 104. 3 3 . 109. u ( x y ) / 3 c . 3 2 113. u ln x y c c . 116. 2ab . 4 118. а) (a b ) / 2 ; б) 0. 122. 0. 103. 0. 3 115. a / 2 . 2 96. (0; 2a; b / 2) . y 3 114. u x x / y xy / z c . 2 111. u (e 1) /(1 x ) y c . 112. u ( x y z ) / 3 2 xyz c . 3 2 94. xc b a (h a) /(h a) , yc h / 2 ab / 2 h 2 a 2 . 95. xc yc 4a / 3 . 98. 112/3. 2 2 2 123. R . 3 127. 2(1 6 3 ) / 15 . 119. 0,5k ln 2 . 124. 2arctg ( H / R) . 128. a . 2 3 /120 . 120. 4 125. 64 2a / 15 . 129. xc a / 2; yc 0; z c 16 a / 9 . 216 130. 3. 131. 2R / 105 . 7 132. 0. 133. 1/8. 134. 3 ( x y z )dxdydz . 2 2 2 135. V 0. 136. 2 V dxdydz x y z 2 2 2 . 137. 0. 138. / 8 . ЗЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 15.1. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 15.1.1. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИЙ ПОЛЯ Определение 1. Векторным полем называется часть пространства (или все пространство), в каждой точке M которого задано какое-либо физическое явление, характеризуемое векторной величиной a a (M ) . Если в пространстве введена декартова прямоугольная система координат, то задание вектор - функции поля a (M ) сводится к заданию трех скалярных функций: a ( M ) a x ( x, y, z )i a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k . (1.1) Простейшими геометрическими характеристиками векторных полей являются векторные линии и векторные трубки. Определение 2. Векторными линиями поля a a (M ) называются линии (кривые), в каждой точке M которых направление касательной совпадает с направлением поля в этой точке. Определение 3. Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой, не совпадающей (хотя бы и частично) с какой – либо векторной линией. Если поле задано формулой (1.1), то уравнение векторных линий дается системой дифференциальных уравнений dx dy dz . a x ( x, y, z ) a y ( x, y, z ) a z ( x, y, z ) (1.2) Замечание. Методы решения систем (1.2) (систем в симметрической форме) рассматриваются в теории дифференциальных уравнений. Определение 4. Векторное поле a называется плоским, если в специально подобранной системе координат оно имеет вид: (1.1) a {a x ( x, y), a y ( x, y),0} Система уравнений (1.2) для таких полей имеет вид dy a y ( x, y ) ; dx a x ( x, y ) z C (const), (1.2) и, таким образом, векторные линии плоского поля – это кривые, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости Oxy. Пример 1. Найти векторные поля a c r (вектор c =const; r xi yj zk радиус вектор точки M ( x, y, z ) ). Решение. Пусть с {с x , с y , с z } ; тогда 217 i a c r сx x j сy y k с z {с y z с z y, с z x с x z , с x y с y x} . z Составим систему дифференциальных уравнений векторных линий (1.2): dx dy dz . с y z сz y сz x сx z сx y с y x Эту систему решаем методом интегрируемых комбинаций. Для получения интегрируемой комбинации умножим числитель и знаменатель первой дроби на x, второй – на y, третьей – на z ; сложим почленно. По свойству пропорций получим dx dy dz xdx ydy zdz , с y z сz y сz x сx z сx y с y x 0 откуда получаем интегрируемую комбинацию: xdx ydy zdz 0 ; интегрируя ее, x 2 y 2 z 2 с1 - первый интеграл системы. Вторую интегрируемую комбинацию получим, умножая числитель и знаменатель первой дроби на с x , второй – на сz ; третьей – на сложим почленно, получим сy , с x dx с y dy с z dz dx dy dz ; с y z сz y сz x сx z сx y с y x 0 получим отсюда с x dx с y dy с z dz 0 Таким образом система уравнений и, следовательно, с x x с y y с z z с2 . x 2 y 2 z 2 с1; определяет искомые с x x с y y с z z с2 векторные линии: это окружности, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с ; плоскости, в которых они лежат, перпендикулярны указанной прямой. Пример 2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока. Решение. Считаем, что проводник направлен по оси Oz, и в этом же направлении течет ток J . Вектор напряженности H магнитного поля, создаваемого током, равен H 2 2 [ J , r ] , где J J k - вектор тока, r - радиус вектор точки M ( x, y, z ) ; 2 Jy 2 Jx i 2 J , Hz 0 расстояние от оси проводника до точки M. Имеем, далее, H 2 x 2 y 2 C1; dy x и уравнение (1.2) имеет вид: - векторные , z C 2 , откуда dx y z C2 линии суть окружности с центрами на оси Oz. 15.1.2. