О НЕКОТРЫХ СИММЕТРИЧНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ТИПА ГАУССА-КРОНРОДА Нигматулин Р.М., Кудряшова Е.В. Челябинский государственный педагогический университет Вычисление определённых интегралов находит широкое применение как в математических, так и в прикладных задачах. На практике, как правило, используют приближённые квадратурные формулы. Одной из наиболее известных и востребованных при разработке пакетов компьютерной математики (MATLAB, Mathematica) является квадратурная формула Гаусса-Кронрода [1-6]. При построении квадратурных формул различные системы ортогональных многочленов P ( , ) n ортогональных многочленов Якоби типа Гаусса-Кронрода используются [1-4, 6]. Рассмотрим систему ( x) . Нетрудно доказать следующее свойство симметрии этих многочленов. ТЕОРЕМА. Для многочленов Якоби Pn( , ) ( x), ортогональных на (1; 1) с весовой функцией h( x) (1 x) (1 x) ( 1 , 1 ), выполняется Pn( , ) ( x) (1) n Pn( , ) ( x) . Для весовой функции вида h( x) (1 x) (1 x) при эта теорема обобщает доказанное в [7] утверждение (Теорема 1.3). В настоящей работе показано, что для базовой формулы типа Гаусса (построенной с помощью многочленов Якоби), используя указанное свойство симметрии, можно построить две парные симметричные квадратурные формулы типа Гаусса-Кронрода. Не теряя общности, будем рассматривать промежуток интегрирования [1; 1] . Пусть построена базовая квадратурная формула типа Гаусса 1 n 1 k 1 ( , ) h( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) , ( , ) k где весовые коэффициенты A (1) ~ h( x) Pn( , ) ( x) dx , xk – нули многочлена Якоби с ~ ( , ) 1 ( x x ) P ( x ) k n k 1 n!2n ( n 1) ( , ) ~ ( , ) единичным старшим коэффициентом Pn ( x) Pn ( x) . Тогда по ( 2n 1) найденным значениям весовых коэффициентов Wk( , ) и узлам k (k 1, 2,, 2n 1) можно построить две парные симметричные формулы типа Гаусса-Кронрода (равного алгебраического порядка точности): 1 h( x) f ( x)dx 1 2 n1 W k 1 ( , ) k f (k ) , (2) 1 h( x) f ( x)dx 1 2 n 1 W k 1 ( , ) n k f ( n k ) , (3) ~ где k – нули полинома Кронрода K2(n,1 ) ( x) Qn1 ( x) Pn( , ) ( x) , который строится по аналогии с методом, изложенным в [4]. Коэффициенты многочлена Qn1 ( x) определяются с 1 ~ помощью взвешенных степенных моментов M n(, s, ) h( x) Pn( , ) ( x) x s dx по формулам 1 pn1 1, pn M n(,n,1) , pn1 ( , ) M n ,n M n(,n,2) pn1 M n(,n,1) pn M n(,n,k)1 pn1 ... M n(,n,1) pnk 1 … , , p n k M n(,n, ) M n(,n, ) а весовые коэффициенты вычисляются по формуле Wk( , ) h( x) K 2(n,1 ) ( x) dx 1 ( , ) ( x k ) K 2 n1 ( k ) 1 (k 1, 2,, 2n 1) . Заметим, что правые части в формулах (2) и (3) в общем случае при дают различные приближенные значения интеграла, а при – равные. Получение двух приближенных значений интеграла с помощью одного набора весовых коэффициентов Wk( , ) и узлов k (k 1, 2,, 2n 1) дает определенные вычислительные и алгоритмические преимущества при использовании формул (2) и (3). В [4] указано, что формулы (1) и (2)–(3) при некоторых ограничениях на весовую 1 функцию можно применять при вычислении интегралов вида ( x)dx , предварительно 1 выделив весовую функцию и положив f ( x) ( x) h( x ) . Литература [1]. Calvetti, D. Computation of Gauss-Kronrod Quadrature Rules [Текст] / D. Calvetti, G.H. Golub, W.B. Gragg, L. Reichel // Mathematics of Computation. – 2000. – V. 69. – No 231. – P.P. 1035-1052. [2]. Gander, W. Adaptive Quadrature – revisited [Текст] / W. Gander, W. Gautschi // BIT Numerical Mathematics. – 2000. – V.40. – No 1. – P.P. 84-101. [3]. Shampine, L.F. Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB [Текст] / L.F. Shampine // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2008. – V. 211. – P.P. 131–140. [4]. Бахвалов, Н. С. Численные методы [Текст] / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. – М.: Бином. Лаборатория знаний. – 2003. [5]. Кронрод, А.С. Узлы и веса квадратурных формул: Шестнадцатизначные таблицы [Текст] / А.С. Кронрод. – М.: Наука. – 1964. [6]. Крылов, В.И. Приближённое вычисление интегралов [Текст] / В.И. Крылов. – М.: Наука. – 1967. [7]. Суетин, П.К. Классические ортогональные многочлены [Текст] / П.К. Суетин. – М.: Наука. – 1979.