Решения задач первого тура 1 уровень Ответ:

Решения задач первого тура
1 уровень
1. Решить неравенство (физич. факульт., МГУ, 1992 г.)
8x  1  4 x 2
( 2 балла)
4 x 2  8x  1  0
4 x 2  8x  1  0
D  64  16  48
84 3
3
x1, 2 
 1
8
2
3
3
)  (1 
,)
Ответ: x  (,1 
2
2
Решение.
2. Решить уравнение (физич. факульт., МГУ, 1992 г.)
5  3 cos 2x  8 sin x
5  3(1  2 sin 2 x)  8 sin x
6 sin 2 x  8 sin x  2  0
sin x  t
3t 2  4t  1  0
D  16  12  4
42
t1, 2 
6
1
t1  1, t 2 
3
Решение.
2) sin x 
1) sin x  1
x
Ответ:

2

2
( 3 балла)
 2k , k  Z
 2k , (1) k arcsin
1
3
x  (1) k arcsin
1
 k , k  Z
3
3. Решить уравнение (МИЭТ)
2 x  3  11
Решение. 1) 2x  3  11
2x  14
x7
Ответ: 7,4
( 2 балла)
2) 2x  3  11
2 x  8
x  4
1
 k , k  Z
3
2 уровень
1. Решить уравнение (МГУ, геолог. факульт.)
Решение.
x  1  2x  5  x  2
( 4 балла)
x  1  0

О.Д.З: 2 x  5  0
x  2  0

x  1  x  2  2x  5
( x  1  x  2 ) 2  ( 2x  5) 2
x  1  2 x  1 x  2  x  2  2x  5
2 x 1 x  2  4
x 1 x  2  2
( x 1 x  2)2  4
( x  1)( x  2)  4
x2  x  6  0
D  1  24  25
1 5
x1, 2 
2
x1  3, x2  2
x  2 не входит в О.Д.З. Проверкой убеждаемся в том, что x  3 является корнем
уравнения.
Ответ: 3
2. Четвёртый член арифметической прогрессии равен 16, а сумма седьмого и
десятого 5. Найдите сумму первых восемнадцати членов этой арифметической
прогрессии.
(МГУ, геолог. факульт.)
( 4 балла)
Решение.
a1  3d  16

a1  6d  a1  9d  5
a1  3d  16  2

2a1  15d  5
2a1  6d  32


2a1  15d  5
 9d  27 , d  3, a1  16  3d  25
2a  17d
S18  1
 18  (50  51)  9  9
2
Ответ: -9
3. Решить систему уравнений (МГУ, эконом. факульт.)
3x 2  2 xy  9 x  4 y  6  0
 2
5 x  2 xy  12 x  4 y  4  0
( 5 баллов)
3 x 2  2 xy  9 x  4 y  6  0

 2
5 x  2 xy  12 x  4 y  4  0
 2 x 2  3x  2  0
2 x 2  3x  2  0
D  9  16  25
35
x1, 2 
4
1
x1  2, x 2  
2
Подставляя x  2 в первое уравнение, получим
12  4 y  18  4 y  6  0 или 0  y  0, y  R
1
Подставляя x   в первое уравнение, получим
2
3
9
 y   4y  6  0
4
2
3  18  24
 5y  
4
45 9
y

20 4
1 9
Ответ: ( ; ), (2; y ), y  R
2 4
Решение.
3 уровень
1. В треугольнике ABC BAC  45 , BCA  30  , AB=4. Найти S ABC .
( 6 баллов )
AB
BC
4
BC

или
,



sin 30
sin 45
1/ 2
2/2
BC  4 2 , ABC  180   30   45  105 ,
3 2 1 2
2
sin 105   sin( 60   45  )  sin 60  cos 45   cos 60  sin 45  

 