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Рассмотрим векторное поле a a x ( x, y, z ), a y ( x, y, z ), a z ( x, y, z ) , где проекции a x ( x, y, z ), a y ( x, y, z ), a z ( x, y, z ) - непрерывные функции в некоторой области (V). Возьмем некоторую гладкую (кусочно гладкую) двустороннюю 218 ориентированную поверхность (S) (то есть двустороннюю поверхность с выбранным на ней направлением нормали). Определение. Потоком П векторного поля a a (M ) через двустороннюю ориентированную поверхность (S) называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S): П пр n a ds (a , n0 )ds . (S) (S ) (1.3) Здесь n0 - орт нормали к выбранной стороне (S); ds – элемент площади поверхности (S). Замечание. В случае замкнутой поверхности ее ориентируют, направляя нормаль изнутри области (V) наружу. Сторона с положительным направлением нормали называется положительной стороной поверхности. Для потока можно дать следующие записи через поверхностные интегралы первого и второго рода (n0 cos , cos , cos ) : (a , n0 )ds [a x ( x, y, z ) cos a y ( x, y, z ) cos a z ( x, y, z ) cos )]ds (S ) (S ) a x ( x, y, z )dydz a y ( x, y, z )dxdz a z ( x, y, z )dxdy, (S ) (1.3) где dydz ds cos , dxdz ds cos , dxdy ds cos - то есть dydz, dxdz, dxdy проекции площадки ds на плоскости Oyz, Oxz, Oxy соответственно. Пример. Вычислить поток векторного поля a r (r - радиус-вектор точки M ( x, y, z ) ) через полную поверхность прямого кругового цилиндра с высотой H и радиусом основания R (см. z ( L) n0 рис.1). (S ) Решение. Так как поверхность (S) есть объединение поверхностей ( S1 ), ( S 2 ) и ( S ) , то поэтому для потока П (по свойству аддитивности) имеем: П П1 П 2 П . На боковой поверхности ( S ) нормаль n0 Рис.1. параллельна плоскости Oxy; следовательно, 0 и поток y пр n0 R П пр n0 r ds R ds ( S ) ( S ) x R 2RH = 2R 2 H . На нижнем основании ( S1 ) нормаль n10 параллельна оси Oz: n10 k . Тогда пр n10 r 0 и П1 0 ; на стороне ( S 2 ) нормаль n20 k и r x, y, H , т.е. пр n20 r H и П 2 Hds H R 2 R 2 H .Искомый поток (S2 ) 219 П П1 П2 П 3R 2 H . Обратим внимание на то, что П 3 Vцил. . Ниже увидим, что это не случайно. 2. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТОКА 1. Метод проектирования. Пусть поверхность (S) задана явным grad ( z f ( x, y )) уравнением z f ( x, y) . В этом случае орт n0 grad ( z f ( x, y )) f f i jk x y и cos 1/ 1 f / x 2 f / y 2 . Для потока П 2 2 f f 1 x y получим формулу: П (a , n0 )ds (a , grad ( z f ( x, y )) z f ( x, y ) dxdy . (S) ( D xy ) (1.4) Замечание 1. При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекцию grad ( z f ( x, y)) на координатную ось, перпендикулярную плоскости проектирования. В формуле (1.4) ( Dxy ) – область на плоскости Oxy, в которую проектируется поверхность (S); произведение dxdy берется со знаком +, если угол между осью Oz и нормалью n0 острый, и минус, если угол тупой. Символ (a , grad ( z f ( x, y )) z f ( x, y ) означает, что в подынтегральную функцию вместо z надо подставить f ( x, y) . Замечание 2. Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскости Oxz или Oyz. Замечание 3. В случае неявного задания поверхности (S) F F F ( F ( x, y, z ) 0) вектор gradF i j k. x y z Пример 1. Найти поток векторного поля a {x 2 z, x 3 y z, 5x y} через верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках A(1,0,0) , B(0,1,0) , C (0,0,1) (см. рис.2). z Решение. Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки: C (0,0,1) x 1 y z n0 1 1 0 ( x 1) y (1) z 1 0 Рис.2. (S ) B(0,1,0) 1 0 1 0 , y A(1,0,0) x 220 откуда z 1 x y . Поверхность (S) проектируется на плоскость Oxy в область ( Dxy ) : x 0, x 1, y 0, y 1 x . Из условия следует, что нормаль n0 образует острый угол с осью Oz. Имеем (a , grad ( z f ( x, y)) (a , grad ( x y z 1)) = x 2 z x 3 y z 5x y 7 x 4 y z z 1 x y 8 x 5 y 1 ; произведение dxdy , берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4) П 1 1 x 0 0 (8 x 5 y 1)dxdy dx ( D xy ) Пример 2. Вычислить 5 (8 x 5 y 1)dy . 3 поля a yi zj xk через замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндром x 2 y 2 R 2 и плоскостями z x , z 0 . Положительной стороной (по определению) считаем внешнюю сторону замкнутой поверхности. Решение. Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части (см. рис.3): ( S ) ( S1 ) ( S 2 ) ( S3 ) . В связи с этим П(S) П1 П 2 П3 . 1 )Для поверхности ( S1 ) : z=0 и grad ( z f ( x, y)) {0,0,1} . Тогда (a , grad ( z f ( x, y)) x . Проекция ( Dxy ) поверхности (S) на плоскость Oxy есть полукруг x 2 y 2 R 2 , x 0 . С учетом n20 Dyz ( S 2 ) направления нормали n10 для потока П1 П1 xdxdy . получим: Переходя к ( S3 ) ( D xy ) n30 полярным Dxy координатам, /2 R 2 П1 cosd 2 d R 3 .2) 3 / 2 0 ( S1 ) n10 Рис.3. найдем Для ( S 2 ) : z x; и grad ( z x) i k (a , grad ( z x)) x y . Поверхность ( S 2 ) проектируется на плоскость Oxy в область ( Dxy ) (см.п.1), и поток П 2 ( x y )dxdy [ x cos, y sin , J ] ( D xy ) / 2 R = (cos sin )d 2 d / 2 0 2 3 R .3)Для 3 (S3 ) : x y R , grad ( x 2 y 2 R 2 ) 2 2 2 xi yj xy yz y( x z ) . и Однозначно (a , grad( x 2 y 2 R 2 ) = поверхность ( S3 ) проектируется на плоскость Oyz в область ( D yz ), ограниченную линиями x 2 y 2 R 2 , z x . Исключая отсюда x, найдем проекцию этой линии на плоскость Oyz: 221 z 2 y 2 R 2 ( y 0) . Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае cos П3 ( D yz ( x z) y x ) x z dydz ( D yz прx grad ( x 2 y 2 R 2 ) grad ( x 2 y 2 R 2 ) x x ( x 0)) : R R 2 zy dydz 2 ydydz z ) (D ) yz R 0 0 [ y cos, z sin , J ] = 2 cosd 2 d 0 . 4) Для потока 2 2 П П1 П 2 П3 получим П R 3 R 3 0 0 . 3 3 2. