1. Определитель равен нулю, при k равном … 0 2 –2 -3 Решение: Вычислим определитель разложением по элементам первой строки: По условию определитель равен нулю, то есть или 1.1 . Определитель равен… Решение: Данный определитель удобно вычислять путем разложения по элементам первого столбца: В нашем случае получаем: 1.2 Определитель . равен … Решение: По свойству определителей получаем: . 2. Даны матрицы имеет вид… Решение: и . Тогда матрица Матрица С находится следующим образом: . 2.1 Даны матрицы вид… и . Тогда матрица имеет Решение: Матрица С находится следующим образом: . 2.2 Даны матрицы матрица , имеет вид… , . Тогда Решение: Матрица D находится следующим образом: . 3. Даны матрицы … и . Тогда матрица равна Произведение матриц вида вычисляется следующим образом: и Решение: Тогда матрица находится следующим образом: . 3.1 Произведение матриц с размерностями и возможно при ... Решение: Произведение матрицы A на матрицу B возможно, если только количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B. В нашем случае, это возможно при , то есть, например, и . 3.2 Даны матрицы Решение: и . Тогда матрица имеет вид … Произведение матриц вида образом: и находится следующим . Тогда, . 4. Ранг матрицы равен двум при –6 –18 29/108 0 Решение: равном … Чтобы ранг матрицы равнялся двум, необходимо, чтобы все миноры третьего порядка равнялись нулю: Вычислим минор . Очевидно, что при , ранг матрицы будет равен двум, так как все миноры третьего порядка будут равны нулю, и есть хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, например: . 4_1. Ранг матрицы равен… Решение: Ранг матрицы равен трем, так как хотя бы один минор третьего порядка матрицы А не равен нулю, например: 4.2 Ранг матрицы равен… Решение: Произведем элементарные преобразования над матрицей: . Ранг равен единице. 4.3 Ранг матрицы Решение: равен двум при равном … Чтобы ранг матрицы равнялся двум, необходимо, чтобы все миноры третьего порядка равнялись нулю: Вычислим минор . Очевидно, что при , ранг матрицы будет равен двум, так как все миноры третьего порядка будут равны нулю, и есть хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, например: . 5 Уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярной прямой имеет вид …. Решение: Вычислим угловой коэффициент прямой . А именно: . Так как прямые перпендикулярны, то , т.е. ,и . Следовательно, уравнение искомой прямой можно задать как Подставляя в это уравнение координаты точки А, найдем значение . . 5.1 Острый угол между прямыми и равен… Решение: Угол между прямыми и находится из формулы: , или . Следовательно, острый угол между прямыми равен 5.2 Общее уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид… Решение: Уравнение прямой проходящей через точки или , то есть и находится как: . 6 Расстояние между центрами окружностей, заданных уравнениями и 3 равно… Решение: Приведем к каноническому виду уравнение первой окружности: , следовательно, центр окружности находится в точке С(2;1). Центр второй окружности находится в начале координат О(0;0). Найдем расстояние между точками О и С как: 6.1 Дано уравнение гиперболы фокусами равно... . Тогда расстояние между её Решение: Расстояние между фокусами равно 2с, где значение параметра c находится из выражения, связывающего полуоси гиперболы: . То есть или . 7 Синус угла между прямой и плоскостью равен…. Решение: Синус угла между прямой и плоскостью находится как: . 7.1 Уравнение плоскости проходящей через ось Оz и точку имеет вид… Решение: Уравнение плоскости проходящей через ось Оz имеет вид: Так как точка М принадлежит плоскости , то справедливо равенство . Получаем , то есть . или . 7.2 Прямая равном… и плоскость параллельны при k Решение: Условие параллельности плоскости имеет вид: и прямой , или , 8 Точка задана в полярной системе координат. Тогда в прямоугольной системе координат точка имеет вид... Решение: Прямоугольные координаты точки А находим как: , то есть 8.1 Точка А(–3; – ) задана в прямоугольной системе координат. Тогда её полярные координаты равны... Решение: Полярные координаты точки А находим как: , , то есть, при условии что, , получаем . 8_2. Координаты точки, симметричной точке (заданной в полярной системе координат), относительно полярного полюса, равны... Решение: Координаты точек, симметричных относительно полярного полюса, отличаются только полярными углами на число . То есть, точка В, симметричная точке А относительно полярного полюса, имеет координаты: . 9 Количество точек разрыва функции равно … Решение: Точками разрыва функции y=f (x) являются те, в которых функция не определена, (точки x=0 и x=3). А также те точки, в которых нарушается непрерывность функции, то есть не выполняется условие непрерывности: . Таковыми могут являться точки, при переходе через которые изменяется аналитическое выражение функции. Это точка x=1. Проверим, выполняется ли условие непрерывности, для этого найдем односторонние пределы: ; . Пределы не равны. Это значит – условие непрерывности в точке x=1 не выполняется, следовательно: x=1 – точка разрыва. Вывод: 3 точки разрыва. 9_1. Точкой разрыва функции является точка… Решение: Точками разрыва функции являются те точки, в которых функция не определена, т.е. те точки, в которых знаменатель равен нулю. И эти точки должны принадлежать области определения функции. Область определения функции .Но Вывод: х=1-точка разрыва функции. .Нули знаменателя: не входит в область определения. 9.2 Количество точек разрыва функции равно … , 2 1 0 3 Решение: Точками разрыва функции являются те точки, в которых функция не определена, т.е. те в которых знаменатель равен нулю: Вывод: точек разрыва нет. , но и