5 - 11 класс
advertisement
Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 5 класс 1. Найдите значение выражения: 2012 25 25 2010 2009 15 15 2007 2006 5 5 2005 2. Расшифруйте запись: кис + кси икс Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры. 3. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы? 4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры. 5. Коля, боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили так: 10 Коля на первое, ни четвертое; 2) Боря второе; 3) Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик? Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 6 класс ЗАДАНИЯ 1. Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999. 2. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза? 3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника. 4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится? 5. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды, когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз? Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 7 класс 1. Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15. рис.1 2. У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет? 3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник. 4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально? 5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 8 класс 1. Используя каждую из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ровно по одному разу, а также знаки арифметических действий и скобки, получите число 2012. (Из цифр можно составлять числа.) 2. а+в+с=5, ав+вс+ас=5. Чему равна сумма а2+в2+с2 ? 2 3. Постройте график функции у = x 2 4 (3 x) x 4 4. В королевстве 1001 город. Король приказал проложить между городами дороги, чтобы из каждого города выходили ровно 7 дорог. Смогут ли подданные справиться с приказом короля? 5. Из вершины В треугольника АВС проведены медиана и высота, которые разделили угол АВС на три равные части. Определите углы треугольника АВС. Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 9 класс 1. Два автомобилиста проехали по 240км. Первый автомобилист половину всего пути делал остановки через каждые 4км, а другую половину – через каждые 5км. Второй автомобилист четверть всего пути делал остановки через каждые 3км, а оставшуюся часть – через каждые 6км. Какой автомобилист сделал больше остановок и на сколько? 2. Составьте уравнение параболы у = ах2 + вх + с, если она проходит через точку А(1; 3), а точка В(0,5; 16) является её вершиной. 3. Доказать, что для любых чисел х и у справедливо неравенство: 17 ≥ 0. х2 – 2х + 4у2 – 16у + 4. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр образовавшегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника. 5. Доказать, что если натуральное число не делится на 3, то остаток от деления квадрата этого числа на 3 равен 1. Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 10 класс 1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. 2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно? 3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5. ( х у )( х у z ) 72, 4. Решите систему уравнений ( y z )( x y z ) 120, ( z x)( x y z ) 96. 5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика? 10 класс Решения 1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. Решение. Число получается из суммы своих цифр умножением на 12, значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр также делится на 3. Поэтому само число должно делиться на 9. Кроме того оно делится на 4. Следовательно, нужно искать среди чисел, которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то само число может быть не больше 27 . 12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше 18 . 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216. 