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (Dxy): z=z(x,y); ( Dxz ) : y y ( x, z ) ; ( D yz ) : x x( y, z ) .Для потока П в этом случае имеем (вторая формула из (1.3)): П a x [ x( y, z ), y, z ]dydz a y [ x, y ( x, z ), z ]dxdz ( D yz ) ( D xz ) a y [ x, y, z ( x, y )]dxdy. ( D xy ) (1.5) В (1.5) знаки проекций dydz, dxdz, dxdy выбираются в соответствии с сформулированным выше правилом. Пример 3. Найти поток вектора a {xy, yz, xz} через часть внешней стороны сферы x 2 y 2 z 2 1, заключенной в первом октанте. Решение. Имеем grad ( x 2 y 2 z 2 1) {x, y, z}. С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекции dydz, dxdz, dxdy берем со знаком “+”. По формуле (1.5) П xydydz yzdxdz xzdxdy . ( D yz ) Из уравнения сферы имеем: ( D xz ) z z ( x, y ) 1 x 2 y 2 ; x x( y, z ) 1 y 2 z 2 y y( x, z ) 1 x 2 z 2 ; ( D xy ) и П x 1 x 2 y 2 dxdy z 1 x 2 z 2 dxdz ( D xy ) ( D xz ) y 1 y 2 z 2 dydz . Очевидно, П 3 x 1 x 2 y 2 dxdy . Вычислим ( D yz ) этот ( D xy ) интеграл в полярной системе координат: x 1 x 2 y 2 dxdy ( D xy ) 222 / 2 1 0 / 2 0 cos d 2 sin 2 t cos2 tdt 0 1 1 d = 2 1 2 d = [ sin t , d costdt ] = 2 0 / 2 1 (1 cos 4t )dt / 16 . Следовательно, П 3 /16 . 8 0 3. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Приведем соответствующую теорему. ~ Теорема. Если в некоторой области (V ) проекции поля a {a x , a y , a z } a x a y a z , , непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то x y z поток вектора a через произвольную замкнутую кусочно гладкую ~ поверхность (S), расположенную целиком в области (V ) , равен тройному a x a y a z интегралу от суммы по области (V), ограниченной x y z поверхностью (S): a y a z a dV П (a , no )dS x x y z (S ) (V ) (1.6) - формула Гаусса-Остроградского. Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля a ; обозначается a a div a x ... z . x z Пример 4. Вычислить поток вектора a {x 2 , y 2 , z 2 } через замкнутую поверхность x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0 ( z 0) . Решение. По формуле (1.6) П 2( x y z )dV . Для вычисления (V ) этого интеграла применим сферическую систему координат: x r cossin , y r sin sin , z r cos ; J r 2 sin . Таким образом, П 2 (r cos sin (V ) 2 / 2 0 0 r sin sin r cos)r sin drdd 2 d sin (cos sin sin sin 2 4 2 / 2 2R R 4 cos )d r dr d cos sin d 2 . 4 0 0 0 Пример 5. Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток поля 2 2 x y 2 xz (1 y) 1 y 2 через верхнюю a 6 yz i 2 x arctg y j k 2 1 y2 1 y R 3 223 сторону части поверхности z 1 x 2 y 2 , расположенную над плоскостью Oxy. Решение. Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскости Oxy, который ограничен окружностью x 2 y 2 1, z = 0 . Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла: a x a y a z 2 xy 2x 2 x(1 y ) 0 . Отсюда следует, что поток x y z 1 y 2 1 y 2 1 y2 П=0. По свойству аддитивности П П (S) П (S1 ) , откуда искомый поток П ( S ) П ( S1 ) (a , n0 )ds . Уравнение поверхности ( S1 ) : z 0 и ( S1 ) (a , grad z) z 0 1 . Таким образом, П( S1 ) ds - поток П ( S1 ) через ( S1 ) поверхность z =0 численно равен площади круга x 2 y 2 1, z 0 ; искомый поток П(S ) . 15.1.3. ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВЕКТОРА. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть поле a a (M ) - непрерывное векторное поле, (L) – кусочно гладкая кривая с выбранным на ней положительным направлением (ориентированная кривая). Определение 1. Линейным интегралом (обозначается ) вектора a вдоль ориентированной кривой (L) называется криволинейный интеграл (a , dr ). ( L) (1.7) Для линейного интеграла справедливы следующие формулы: (a , dr ) (a , 0 )dl пр 0 a dl a cos dl ( L) ( L) ( L) ( L) (1.8) = a x ( x, y, z )dx a y ( x, y, z )dy a z ( x, y, z )dz . L Если поле a есть силовое поле (a F ) , то линейный интеграл (1.7) дает величину работы этого поля вдоль линии (L). Вычисление линейного интеграла в зависимости от задачи может быть проведено по одной из формул “списка” (1.8). Определение 2. Циркуляцией (обозначается Ц) векторного поля a a (M ) называется линейный интеграл по замкнутой ориентированной кривой (L): Ц ( a , dr ) . ( L) 224 (1.9) За положительное направление обхода замкнутой кривой (L) берется то, при котором область, ограниченная кривой, лежит под левой рукой. Пример 1. Найти линейный интеграл вектора a {z, x, y} вдоль дуги (L) винтовой линии x R cost , y R sin t , z t / 2 от точки A пересечения линии с плоскостью z=0 до точки В пересечения с плоскостью z =1. Решение. Имеем по последней формуле из списка (1.8): (a , dr ) ( L) zdx xdy ydz . Точке A соответствует значение параметра t =0, точке B – (L ) 2 значение t 2 и, таким образом, (a , dr ) ( ( L) 2 R sin t )dt [ cos2 tdt ; 2 0 0 2 t sin tdt 2] R 2 t R sin t R 2 cos2 t 2 R. 0 Пример 2. Вычислить работу силового поля F { y, x, x y z} вдоль отрезка M 1M 2 прямой, проходящей через точки M 1 (2,3,4) и M 2 (3,4,5) . Решение. Работа ydx xdy ( x y z )dz . ( F , dr ) M 1M 2 M 1M 2 x2 y 3 z 4 ( t ) . 