( 3  1)
2 2
2 2
4
Решение. По теореме синусов
S ABC 
1
1
2
AB  BC  sin 105    4  4 2 
( 3  1)  4( 3  1)
2
2
4
Ответ: 4( 3  1)
2. Решить неравенство
5  8x  2 x  1
Решение.
О.Д.З: 5  8x  0 или x 
( 6 баллов)
5
8
5  8x  1  2 x
1
, то эти x не являются решениями неравенства, поскольку
2
5  8 x не может быть меньше либо равно отрицательного.
1) Если 1  2x  0 , т.е. x 
неотрицательное число
1
2) Если же x  , то исходное неравенство на О.Д.З. равносильно следующему
2
неравенству
5  8x  (1  2 x) 2 или 4 x 2  4 x  4  0
x 2  x  1  0 (1)
x2  x 1  0
D  1+4=5
1 5
1 5
1 5
][
;)
x1, 2 
, x  (;
- решения неравенства (1).
2
2
2
1 5
1
Сравним
и
или 1 и  1 5 или 2 и 5 .
2
2
1 1 5
1 5
Поскольку 2  5 , то 
. Учитывая также, что  , окончательно получим
2
2
2 8
x  (;
Ответ: (;
1 5
]
2
1 5
]
2
3. Решить неравенство (МГУ, эконом. факульт.)
2 x  x
x  3 1
2
( 7 баллов)
Решение. Найдём нули выражений, стоящих под знаками модулей
x  2, x  3
1) Если x  (;2] , то исходное неравенство примет вид
2 x x
2  2x
1 x
1 x
1 x  2  x
1
 2,
 2,
1 ,
1  0 ,
 0,
 0,2  x  0
3  x 1
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
x  2 являются решениями исходного неравенства
2) Если x  (2;3] , то исходное неравенство примет вид
x2 x
2
1
1 2  x
x3
 2,
 2,
1  0 ,
 0,
0
3  x 1
2 x
2 x
2 x
2 x
Так как в этом случае 2  x  0 , то x  3  0 или x  3
x  3 является решением исходного неравенства
3) Если x  (3;) , то исходное неравенство примет вид
x2 x
2
1
1 x  4
3 x
 2,
 2,
1  0 ,
 0,
0
x  3 1
x4
x4
x4
x4
Так как в этом случае 3  x  0 , то x  4  0
x  4 являются решениями исходного неравенства
Объединяя полученные решения, получаем
x  (;2)  3 (4;)
Ответ: (;2)  3 (4;)
4 уровень
1. Найти сумму корней уравнения
x 2  3x  2 
Решение.
( x  2)( x  1) 
5
x  7 x  12
2
( 8 баллов)
5
( x  3)( x  4)
( x  2)( x  3)( x  1)( x  4)  5  0
( x 2  5 x  6)( x 2  5 x  4)  5  0
x 2  5x  4  a
22 6
 1  6
2
2) x 2  5 x  4  1  6
(a  2)a  5  0 , a 2  2a  5  0 , D  4  20  24 , a1, 2 
1) x 2  5 x  4  1  6
x 2  5x  5  6  0
x 2  5x  5  6  0
D  25  20  4 6  5  4 6
По теореме Виета x1  x2  5
D  25  20  4 6  5  4 6  0
нет корней
Ответ: 5
2. Найти сумму корней уравнения
x 2  2x 
25
10
 13 
2
x
x
x 2  10 
Решене.
( 8 баллов)
25
1`0
 2x 
3 0
2
x
x
5
5
( x  ) 2  2( x  )  3  0
x
x
x
5
 a , a 2  2a  3  0 , a1  1, a2  3
x
5
1
x
x2  x  5  0
5
 3
x
x 2  3x  5  0
1) x 
2) x 
D  9  20  29
x 3  x 4  3
D  1  20  21
x1  x 2  1
x1  x2  x3  x4  2
Ответ: -2
3. Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC с прямым
углом С. Окружность радиуса 15 проходит через точки A, C, D и пересекает AB в
AF 3
 . Найти S ABC .
точке F так, что
( 9 баллов)
AB 5
Решение. AD - диаметр (т.к. угол C прямой). Отсюда AD  2 15 ,
DFA  DFB  90  . ACD  AFD (по общей гипотенузе AD и острому углу).
CD AC AF


Так как AD - биссектриса, то по её свойству
. Пусть AF  3x .
DB AB AB
Тогда FB  2 x, AC  3x, CD  3 y, DB  5 y . По теореме Пифагора из треугольников
2
2
2
2
2

9 x  3 y  60
(3x)  (3 y )  (2 15 )
ADF и DBF получим 
или
 2
2
2
2
4 x  16 y 2

(3 y )  (2 x)  (5 y )
2

y
2
2
2

9 x  9 y  60 45 y  60 
16
3
, 
,
. Отсюда AC  4 3 , CB  8 y 
.

4
3
x  2 y
x  2 y
x 

3
S ABC 
1
1
16
AC  CB   4 3 
 32
2
2
3
Ответ: 32
5 уровень
1. Известно, что некоторая нечётная функция при x  0 определяется формулой
1
. Найти, какой формулой определяется функция f (x) при x  0 .
f ( x)  1 
x
1
Решить уравнение f ( x)  .
(11 баллов)
2
Решение. Так как f нечётная, то f ( x)   f ( x) для любого x  0 . Если x  0 , то
1
. Тогда для x  0 выполняется
 x  0 и по условию f ( x)  1 
x
1
f ( x)   f ( x)  (1 
) , т.е. при x  0 функция f определяется формулой
x
1
f ( x)  (1 
).
x
1
Решим уравнение f ( x)  .
2
1
1 1
1
1) x  0
1
 ,
 , x  2, x  4
x 2
x 2
2
4
4
1
1
1
3
2) x  0
 (1 
) ,
 ,  x  , x  , x  
3
9
9
2
x
x 2
Ответ: при x  0 f ( x)  (1 
2. f ( x) 
1
x
) ; корни уравнения: 4, 
1
1
. Вычислить f ( f ...( f ( ))) .
3
1  x3
2

4
.
9
(13 баллов)
2009 ðàç
Решение. Пусть f1 ( x)  f ( x) , f n ( x)  f ( f n1 ( x)), n  2,3,... . Тогда
f 3 ( x)  x, f n3 ( x)  f n ( x), n  1,2,..., f 2009  f 2 . Поэтому
1
1
f ( f ...( f ( )))  f ( f ( ))  3 7
2
2

2009 ðàç
Ответ:  3 7
3. x  0, y  0, z  0. xy  yz  zx  4 , xyz  1. Доказать, что
x
y
z
 2
 2
2
2
2
2
x y
y z
z  x2
(12 баллов)
Решение. ( x  y) 2  0  x 2  y 2  2 xy . Аналогично y 2  z 2  2 yz, z 2  x 2  2 zx
Заменяя знаменатели неотрицательных дробей меньшими выражениями, увеличим
левую часть
x
y
z
x
y
z
1 1 1 1
1 zx  yx  yz 1 4
 2
 2



 (   ) 
   2.
2
2
2
2
2 xy 2 yz 2 zx 2 y z x
2
xyz
2 1
x y
y z
z x