прямая-урок1

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Урок 1
Виды уравнений прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана одним из следующих ниже
уравнений.
1. Прямая на плоскости однозначно задается точкой и вектором, перпендикулярным к этой прямой. Такой вектор называется нормальным вектором.
n
M0
M
L
Пусть М0(x0, y0) –точка, лежащая на прямой L; а вектор n  ( A, B) –
нормальный вектор прямой L. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на
этой прямой, вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 ) будет перпендикулярен вектору n ,
а значит, их скалярное произведение должно быть равно нулю:


M 0 M  n  M 0 M , n  0;
 M M , n   A( x  x )  B( y  y )  0.
0
0
0
A(x – x0) + B(y – y0) = 0 –
получили уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) перпендикулярно вектору n  ( A, B) .
2. Выведем из полученного выше уравнения общее уравнение прямой. Пусть
A(x – x0) + B(y – y0) = 0.
Раскроем скобки:
Ax + By + (–Ax0 – By0) = 0.
Обозначим (–Ax0 – By0) = C, тогда получаем
Ax + By + C = 0 –
общее уравнение прямой на плоскости, где коэффициенты А, В − координаты нормального вектора.
3. Прямая на плоскости так же однозначно задается точкой и вектором, параллельным этой прямой. Такой вектор называется направляющим.
q
M0
L
M
Пусть М0(x0, y0) – точка, лежащая на прямой L; а вектор q  (l , m) –
направляющий вектор этой прямой. Тогда для любой точки М(x, y), лежащей на этой прямой, вектор M 0 M  ( x  x0 , y  y0 ) будет коллинеарен вектору
q  (l , m) ;
следовательно, координаты вектора M 0 M будут пропорциональ-
ны координатам вектора q :
x  x0 y  y0

–
l
m
получили каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
М(x0, y0) параллельно направляющему вектору q  (l , m) .
4. Получим из канонического уравнения прямой параметрические
уравнения, введя параметр t:
x  x0 y  y0

t;
l
m
2
 x  x0  lt ,

 y  y0  mt 
параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(x0, y0) параллельно вектору q  (l , m) .
5. Если С  0, то можно из общего уравнения прямой Ax + By + С = 0
получить уравнение прямой «в отрезках». Разделим общее уравнение
Ax + By = – С на коэффициент (–С):

Обозначим:

A
 B
x     y  1.
C
 C
C
C
 a;   b ,
A
B
тогда
x y
 1 –
a b
уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой от координатных осей.
Y
O
a
X
b
6. Если В  0, то можно получить уравнение прямой с угловым коэффициентом. Из общего уравнения Ax + By + C = 0 выразим y:
By = –Ax – C;
y
A
C
x .
B
B
3
Обозначим
 A
 С
    k;     b ,
 B
 B
тогда
y = kx + b –
уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k – угловой коэффициент прямой, или тангенс угла между прямой и осью OX, (k = tg); а b – ордината точки пересечения прямой с осью OY.
Y

O
X
b
Если  − острый угол, то k > 0, если  − тупой угол, то k < 0, если
 = 0 , то прямая параллельна оси ОХ и k = 0, если  = π/2, то прямая перпендикулярна оси ОХ и не имеет углового коэффициента.
7. Найдем уравнение прямой L, проходящей через две точки А(x1, y1)
и B(x2, y2) на плоскости. Тогда вектор q  AB = (x2 – x1, y2 – y1) – направляющий вектор этой прямой, а точка A(x1, y1)  L.
M
L
A
4
B
Для любой точки М(x, y), лежащей на прямой L, векторы AM и q
должны быть коллинеарны, а значит, их координаты должны быть пропорциональны:
x  x1
y  y1

–
x2  x1 y2  y1
получили уравнение прямой, проходящей через точки А(x1, y1) и B(x2, y2).
Пример 1.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(−5, 2) перпендикулярно вектору n  (1,3) .
Решение
Для любой точки М (x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен нормальному вектору n :
M0M  n .
n
M0
L
N
Следовательно, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
M M ,n  0 .
0
Вычислим скалярное произведение векторов: M 0 M и n :
 M M , n   1 ( x  5)  3  ( y  2)  0.
0
Тогда общее уравнение прямой:
x – 3y + 11 = 0.
5
Пример 2.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0(4, 7) параллельно
вектору q  (5, 2) .
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору q  (5, 2) . Следовательно, их координаты должны быть
пропорциональны.
q
M0
L
M
M 0 M  ( x  4, y  7) – координаты вектора M 0 M .
Тогда каноническое уравнение прямой:
x4 y7

.
5
2
Общее уравнение прямой:
2x + 5y − 43 = 0.
Пример 3.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точки М0 (3, 4) и М1
(−3, −6).
Решение
Для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M1M коллинеарен вектору M1M 0 , а значит, их координаты должны быть пропорциональны.
6
M1
L
M
M0
Найдем координаты векторов M1M и M1M 0 :
M1M  ( x  3, y  6), M1M 0  (3  3, 4  6)  (6,10).
Тогда каноническое уравнение прямой:
x3 y6

;
6
10
Общее уравнение прямой:
5 x  3 y  3  0.
Пример 4.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 (1, 2) параллельно прямой L1: 2x −5 y + 4 = 0.
Решение
Вектор n1  (2, 5) – нормальный вектор прямой L1 . Прямые L и L1 параллельны, следовательно, вектор n1 перпендикулярен прямой L. А значит,
для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M перпендикулярен вектору n1 . Следовательно, скалярное произведение векторов M 0 M и
n1 должно быть равно нулю.
n1
L
L1
M0
M
Зная координаты векторов M 0 M  ( x 1, y  2) и n1  (3, 1) , найдем их
скалярное произведение:
7
 M M , n   2  ( x 1)  5  ( y  2)  0;
0
1
2x – 2 – 5y + 10 = 0.
Тогда общее уравнение прямой L:
2x – 5y + 8 = 0.
Пример 5.
Написать уравнение прямой L, проходящей через точку М0(3, 0) перпендикулярно прямой L1: 2x +7 y + 11 = 0.
Решение
Прямые L и L1 перпендикулярны, следовательно, нормальный вектор
прямой L1 параллелен прямой L , то есть является направляющим вектором
прямой L.
Тогда для любой точки M(x, y), лежащей на прямой L, вектор M 0 M коллинеарен вектору n1  (2, 7) . Следовательно, координаты этих векторов должны быть пропорциональны.
L1
L
n1
M0
M
Координаты векторов M 0 M  (3,0) и n1  (2, 7) . Тогда уравнение прямой:
x3 y
 .
2
7
Тогда общее уравнение прямой L:
7x – 21y − 21 = 0.
8