1 1 1 параметры t1 0, t 2 1. Вычислим Запишем канонические уравнения прямой M1M 2 : Отсюда работу: x t 2, y t 3, z t 4 ; 1 5t 2 5 33 [2(t 3 t 2) t 4]dt (5t 14)dt 14 t 14 . 2 2 0 2 0 0 Пример 3. Вычислить циркуляцию поля a y 3i x3 j вдоль эллипса 1 L: x2 a2 1 y2 1. b2 Решение. Имеем по формуле (1.9) и (1.8): Ц (a , dr ) y 3dx x 3dy . L L Запишем параметрические уравнения эллипса: x a cost , y b sin t , 0 t 2 . 2 3 Вычисляя dx и dy, получим: Ц ab (b 2 sin 4 t a 2 cos4 t )dt ab(a 2 b 2 ) 4 0 здесь использовано, что 2 2 3 4 sin tdt cos tdt 4 0 0 4 (вычисление этих интегралов проводится с помощью понижения степени подынтегральной функции). 225 Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля xy xy a ye i xe j xyzk вдоль линии L, полученной пересечением конуса x 2 y 2 ( z 1) 2 с координатными плоскостями (см. рис.4). Решение. Линия L состоит из двух отрезков BC и CA, расположенных на координатных плоскостях Oyz и Oxz соответственно, и дуги AB окружности z C x 2 y 2 1, z 0 . Для циркуляции имеем: Ц (a , dr ) (a , dr ) (a , dr ) L (a , dr ) .1) y A x y 1, z 0 отрезке AB имеем: BC y 0, dy 0; z 1 x, отрезке CA имеем: Следовательно, 0 x 1. dz dx; (a , dr ) xdy 0 . 3) На дуге AB окружности имеем: CA z 0, dz 0 и xy (a , dr ) e ( ydx xdy) AB e xy d ( xy ) BC x 0, dx 0; z 1 y, dz dy; 0 y 1 . Следовательно, (a , dr ) y dx 0 . 2) На CA 2 На BC AB x 2 CA AB B 0 . BC xy B ( 0,1) xy e = d ( e ) A(1,0) AB AB 1 1 0 . Искомая циркуляция поля равна нулю. Пример 5. Вычислить циркуляцию векторного поля a xyi yzj xzk вдоль линии L : x 2 y 2 1 , x y z 1 . Решение. Имеем: Ц (a , dr ) xydx yzdy xzdz . Линия L есть эллипс, L L получающийся в результате сечения цилиндра x 2 y 2 1 плоскостью x y z 1. Найдем параметрические уравнения этой линии. Проекция любой точки этой линии на плоскость Oxy находится на окружности x 2 y 2 1. Отсюда, полагая x cos t , найдем, что y sin t . Для z из уравнения x y z 1 получим: z 1 cost sin t . Таким образом, L : x cost , y sin t , 0 t 2 . Находим отсюда: z 1 cost sin t , dx sin tdt, dy costdt, dz (sin t cost )dt , и для циркуляции запишем определенный интеграл: 2 Ц [ cos t sin 2 t sin t (1 cos t 0 226 2 sin t ) cost cost (1 cost sin t )(sin t cost )]dt (3 sin 2 t cos t sin 2t 0 2 cos2 t sin t cos2 t cos3 t )dt cos2 tdt . 0 15.1.4. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Интегральные характеристики – поток и линейный интеграл – характеризуют векторное поле “в целом”. Количественную характеристику поля в каждой точке дают, вводимые ниже, дифференциальные характеристики. Введем понятие дивергенции. Окружим произвольную точку M поверхностью (S) произвольной формы (например, сферой достаточно малого радиуса). Пусть (V) – объем, заключенный внутри поверхности (S). Определение. Конечный предел отношения потока поля через поверхность (S) к объему, заключенному внутри нее при стягивании поверхности к точке M и стремлении объема V к нулю называется дивергенцией векторного поля a в точке M: (a , n0 )dS lim (S ) V 0 (S ) M V div a ( M ) (1.10) Замечание. Определение (1.10) есть инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции. Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, “исходящего” из точки M, то есть мощность источника (при div a 0 ), или стока (при div a 0 ), находящегося в точке M. В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле a x a y a z . (1.10) x y z Свойства дивергенции. Пусть a и b - векторные поля, - скалярная функция. Тогда: 1) div( a b ) div a div b ; 2) div( a ) div a (grad , a ) . (1.11) div a ( M ) С учетом формулы (1.10) перепишем формулу Гаусса-Остроградского (1.6) (a , n0 )dS div a dv (S ) (1.12) (V ) - поток векторного поля a через замкнутую поверхность (S) равен тройному интегралу по объему (V), заключенному внутри этой поверхности от дивергенции поля. Пример 1. Вычислить div r . x y z 3. x y z Пример 2. Вычислить div(u a ) , где u(M) – скалярная функция, a ( M ) {a x ( x, y, z ), a y ( x, y, z ), a z ( x, y, z )} - векторная функция. (u a x ) (u a y ) Решение. По формуле (1.10) находим: div(u a ) x y a y a u (u a z ) u u x ax x x y z Решение. div r 227 a y a z a u a u u u u a x u z az u x ay az y z z x y z x y z u div a (a , grad u ) . ay Пример 3. Используя теорему Гаусса-Остроградского (1.12), найти поток векторного поля a x i y j R zk через всю поверхность (S) тела (V): 3 H R 2 3 2 ( x 2 y 2 ) z H в направлении внешней нормали. Решение. div a 3( x 2 y 2 ) R 2 . Имеем (a , n0 )ds Поэтому (S ) = [3( x y ) R ]dV . 2 2 2 Для вычисления тройного интеграла перейдем к (V ) цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вид 2 R 0 0 H [3( x y ) R ]dV d (3r R )rdr 2 2 2 (V ) R 2 (3r R )( H 2 2 0 Hr 2 R2 )rdr = 2 z Hr 2 / R 2 , dz 2 Hr 2 / R 2 2H R R2 0 4 2 2 4 4 ( R 2 R r 3r )rdr HR . 