100a+10b+с=12(a+b+c) 88a-2b=11c. Правая часть кратна 11 и 88a кратно 11, значит, 2b кратно 11, что возможно только при b=0. Остается рассмотреть равенство 88a=11c или 8a=c. Так как a,b,c – цифры, то a=1,b=0,c=8 Ответ: 108 2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно? Решение. Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест a + (a + 1) + ... + (a + n - 1) = Значит, п( 2а 1 п) конфет. 2 п( 2а 1 п) = 777. Следовательно, n делит 2 . 777 = 1554. Так как 2 1554 = n(2a - 1 + n) > n2, то n < 40. Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее 1554 = 2 . 3 . 7 . 37, равняется 37. Случай n = 37 действительно возможен при a = 3. Ответ: n = 37. 3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5. Решение. Пусть P и Q — точки касания окружности с катетами BC и AB. Из прямоугольного треугольника OPC находим, что PC = ОС 2 ОР 2 = 4. Из подобия прямоугольных треугольников AQO и OPC находим, что AQ = ОР QO 3 3 9 . РС 4 4 Следовательно, SABC = 1/2· AB . BC =1/2 (AQ + QB)(BP + PC) = 1/2(9/4 + 3) (3 + 4) = 147/8. Ответ: 147/8 4. Решите систему уравнений ( х у )( х у z ) 72, ( y z )( x y z ) 120, ( z x)( x y z ) 96. Решение. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х + у + z)(2x + 2y + 2z) = 288, из которого найдем х + у + z = 12 или х + у + z = - 12. Подставляя вместо (х + у + z) числа 12 и – 12, получим в первом случае: х = 2, у = 4, z = 6, а во втором : х = - 2, у = - 4, z = - 6. Ответ: (2;4;6), ( - 2; - 4; - 6). 5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика? Решение 1. Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее 4 способами. Поэтому каждому кубику соответствуют 6·4 = 24 "раскраски", и общее число моделей равно 8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680. Решение 2. Сначала "наклеим" белый шарик. Повернем кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 3 С шарика для соседних вершин (это можно сделать 7 способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отобранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся 4 шарика на оставшиеся 4 вершины. Всего С73 2 4! 7 6 5 2 4 моделей. Ответ: 1680 моделей. Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников МАТЕМАТИКА 2012-2013 учебный год 11 класс 1. Решите уравнение x 1 x 5 0 . 2. Найдите все значения х, при которых обе функции g ( x) x 7 x 11 2 4 f ( x) x2 3x 4 и принимают положительные значения. 3. Построить график функции y tgx ctgx . 4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ =1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO. 5. Имеется 19 гирек весом 1г, 2г,…, 19г. Девять из них – железные, девять бронзовые, и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки. Ключи 5 класс 1. Найдите значение выражения: 2012 25 25 2010 2009 15 15 2007 2006 5 5 2005 =25∙2 - 15∙2 +5=25 2. Расшифруйте запись: кис + кси икс Сумма И+С ( в разряде десятков) оканчивается на С, но И не 0 ( смотри разряд единиц) Значит, И=9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили. К в разряде сотен: К=4. Для С остается одна возможность С=5. 495 + 459 954с 3. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы? 1) на одной чаше гиря, на другой 100г крупы; 2) на одной чаше 100г взвешенной крупы и гиря в 100г, на другой 200г крупы 3) на одной чаше 300г взвешенной крупы и гиря в 100г. На другой – 400г крупы Итого 700г крупы 4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры. Сторона квадрата 2см, площадь 14 кв см. 5. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили так: 1) Коля на первое, ни четвертое; 2) Боря второе; 3) Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик? Из первого и второго утверждения следует, что Коля занял третье место. Второе и третье места заняты и Вова не последний, значит, Вова первый , а Юра четвертый. 1-Вова, 2- Боря, 3- Коля, 4- Юра 6 класс 1. Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999 Решение. 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999 = 101∙1001∙999 - 101∙999∙1001 = 0 2. