Дорогие ребята, заочная школа юных ... “Школы юных” Гомельского государственного университета ...

Дорогие ребята, заочная школа юных математиков в рамках
“Школы юных” Гомельского государственного университета имени
Франциска Скорины начинает свою работу. Ниже представлен набор
задач, некоторые из которых предлагались на вступительных экзаменах
в различные вузы, а некоторые носят олимпиадный характер (хотя это
разделение условно). Присылайте ваши подробные решения на наш email ( ………) независимо от количества решённых задач.
Активные участники нашей школы будут приглашаться на
лекции и практические занятия по различным разделам школьной
математики, которые будут читаться профессорами и доцентами
математического факультета нашего университета.
Приглашаем Вас к сотрудничеству и желаем успехов!
1 уровень
1. Решить неравенство (физич. факульт., МГУ, 1992 г.)
8x  1  4 x 2
( 2 балла)
2. Решить уравнение (физич. факульт., МГУ, 1992 г.)
5  3 cos 2x  8 sin x
( 3 балла)
3. Решить уравнение (МИЭТ)
2 x  3  11
( 2 балла)
2 уровень
1. Решить уравнение (МГУ, геолог. факульт.)
x  1  2x  5  x  2
( 4 балла)
2. Четвёртый член арифметической прогрессии равен 16, а сумма седьмого и
десятого 5. Найдите сумму первых восемнадцати членов этой арифметической
прогрессии.
(МГУ, геолог. факульт.)
( 4 балла)
3. Решить систему уравнений (МГУ, эконом. факульт.)
3x 2  2 xy  9 x  4 y  6  0
 2
5 x  2 xy  12 x  4 y  4  0
( 5 баллов)
3 уровень
1. В треугольнике ABC BAC  45 , BCA  30  , AB=4. Найти S ABC .
( 6 баллов )
2. Решить неравенство
5  8x  2 x  1
( 6 баллов)
3. Решить неравенство (МГУ, эконом. факульт.)
2 x  x
x  3 1
2
( 7 баллов)
4 уровень
1. Найти сумму корней уравнения
x 2  3x  2 
5
x  7 x  12
2
( 8 баллов)
2. Найти сумму корней уравнения
x 2  2x 
25
10
 13 
2
x
x
( 8 баллов)
3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC с прямым
углом С. Окружность радиуса 15 проходит через точки A, C, D и пересекает AB в
AF 3
 . Найти S ABC .
точке F так, что
( 9 баллов)
AB 5
5 уровень
1. Известно, что некоторая нечётная функция при x  0 определяется формулой
1
. Найти, какой формулой определяется функция f (x) при x  0 .
f ( x)  1 
x
1
Решить уравнение f ( x)  .
(11 баллов)
2
2. f ( x) 
1
1
. Вычислить f ( f ...( f ( ))) .
3
1  x3
2

(13 баллов)
2009 ðàç
3. x  0, y  0, z  0. xy  yz  zx  4 , xyz  1. Доказать, что
x
y
z
 2
 2
2
2
2
2
x y
y z
z  x2
(12 баллов)