15.1.5. РОТОР (ВИХРЬ) ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть поле a (M ) - дифференцируемое поле (то есть проекции вектора поля на оси координат являются дифференцируемыми функциями). Определение. Вихрем векторного поля a (обозначается rot a ) называется вектор, проекция которого на произвольный вектор m определяется как предел отношения циркуляции поля a по некоторому контуру (L), содержащему точку M, и лежащему в плоскости, перпендикулярной вектору m , к площади области, ограниченной этим контуром, при условии, что этот контур стягивается в точку M, а площадь области (S) стремится к нулю: ( a , dr ) пр m rot a ( M ) lim ( L) S 0 ( L) M S . (1.13) В трехмерном пространстве rot a ( M ) через декартовы прямоугольные координаты вектора a {a x , a y , at } выражается следующим образом: a y a x a z a y a x a i k , rot a z j y z z x x y (1.14) или в удобной для запоминания символической форме i rot a x ax Теорема Стокса. Пусть j y ay k . z az координаты (1.15) вектора a ( M ) a x ( x, y, z )i 228 + a y ( x, y, z ) j a z ( x, y, z )k непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Тогда циркуляция векторного поля a по замкнутому контуру (L) равна потоку вихрей поля через произвольную поверхность (S), натянутую на этот контур: (1.16) (a , dr ) (rot a , n0 )dS . ( L) (S ) Предполагается, что ориентация контура (L) и поверхности (S) согласованы: при положительном обходе контура нормаль направлена от “ног к голове”. Свойства ротора: 1) rot(a b ) rot a rot b ; 2) rot( a ) rot a [grad , a ] . Определение. Векторное поле a называется безвихревым в данной области (V), если rot a ( M ) 0 M (V ) . Пример 1. Найти ротор поля вектора напряженности магнитного поля 2 H 2 [J , r ]. i j k 2J Решение. Вектор H в координатной форме: H 0 0 J yi 2 2 x y z 2 2J 2 xj , x 2 y 2 . Вычислим ротор по формуле (1.15): rot H i x 2 Jy j y 2 Jx x2 y2 x2 y2 k 0 2 Jx 0 2 Jy i 2 j 2 x 2 y 2 z x z x z x y 0 2 2 Jx 2 x2 y2 2 Jx 2 J y x k 0 2 2 2 2 2 2 x 2 y 2 y x 2 y 2 x ( x y ) ( x y ) - поле напряженности H - безвихревое поле. 2 Пример 2. Вычислить циркуляцию вектора a yi x j zk по контуру +k ( L) : x 2 y 2 4, z 3 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса. z n0 Решение. 1)Контур (L) – окружность радиуса лежащая в плоскости R 2, z =3 (см. рис.5). Выберем ориентацию на ней, как указано на рисунке. Параметрические уравнения ( L) : x 2 cost , y 2 sin t , линии z 3, 0 t 2 , так что dx 2 sin tdt , dy 2 cost dt, dz 0 . Для циркуляции вектора имеем: a ( L) (S ) 0 y Рис.5. x 229 2 Ц 2 sin t (2 sin t ) 4 cos2 t 2 cos t 3 0]dt 4 . 2)Для вычисления 0 циркуляции по теореме Стокса выберем какую-нибудь поверхность (S), натянутую на контур (L).Естественно в качестве (S) взять круг, имеющий линию (L) своей границей. Согласно выбранной ориентации контура нормаль n0 к кругу необходимо взять равной k : n0 k . Вычислим По теореме Стокса Ц ротор: j y x2 2 2 0 0 k (2 x 1)k . z z (rot a , n0 )ds (2 x 1)ds d (2 cos 1)d (S ) 2 2 2 i rot a x y (S ) 2 4 . 0 Задачи для самостоятельного решения Найти векторные линии плоских векторных полей: 5. a zj yk . 2 1. a xi 2 yj ; 2. a 2 zj 4 yk ; 3. a xi z k ; 4. a x i y j ; 2 Найти векторные линии: 6. r xi yj z k ; 7. a a1i a2 j a3k , где ai const ; i j k 8. a ; 9. a cxi cyj 2czk , c const ; x y z 2 10. a ( z y) i zj yk ; 11. a ( z y )i ( x z ) j ( y x)k ; 12. a f (r ) r ; 13. a ( a0 , r ) b0 , где a0 ,b0 - постоянные векторы. Найти векторные линии, проходящие через заданную точку: 2 3 1 2 1 2 14. a x i y j z k , M 0 ( , ,1) ; 15. a yi xj bk , M 0 (1,0,0) . 2 Вычислить поток векторного поля, используя поверхностный интеграл первого рода: 16. a yi zj xk , (S): верхняя сторона треугольника, ограниченного плоскостями x y z a , x 0, y 0, z 0 . 2 2 17. a xz i , (S): внешняя сторона параболоида z 1 x y , ограниченного плоскостью z 0 ( z 0) ; 2 2 18. a xi zk , (S ) : боковая поверхность кругового цилиндра y R x , ограниченного плоскостями z 0, z h (h 0) ; 19. a 3xi yj zk , (S): внешняя сторона части параболоида x y 9 z , расположенной в первом октанте; 2 2 20. a yzi xj yk , (S): полная поверхность конуса x y z , ограниченного 2 2 2 230 плоскостью z 1 ( z 1) ; 21. a 2 xi (1 2 y) j 2 zk , (S): замкнутая поверхность, ограниченная параболоидом x 2 y 2 1 2 z ( z 0) и плоскостью z = 0; 22. a x i y j z k , (S): полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями x y z 1, x 0 , y 0 , z 0 ; 2 2 2 23. a xi yj zk , (S): сфера x y z R . Вычислить поток, используя метод проектирования на все три координатные плоскости. 