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза? Решение. Пусть сыну сейчас xлет, отцу - 4x лет, тогда x+4x=50 . Сыну сейчас 10 лет, а через y лет будет 10+y лет, а отцу 40+y лет 3(10+y) = 40+y; y=5 Ответ: через 5 лет 3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника. Решение. P= x+x+2x+2x =48; x=8 ; S=8∙16=128. Ответ 128. 4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится? Решение. Танцевали: Лена с Валентином, Аня с Николаем, Наташа с Алексеем, Оля с Владимиром. Учатся: Лена с Алексеем, Аня с Владимиром; Наташа с Николаем; Оля с Валентином. 5. Арбуз весил 20 кг и содержал 99% воды, когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз? Решение. В арбузе было 20∙0,99 = 19,8 кг воды и 0,2 кг сухого вещества. После подсыхания в арбузе осталось 0,2 кг сухого вещества и y кг воды, его масса стала (0,2 +y) кг. y=0,98∙ (0,2+y) y=9,8. Ответ: арбуз стал весить 9,8 + 0,2 = 10 кг. Ответы. Школьная олимпиада 7 класс. 1. 2. Сколько лет? 3(х+3)-3(х-3)=х, х=18 3. 4. Третий купец получил, два рубля, значит, эта сумма была у крестьянина, когда он уходил от второго купца. Сумма, заплаченная второму купцу, без двух рублей составляет, поэтому 4рубля, и крестьянин, уходя от первого купца, имел 8 рублей. Деньги заплаченные первому купцу без одного рубля, составляют 9 рублей, значит, первоначально крестьянин имел вдвое больше, то есть 18 рублей. 5. х - число отдельных рублей, у - число 20 копеечных монет (100х+20у) – коп. денег первоначально (100у+20х) – коп. денег после покупки 3(100у+20х)=100х+20у х=7у, у=1, то х=7, то 7руб.20коп у=2, то х=14, то 14руб.40 коп. у=3, то х=21, то 21руб.60коп. Ответ: 14руб 40 коп, (так как имел около 15 рублей) 8 класс Решения 1.Например, 1985+23+4*(7-6)=2012 2. Ответ 15 2 3.Постройте график у = x 2 4 (3 x) x 4 На прямой y = 3 - x выколоть точки с абсциссами x=2 и x= -2 4. . 5. 9 класс Решение задач. 1).Первый автомобилист на первых 120км через каждые 4км сделал 30 остановок, на следующих 120км через каждые 5км он сделал 23 остановки, всего 53 остановки. Второй автомобилист на первых 60км через каждые 3км сделал 20 остановок, на следующих 180км через каждые 6км он сделает 29 остановок, всего 49 остановок. Значит, больше сделал остановок первый, на 4. 2).Так как точка А(1; 3) лежит на параболе, то а + в + с = 3. в 1 . Так как абсцисса вершины равна 0,5, то 2а 2 4ас в 2 Так как ордината вершины равна 16, то 16. 4а а в , Составляем и решаем систему трёх уравнений, получим с 3, а 3 16. 4 Откуда: а = - 52, в = 52, с = 3. Ответ: у = - 52х2 + 52х = 3. 3). (х2 – 2х + 1) + (4у2 – 16у + 16) = (х – 1)2 + (2у – 4)2 ≥ 0 при любых значениях х,у. 4).Пусть ∆АВС – равнобедренный, с основанием АВ. РАВ. Проведем РКВС и РМАС, образовавшийся 4-угольник СКРМ – параллелограмм (по определению), тогда СМ = КР, РМ = СК. Периметр СКРМ равен 2(СМ + СК). Сумма боковых сторон ∆АВС равна АС + ВС = = АК + СК + СМ + ВМ, но АК = КР, РМ = ВМ как боковые стороны равнобедренных треугольников АКР и ВМР. Итак, АК = КР = СМ, СК = РМ = ВМ. Тогда АС + ВС = 2(СМ + СК). 5).Пусть х – данное натуральное число. Так как х не делится на 3, то х = 3к + 1 или х = 3к + 2, где кN. Тогда х2 = (9к2 + 6к) + 1 или х2 = (9к2 + 12к + 3) + 1. В обоих случаях число х2 при делении на 3 даёт остаток 1. 10 класс Решения 6. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. Решение. Число получается из суммы своих цифр умножением на 12, значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр также делится на 3. Поэтому само число должно делиться на 9. Кроме того оно делится на 4. Следовательно, нужно искать среди чисел, которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то само число может быть не больше 27 . 12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше 18 . 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216. 