Вопросы (1 курс 1 сем)09

Аналитическая геометрия и преобразования плоскости
1 курс
І семестр 2009-2010 учебного года
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
Геометрические векторы. Равные векторы. Сложение геометрических векторов и его основные
свойства.
2. Умножение геометрического вектора на число и его основные свойства.
3. Определение векторного пространства. Примеры векторных пространств.
4. Простейшие свойства векторных пространств.
5. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости и
независимости. Основная теорема о линейной зависимости.
6. Базис и размерность векторного пространства. Примеры векторных пространств различной
размерности.
7. Координаты вектора в данном базисе. Координатные строки суммы двух векторов и произведения
числа на вектор.
8. Связь между n-мерным векторным пространством и пространством строк длины n. Основная идея
аналитической геометрии.
9. Скалярное произведение геометрических векторов и его связь с длинами и углами. Основные свойства
скалярного произведения. Доказательства свойств 1,3 и 4.
10. Скалярное
произведение
геометрических
векторов.
Доказательство
свойства
2:
1.


a  b  c  a b  a c .
11. Ортогональные векторы. Нормированный вектор. Ортонормированный базис геометрических векторов
плоскости и пространства. Формула скалярного произведения в ортонормированном базисе.
12. Ортонормированность базиса, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле
a  b   ai  bi . Вычисление координат вектора в ортонормированном базисе.
i
13. Аффинная система координат плоскости (аффинный репер). Аффинные координаты точки плоскости.
Три простейшие задачи.
14. Простое отношение трех коллинеарных точек. Вычисление аффинных координат точки, делящей
данный отрезок в данном отношении.
15. Формулы преобразования координат геометрических векторов плоскости.
16. Формулы преобразования аффинных координат точек плоскости.
17. Декартова система координат на плоскости. Расстояние между двумя точками плоскости в декартовой
системе координат. Связь с декартовыми координатами точки в школе.
18. Формулы преобразования декартовых координат точек плоскости при параллельном переносе и
повороте системы координат.
19. Понятие об уравнении плоской кривой. Две основные задачи теории плоских кривых. Пример
окружности.
20. Направляющий вектор прямой. Параметрическое представление прямой. Уравнение прямой по точке и
направляющему вектору. Уравнение прямой по двум точкам.
21. Общее уравнение прямой. Теорема о направляющем векторе прямой, заданной общим уравнением.
22. Три случая расположения двух прямых на плоскости. Параллельные прямые. Теорема о взаимном
расположении двух прямых, заданных общими уравнениями.
23. Полуплоскости относительно данной прямой. Критерий принадлежности двух точек одной
полуплоскости относительно прямой, заданной общим уравнением. Геометрический смысл линейного
неравенства.
24. Вектор нормали прямой. Вектор нормали прямой, заданной общим уравнением в декартовой системе
координат. Уравнение прямой по точке и вектору нормали.
25. Формула расстояния от точки до прямой в декартовой системе координат.
26. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями в декартовой системе координат.
27. Коническое сечение. Сфера Данделена. Фокус и директриса конического сечения. Теорема об
отношении расстояния точки конического сечения до фокуса к расстоянию этой точки до директрисы.
Второе определение конического сечения. Экцентриситет. Эллипс, парабола, гипербола.
28. Полярные координаты на плоскости. Их связь с соответствующими декартовыми координатами.
29. Уравнение конического сечения в полярных координатах.
30. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай параболы.
31. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай эллипса.
32. Уравнения конических сечений в декартовых координатах. Случай гиперболы.