2 2 2 2 24. a xi yj zk , (S): верхняя сторона круга, вырезанного конусом z x 2 y 2 на плоскости z h (h 0); 25. a zi xj yk , (S): верхняя сторона треугольника, полученного пересечением плоскости 3x 6 y 2 z 6 0 с координатными плоскостями; 26. a ( x y )i ( y z ) j ( z x )k , (S): часть плоскости z 0 , 2 2 2 2 2 2 ограниченная окружностью x y 1, в направлении орта k . Определить поток поля, используя формулу Гаусса-Остроградского: 27. a r , (S): произвольная кусочно гладкая замкнутая поверхность; 2 2 28. a x i y j z k , (S): поверхность куба 0 x a , 0 y a , 0 z a ; 3 29. a r 3 1 3 r , (S): сфера x 2 y 2 z 2 R 2 ; 30. a 2 xi yj zk , (S): часть параболоида y z Rx , отсекаемая плоскостью x R ; в отрицательную сторону оси Ox; 2 2 31. a x yi xy j xyzk , (S): поверхность тела x y z R , x 0 , y 0 , z 0; 2 2 2 2 2 2 32. a x yi xy j ( x y ) zk , (S): поверхность тела x y R , 0 z H ; 2 2 2 2 2 2 2 33. a (1 2 x)i yj zk , (S): x y z , z 4, z 0 ; 2 34. a xi xzj yk , 2 2 (S ) : x 2 y 2 4 z, z 0, z 0 ; 35. a ( y z )i y j 2 yzk , (S ) : x z y , y 1, y 0 . Найти линейный интеграл вектора на плоскости: 2 2 2 2 36. F yi xj, ( L) : верхняя половина эллипса 2 2 x2 a2 y2 b2 1 от точки A(a,0), до точки B(-a,0); 37. a y i x j, O(0,0), B(1,1), 2 2 ( L) : а) отрезок прямой OB; б) дуга параболы x 2 y ; в) дуга параболы y 2 x ; г) ломаная OAB, где A(1,0); д) ломаная OCB, где C(0,1); 38. a y 2i x 2 j x y 2 2 , ( L) : x R cost , y R sin t (0 t ); 39. a ( x y )i ( x y) j , Вычислить линейный интеграл: 2 2 2 ( L) : y x от точки (-1, 1) до точки (2, 2). 231 40. a zi xj yk , ( L) : x t , y t 2 , z t 3 , 0 t 1; xi yj zk 41. a , (L) : отрезок прямой от точки (1,1,1) до точки 2 2 2 x y z x y 2z (4,4,4); 42. a ( y z )i 2 yzj x k , ( L) : x t , y t 2 , z t 3 , 0 t 1; 43. a yi zj xk , ( L) : x a cost , y a sin t , z bt, 0 t 2; 2 2 2 44. a x i y j z k , 2 2 2 ( L) : отрезок прямой от точки (0,0,0) до точки (1,1,1). x y 45. Дана напряженность a i j zk силового поля. Найти работу поля при y x перемещении массы m вдоль одного витка винтовой линии x a cost , y a sin t , z bt из точки A (t 0) в точку B (t =2); 46. Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложения и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы y 8 x от точки с абсциссой x 2 до точки с абсциссой x 4 . В задачах 47- 51 найти циркуляцию поля: 2 47. a yi xj, ( L) : ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2 в отрицательном направлении; 48. a yi xj , ( L) : замкнутая линия, образованная отрезками осей координат Ox и Oy и другой астроиды x R cos t , y R sin t , лежащей в первом квадранте; 3 3 49. a ( xz y)i ( yz x) j ( x y )k , 2 2 ( L) : x 2 y 2 1, z 3; 50. a y i z j x k , ( L) : x 2 y 2 z 2 R 2 , x 2 y 2 Rx ( z 0); a (2 x z )i (2 y z ) j xyz k , ( L) : линия пересечения параболоида 2 51. 2 2 x 2 y 2 1 z с координатными плоскостями (в первом октанте); 52. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения). 53. Найти работу поля a xyi yzj xzk при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные единице. Найти дивергенцию нижеследующих полей: 54. a (r ) r . При какой функции (r ) будет div (r ) r 2(r ) ? 55. a r r ; 56. v [ , r ] - линейная скорость точек вращающейся жидкости ( const - угловая скорость); 4 57. H ( M ) 2J 2 ( yi xj ) напряженность магнитного поля, J, – постоянные; 232 i 58. a rl , l const ; 59. a x x j y y k ; z z 3 2 60. Вычислить divgrad ( x y z ) в точке (1,-1,1). Найти поток векторного поля через указанные замкнутые поверхности: непосредственно, 2) по теореме Гаусса-Остроградского в векторной формулировке: 61. a xi z k , (S ) : z x 2 y 2 , z 4; 62. a 2 xi 2 yj z k , 63. a xi zj, 1) (S ) : z 2 x 2 y 2 , z H , H 0; (S ) : z 6 x 2 y 2 , z 2 x 2 y 2 , z 0; 64. a yzi xj yk , (S ) : x 2 z 2 y 2 , y 1 (0 y 1) ; 65. a xi 2 yj zk , (S ) : z 2 x 2 y 2 , z x 2 y 2 ; 66. a 2 xi ( z 1)k , (S ) : x 2 y 2 4, z 0, z 1; 67. a 2 xi yj z k , (S ) : x 2 y 2 z 2 4, 3z x 2 y 2 ; 68. a yxi 2 yj z k , (S ) : x 2 y 2 z 2 4; 69. a ( x z )i ( y x) j ( z y)k , (S ) : x 2 y 2 R 2 , z y, z 0; 70. a 3xi yj z k , (S ) : 9 z x 2 y 2 , x 0, y 0, z 0; 71. a ( y x)i ( z y) j ( x z )k , ( S ) : x y z 1, x y z 1, x 0, z 0; 72. a xi 2 yj z k , (S ) :1 z x y , z 0. В задачах 73 и 74 вычислить ротор указанных векторных полей: 2 2 73. a ( x y )i ( y z ) j ( z x )k ; 74. a z i y j x k . 75. Показать, что если координаты вектора a имеют непрерывные частные производные второго порядка, то divrot a 0 . 76. Показать, что если a и b - постоянные векторы, то rot(r , a ) b [a , b ] . 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 [r , a ] (a const ) . r f (r ) 78. Показать, что rot( f (r ) a ) [r , a ] . r 79. Показать, что векторное поле a f (r ) r является безвихревым. 80. Показать, что ротор поля линейных скоростей v точек вращающегося твердого тела 77. Показать, что rot(ra ) есть постоянный вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого равен удвоенной угловой скорости вращения: rot v 2 . f ( x, z ) , чтобы ротор векторного поля 81. Какова должна быть функция a yzi f ( x, z ) j xyk совпадал с вектором k i ? Найти циркуляцию поля по указанным контурам 1)непосредственно, 2)по теореме Стокса в векторной формулировке: 82. a zi xj yk , ( L) : x 2 y 2 4, z 0; 233 83. a yi xj zk ; ( L) : x 2 y 2 z 2 4, x 2 y 2 z 2 , z 0; 84. a 2 xzi yj zk по контуру, образованному пересечением плоскости x y 2 z 2 с координатными плоскостями; 85. a yi xj ( x y)k , 86. a z i , 2 ( L) : z x 2 y 2 , z 1; ( L) : x 2 y 2 z 2 16, x 0, y 0, z 0; 87. a zy i xz j x yk , 2 2 88. a y i z j, 2 2 ( L) : x y 2 z 2 , x 9; 2 ( L) : x 2 y 2 9, 3 y 4 z 5; 89. a yi xj zk , ( L) : x y z 1, x z; 90. v [ , r ], ( L) : x a cost , y a sin t , z 0, 0 t 2. 