2 способ 100a+10b+с=12(a+b+c) 88a-2b=11c. Правая часть кратна 11 и 88a кратно 11, значит, 2b кратно 11, что возможно только при b=0. Остается рассмотреть равенство 88a=11c или 8a=c. Так как a,b,c – цифры, то a=1,b=0,c=8 Ответ: 108 2.Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно? Решение. Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест a + (a + п( 2а 1 п) п( 2а 1 п) 1) + ... + (a + n - 1) = конфет. Значит, = 777. 2 2 Следовательно, n делит 2 . 777 = 1554. Так как 1554 = n(2a - 1 + n) > n2, то n < 40. Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее 1554 = 2 . 3 . 7 . 37, равняется 37. Случай n = 37 действительно возможен при a = 3. Ответ: n = 37. 3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5. Решение. Пусть P и Q — точки касания окружности с катетами BC и AB. Из прямоугольного треугольника OPC находим, что PC = ОС ОР = 4. Из подобия прямоугольных треугольников AQO и OPC находим, что 2 AQ = 2 ОР QO 3 3 9 . РС 4 4 Следовательно, SABC = 1/2· AB . BC =1/2 (AQ + QB)(BP + PC) = 1/2(9/4 + 3) (3 + 4) = 147/8. Ответ: 147/8 ( х у )( х у z ) 72, 4. Решите систему уравнений ( y z )( x y z ) 120, ( z x)( x y z ) 96. Решение. Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х + у + z)(2x + 2y + 2z) = 288, из которого найдем х + у + z = 12 или х + у + z = - 12. Подставляя вместо (х + у + z) числа 12 и – 12, получим в первом случае: х = 2, у = 4, z = 6, а во втором : х = - 2, у = - 4, z = - 6. Ответ: (2;4;6), ( - 2; - 4; - 6). 5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика? Решение 1. Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее 4 способами. Поэтому каждому кубику соответствуют 6·4 = 24 "раскраски", и общее число моделей равно 8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680. Решение 2. Сначала "наклеим" белый шарик. Повернем кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 шарика для соседних вершин (это можно сделать С7 способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отобранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся 4 шарика на оставшиеся 4 вершины. Всего 3 С73 2 4! 7 6 5 2 4 моделей. Ответ: 1680 моделей. 11 класс 1. Решите уравнение x 1 Решение. x 1 0, x 1, x 5 0, x 5, х=5. x 5 0, x 5, Ответ: х = 5. x 5 0. 2. Найдите все значения х, при которых обе функции g ( x) x 7 x 11 Решение. 2 4 x2 0, 3x 4 x2 3x 4 и принимают положительные значения. 4 x 3 , x 2, 4) x 11, x 7, x2 0, 1) 3x 4 x - 7 2 x 11 4 0, f ( x) 4 , x 2; 3 4 ; 11 11; 2;7 7; 3 2) x 3) x 7 x 2 x 7 2 x 11 4 11 4 0, 0, x 11, x 7; 4 Ответ. ; 11 11; 2;7 7; 3 3. Построить график функции y tgx ctgx . у 1 0 х AD и BE, 3 биссектрисы 4. В треугольнике АВС проведены пересекающиеся в точке 2 на окружности, 2 проходящей через О. Известно, что ОЕ =1, а вершина С лежит 2 точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO. Решение. В D О А С Е 1) Пусть DAC , ABE , тогда C 180 (2 2 ) . 2) Так как четырехугольник EODC – вписанный, EOD 2 2 . 3) Рассмотрим треугольник АОВ. Сумма внутренних углов этого треугольника равна 2 2 180 . Значит, 60 . 4) C 60 , DOE 120 . 5) Точка О – точка пересечения биссектрис, значит, СО- биссектриса C . 6) Так как OCD OCE , то OD OE . Поэтому OED ODE , как вписанные, опирающиеся на равные дуги окружности. OED ODE 30 . 7) Треугольник EOD – равнобедренный, ОЕ= OD=1. По теореме косинусов найдем длину стороны ED.ED = 3 . Ответ. OED ODE 30 , DOE 120 , ОЕ= OD=1, ED = 3 . 5. Имеется 19 гирек весом 1г, 2г,…, 19г. Девять из них – железные, девять - бронзовые, и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки. Решение. Бронзовые гирьки весят не меньше, чем 1+2+…+9 = 45г, а железные – не больше, чем 11+12+…+19 = 135г. Если бы хотя бы одно из этих неравенств было строгим, то вес железных гирек превышал бы вес бронзовых гирек менее, чем на 90г. Значит, бронзовые гирьки весят 45г, а железные – 135г, а это возможно только если девять самых тяжелых – железные. Поэтому золотая гирька весит 10г. Ответ. 10г.