2 2 2 15.2. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ. ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 15.2.1. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Определение. Векторное поле a называется потенциальным полем, если существует некоторая скалярная функция u u ( x, y, z ) , градиент которой образует это поле: a ( M ) grad u ( M ) . (2.1) Функция u называется потенциалом векторного поля a . Теорема. Для того, чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым: (2.2) rot a ( M ) 0 . Формула (2.2) есть критерий потенциальности векторного поля a . Свойства потенциальных полей. 1) в области непрерывности потенциала поля u линейный интеграл не зависит от пути интегрирования и равняется приращению потенциала ( АВ) B B (a , dr ) (grad u, dr ) du u ( B) u ( A). A (2.3) A 2) циркуляция (1.9) вектора a по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю: Ц (a , dr ) 0 . (2.4) ( L) 3) потенциал u (M ) находится по формуле (2.3): (a , dr ) C , u(M ) (2.5) ( AM ) где (AM) – произвольная кривая, стягивающая точки A и M. Если путь (AM) взять в виде ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат (количество таких ломаных равно шести), то для нахождения потенциала может быть применена одна из формул, выражающая потенциал u (M ) через определенные интегралы ( A( x0 , y0 , z 0 ) ; M ( x, y, z ) ): x y z x0 y0 z0 u ( M ) a x ( x, y, z )dx a y ( x0 , y, z )dy a z ( x0 , y0 , z )dz . 234 (2.6) Пример. Проверить, что поле вектора a 2 xyi ( x 2 yz ) j y k является потенциальным и найти его потенциал. Решение. Составим для данного поля критерий потенциальности (2.2): 2 2 i rot a x 2 xy j k i (2 y 2 y ) j (0 0) k (2 x 2 x) 0 y z x 2 yz y 2 - поле потенциально. Найдем потенциал u (M ) по формуле (2.6): за начальную точку удобно взять x y 0 0 точку x y z 0 0 0 u ( x, y, z ) 2 xydx (0 2 yz )dy 0 dz C A(0,0,0): x 2 y y 2 z C x2 y y 2 z C . 15.2.2. СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Определение. Векторное поле a называется соленоидальным (трубчатым) полем, если дивергенция его равна нулю: div a a x a y a z 0 x y z (2.7) (то есть это поле без источников и стоков). Из теоремы (1.11) следует, что в соленоидальном поле поток (a , n0 )dS 0 (2.8) ( ) через любую замкнутую поверхность, лежащую в этом поле. Пример. Какие из нижеследующих полей являются соленоидальными (в естественной области определения): 1) a (M ) x( z y )i y( x z ) j z ( y x )k ; 2 2 2 2 2 2 2) a (M ) 3z ( y x )i 2 y( x z ) j 4 x( z y )k ? 2 2 2 2 2 2 Решение. 1) вычислим критерий (2.7): div a z y x z y x 0 - 2 2 2 2 2 2 поле вектора a соленоидально; 2) div a 6 xz 2( x z ) 8xz - поле не соленоидально. 2 2 15.2.3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ЛАПЛАСОВО (ГАРМОНИЧЕСКОЕ) ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ Дифференциальные операции второго порядка – это повторно примененные операции grad, div и rot к скалярным и векторным полям, полученным в результате применения этих же операций к скалярным u (M ) и векторным a (M ) полям. Возможны graddiv a ; divgrad u u , лишь следующие повторные операции: 2 2 x 2 y 2 z 2 graddiv a a . где 2 -лапласиан; rotgrad u 0 ; divrot a 0 ; rotrot a 235 Операции первого и второго порядков удобно записывать (и вычислять, доказывать) с помощью специального символического оператора (читается “набла”): . i j k x y z (2.9) Для дифференциальных операций первого порядка имеем grad u u ; div a (, a ); rot a [, a ] . Операции второго порядка: divgrad u (, (u )) u 2u 2u 2u x y z rotgrad u [, ] 0 ; graddiv a (, a ) ; divrot a (, [, a ]) 0 ; rotrot a [, [, a ]] graddiv a a . 2 2 2 (2.10) ; При применении оператора “набла” руководствуются следующим правилом: при применении оператора к произведениям скалярных (u u ( M ) , v v(M ) ) и векторных (a a ( M ) , b b (M )) полей: uv, ua , (a , b ),[a , b ] можно поступать так: применить оператор к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным (их обозначаем uc , ac , bc ), и результаты сложить; затем каждоеслагаемое преобразовать по правилам векторной алгебра так, чтобы оператор стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем. Пример. Показать, что div(u a ) u div a (a , grad u ) . Решение. В символической форме записи div(ua ) (, ua ) . Учитывая сначала дифференциальный характер , мы должны написать (, ua ) (, uc a ) (, uac ) . Рассматривая выражение (, uc a ) мы можем постоянный множитель u c вынести за знак “набла” и, как скаляр, за знак скалярного произведения, что дает (, uc a ) (uc , a ) uc (, a ) u (, a ) (на последнем шаге мы опустили индекс “c”). В выражении (, uac ) оператор действует только на скалярную функцию u; поэтому мы можем написать, что (, uac ) (u , ac ) (a, u ) . В результате получаем формулу (, ua ) u (, a ) (a, u ) или div(ua ) u div a (a , grad u ) . Задачи для самостоятельного решения Найти потенциалы следующих плоских и трехмерных полей: 91. a (3x y y )i ( x 3xy ) j ; 2 3 3 2 92. a sin 2 x cos2 yi cos2 x sin 2 yj cos x sin y sin x cos y 2 2 2 2 ; 93. a 2 xyzi x zj x yk ; 94. a ( yz 1)i xzj xyk ; 2 2 95. a (2 xy z )i ( x 2 y) j xk ; 96. a 2 98. a yzi xzj xyk i jk ; 97. a ; 2 2 2 x yz 1 x y z r r ; 99. a ; 100. a r r ; r r2 236 x2 101. a ( yz xy )i ( xz yz 2 ) j ( xy y 2 z )k ; 2 1 x 1 y 1 z 102. a 2 k ; i y z x 2 x y 2 y z z y 2 yz z x 2 xz y x 2 xy i j 3 k. y 2 z 2 x3 x 2 z 2 y 3 x 2 y 2 z 104. Доказать, что поле вихрей соленоидально: div (rot a ) 0 . 103. a 105. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю. В задачах 106 – 109 проверить соленоидальность заданных полей: 106. a ( x y y )i ( x xy ) j ; 107. a xy i x yj ( x y ) zk ; 2 3 3 2 2 2 2 2 xi yj ( x 2 y 2 ) zk x y ( x y) ln z 2 108. a . i j k ; 109. a 2 3/ 2 2 2 yz xz xy ( x y ) x y 110. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора поля через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение. q 111. Показать, что поле вектора E r 2 r0 соленоидально во всякой области, не содержащей начало координат O(0,0,0). 112. Найти условие соленоидальности поля a (r ) r . 113. Показать, что в соленоидальном поле поток вектора a (M ) не зависит от вида поверхности (S), натянутой на данный контур (L), а зависит только от самого контура. 114.Показать, что векторное поле a grad - соленоидальное и безвихревое. Используя правило применения оператора к произведениям скалярных и векторных полей, доказать справедливость следующих формул: 115. grad() ; 116. div( a ) div a (a , grad ) ; 117. div[ a , b ] (b , rot a ) (a , rot b ) ; 118. rot( a ) rot a [grad , a ] ; 119. grad(a , b ) (a , )b (b , )a [a , rot b ] [b , rot a ] ; 120. rot[a , b ] (a , )b (b , )a a div b b div a ; 121. rotrot a graddiv a a . 122. Найти div[grad f (r )] . В каком случае div[grad f (r )] 0 ? 123. Показать, что гармоническим ( ln скалярное поле 1 ln , r r x 2 y 2 , r 0 , является 1 0) . r В задачах 124 – 131 выяснить, какие поля – гармонические, какие – нет: 124. 1 1 ; 125. x 2 y 2 x; 126. Ax By C; r x2 y2 127. Ax 2Bxy Cy ; 128. Ax 3Bx y 3Cxy Dy ; 2 2 3 2 2 3 237 129. Ax By Cz D; 130. a11 x a22 y a33 z 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz; 2 2 2 131. a111 x a222 y a333 z 3a112 x y 3a113 x z 3a122 xy 3a223 y z 3 2 3 2 2 2 2 3a133 xz 2 3a233 yz 2 6a123 xyz. 132. Найти все гармонические поля, зависящие только от x. 133. Найти общий вид однородного гармонического многочлена второй степени от x и y. 134. Найти все решения уравнения Пуассона u x n2 , зависящие только от x. Ответы к задачам главы 15 1. x C1 y, z C2 . 2. x C1, 2 y z C2 . 3. z C1 x, y C2 . 2 2 2 1 1 x y z . C1, z C2 . 5. y 2 z 2 C1, x C2 . 6. 1 C1 C2 x y x y C1 z C2 2 2 2 2 2 7. . 8. y x C1, z x C2 . 9. xy C1, y C2 z. a1 a2 a3 4. 10. y z C1, 2 x ( z y) C2 . 11. x y z C1 , x y z C2 . 2 2 2 12. x C1 y; x C 2 z. 13. 2 2 2 2 x y x z C1, C2 . 14. box boy box boz 1 1 1 1 1, 2 4. x z x 2y 81 . 20.0. 8 3 3 5 21. 0,5. 22. 0,25. 23. 4R . 24. h . 25. 7 / 6. 26. 0,25. 27. 3v. 28. a . 15. x cost , y sin t , z b t. 16. 0,5a . 17. / 6. 18. 0,5 R h. 19. 3 2 R5 256 . 32. 0,5R 4 H . 33. 29. 4R . 30. R . 31. . 34. 8. 35.0. 3 3 4 2 41 36. ab. 37. а) 2/3; б) 0,7; в) 0,7; г)1; д) 1. 38. R . 39. . 40. 22 a 2 h. 3 6 2 3 3R 2 . 41. 3 3. 42. 1 / 35. 43. a . 44. 1. 45. 4bm. 46. –14. 47. 2R . 48. 16 R 3 c . 51. 4/3. 52. 2R 2 . 53. 0,5 . 54. (r ) . 49. 2. 50. 4 r 32 1 4 3 . 55. 7r . 56. 0. 57. 0. 58. (l , r ). 59. 0. 60. 1. 61. 16. 62. H . 63. 3 r 3 64. 0. 65. / 3. 66. 4. 67.19 / 3. 68. 32 / 3. 69. 2 R . 70. 81 / 8. 71.-1. 2 2 72. . 73. 2( zi xj yk ). 74. 3( z x ) j. 81. f ( x, z ) xz x z C , C const. 82. 4. 83. 4. 84. 4 / 3. 85. 2. 86. 128 / 3. 87. 729. 88. 0. 3 3 2 89. 2 . 90. 2a . 91. x y xy C. 92. 2 2 2 cos2 x sin 2 y sin 2 x cos2 y C. 93. x 2 yz. 94. x xyz. 95. x 2 y y 2 xz. 96. 238 x2 y y2 z 2 1 3 C. ln x y z . 97. arctg(xyz ). 98. r. 99. lnr. 100. r . 101. xyz 2 2 3 y z x 102. C. x y z yz xz xy 2 C 103. 112. C=const. 122. f (r ) f (r ); C . , r 0 , r x2 y2 z 2 r3 C1 . 124. Нет. 125. Нет. 126. Да. 127. Только при A+C=0. r 128. Только, если A+C=B+D=0. 129. Да. 130. Только при a11 a22 a33 0. 131. Только если a111 a122 a133 a112 a222 a233 a113 a223 a333 0 . f (r ) C 132. C1 x C 2 . 133. Ax Bxy Ay , A и B – любые. 2 2 xn C1x C2 , если n 1; 134. ( x) (n 1) n x ln x C1x C2 , если n 1( x 0). 239